精品解析：辽宁鞍山市立山区2025-2026学年下学期九年级五月份限时作业训练 数学试卷

九年级五月份限时作业训练 数学试卷 温馨提示：请每一位考生把所有的答案都答在答题卡上，答案要求见答题卡，否则不给分． （本试卷共23小题满分120分考试时长120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 负数的概念最早记载于我国古代著作《九章算术》．若零上记作，则零下应记作（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正数和负数，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义． 根据正负数的概念解答即可． 【详解】解：零上记作，则零下应记作， 故选：A． 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式运算中的合并同类项和幂的运算法则，运用对应法则逐一计算即可判断正确选项． 【详解】A选项：根据合并同类项法则，系数相加，字母和指数不变，，∴ A错误，不符合题意； B选项：根据同底数幂乘法法则，底数不变，指数相加，，∴ B错误，不符合题意； C选项：根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，，∴ C错误，不符合题意； D选项：根据积的乘方法则，把积中每个因式分别乘方，再将所得幂相乘，，∴ D正确，符合题意． 3. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 4. 如图是一块雕刻印章的材料，从上面看这个印章，得到的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：从上面看这个印章，得到的俯视图如图所示： 5. 如图所示是番茄果肉细胞结构图，番茄果肉细胞的直径约为0.0006米，将0.0006米用科学记数法表示为（ ） A. 6×10-4米 B. 6×10-3米 C. 6×104米 D. 6×10-5米 【答案】A 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.0006=6×10-4， 故选：A． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 6. 如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的下沿于点O，且经过点B，上沿经过点E，且与相交于点F，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正多边形的内角和公式可求出正五边形的每个内角度数，在四边形中求出即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 正五边形的每个内角度数为：， 在四边形中，， ∵， ∴． 7. 若反比例函数的图象经过点，则一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先求出k的值，结合一次函数的性质即可解答． 【详解】解：将代入得：， 解得：， ∴一次函数为， ∵一次函数比例系数为，常数项为， ∴该一次函数图象经过一、三、四象限， ∴该一次函数图象不经过第二象限． 8. 二次函数的部分对应值如下表所示： x 3 4 y m 0 m 则当时，x的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由表格给出的信息可知，对称轴为直线，利用二次函数的对称性得到当时，或，进而可得二次函数的开口方向以及与x轴的交点坐标，当时，函数图象在x轴下方，据此求出x的取值范围． 【详解】解：由表可知，二次函数的对称轴为直线， 则当时，或， ，在对称轴左侧，y随x的增大而增大， 二次函数的图象开口向下，且与x轴的交点为， 当时，x的取值范围为或， 故选：C． 9. 我国古代数学家梅毅成的《增删算法统宗》中有题如下：一千官军一千布，一官四疋无零数．四军才分布一疋，请问官军多少数．大意：今有1000官兵分1000疋布，1官分4疋．4兵分1疋，请问官兵各几人？若设官x人，兵y人，依题意可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查利用二元一次方程组解决实际问题，关键是依据等量关系列出方程组． 设官x人，兵y人，根据题意列出二元一次方程组即可． 【详解】设官x人，兵y人， 根据题意得，． 故选：A． 10. 对于题目“已知及外一点，如何过点作的切线？”甲、乙两位同学的作法如下： 甲的作法：连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，作直线，，直线，即为所求． 乙的作法：连接并延长，交于两点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，交于点，连接，，作直线，，直线，即为所求． 下列说法正确的是（ ）． A. 乙的作法正确，甲的作法错误． B. 甲和乙的作法都错误． C. 甲的作法正确，乙的作法错误． D. 甲和乙的作法都正确． 【答案】D 【解析】 【分析】要判断甲、乙作法是否正确，证明所作直线是否满足切线判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线．即需证明． 【详解】解：分析甲的作法： 连接、， 由作法知：是的中点，， ，， ， ，即 ， 是半径， 是的切线， 同理可证， 直线，即为切线，因此甲的作法正确； 分析乙的作法 由作法知：，，是的直径， ， ， 又 ，在上， 根据等腰三角形性质可得，即， 是半径， 是的切线， 同理可证 是的切线，因此乙的作法正确． 综上，甲和乙的作法正确． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的两根为，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． 根据根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再代入求值式化简计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为 ∴由根与系数的关系，得 ，． 则 ． 故答案为：2． 12. 《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的面积为2，求出，根据位似比求出，周长即可得出； 【详解】解：连接，则是四边形的外接圆的直径． 正方形的面积为2， ， ， ， ， ∴四边形的外接圆的周长； 故答案为：． 【点睛】本题考查位似图形，涉及知识点：正方形的面积，正方形的对角线，圆的周长，解题关键求出正方形的边长． 13. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，它是由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成的．如图是由“七巧板”组成方形，若在正方形区域内随意取一点则该点取到阴影部分的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率，求出大正方形的面积和阴影部分的面积，再根据几何概率公式求出即可作出选择． 【详解】解：由题意可知，阴影区域是一个正方形， ∵大正方形的边长为， ∴大正方形的对角线长为，面积为， ∴阴影部分的边长为， ∴， ∴P（该点取到阴影部分）． 故答案为：． 14. 如图，在正方形中，连接对角线，若平分，交于点，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】正方形的各边相等，因而求可以转化为求，根据三角形的角平分线的性质定理，就可以求解． 【详解】解：过点作于， 四边形是正方形， ，，， ∴， 平分交于，， ， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， 15. 如图，在矩形中，点在边上，点在边上，点在对角线上，，．若四边形是菱形，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点O，根据菱形的性质得出，推出，，根据勾股定理求出，则，，最后求出的值，即可解答． 【详解】解：连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，则，， ∴在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴，， ∴ ∴． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程或化简求值 （1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：原式， 其中， 将代入上式得：． 17. 为加快公共领域充电基础设施建设，规范居民安全用电行为，某市计划新建一批智能充电桩，经调研，市场上有A型、B型两种充电桩，已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.2万元，用12万元购买A型充电桩与用16万元购买B型充电桩的数量相等. （1）求A型、B型充电桩的单价各是多少？ （2）该市决定购买A型、B型充电桩共300个，且花费不超过200万元，则至少购买A型充电桩多少个? 【答案】（1）型充电桩的单价为0.6万元，型充电桩的单价为0.8万元． （2）至少可购买种充电桩200个． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价为万元，根据“用12万元购买型充电桩与用16万元购买型充电桩的数量相等”列出分式方程，求解即可； （2）设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，根据购买总费用不超过200万元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价万元． 根据题意得： 解得： 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：型充电桩的单价为0.6万元，型充电桩的单价为0.8万元． 【小问2详解】 设购买型充电桩个，则购买型充电桩个， 由题可得：， 解得：， 答：至少可购买种充电桩200个． 18. 综合与实践 【情境】在数学活动课上，周老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动． 【发现】同学们随机收集香柚树、桔子树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长和宽的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 数据 序号 类别 香柚树叶的长宽比 桔子树叶的长宽比 分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 香柚树叶的长宽比 桔子树叶的长宽比 【探究】 （1）上述表格中__________，__________； （2）①小钱同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为香柚树叶的形状差别大．” ②小曹同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现桔子树叶的长约为宽的两倍． ” 上面两位同学的说法中，合理的是__________；（填序号） （3）现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自于香柚树、桔子树中的哪种树？并给出你的理由． 【答案】（1）；；（2）；（3）这片树叶更可能来自桔子树 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可； （2）根据题目给出的数据判断即可； （3）根据树叶的长宽比判断即可． 【详解】解：（1）把片香柚树叶的长宽比从小到大排列， ，，，，，，，，， 排在中间的两个数分别为、， 故； 片桔子树叶的长宽比中出现次数最多的是，故； 故答案为：；； （2）， 香柚树叶的形状差别小，故小钱同学说法不合理； 桔子树叶的长宽比的平均数，中位数是，众数是， 小曹同学说法合理． 故答案为：； （3）这片树叶更可能来自桔子树，理由如下： 这片树叶长，宽，长宽比大约为， 根据平均数这片树叶可能来自桔子树． 【点睛】本题考查了众数，中位数，平均数和方差，看懂统计图表，正确的计算是解决问题的关键． 19. 在古代寓言中有匡衡“凿壁偷光”勤奋学习的故事，现在墙壁上设计一个小洞，如图所示，最低点C距离地面1米，洞口直径厘米．当光照进屋内，有一条长0.35米的光斑，． （1）求的大小及的值； （2）在实际操作时，为使透光面增大一些，将小洞最高点B向上移了10厘米到达F处（即厘米），隔壁灯光光线与墙壁所在直线的夹角（锐角）为，求透光长度比原来增大多少？（，结果保留两位小数） 【答案】（1），米 （2）透光长度比原来增大了0.98米 【解析】 【分析】（1）由题意易得米，然后可得，进而问题可求解； （2）连接并延长交的延长线于点G，由题意易得米，然后根据三角函数可进行求解． 【小问1详解】 解：∵，米， ∴， ∴米， ∴米， ∵厘米米， ∴米， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：将小洞最高点B向上移了10厘米到达F处（即厘米），隔壁灯光光线与墙壁所在直线的夹角（锐角）为，如图，连接并延长交的延长线于点G， ∵厘米米， ∴米， 根据题意得：，， ∴（米）， ∴（米） 答：透光长度比原来增大了0.98米． 20. 如图，已知在四边形中，，均与垂直，，为的直径，点E为上一点，连接交于点F，连接并延长与交于点G，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若当，的半径为，求的面积． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）由为的直径可得，再由得到，即可得，即可求证； （2）由得，进而得，作直径，可得，即可根据求解； 【小问1详解】 证明：∵为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ， ∵的半径为， ， ， ， ， ， 作于点，则， ， ， ． 【点睛】此题考查了直径所对的圆周角是直角，平行线的性质，切线的判定，三角函数，解直角三角形，三角形的面积，正确地作出辅助线是解题的关键． 21. 某连锁超市销售一种进价为元/千克的水果，销售时该水果销售单价不低于进价且不高于元，经过市场调研发现，日销量（千克）与售价（元）满足如图所示的一次函数关系． （1）根据上述信息，直接写出与之间的函数关系式（不需要写出x的范围）； （2）超市要想获得每天元的销售利润，售价应定为多少元？ （3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）售价应定为元． （3）销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，是的一次函数，设函数解析式为，从已知条件可以列出关于，的二元一次方程组，进而求出，； （2）设售价应定为元，根据题意可得，解方程舍去不符合题意的解即可； （3）设最大利润为元．根据题意可得，整理后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知，是的一次函数，设函数解析式为． 因为函数图象经过点，，可得 解得 所以与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：设售价应定为元．根据题意，可得 ． 解得（舍去），． 所以，售价应定为元． 【小问3详解】 解：设最大利润为元．根据题意，可得 ． 变形，得． 因为二次函数的图象开口向下，对称轴为， 所以当时，可以取得最大值，最大值为． 所以销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 22. 探究不同情境，回答下面问题： （1）如图1，在中，P是对角线上一点，连接．求证：四边形是菱形； （2）如图2，在菱形中，是对角线上一点，是菱形外一点，连接交于点G，延长交于点，连接． ①求证：； ②连接，若，求五边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）连接交于点，利用平行四边形对角线互相平分得，结合得，即对角线互相垂直，从而证得菱形； （2）①在上截取，连接，通过证明三角形全等，利用等量代换证得； ②过点作于点，过点作于点，先证 得面积相等，再分别求出相关线段长和三角形面积，最后利用面积割补法求五边形面积． 【小问1详解】 证明：如下图，连接交于点． 四边形是平行四边形， ． ， ，即． 平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 【小问2详解】 ①证明：如图，在上截取，连接． 四边形是菱形， ，． 在和中，， ， ，． ，， ． ， ，即 ． ， ． 在和中，， ， ， ． ， ， ， ， ， ． ②解：过点作于点，过点作于点． 四边形是菱形，，，平分， ，． 在中，， ，． ， 在中，， ． ， 在中，，，， ，， ． 在菱形中， ， ， ， ， ． ， ， ， ． 23. 【延伸阅读】 如图1，点是点关于直线的对称点，分别过点作轴、轴的垂线，垂足为点，连接．可以利用轴对称图形的性质证明，从而由点的坐标可求得点的坐标． 【应用拓展】 （1）直接写出点关于直线的对称点的坐标 ，关于直线的对称点的坐标 ； （2）如图2，求直线关于直线的对称直线的解析式； （3）如图3，已知二次函数的图象记为，关于直线对称的图象记为，求图象与的公共点的坐标； （4）如图4，已知反比例函数的图象记为，关于直线对称的图象的解析式为，当直线与图象有且只有两个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）图象与的公共点的坐标为或或 （4）b的取值范围为或 【解析】 【分析】（1）根据题意可直接写出坐标；和题目用相同方法，即可求出坐标； （2）先求出两直线交点A的坐标，再和（1）同理求出点B对称点坐标，最后用待定系数法即可求出解析式； （3）根据题意可知点关于直线对称的点的坐标为，得出的解析式为，联立与的解析式，得出关于y和x的方程，得出或，再进行分类讨论即可； （4）先求出的交点坐标，即可求出直线经过两交点时b的值；再求出与直线只有一个交点时b的值，结合图象，即可得出b的取值范围． 【小问1详解】 解：根据题意可得： 点关于直线的对称点的坐标， 如图，作轴于点K，过点分别作x轴和y轴的平行线相交于点Q， 把代入得， ∴直线与y轴交点， ∴， ∵点A和关于直线对称， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，令直线和直线相交于点A， 联立得，解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， 过点M作x轴的垂线，垂足为点M，令点B关于直线的对称点为点； 过点A作x轴的平行线，过点作y轴的平行线，相交于点N， ∴， 和（1）同理可得：， ∴， ∴， 设直线解析式为， 将，代入得： ，解得：， ∴直线解析式为， 即直线关于直线的对称直线的解析式为； 【小问3详解】 解：令点在上， 根据题意可知点关于直线对称的点的坐标为， ∴的解析式为， 联立得：， 得：， 整理得： ， ∴或， ①当时，， ∴， 解得：， ∴与的公共点的坐标为或； ②当时，， ∴， 解得：， ∴与的公共点的坐标为 综上：图象与的公共点的坐标为或或 【小问4详解】 解：联立得： ，解得：，， ∴交点坐标为或， 当直线经过点时， ， 解得：， 当直线经过点时， ， 解得：， ①当时，整理得：， 当直线和只有一个交点时：， 解得：或（舍去）， ②时，整理得： ， 当直线和只有一个交点时： ， 解得：或（舍去）， 图象如图所示： 由图可知：当直线与图象有且只有两个公共点时，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级五月份限时作业训练 数学试卷 温馨提示：请每一位考生把所有的答案都答在答题卡上，答案要求见答题卡，否则不给分． （本试卷共23小题满分120分考试时长120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 负数的概念最早记载于我国古代著作《九章算术》．若零上记作，则零下应记作（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一块雕刻印章的材料，从上面看这个印章，得到的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示是番茄果肉细胞结构图，番茄果肉细胞的直径约为0.0006米，将0.0006米用科学记数法表示为（ ） A. 6×10-4米 B. 6×10-3米 C. 6×104米 D. 6×10-5米 6. 如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的下沿于点O，且经过点B，上沿经过点E，且与相交于点F，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若反比例函数的图象经过点，则一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 二次函数的部分对应值如下表所示： x 3 4 y m 0 m 则当时，x的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 我国古代数学家梅毅成的《增删算法统宗》中有题如下：一千官军一千布，一官四疋无零数．四军才分布一疋，请问官军多少数．大意：今有1000官兵分1000疋布，1官分4疋．4兵分1疋，请问官兵各几人？若设官x人，兵y人，依题意可列方程组（ ） A. B. C. D. 10. 对于题目“已知及外一点，如何过点作的切线？”甲、乙两位同学的作法如下： 甲的作法：连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，作直线，，直线，即为所求． 乙的作法：连接并延长，交于两点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，交于点，连接，，作直线，，直线，即为所求． 下列说法正确的是（ ）． A. 乙的作法正确，甲的作法错误． B. 甲和乙的作法都错误． C. 甲的作法正确，乙的作法错误． D. 甲和乙的作法都正确． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的两根为，则的值为________． 12. 《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的周长为______． 13. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，它是由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成的．如图是由“七巧板”组成方形，若在正方形区域内随意取一点则该点取到阴影部分的概率为_________． 14. 如图，在正方形中，连接对角线，若平分，交于点，且，则________． 15. 如图，在矩形中，点在边上，点在边上，点在对角线上，，．若四边形是菱形，则的长是________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程或化简求值 （1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 为加快公共领域充电基础设施建设，规范居民安全用电行为，某市计划新建一批智能充电桩，经调研，市场上有A型、B型两种充电桩，已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.2万元，用12万元购买A型充电桩与用16万元购买B型充电桩的数量相等. （1）求A型、B型充电桩的单价各是多少？ （2）该市决定购买A型、B型充电桩共300个，且花费不超过200万元，则至少购买A型充电桩多少个? 18. 综合与实践 【情境】在数学活动课上，周老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动． 【发现】同学们随机收集香柚树、桔子树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长和宽的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 数据 序号 类别 香柚树叶的长宽比 桔子树叶的长宽比 分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 香柚树叶的长宽比 桔子树叶的长宽比 【探究】 （1）上述表格中__________，__________； （2）①小钱同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为香柚树叶的形状差别大．” ②小曹同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现桔子树叶的长约为宽的两倍． ” 上面两位同学的说法中，合理的是__________；（填序号） （3）现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自于香柚树、桔子树中的哪种树？并给出你的理由． 19. 在古代寓言中有匡衡“凿壁偷光”勤奋学习的故事，现在墙壁上设计一个小洞，如图所示，最低点C距离地面1米，洞口直径厘米．当光照进屋内，有一条长0.35米的光斑，． （1）求的大小及的值； （2）在实际操作时，为使透光面增大一些，将小洞最高点B向上移了10厘米到达F处（即厘米），隔壁灯光光线与墙壁所在直线的夹角（锐角）为，求透光长度比原来增大多少？（，结果保留两位小数） 20. 如图，已知在四边形中，，均与垂直，，为的直径，点E为上一点，连接交于点F，连接并延长与交于点G，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若当，的半径为，求的面积． 21. 某连锁超市销售一种进价为元/千克的水果，销售时该水果销售单价不低于进价且不高于元，经过市场调研发现，日销量（千克）与售价（元）满足如图所示的一次函数关系． （1）根据上述信息，直接写出与之间的函数关系式（不需要写出x的范围）； （2）超市要想获得每天元的销售利润，售价应定为多少元？ （3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 22. 探究不同情境，回答下面问题： （1）如图1，在中，P是对角线上一点，连接．求证：四边形是菱形； （2）如图2，在菱形中，是对角线上一点，是菱形外一点，连接交于点G，延长交于点，连接 ． ①求证：； ②连接，若 ，求五边形的面积． 23. 【延伸阅读】 如图1，点是点关于直线的对称点，分别过点作轴、轴的垂线，垂足为点，连接．可以利用轴对称图形的性质证明，从而由点的坐标可求得点的坐标． 【应用拓展】 （1）直接写出点关于直线的对称点的坐标 ，关于直线的对称点的坐标 ； （2）如图2，求直线关于直线的对称直线的解析式； （3）如图3，已知二次函数的图象记为，关于直线对称的图象记为，求图象与的公共点的坐标； （4）如图4，已知反比例函数的图象记为，关于直线对称的图象的解析式为，当直线与图象有且只有两个公共点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $