天津市西青区杨柳青第一中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

2024-2025学年度第二学期高二年级期中考试 数学试卷(2025.04) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷 注意事项：本卷共9小题，每小题5分，共45分. 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求. 1.设随机变量= ( ) A.0.65 B.0.7 C.0.35 D.0.25 2.设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中至多3个红球的概率为( ) 3.在 的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则其展开式中的常数项为( ) A. - 60 B. - 20 C. 20 D. 60 4.随机变量X的分布列如下，且 则( ) x -1 0 1 P a b 5.某班毕业晚会有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单.其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻，这样的节目单有( )种 A. 36 B. 40 C. 32 D. 42 6.多项式 的展开式中含x²项的系数为 ( ) A. - 2 B. - 4 C. 2 D. 4 7.下列命题正确的是 ( ) A. 已知随机变量X~B(), 若 则 B. 若随机变量X满足D(X)=2, 则D(3-X)=1 C. 已知随机变量 若E(2X+1)=9, 则=4 D.已知随机变量 则 8定义在R上的奇函数满足时, 成立，若 则a，b，c的大小关系是( ) A. a>b>c B. c>a>b C. b>a>c D. c>b>a 9.已知函数若函数 有8个不同的零点，则a的取值范围是( ) B. (2 ,8) D. (2 ,3) 第Ⅱ卷 注意事项：本卷共11小题，共105分. 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将正确的答案填写到答题纸上.试题中包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分. 10.已知在 的二项展开式中，所有项的系数和为M，所有项的二项式系数和为N，则M+N= . 11.袋子中有大小相同的3个红球和2个白球.若从袋子中摸出3个球，则恰有一个白球的概率是 ；若每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记“第一次摸到红球”为事件A，“第二次摸到红球”为事件B, 则P(B|A)= . 12. 函数的最小值为 . 13.天津某中学在学校发展目标的引领下，不断推进教育教学工作的高质量发展，学生社团得到迅猛发展.现有高一新生中的五名同学打算参加“地理行知社”“英语ABC”“篮球之家”“生物研启社”四个社团.若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“生物研启社”，则不同的参加方法的种数为 . 14.中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献，瓷器传承着中国文化，有很高的欣赏和收藏价值.现有一批同规格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷器厂生产，其中甲、乙、丙瓷器厂分别生产400件、400件、200件，而且甲、乙、丙瓷器厂的次品率依次为5%，4%，4%.现从这批瓷器中任取一件，取到次品的概率是 . 15. 已知A是曲线.y=eˣ.上的点, B是曲线y= lnx上的点, |AB|≥a恒成立，则实数a的取值范围是 . 三.解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (16) (本小题满分14分) 甲、乙两位篮球运动员进行定点投篮，甲投篮一次命中的概率为 ，乙投篮一次命中的概率为 每人各投4个球，两人投篮是否命中互不影响. (I)求甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率； (II)若规定每投篮一次命中得3分，未命中得-1分，求乙所得分数X的分布列和数学期望. (17) (本小题满分15分) 如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，底面ABCD为直角梯形, BC//AD, CD⊥AD, 其中2BC = AD=4, CD=1, E是PD的中点, O是AD的中点. (Ⅰ) 求证: PO⊥平面ABCD; (II)求平面 PAB 与平面PBC夹角的余弦值; (III) 求点 E到平面 PAB 的距离. (18) (本小题满分15分) 已知等差数列 的公差d≠0，它的前n项和为 ，若 且a₁, a₇, a₃₇成等比数列. (I)求数列的通项公式； (II)中的第2项,第4项,第8项,…,第2"项,按原来的顺序排成一个新数列{bₙ},求{bₙ}的前n项和 . (III) 已知数列 若数列 的前n项和为T，，求证： (19) (本小题满分15分) 已知直线x=2经过椭圆 的右焦点为F，且被椭圆C截得的线段长为 (Ⅰ)求椭圆C的标准方程； (II)椭圆C的下顶点为A，P 是椭圆C上一动点，直线AP 与圆O: 相交于点 M(异于点A)，M关于O的对称点记为N，直线AN与椭圆C相交于点Q (异于点A).