第七章随机变量及其分布列章末综合检测卷-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 本单元卷聚焦随机变量及其分布列，涵盖条件概率、正态分布、二项分布等核心知识，通过选择、填空、解答题的梯度设计，结合AI模型分类、商场抽奖等真实情境，适配高中数学第七章单元复习检测，强化数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|条件概率（1题）、正态分布（3题）、二项分布（6题）|基础概念辨析，如第3题结合正态分布对称性考查概率计算| |多选题|3/18|分布列与期望（9题）、超几何分布（11题）|多选项设计，如第11题综合考查超几何与二项分布期望| |填空题|3/15|条件概率与积事件（13题）、随机变量取值（14题）|分层设问，如13题区分条件概率与积事件概率| |解答题|5/77|分布列与期望（15题）、正态分布应用（17题）、概率递推模型（19题）|情境化综合，如17题结合频率分布直方图与正态分布求期望利润，19题构建概率递推模型|

第七章随机变量及其分布列章末综合检测卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．在一个装有大小、形状都一样的3个白球，2个黑球和1个红球的箱子内，无放回地摸球，每次摸一个，在已知第一次摸到白球的条件下，第二次仍摸到白球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】第一次摸到白球后，还剩2个白球，2个黑球和1个红球， 所以第二次仍摸到白球的概率是. 故选：B. 2．在16辆公共自行车中有6辆损坏，现从中任意选10辆，用表示这10辆公共自行车中损坏的辆数，下列概率中等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，可推得服从超几何分布，利用超几何分布概率公式计算即可判断. 【详解】依题意，随机变量服从超几何分布，则，， 当时，， 故C正确. 故选：C. 3．设随机变量服从正态分布 ，若 ，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.9 【答案】D 【详解】解：随机变量服从正态分布，， ，． 故选：D. 4．已知随机变量服从两点分布，且，则（   ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】B 【分析】利用两点分布的性质直接求解即可. 【详解】由题意得，，又， 联立解得，. 故选：B. 5．已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为 所以 由全概率公式可得. 故选：D. 6．从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为，已知，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到变量，结合二项分布的期望和方差，即可求解. 【详解】由题意，有放回地摸取5次，其中每次摸到白球的概率为， 其中摸得白球的次数为随机变量，则， 因为，可得，解得，即， 所以. 故选：A. 7．某模型在验证集中有4个样本:1个“正确分类”，1个“错误分类”，2个“不确定样本”， 系统随机打乱顺序后不放回地逐个测试，直到遇到第一个“正确分类”样本时停止，设在此过程中测试到的 “不确定样本” 个数为，则（    ） A． B．1.5 C．1 D．2 【答案】C 【详解】记1个“正确分类”为，1个“错误分类”为，2个“不确定样本”为， 已知测试到就停止，为测试到的的个数，则的可能取值为：， 时有两种情况：①第一个是；②第一个是，第二个是，即； 时有三种情况：①第一个是或，第二个是； ②第一个是或，第二个是，第三个是； ③第一个是，第二个是或，第三个是； ； 时有三种情况：①前两个是和，第三个是； ②前两个是或和，第三个是或，第四个是； ③第一个是，第二个和第三个是和，第四个是； ； ． 故选：C. 8．某商场有4种礼品，每次随机抽取一种（有放回），共抽4次． 记为被抽到次数最多的礼品的抽中次数（若并列，则取该次数），则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】确定随机变量的取值，分别计算每个取值的概率，再根据期望公式求解即可. 【详解】被抽到次数最多的礼品的抽中次数的可能取值为1，2，3，4. ：4次抽取中每个礼品都恰好被抽到1次，即4个礼品的排列， 故. ：有1个礼品被抽到3次，另1个礼品被抽到1次，故. ：4次都抽到同1个礼品，故. 所以. 故. 故选：A. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结果正确的是（    ） 0 1 0.6 A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据期望和方差公式求解即可. 