第七章 单元1 条件概率与全概率公式、离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的数字特征 A卷-【金试卷】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册&选择性必修第三册同步单元双测卷（人教A版）

第七章随机变量及其分布 单元1条件概率与全概率公式、离散型随机 变量及其分布列、离散型随机变量的数字特征 A卷基础达标 测试建议用时：80分钟满分：100分 一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 密 1.已知P(BA)=专，P(A)= ,则P(AB)等于 ( ) 封 点品 c品 n洁 樊 2.抛掷一颗质地均匀的骰子，样本空间2={1,2,3,4,5,6}，若事件 A={2,3,4},B={1,2,4,5,6},则P(AB)= ( A号 B名 c D 3.两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废 架 内 品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第 二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为 不 ( A.0.21 B.0.06 C.0.94 D.0.95 准 4.如图，图中展现给我们的是唐代著名诗人杜牧写的《清明》，这首 設 诗不仅意境极好，还准确地描述出了清明时节的天气状况，那就 是“雨纷纷”，即天气多阴雨.某地区气象监测资料表明，清明节当 答 天下雨的概率是0.9，连续两天下雨的概率是0.63，若该地区某 年清明节当天下雨，则随后一天也下雨的概率是 茶 题 A.0.63 B.0.7 C.0.9 D.0.567 5.设随机变量X的分布列为 丝 X 0 1 2 3 4 部 P 0.2 0.1 0.1 0.3 2 若随机变量Y=X一2，则P(Y=2)等于 A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 6.已知随机变量X的分布列如下表所示： 0 1 2 P 6 e b 2 则当D(X)取最大值时，a的值为 A R c D.16 二、多项选择题（本题共3小题，每小题5分，共15分.在每小题给 出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的 得2分，有选错的得0分) 7.下列说法不正确的是 A.P(BA)<P(AB) RP(BA)-是可能的 C.0<P(B|A)<1 D.P(AA)=0 8.已知事件A,B满足P(A)=2P(BA)=,P(BA)=子，则 () A.P(AB)- B.P(BA)- CP(B-号 D.P(B) 9.已知m,n均为正数，随机变量X的分布列如表： X 0 2 P 心 n m 则下列结论一定成立的是 A.P(X=1)<P(X≠1) B.E(X)=1 Cm≤名 D.D(X+1)<1 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 10.在某次考试中需回答3个问题，考试规定：每题回答正确得100 分，回答不正确得一100分，则某同学回答这3个问题的总得分 X的所有可能取值为 11.一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品 为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随 机变量，则P(号<X<) 12.若X是离散型随机变量，P(X=x)=号，P(X=x,)=},且z <,已知E(X)=青D(X)=号，则十=· 四、解答题（本题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤) 13.(10分)某校从学生文艺部6名成员(4男2女)中挑选2人参加 学校举办的文艺汇演活动. (1)求男生甲被选中的概率； (2)在已知男生甲被选中的条件下，求女生乙被选中的概率； (3)在要求被选中的2人必须为1名男生和1名女生的条件下， 求女生乙被选中的概率， 选择性必修第三册25 14.(10分)某地区位于甲、乙两条河流的交汇处，夏季多雨，根据统 计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流 发生洪水的概率为0.2（假设甲、乙两条河流发生洪水与否互不 影响)，今年夏季该地区某工地有许多大型设备，为保护设备，有 以下三种方案： 方案一：不采取措施，当一条河流发生洪水时，设备将受损，损失 30000元.当两条河流同时发生洪水时，设备将受损，损失 60000元.方案二：修建保护围墙，建设费用为4000元，但围墙 只能抵御一条河流发生的洪水，当两条河流同时发生洪水时，设 备将受损，损失60000元. 方案三：修建保护大坝，建设费用为9000元，能够抵御两条河 流同时发生的洪水， (1)求今年甲、乙两条河流至少有一条发生洪水的概率； (2)从损失费用的角度考虑，试比较哪一种方案更好，说明理由. 26选择性必修第三册 15.(10分)设S是不等式x2一x一6≤0的解集，整数m,n∈S. (1)设A=“使得m十n=0成立的有序数组(m,n)”,试列举事件 A包含的样本点； (2)设X=m,求X的分布列. 16.(10分)在某次数学考试中，共有四道填空题，每道题5分，已知 某同学在此次考试中，对于前两道题，每道题答对的概率均为 名，答错的概率均为日，对于第三道题，答对和答错的概率均为 }:对于最后一道题，答对的概率为}，答错的概率为子， (1)求该同学在本次考试中填空题部分得分不低于15的概率； (2)设该同学在本次考试中，填空题部分的总得分为X,求Y的 分布列.20.解(1)先排女生，有A4种方法，再在女生之间及首尾共5个空位中任选3个空位 安排男生，有A种方法，故不同的排列方法总数为A4A=1440. 6.D由离教型随机支量分南列的性质可知a十b十合-1，即a=1-党 2 (2)先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，故不同的排列方法总数为 5A8=3600. 0S1-1 由{0≤b≤1， (3)设有男生x人(x∈N“且2≤x≤5)，则女生有(7一x)人，从这7人中选出男生2 得0<≤号 人，女生2人的方法有C2C号x种，要求每人参加一项且每项活动都有人参加，有 CA种选法. 根据分步乘法计数原理得C2C号CA=648, E(X)=0Xa+1X6+2x号-=26，D(X)=(0-26)2·a+1-2b2.b+(2-2b)2, 所以x(x一1)(7一x)(6一x)=72,解得x=3或x=4,所以该组学生中男生3人，女 7 生4人或男生4人.女生3人. 合-+3动，又因为0<<号，所以当6=号时，D(X)取得最大值，此时a= 21.解(1)x10-3=[(x-1)+1]10-3=Q(x)(x-1)2+ax+b, 故选D. ∴.C9o(x-1)10+C0(x-1)9+…+Co(x-1)2+C10(x-1)+C8-3 =Q(x)(x-1)2+ax+b, 7?.ACD由条件概奉公式PCBA-裙及0<PCA1,知PBA≥P(AB,故A ∴.[C90(x-1)8+C1o(x-1)7+…+C](x-1)2+10x-12 天当事件A包含事件B时，有P(AB)=P(B),此时PBlA)=P,故B正 =Q(x)(x-1)2+ax+B. 由于0≤P(B|A)≤1，P(A|A)=1,故C,D错误.故选ACD .10x-12=ax+B.∴.a=10,b=-12. (2).ax+b=28,即10x-12=28,.x=4. 8.ACD对于A,P(AB)=P(A)·P(BA)=日，故A正确； .x10-3=410-3=(3+1)10-3 =C90X310+C0X39+…+C0×3+C8-3 对于B,P(BA=1-P(BA)=是，故B错误： =34×(C90×36+C10×35+…+C)+40×34+5×34+28 =81(C10×36+C10×35+…+Ci0+45)+28, 对于C,P(BA=1-P(B到A=3,故C正确； .所求的余数为28. 22.解(1)根据题意得C十C=7,即m十n=7,① 对于D,PA=1-PA)=2,则P(B)=PA)P(B1A)+P(A)P(BA=合× f(x)中的x2的系数为C%+C2=mm-1D+n(n1D-m22一m-n 2 2 2 十2×号-7，故D正确，故选ACD 将0走移为n=7-m代入上式得子的系笑为m-加十21=(m召》广+要。 9.BCD根据X的概率分布列可得，2m十n=1,且m>0,n>0,P(X=1)=n,P(X≠ 1)=P(X=0)十P(X=2)=2m,由于m与n的大小关系不清楚，故选项A无法 故当m=3或m=4时，x2的系数有最小值. 判断； 当m=3,n=4时，x3的系数为C十C=5; E(X)=0Xm+1Xn十2×m=2m十n=1,故选项B正确； 当m=4,n=3时，x3的系数为C十C3=5. (2)f(0.003)=(1+0.003)4+(1+0.003)3≈C9+C×0.003+C9+CX0.003≈ 1=2m+m≥2V2m,mn≤日故选项C正确； 2.02. 根据方差的性质可知D(X+1)=D(X),又D(X)=(0一1)2×m十(1一1)2Xn+(2 (3)由题意可得，a=C=70, -1)2×m=2m<1,.选项D正确.故选BCD. 根据C·2≥C1·241, 10.解析若答对0个问题，则总得分为一300；若答对1个问题，则总得分为一100；若 C281释 答对2个问题，则总得分为100；若问题全答对，则总得分为300. 故X的所有可能取值为一300，一100,100,300. 又k∈N,所以k=5或k=6,此时，b=7X28, 答案-300，-100,100,300 所以6=128 5 1山解析资二级品有6个，剥一级品有2张个，三氨品有空个，总数为受个， 第七章随机变量及其分布 X的分布列为 单元1条件概率与全概率公式、离散型随机变量 1 2 及其分布列、离散型随机变量的数字特征 A卷基础达标 P(号≤X≤号）=P(X=1D= 1.CPAB)=PBA)·PA)=子×号-品故选C 答案号 2 2.B由题意得，A门B=(2,4,则P(AB)=PAB)=§=名.故选B. 号+=， 2 P(B)55 6 12.解析国为E(X0=专，D(X)=号，所以 3.D令B=“取到的零件为合格品”，A:=“零件为第i台机床的产品”，i=1,2,则2= A1UA2,且A1,A2互斥，由全概率公式，得 5 P(B)=PA)P(BlA)+PA,)P(BlA,)=号×0.96+号×0.93=0.95.故选D 解得11或 x1=3 x2=2 2 又x1<x2,所以x1=1,x2=2,所以x1十x2=3. 4.B记清明节当天下雨为事件A,清明节随后一天下雨为事件B,由题意知P(A)= x2=3' 09,PAB)-063则P(BA-0-0,7.该B 答案3 5.A由0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,得m=0.3. 13.解1)由题意可得，男生甲被选中的概率P=C=1 Cg3· 所以P(Y=2)=P(X=4)=0.3.故选A (2)记“男生甲被选中”为事件M,“女生乙被选中”为事件N. 1 a可得，PW=号PMN)-=吉故PNW--亨-专 P(M01 5 3)2迷中的2人方1名男生和1名女生为事价S,则P(S)-誉-是，P(SN) C C15,故P(NS)=PSN=1 C44 P(S)2· 14.解(1)由题意，甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.2，则 甲、乙两条河流均不发生洪水的概率为(1一0.25)×(1一0.2)=0.6，所以今年甲、 乙两条河流至少有一条发生洪水的概率为1一0.6=0.4. (2)方案一：设损失费用为X元. X的可能取值为30000,60000,0. P(X=30000)=0.25×(1-0.2)+(1-0.25)×0.2=0.35,P(X=60000)=0.25 ×0.2=0.05,P(X=0)=(1-0.25)×(1-0.2)=0.6,所以E(X)=30000×0.35 +60000×0.05+0x0.6=13500. 方案二：修建保护围墙，建设费用为4000元，但围墙只能抵御一条河流发生的洪 水，当两条河流同时发生洪水时，设备将受损，损失60000元，两条河流都发生洪水 的概率为0.25×0.2=0.05，所以损失费用的期望为4000十60000×0.05十0×0. 95=7000元 方案三：修建保护大坝，建设费用为9000元，设备不会受损，所以损失费用的期望 为9000元. 因为方案二中损失费用的期望最小，所以从损失费用的角度考虑，方案二更好 15.解(1)由x2一x一6≤0，得一2x≤3，即S={x|一2x≤3}. 由于m,n∈Z,m,n∈S且m十n=0,所以事件A包含的样本，点为 (-2,2),(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0) (2)由于m的所有不同取值为-一2，一1,0,1,2,3，所以X=2的所有不同取值为0， 1,4,9,且有 P(X=0)=合，PX=D=音=3，PX=0=名=3，PX=9)= 6 故X的分布列为 X 0149 P 111 1 6 3 3 6 16.解（1)设该同学在本次考试中境空题帝分得分不低于15”为事件A,则P)-(侣） ×号+x×号×号号+（）×号×+（）×号×号 (2)易知X的取值可能为0,510,15,20，则P(X=0)=(传）×号×号-3 P(X=5) (信)》××号+（）××+c4×日×××号-品P 则X的分布列为 0 5 10 15 20 1 P 23 3 85 25 108 216 216216 B卷能力提升 1.B P(BIA)=P(AB) PADC十C=,故选B 2BP-cC-号，PrAB)得-0由条件概率定义，得PBA-0 1 C P(A) =子故选B 参考答案75