设直线 MN，PQ 的斜率分别为k₁， k₂，试探究当k₂≠0时,k₂是否为定值，并说明理由. (20) (本小题满分16分) 设函数 (I) 若曲线在点(1,0)处的切线方程为 求a的值; (II) 当x>1时 恒成立，求实数a的取值范围； (III) 证明: 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$高二下数学期中考试数学答案 1.设随机变量X-N(2,o2),P(0<X<4)=0.3,则P(X<0)=() A0.65 B.0.7 C.0.35 D.0.25 【答案】C 2设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中至多3个红球的概率为() A.CC B. cc+cic c.1-C D.-Ci 【答案】D 【分析】根据题意，摸出的红球个数服从超几何分布，根据超几何分布的概率分布列计算 即可。 【详解】从袋中任取4个球，其中红球的个数X服从参数为N=12,M=8,n=4的超几何分 布， 故至多有3个红球的概率为P(X≤3)=1-P(X=4=1- C 故选：D. 3.3在(2x-二的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，的展开式中的常数项为() x A.-60 B.-20 C.20 D.60 答案D 4,随机变量x的分布列如下，且E(X)=专则(C) A.a= 6 ,D(X)=1 B.a=D(X)=1 C.a=8D(x)=司 D.a=D)= 5.某班毕业晚会有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单其中小品、相声 第1页，共14页 不相邻且相声、跳舞相邻，这样的节目单有()种 A.36 B.40 C.32 D.42 【解题思路】根据题意，结合插空法与捆绑法代入计算，即可 【解答过程】将相声，跳舞看成一个整体，与唱歌，杂技全排列共有A好·A=12种情况， 3个节目有4个空，除去相声旁边的那个空，还剩3个空，小品选其一，有C=3种， 所以共有12×3=36种排法 故选：A 【解避思路】根据分布列的性质结合期望可求得a、b的值，再利用方差公式可求得结果 （a= 【解答过程】由己知可得 E()=-a+b=3.解得 a+b+=1 b=支 所以，Dx)=(（1-)xg+(0-)x+(1-)×号 故选：C 6.多项式x-X1-x的展开式中含x项的系数为(） A.-2 B.-4 C.2 D.4 【答案】D 【分析】利用杨辉三角展开-x,再分析展开式与（任-召相乘的积中亡项即可 得解 【详解】由杨辉三角知1-x)=1-4x+6x2-4x3+x, x-子0-对=c-是0-4x+6-4+)的展开式的2项有 x(4x+3(4r)=4x2, 所以展开式中含x2项的系数为4. 故选：D 7.下列命题正确的是（) A.已知随机变量X-Ba,P),若E(X)=30,D(x)=10,则p=月 B.若随机变量X满足D(X)=2,则D(3-X)=1 C已知随机变量X-8(》 若E(2X+1)=9,则n=4 第2页.共14页 D.已知随机E(X)=30,D(X)=10变量X-46引 则K=》:名 【答案】D 【分析】根据题意，结合二项分布的期望与方差，以及期望与方差的性质，逐项判定，即 可求解 【详解】对于A中，由随机变量X-B(n,P),因为， 可得 9p)=10可得P=子，所以A错误： p=30 对于B中，由变量X满足D(X)=2,可得D(3-X)=(-1)'D(X)=2,所以B错误： 对于C中，由随机变量X-80》可得(X)-: 则E(2X+1)=2E(X)+1=2×5+1=9,解得n=8,所以C错误： 对于D中， 由随机变量X-6》可得==C名，所以D正确 故选：D 8若a=竖b=日c=号则以下不等式正确的是（) A.c>b>a B.a>b>c C.b>axc D.b>c>a 【解题思路】将b=变形为b=g、构达函数)=些xE(0,+四).利用导数研究其单 调性，再结合作差法比较即可 【解答过程】因为a=号b=gc=号 e 1 令f)=坚定义域为0，+).则f(x)=加 当0<x<e时，f(x)>0,当x>e时，f(x)<0. 所以f(x)在(0，e)上单调递增.在(e,+oo)上单调递减， 又因为2<e<3,所以f(2)<f(e).f(e)>f(3). 又f2-f3)=竖-号==。<0.所以2<f3). 6 6 所以f(e)>f(3)>f(2).即b>c>a. 故选：D 第3页.共14页 l3-2x+1,x>0 9.己知函数f(x)= 2x50 .若函数y=f(x)]2-af(x)+2有8个不同的零点， 则a的取值范围是() A.(-22,+o)U(-∞，-22 B.(2v2,8) c.(2别 D.(22,3) 【解题思路】画出函数f(x)的图象并利用函数与方程的思想结合图象可知方程t2-at+2= 0有两个不相等的实数根t1,t2,且t1,t2∈(1,4)，再由二次函数根的分布解不等式可得a的 取值范围。 【解答过程】根据题意对于函数y=3-2x+1,x>0可得y= 4-2x0<x≤ 2x-2x>号 当x≤0时，令g6)=“2x≤0，可得g)=+2 所以-2<x≤0时，g(x)>0,可得g(x)在(-2,0上单调递增， 当x<-2时，g(x)<0,此时g(x)在(-∞，-2)上单调递减： 因此g(x)在x=-2处取得极小值，也是敏小值g(x)mn=g(-2)=0: 画出函数f(x)的图象如下图所示： 令f(x)=t,可得y=[f(x)2-af(x)+2=t2-at+2. 若函数y=[f(x)严-af(x)+2有8个不同的零点，可知方程2-at+2=0有两个不相等 的实数根t1,t2 结合图象可知t1,t2∈(1,4)， 4=a2-8>0 所以需满足 1<<4 ,解得22<a<3 12-a+2>0 42-4a+2>0 故选：D 第4页.共14页 10.10.已知 3x+了) 4 1 的二项展开式中，所有项的系数和为M,所有项的二项式系数和为 N,则M+N= 答案：272 11袋子中有大小相同的3个红球和2个白球若从袋子中摸出3个球，则恰有一个白球的概 率是」 ：若每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记“第一次摸到红 球”为事件A,“第二次摸到红球”为事件B,则P(BA)= 【答案】 ①. 30.6 ②.#0.5 【解析】 【分析】分别利用古典概型的概率和条件概率求解。 【详解】根据题意从3个红球和2个白球任取3个球，由C=10种取法， 其中恰有一个白球的取法有CC=6种，其中怡有一个白球的概率是P 63 105 由题可知，“第一次摸到红球”为事件A,“第二次摸到红球为事件B, 则P列-P()-子-品所双P(利= P(AB 1 P(4A)2 故答案为： 12.函数f(x)=2x-1-2lx的最小值为 【答案】1 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】先确定定义域，再利用导函数∫"(x)确定(x)的单调性，即可求最小值. 【详解】由题意，f(y)的定义域为(0，+)，了()=2-2.2红-2 令()=0，得2-2=0，解得x=1, 当xe(0,1)时，f(x)<0,∫(x)单调递减： 当xe(l,+∞)时，∫'(x)>0,f(x)单调递增： 所以x=1时，函数∫(x)有极小值，此时极小值也是最小值， 第5页，共14页 因此，f(x)=2x-1-2lnx的最小值为f()=1. 故答案为：1. 13北山中学在学校“236发展目标的引领下，不断推进教育教学工作的高质量发展，学生社 团得到迅猛发展.现有高一新生中的五名同学打算参加“地理行知社英语ABC“篮球之 家“生物研启社”四个社团.若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团 且只能参加一个社团，且同学甲不参加生物研启社”，则不同的参加方法的种数为() A.72 B.108 C.180 D.216 【解愿思路】 根据甲参加的社团分类，分甲参加的社团只有1人和参加的社团有2人，由分步和分类计数 原理可得。 【解答过程】根据题意分析可得，必有2人参加同一社团. 首先分析甲，甲不参加生物研启社”，则有3种情况， 再分析其他4人，若甲与另外1人参加同一个社团，则有A=24(种)情况： 若甲是单独1个人参加一个社团，则有C经·A好=36（种）情况： 则除甲外的4人有24+36=60（种）参加方法. 故不同的参加方法的种数为60×3=180 故选：C 14.中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献，瓷器传承着中国文 化，有很高的欣赏和收藏价值.现有一批同规格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷器厂生产，其 中甲、乙、丙瓷器厂分别生产400件、400件、200件，而且甲、乙、丙瓷器厂的次品率依 次为5%，4%，4%.现从这批瓷器中任取一件，取到次品的概率是 【解析】 【分析】设任取一件产品来自甲厂为事件A、来自乙厂为事件A、来自丙厂为事件A,根 据题意求出各自的概率，然后利用全概率公式可求出从中任取一件，取到次品的概率，利用 条件概率公式可求出取得零件是次品，则它是来自甲厂生产的概率. 【详解】设任取一件产品来自甲厂为事件A、来自乙厂为事件A、来自丙厂为事件A,则 彼此互斥，且AUA,UA=2, 第6页，共14页 400 2 PA)= 400 P(A)= 400+400+2005 400+400+2005 200 1 P(A) 400+400+2005' 设任取一件产品，取到的是次品为事件B, P(B)=P(A,B)+P(A,B)+P(A B) =P(A)P(BA)+P(A)P(B A.)