【详解】由分布列的性质得，所以. 则离散型随机变量X的数学期望为，故A正确； 而，故B正确； 而方差为，故C正确； 可得，故D错误. 故选：ABC. 10．对于随机事件，，若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】选项A：因为，，所以,A错； 选项B：因为，，所以，B对； 选项C：因为，， 所以，C对； 选项D：因为，， 所以，D对. 故选：BCD. 11．一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球4个，白球1个，黑球3个，则下列选项正确的有（    ） A．从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望 B．每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的黑球次数为，则数学期望 C．从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有X种，则数学期望 D．每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的黑球的个数为Y，则数学期望 【答案】ACD 【分析】对于A，的可能值：0，1，2，3，求出每一个取值的概率后，再求出数学期望，可判断A； 对于B，根据二项分布的数学期望公式可判断B； 对于C，X的可能值：1，2，3，求出每一个取值的概率后，再求出数学期望，可判断C； 对于D，Y的可能值：0，1，2，3，求出每一个取值的概率后，再求出数学期望，可判断D. 【详解】对于A，的可能值：0，1，2，3， ，， ，， 则，故A正确； 对于B，的可能值：0，1，2，3，取球一次取到黑球的概率为，因取球一次有取到黑球和没取到黑球两个结果，因此，，，故B错误； 对于C，X的可能值：1，2，3， ，，， 则，故C正确； 对于D，Y的可能值：0，1，2，3， 因为对应的事件为：红或白红，所以， 因为对应的事件为：黑红或黑白红或白黑红，所以， 因为对应的事件为：黑黑红或黑黑白红或白黑黑红或黑白黑红， 所以， 所以， 则，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12．若随机变量，且，则__________. 【答案】 【分析】根据二项分布求方差和期望的公式列方程解 【详解】因为，所以，解得或， 因为，所以，所以. 故答案为： 13．在5道试题中有3道填空题和2道选择题，不放回地依次随机抽取2道题，在第1次抽到填空题的条件下，第2次抽到选择题的概率为__________，第1次抽到填空题且第2次抽到选择题的概率为_________. 【答案】 【分析】记事件表示“第1次抽到选择题”，事件表示“第2次抽到选择题”，分别求出，，根据条件概率公式即可求出结果. 【详解】记事件表示“第1次抽到填空题”，事件表示“第2次抽到选择题”， 则，， 所以在第1次抽到填空题的条件下，第2次抽到选择题的概率， 第1次抽到填空题且第2次抽到选择题的概率为. 故答案为：； 14．口袋中有个黑球、个白球，个红球，从中任取个球，每取到一个黑球记分，每取到一个白球记分，每取到一个红球记分，用表示得分数，则________，________. 【答案】 【分析】“”表示取出的球为“黑红”或“白”，利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得的值；写出随机变量的分布列，可求得的值. 【详解】解：“”表示取出的球为“黑红”或“白”，所以，； 由题意可知，随机变量的可能取值有、、、、， 则，，， ，. 所以，随机变量的分布列如下表所示： 因此，. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15（13分）．一个袋中装有6个同样大小的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现从袋中随机取出3个小球，用X表示取出的3个小球中最大编号和最小编号的差． (1)求； (2)求随机变量X的分布列和数学期望． 【分析】（1）根据题意，由概率公式代入计算，即可求解； （2）有题意可得，X的取值分别为2，3，4，5，分别求得其对应概率，再由期望的公式代入计算，即可得到结果； 【详解】（1）当时，这3个球的编号分别有两个为1和6，另一个为2或3或4或5， 可得； （2）随机变量X的取值分别为2，3，4，5， 有；；；。 随机变量X的分布列为： X 2 3 4 5 P 则． 16（15分）．甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球. (1)随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率； (2)已知（1）中摸出的球是黑球，求此球属于乙箱子的概率. 【分析】（1）设出事件，运用全概率公式求解即可. （2）利用条件概率公式求解即可. 【详解】（1）记取到甲盒子为事件，取到乙盒子为事件，取到丙盒子为事件，取到黑球为事件B： 由全概率公式得， 故摸出的球是黑球的概率是. （2）由条件概率公式得， 故此球属于乙箱子的概率是。 17（15分）．某厂生产的某种零件的尺寸大致服从正态分布，且规定尺寸为次品，其余的为正品.生产线上的打包机自动把每5件零件打包成1箱，然后进入销售环节，若每销售一件正品可获利50元，每销售一件次品亏损100元.现从生产线生产的零件中抽样20箱做质量分析，作出的频率分布直方图如下：      (1)估计生产线生产的零件的平均尺寸； (2)从生产线上随机取一箱零件，求这箱零件销售后的期望利润. 【分析】（1）由频率分布直方图计算平均数即可求解； （2）次品的尺寸范围可得生产线生产的产品次品率，设生产线上的一箱零件（5件）中的正品数为，由可得期望，从而得到销售生产线上的一箱零件获利. 【详解】（1）生产线生产的产品平均尺寸为： ； （2）次品的尺寸范围，即， 即，故生产线生产的产品次品率为：， 设生产线上的一箱零件（5件）中的正品数为，正品率为， 故 设销售生产线上的一箱零件获利为元， 则（元）， 所以这箱零件销售后的期望利润为100元. 18（17分）．某业余俱乐部由10名乒乓球队员和5名羽毛球队员组成，其中乒乓球队员中有4名女队员；羽毛球队员中有2名女队员，现采用分层抽样方法（按乒乓球队和羽毛球队分层，在每一层内采用简单随机抽样）从这15人中共抽取3名队员参加一项比赛． (1)求所抽取的3名队员中乒乓球队员、羽毛球队员的人数； (2)求从乒乓球队抽取的队员中至少有1名女队员的概率； (3)记为抽取的3名队员中男队员人数，求的分布列及数学期望． 【分析】（1）根据分层抽样的定义按照比例抽取即可． （2）设“从乒乓球队抽取的队员中至少有1名女队员”为事件A，利用超几何分布求得概率 （3）写出随机变量的所有情况，根据超几何分布写出各自概率求得分布列期望． 【详解】（1）抽取乒乓球队员的人数为人；羽毛球队员的人数为人． （2）设“从乒乓球队抽取的队员中至少有1名女队员”为事件A， 方法1：则， 方法2： . 所以从乒乓球队抽取的队员中至少有1名女队员的概率为． （3）随机变量所有可能取值， 又，， ，． 则的分布列为： 0 1 2 3 P ∴． 19（17分）．某学校开展“趣味问答”活动，试题按照难度分两大类，学生们答对类试题的概率为，答对类试题的概率为，若回答的是类试题，则下一次回答类试题，若回答的是类试题，则下一次等可能地回答类或类试题，如此循环，答对一道试题即为通过活动，每名学生首先回答类试题． (1)若同学甲有三次答题机会，求同学甲通过活动的概率； (2)若某班有16名同学参加本次活动，每名学生有四次答题机会，表示通过活动的人数，求的值； (3)若同学乙不限答题次数，求同学乙最终通过答对类试题通过活动的概率． 【分析】（1）根据同学答对第一、第二、第三道题通过活动分类讨论即可； （2）求出每个同学通过活动的概率，再根据二项分布即可求解； （3）设表示回答类试题开始，最终回答类试题通过活动的概率，表示回答类试题开始，最终回答类试题通过活动的概率，再根据与的关系列方程组求解即可． 【详解】（1）若同学甲答对第一题通过活动，则概率为， 若同学甲答对第二题通过活动，则概率为， 若同学甲答对第三题通过活动，则概率为， 所以同学甲通过活动的概率为． （2）设每名学生通过活动的概率为， 则， 所以，分析可得，所以． （3）设表示回答类试题开始，最终回答类试题通过活动的概率， 表示回答类试题开始，最终回答类试题通过活动的概率，所以， ， 所以计算可得， 所以同学乙最终通过答对类试题通过活动的概率为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章随机变量及其分布列章末综合检测卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．在一个装有大小、形状都一样的3个白球，2个黑球和1个红球的箱子内，无放回地摸球，每次摸一个，在已知第一次摸到白球的条件下，第二次仍摸到白球的概率是（    ） A． B． C． D． 2．在16辆公共自行车中有6辆损坏，现从中任意选10辆，用表示这10辆公共自行车中损坏的辆数，下列概率中等于的是（   ） A． B． C． D． 3．设随机变量服从正态分布 ，若 ，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.9 4．已知随机变量服从两点分布，且，则（   ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 5．已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则（    ） A． B． C． D． 6．从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为，已知，则（    ） A． B． C．1 D． 7．某模型在验证集中有4个样本:1个“正确分类”，1个“错误分类”，2个“不确定样本”， 系统随机打乱顺序后不放回地逐个测试，直到遇到第一个正确分类样本时停止，设在此过程中测试到的 “不确定样本” 个数为，则（    ） A． B．1.5 C．1 D．2 8．某商场有4种礼品，每次随机抽取一种（有放回），共抽4次． 记为被抽到次数最多的礼品的抽中次数（若并列，则取该次数），则（    ） A． B． C．2 D．3 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结果正确的是（    ） 0 1 0.6 A． B． C． D． 10．对于随机事件，，若，，，则（　　） A． B． C． D． 11．一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球4个，白球1个，黑球3个，则下列选项正确的有（    ） A．从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望 B．每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的黑球次数为，则数学期望 C．从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有X种，则数学期望 D．每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的黑球的个数为Y，则数学期望 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12．若随机变量，且，则__________. 13．在5道试题中有3道填空题和2道选择题，不放回地依次随机抽取2道题，在第1次抽到填空题的条件下，第2次抽到选择题的概率为__________，第1次抽到填空题且第2次抽到选择题的概率为_________. 14．口袋中有个黑球、个白球，个红球，从中任取个球，每取到一个黑球记分，每取到一个白球记分，每取到一个红球记分，用表示得分数，则________，________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15（13分）．一个袋中装有6个同样大小的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现从袋中随机取出3个小球，用X表示取出的3个小球中最大编号和最小编号的差． (1)求； (2)求随机变量X的分布列和数学期望． 16（15分）．甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球. (1)随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率； (2)已知（1）中摸出的球是黑球，求此球属于乙箱子的概率. 17（15分）．某厂生产的某种零件的尺寸大致服从正态分布，且规定尺寸为次品，其余的为正品.生产线上的打包机自动把每5件零件打包成1箱，然后进入销售环节，若每销售一件正品可获利50元，每销售一件次品亏损100元.现从生产线生产的零件中抽样20箱做质量分析，作出的频率分布直方图如下：      (1)估计生产线生产的零件的平均尺寸； (2)从生产线上随机取一箱零件，求这箱零件销售后的期望利润. 18（17分）．某业余俱乐部由10名乒乓球队员和5名羽毛球队员组成，其中乒乓球队员中有4名女队员；羽毛球队员中有2名女队员，现采用分层抽样方法（按乒乓球队和羽毛球队分层，在每一层内采用简单随机抽样）从这15人中共抽取3名队员参加一项比赛． (1)求所抽取的3名队员中乒乓球队员、羽毛球队员的人数； (2)求从乒乓球队抽取的队员中至少有1名女队员的概率； (3)记为抽取的3名队员中男队员人数，求的分布列及数学期望． 19（17分）．某学校开展“趣味问答”活动，试题按照难度分两大类，学生们答对类试题的概率为，答对类试题的概率为，若回答的是类试题，则下一次回答类试题，若回答的是类试题，则下一次等可能地回答类或类试题，如此循环，答对一道试题即为通过活动，每名学生首先回答类试题． (1)若同学甲有三次答题机会，求同学甲通过活动的概率； (2)若某班有16名同学参加本次活动，每名学生有四次答题机会，表示通过活动的人数，求的值； (3)若同学乙不限答题次数，求同学乙最终通过答对类试题通过活动的概率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $