精品解析：天津市津衡高级中学2025-2026学年高二年级下学期5月期中考试数学试题

天津津衡中学25-26第二学期数学学科期中考试 考试时间：120分钟 分值：150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．其中第Ⅰ卷共45分，第Ⅱ卷共105分，满分共150分． 一、单选题（每小题5分，共45分） 1. 一个集合有5个元素，这个集合的含有3个元素的子集有（ ）个 A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 2. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列首项为2，且满足，数列满足，且数列前项和为，则（ ） A. 5050 B. 200 C. 100 D. 7. 从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中不放回地抽取两次，每次抽取1张，则在第一次抽到的卡片所标数字为奇数的条件下，第二次抽到的卡片所标数字仍为奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的右焦点为F，焦距为2c，过F的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点A，FA的延长线与直线交于点B，的面积为，O为原点，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 若定义在上的函数，，，，可以作为一个三角形的三条边长，则称是上的“三角形函数”．已知函数是定义在区间上的“三角形函数”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共30分） 10. 如图，直线是曲线在点（5，6）处的切线，则________ 11. 从，等5名学生中随机选3名参加数学、物理、化学三项竞赛，被选中的同学每人仅参加三项竞赛中的一项，且每项竞赛均有人参加，则和至多有一名入选的方法有______种．（请用数字作答） 12. 若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则_______；展开式中的系数是_______． 13. 已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件B，则________． 14. 大学生甲去某企业应聘，需要进行英语和专业技能两个项目的考核，先进行英语考核．每个项目有一次补考机会，补考不合格者被淘汰，不能进入下一个项目的考核．若每个学生英语考核合格和补考合格的概率都是，专业技能考核合格和补考合格的概率都是，每一次考试是否合格互不影响．则大学生甲不被淘汰的概率是____________；若大学生甲不放弃每次考试的机会，表示他参加补考的次数，则的数学期望是____________． 15. 已知恒成立，则正数的取值范围为______． 三、解答题（本题共75分） 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间以及极值； （2）求函数在上的最小值. 17. 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. （1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； （2）请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？ 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为、，上顶点为B，离心率，． （1）求椭圆的标准方程； （2）点D是椭圆C上非顶点的一动点，直线交x轴于点P，直线交直线于点Q，是否是定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由． 19. 已知数列是等差数列，，其前5项和为15；数列是等比数列，且，，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． （3）若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列： ，，，，，，，，，，，…，与之间插入项中的项，该新数列记作数列，求数列的前211项的和． 20. 已知函数的导函数为. （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）若有两个不同的零点，求实数的取值范围； （3）已知，若在定义域内有三个不同的极值点，且满足，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津津衡中学25-26第二学期数学学科期中考试 考试时间：120分钟 分值：150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．其中第Ⅰ卷共45分，第Ⅱ卷共105分，满分共150分． 一、单选题（每小题5分，共45分） 1. 一个集合有5个元素，这个集合的含有3个元素的子集有（ ）个 A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合组合数运算求解即可. 【详解】根据题意可知：集合的含有3个元素的子集有个. 故选：A. 2. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的运算法则可判断A选项；利用基本初等函数的导数公式可判断BC选项；利用复合函数的求导法则可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A对， 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D错. 故选：A. 3. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】明确定义域，求导，求导数小于零的解集，可得答案. 