+P(A)P(BA) 2×5%+2×4%+x4%= 2 1 5311 5 5 000250 15.己知A是曲线y=c上的点，B是曲线y=lnx上的点，AB2a恒成立，则实数a的取 值范围是 【答案】（∞，V2] 【分析】要AB≥a恒成立即求AB的皱小值，因为曲线y=c与曲线y=nx互为反函数， 关于直线y=x对称，故AB的最小值为曲线y=©上的点到于直线y=x的距离的两倍，利 用导数的儿何意义求出即可. 【详解】要AB≥a恒成立即求AB的最小值， 因为曲线y=c与曲线y=lnx互为反函数， 所以图像关于直线y=x对称， 又A是曲线y=c上的点，B是曲线y=hx上的点， 所以AB刷的最小值为曲线y=©上的点到于直线y=x的距离的两倍， 由y=e→y'=e, 设与直线y=x的平行且在y=c上的切点为：（xo,e6): 则yh=e=1,即x。=0. 所以曲线y=c上切点为(0，)， 所以A到直线y=x的距离的最小值即为点(0，)到直线y=x的距离的最小值， 第7页，共14页 即d= 0--2 V+(-) 2 所以AB。=V反，所以2≥a。 即实数a的取值范用是：（-，√2] 故答案为： （] 16.甲，乙两位篮球运动员进行定点投篮，甲投篮一次命中的概率为；，乙投篮一次命中的概 率为每人各投4个球，两人投篮是香命中互不影响 (1)求甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率： (2)若规定每投篮一次命中得3分，未命中得-1分，求乙所得分数X的分布列和数学期望. 【答米1山 2分布列见解析，期望为20 【分析】(1)求出甲至多命中1个球的概率，乙至少命中1个球的概率，再利用相互独立 事件的概率公式计算得解， (2)求出乙所得分数X的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望 【详解】(1)设“甲至多命中1个球”为事件A,“乙至少命中1个球"为事件B, 依题盒，=今+c-名Pr=1-0--9 81 58025 所以甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率为P(4B)=P()P(B)= 6x8181 (2)乙所得分数X的可能取值-4,0,4,8,12， 33 8 X的分布列为： -4 0 8 12 1 8 3 16 81 81 2 1 81 第8页，共14页 数学期望E(X)=-4×+0×8 +4x8 8 8x2+12x 16_20 81 81 27 81 8131 I7.如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角 三角形，底面ABCD为直角梯形，BC/∥AD,CD⊥AD,其中2BC=AD=4,CD=1,E是 PD的中点，O是AD的中点 ()求证：P0⊥平而ABCD: (2)求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值： (3)求点E到平面PAB的距离， 0 17.【答案】解：(1)证明：由于△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形， O是AD的中点，故OP⊥AD, 由于平而PAD⊥平而ABCD,平面PADn平面ABCD=AD,OPc平而PAD, 故OP⊥平面ABCD: (2连结OB,由于O是AD的中点，且2CB=AD=4,故CB=OD, 由于BC/∥AD,CD⊥AD,故四边形OBCD为矩形， 所以OB⊥AD,故有OB、OD、OP两两垂直， 以O为坐标原点，OB、OD、OP所在直线分别为x轴，y轴，：轴，建立如图所示的空间直 坐标系O5, 第9页.共14页 则00,0,0，A0,-2,0,B(1,0,0小，C(1,2,0小，D10,2,0小，P0,0,2,E0,1,1 设平面PAB的法向量为m=(化，y引，AP=(0,2,2孙，PB=(1,0-2引， 则m丽=2y+2z=0 “(m.PB=x-2z=0 令x=2,则y=-1,2=1 故平面PAB的一个法向量为元=(2，-1,1， 设平面PBC的法向量为元=（化，y,2引，BC=0,2,0,PB=1,0,-2, 则m:C=2y=0 PB=x-2z=0 令x=2,则y=0z=1, 故平面PBC的一个法向量为7=(2,0,1， 设平面PAB与平面PBC的夹角为8， co0=1eose元>1=周调=63= 6 故平面PAB与平面PBC的夹角余弦值为3知 6 (3PE=0,1,-1功，由(2)知，平面PAB的一个法向量为元=(2，-1,1， 所以点E到平面P1B的距离为d::元-号 18.已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为S.,若S,=70,且a,a,a,成等比数 列. (1)求数列{an}的通项公式： (2){a}中的第2项，第4项，第8项，…，第2项，按原来的顺序排成一个新数列{b}, 第10页，共14页