精品解析：辽宁省鞍山市立山区2023-2024学年九年级下学期期中数学试题

八年级数学期中质量监测试卷 温馨提示：请每一位考生把所有的答案都答在答题卡上，答案要求见答题卡，否则不给分． （本试卷共23道题满分100分考试时间90分钟） 第一部分 选择题（共20分） 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则下列二次根式一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件是，据此判断各选项即可得到答案． 【详解】解：有意义的条件是，所以不符合题意； 有意义的条件是，所以不符合题意； 有意义的条件是，所以 不符合题意； 有意义的条件是 ，所以 满足条件． 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题关键． 2. 下列各组数分别为一个三角形三边长，其中能构成直角三角形的一组是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】解：A、∵，∴不能组成三角形，故A不符合题意； B、∵，，∴不能构成直角三角形，故B不符合题意； C、∵，∴，∴能构成直角三角形，故C符合题意； D、∵，∴，∴不能构成直角三角形，故D不符合题意； 故选：C． 3. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、＝＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、＝＝2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的判断以及二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解答本题的关键． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，利用二次根式的性质、运算法则逐项进行计算即可判断求解，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、与不是同类二次根式，不能合并，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 故选：． 5. 在平行四边形中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等、邻角互补的性质是解题关键．根据平行四边形对角相等即可求出，进而可求出． 【详解】解：在中有：，， ， ， ， 故选：A 6. 如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是（ ） A. AB∥DC，AB＝CD B. AB∥CD，AD∥BC C. AC＝BD，AC⊥BD D. OA＝OB＝OC＝OD 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法，一一判断即可解决问题． 【详解】解：A、AB∥DC，AB=CD，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误； B、AB∥CD，AD∥BC，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误； C、AC=BD，AC⊥BD，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误； D、OA=OB=OC=OD可以判断四边形ABCD是矩形．正确； 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，记住对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90°的平行四边形是矩形，有三个角是90°的四边形是矩形，属于中考常考题型． 7. 如图，一块四边形，已知，则这块地的面积为（ ）． A. 24 B. 30 C. 48 D. 60 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，难度不大；连接，先根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理证明，即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴这块地的面积为：， 故选：A． 8. 如图，四边形ABCD是萎形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 【答案】A 【解析】 【分析】由菱形的性质可得AD=AB，BO=OD，∠DAO=∠BAO=25°， AC⊥BD，可求∠ABD=65°，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB，BO=OD，∠DAO=∠BAO=25°，AC⊥BD， ∴∠ABD=65°， ∵DH⊥AB，BO=DO， ∴HO=DO， ∴∠DHO=∠BDH=90°－∠ABD=25°． 故选：A． 【点睛】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 9. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴，二次根式的化简； 先根据数轴得出，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点M为梯子的中点，当梯子底端向左水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是（ ） A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 先变小再变大 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解 【详解】∵，点M为梯子的中点， ∴， 当梯子底端向左水平滑动到位置时， ∵，， ∴， ∴滑动过程中不变， 故选：B 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线的特征是解决问题的关键 第二部分 非选择题（共80分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式的性质化简即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为________. 【答案】8-12 【解析】 【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC,再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解. 【详解】∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，∴它们的边长分别为4cm，＝cm，∴AB＝4cm，BC＝（＋4）cm，∴空白面积＝（＋4）×4－12－16＝8＋16－12－16＝（8－12）cm2，故答案为8－12. 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，解本题的要点在于求出AB、BC的长度，从而求出空白部分面积. 13. 如图，、分别是的高，为的中点，，，则的周长是______． 【答案】13 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，先求出，再求的周长． 【详解】解：、分别是的高，为的中点，， 在中，， 在中，， 又， 周长． 【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质；由性质定理求得线段长是解题的关键. 14. 分别是的整数部分和小数部分，则______，______． 【答案】 ①. ； ②. ． 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，利用夹逼法解答即可求解，掌握夹逼法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 15. 如图，在中，，，点在直线上，，过点作交直线于点，连接，点是线段的中点，连接，则的长为______ ． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况当在延长线上和当在上讨论，画出图形，连接，过点作于，利用勾股定理解题即可 【详解】解：当在线段上时，连接，过点作于， 当在线段上时， ， ， ， ， 点是线段的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当在延长线上时，则， 是线段的中点，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共65分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，掌握运算法则是解本题的关键； （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 17. 如图，矩形中，过对角线的中点O作直线，分别交于点E，F，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，矩形的性质，由四边形是矩形，得到，再得出，由是的中点，得到，即可得出，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ， 是中点， ， 又， ． 18. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，利用配方法将原式变形后，把的值代入计算即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解： ． ． ． 19. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，于E），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度． 【答案】秋千绳索长为尺 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．设秋千绳索长为尺，用表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解∶ 设秋千绳索长为尺， 则尺， 在中，，即， 解得：， ∴秋千绳索长为尺． 20. 如图，正方形和正方形有一个公共顶点A，连接．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形性质和判定和正方形的性质的应用，解此题关键是求出，题目比较好，难度也适中．根据正方形性质得出，，，推出，证出即可． 【详解】证明：四边形和四边形是正方形， ， ， 即， ， ． 21. 如图，在菱形中，点M，N分别在边，上，连接，，延长交线段的延长线于点E，，若，求的长． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，全等三角形的性质和判定， 首先根据菱形的性质得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ． 22. 教材明确指出①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．二次根式运算中，要把计算结果化为最简二次根式 （1）化简：______； （2）我们思考“如何化简”的问题．为了使分母之中不含根号，我们想到平方差公式“”，其特点是先平方后作差，既可以把运算为整数，又不产生新的无理数：． 这样的计算过程数学上称之为“分母有理化”． 请你化简： （3）计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、分母有理化、二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键． （1）分子、分母同时乘以，计算即可得答案； （2）利用平方差公式，分子、分母同时乘以，即可得答案； （3）先通过分母有理化化简，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：． 故答案为： 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 ． 23. 【问题初探】 如图1，在平行四边形中，，，为上一点，连接，过点作交直线BD于点E． （1）若为边的中点，求证：； 【类比分析】 （2）如图2，若P为边上任意一点，求证：； 【拓展延伸】 （3）如图3，若点在射线上运动，，，直接写出的长度． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用． （1）连接，可证明是等腰直角三角形，再证明，得； （2）过点作交于点，先证明，得，再证明是等腰三角形即可； （3）分点在射线和的延长线上两种情形，分别画出图形，利用，得出即可． 【小问1详解】 解：连接， 四边形是平行四边形， ， ， , 是等腰直角三角形， 为边的中点， ，， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 证明：过点作交于点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ． 小问3详解】 解：当点在射线上时，如图，作交延长线于， 则是等腰直角三角形，， ， ， ． 由（2）得，， ， ． 当点在射线的延长线上时，作交延长线于， 同理可得： ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学期中质量监测试卷 温馨提示：请每一位考生把所有的答案都答在答题卡上，答案要求见答题卡，否则不给分． （本试卷共23道题满分100分考试时间90分钟） 第一部分 选择题（共20分） 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则下列二次根式一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 3. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平行四边形中，若，则的度数是（ ） A B. C. D. 6. 如图，四边形ABCD对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是（ ） A. AB∥DC，AB＝CD B. AB∥CD，AD∥BC C. AC＝BD，AC⊥BD D. OA＝OB＝OC＝OD 7. 如图，一块四边形，已知，则这块地的面积为（ ）． A. 24 B. 30 C. 48 D. 60 8. 如图，四边形ABCD是萎形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 9. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点M为梯子的中点，当梯子底端向左水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是（ ） A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 先变小再变大 第二部分 非选择题（共80分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 化简：______． 12. 如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为________. 13. 如图，、分别是的高，为的中点，，，则的周长是______． 14. 分别是的整数部分和小数部分，则______，______． 15. 如图，在中，，，点在直线上，，过点作交直线于点，连接，点是线段中点，连接，则的长为______ ． 三、解答题（本题共8小题，共65分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，矩形中，过对角线中点O作直线，分别交于点E，F，求证：． 18. 已知，求代数式的值． 19. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，于E），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度． 20. 如图，正方形和正方形有一个公共顶点A，连接．求证：． 21. 如图，在菱形中，点M，N分别在边，上，连接，，延长交线段延长线于点E，，若，求的长． 22. 教材明确指出①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．二次根式运算中，要把计算结果化为最简二次根式 （1）化简：______； （2）我们思考“如何化简”的问题．为了使分母之中不含根号，我们想到平方差公式“”，其特点是先平方后作差，既可以把运算为整数，又不产生新的无理数：． 这样的计算过程数学上称之为“分母有理化”． 请你化简： （3）计算：． 23. 【问题初探】 如图1，在平行四边形中，，，为上一点，连接，过点作交直线BD于点E． （1）若为边的中点，求证：； 【类比分析】 （2）如图2，若P为边上任意一点，求证：； 【拓展延伸】 （3）如图3，若点在射线上运动，，，直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$