【详解】因为函数的定义域为，所以， 令可得，所以的单调递减区间是. 故选：B. 4. 设，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式定理展开，再分别令和即可求解. 【详解】已知， 令，得， 令，得， 所以 ，故B正确. 5. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的性质可得，即可根据二项分布的期望公式求解. 【详解】由以及可得， 由于，故，， 故选：D 6. 已知数列首项为2，且满足，数列满足，且数列前项和为，则（ ） A. 5050 B. 200 C. 100 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由递推关系式可得，据此可得数列为常数列，从而可求数列的通项公式，进而可得答案. 【详解】由可得， 所以， 即数列为常数列，所以，所以， 则， 所以， 所以. 故选：C. 7. 从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中不放回地抽取两次，每次抽取1张，则在第一次抽到的卡片所标数字为奇数的条件下，第二次抽到的卡片所标数字仍为奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件概率计算公式求解即可. 【详解】记“第一次抽到的卡片所标数字为奇数”，“第二次抽到的卡片所标数字为奇数”， 由题意得，， 所以． 故选：C 8. 已知双曲线的右焦点为F，焦距为2c，过F的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点A，FA的延长线与直线交于点B，的面积为，O为原点，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据锐角三角函数定义，结合渐近线的倾斜角、勾股定理、三角形面积公式进行求解即可. 【详解】设直线与横轴的交点为， 根据双曲线的对称性，设双曲线的一条渐近线方程为， 在直角中，设设， 因为， 即，于是， 因为的面积为， 所以， ， 所以由， 所以双曲线的方程为. 9. 若定义在上的函数，，，，可以作为一个三角形的三条边长，则称是上的“三角形函数”．已知函数是定义在区间上的“三角形函数”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，得到函数单调性和最值，由题意得，即，求出答案. 【详解】，令得， 令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，， 又，， 故， 由题意得，即， 解得. 故选：A 二、填空题（每小题5分，共30分） 10. 如图，直线是曲线在点（5，6）处的切线，则________ 【答案】## 【解析】 【分析】利用直线所过点求得直线的斜率，从而求得. 【详解】由图象可知直线过， 所以直线的斜率为， 所以. 故答案为： 11. 从，等5名学生中随机选3名参加数学、物理、化学三项竞赛，被选中的同学每人仅参加三项竞赛中的一项，且每项竞赛均有人参加，则和至多有一名入选的方法有______种．（请用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】分和只有一名入选、和都没入选两种情况讨论，先选人，再排列，最后根据分类加法计数原理计算可得. 【详解】当和只有一名入选时，则入选的方法种； 当和都没入选时，则入选的方法种， 即和至多有一名入选的方法有种． 故答案为：． 12. 若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则_______；展开式中的系数是_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据二项式系数和公式可得，利用赋值法可得，即可利用二项式展开式的通项特征求解. 【详解】因为的二项式系数之和为32，则，解得， 即二项式为， 因为展开式各项系数和为243，令，代入可得，解得， 即二项式为，则该二项式展开式的通项为， 令，解得，则展开式中的系数为. 故答案为：；. 13. 已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件B，则________． 【答案】##0.7 【解析】 【分析】根据题给条件分析具体情况列条件概率和全概率公式计算即可得解. 【详解】记学生先从甲箱中取出的2个球恰有个红球放入乙箱为事件， , 学生先从甲箱中随机取出2个黑球放入乙箱，则此时乙箱中有红黑，此时. 学生先从甲箱中随机取出1个红球1个黑球放入乙箱，则此时乙箱中有红黑，此时， 学生先从甲箱中随机取出2个红球放入乙箱，则此时乙箱中有红黑，此时， 则. 14. 大学生甲去某企业应聘，需要进行英语和专业技能两个项目的考核，先进行英语考核．每个项目有一次补考机会，补考不合格者被淘汰，不能进入下一个项目的考核．若每个学生英语考核合格和补考合格的概率都是，专业技能考核合格和补考合格的概率都是，每一次考试是否合格互不影响．则大学生甲不被淘汰的概率是____________；若大学生甲不放弃每次考试的机会，表示他参加补考的次数，则的数学期望是____________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】首先分别求两个项目合格的概率，再求整体不被淘汰的概率；根据随机变量的意义，求概率，再求期望. 【详解】英语合格概率为，专业技能考核合格的概率为， 所以大学生甲不被淘汰的概率； 由题意可知，， ，, ， 所以. 故答案为：； 15. 已知恒成立，则正数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】将原不等式同构为，即，令，分析单调性可得，令利用导数求出最值得解. 【详解】由，可得． 令，易知在上单调递增， 由，可得， 故，即. 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 所以，即， 故正数的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题（本题共75分） 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间以及极值； （2）求函数在上的最小值. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值 （2）1 【解析】 【分析】(1)先求函数的定义域，然后对函数求导，利用导数的正负，求得函数的单调区间，从而可求得函数的极值; (2)根据第(1)小问的单调性，确定函数在区间上的单调性，从而函数的最小值是，比较和的大小，求得函数的最小值. 【小问1详解】 函数的定义域是. 又，令，得，令，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，无极小值. 【小问2详解】 由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最小值为. 因为，所以， 所以函数在上的最小值为1. 17. 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. （1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； （2）请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？ 【答案】（1）答案见解析 （2）甲面试通过的可能性大 【解析】 【分析】（1）设甲正确完成面试题数为，乙正确完成面试题数为，分别写出随机变量得所有可能取值，求出对应概率，即可求出分布列，再根据期望求期望即可； （2）根据方差公式分别求出方差，即可得出结论. 【小问1详解】 设甲正确完成面试题数为，乙正确完成面试题数为， 则可取，可取， 则， 所以甲正确完成面试题数的分布列为： ， ，， ，， 所以乙正确完成面试题数为的分布列为： ； 【小问2详解】 由（1）得， ， 因为， 所以甲得成绩更稳定， 所以甲面试通过的可能性大. 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为、，上顶点为B，离心率，． （1）求椭圆的标准方程； （2）点D是椭圆C上非顶点的一动点，直线交x轴于点P，直线交直线于点Q，是否是定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由． 【答案】（1） （2）是定值，为12 【解析】 【分析】（1）由椭圆的几何性质进行求解; （2）设直线的方程为，交x轴于点,与椭圆方程联立,求出,再联立两直线与直线,求出,再由数量积求解. 【小问1详解】 因为离心率所以，，， 因为，所以， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 因为，， 因为点D是椭圆C上非顶点的一动点，所以直线的斜率一定存在且不为0，设为k 所以直线的方程为，交x轴于点 , 所以联立得, 因为，所以，所以， 直线的斜率, 直线的方程为, 因为直线的方程为, 联立得, 所以, 所以为定值12. 19. 已知数列是等差数列，，其前5项和为15；数列是等比数列，且，，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． （3）若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列： ，，，，，，，，，，，…，与之间插入项中的项，该新数列记作数列，求数列的前211项的和． 【答案】（1），. （2） （3）21216 【解析】 【分析】（1）根据题意结合等差数列和等比数列的通项公式可求出和的通项公式； （2）由（1）得，分别利用错位相减法和裂项求和计算； （3）根据题意求得的前211项中有中的前203项和中的前8项，再分别求和. 【小问1详解】 由得公差， 又因为， 得， 化简得，解得， 所以. 由，，成等差数列，得 由是等比数列，设代入， 得，消去， 得，化简并解得， . 【小问2详解】 由（1）得， ， 第一部分为， 令， ， 两式相减： ， ， ， 第二部分利用裂项求和： ， 合并：； 【小问3详解】 由题可知新数列中，前有项， 令，得前有项， 令，得前有项， 恰好位于与之间，所以前项中包含的前八项， 剩下的全是中的项，，即的前项， . 20. 已知函数的导函数为. （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）若有两个不同的零点，求实数的取值范围； （3）已知，若在定义域内有三个不同的极值点，且满足，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再代入得出切线斜率，最后点斜式得出切线方程； （2）先求出导函数，再得出导函数正负确定函数单调性及极值数形结合计算求参； （3）先求出导函数，再得出导函数正负确定函数单调性及极值数形结合计算求参. 【小问1详解】 当时， ， 则 ，所以 ， ， 所以的图象在点处的切线方程为，即 ； 【小问2详解】 由题知，， 因为有两个不同的零点， 所以方程有两个不等实根化简可得方程有两个不等实根， 可看成直线与曲线有两个不同的交点， 所以 ， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，有极大值也是最大值为 当时，，且当时，， 要使有两个不同的零点，需 ， 即； 【小问3详解】 由题知，，其定义域为 则， 令，得或， 设，则， 当时，，所以单调递增， 当时，，所以单调递减 又当时，；当时，，且， 所以的大致图象如图所示， 因为在定义域内有三个不同的极值点，，， 所以与有两个不同的交点，所以 不妨设，则， 所以，所以， 所以， 令，则， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以 又， 所以，所以在上单调递增 因为， 所以当时，恒成立， 即当时，恒成立， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $