精品解析：吉林省吉林市永吉县第四中学2025-2026学年高一下学期期中模拟数学试卷

2025-2026学年高一下学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算. 【详解】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，， 由共轭复数的定义可知，. 故选：D 2. 已知，，若，则（ ） A. -1 B. -7 C. 1 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，， 因为，可得，解得. 3. 如图所示正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（ ） A. 12 B. 8 C. 8 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用直观图还原原图形，再求出面积即可. 【详解】根据斜二测画法可知，原图形为平行四边形， 如图所示， 其中，， 所以原图形的面积为. 4. 底面半径为1的圆锥的侧面展开扇形面积是它的底面积的两倍，则母线长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积和底面积的关系列方程，从而求得母线长. 【详解】设圆锥的母线长为，依题意，圆锥的底面半径， 则. 故选：C 5. 已知，且，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的坐标运算及模的坐标计算公式即可求解． 【详解】由得，， 所以． 6. 在中，已知，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由余弦定理得：. 7. 在中，D为AB的中点，点E满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为中，D为AB的中点，点E满足， 所以，， 所以. 8. 已知的外接圆圆心为，角所对的边分别为，且，，若，则（ ） A. 8 B. 13 C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理化简可得，再根据向量数量积运算律与数量积几何意义计算求解. 【详解】由余弦定理可得， 因为，代入化简可得，所以， 因为， 所以为边的中点，， 取的中点为， 因为是的外接圆圆心， 所以， 由数量积的几何意义可知， 同理， 所以. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列有关复数z的叙述，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的虚部为 C. 若满足，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【详解】对于AB，由，则的虚部为，故B正确， 而，故A错误； 对于C，当时，，而，故C错误； 对于D，设，则，即， 而， 则，故D正确. 10. 已知圆锥的底面半径等于，高等于1，则（ ） A. 圆锥的体积为π B. 过圆锥顶点的截面面积的最大值为2 C. 圆锥外接球的表面积为16π D. 圆锥的母线与底面所成角大小为60° 【答案】ABC 【解析】 【分析】对 A，圆锥体积公式直接代入已知的底面半径和高计算验证；对 B，设截面两母线夹角为 θ，利用三角形面积公式 结合三角函数有界性分析面积最大值；对 C，利用圆锥外接球球心在高所在直线上，由求解外接球半径 ，进而计算表面积；对 D，找出母线与底面所成角的平面角，在直角三角形中通过三角函数值计算角度判断. 【详解】整理已知条件可知：圆锥底面半径​，高，母线长，逐一分析选项： 对于A：圆锥体积公式，代入得： ，A正确； 对于B：过圆锥顶点的截面为等腰三角形，两腰均为母线长，设两母线夹角为，则截面面积. 设轴截面顶角，则，得， 因此最大值为（当时），，B正确； 对于C：圆锥外接球球心在高所在直线上，设外接球半径为，由可得， 解得，外接球表面积，C正确； 对于D：圆锥母线与底面所成角为母线和其在底面投影（底面半径）的夹角，在直角三角形中​， 得，D错误. 【点睛】本题综合考查圆锥的几何性质，涉及体积、截面面积、外接球表面积计算及空间线面角求解，核心运用数形结合思想与解直角三角形方法. 11. 已知，，均为单位向量，则（ ） A. B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【详解】因为， 故，故A正确； 因为， 所以， 又，所以，故B正确； 向量在向量上的投影向量为，故C正确； ， 当时，取得最小值，取得最小值，故D 错误. 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12. 已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为向量，，且与的夹角为钝角， 所以，且与不共线； 所以，解得且， 所以实数的取值范围是. 13. 在中，若，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】已知边，角以及角的余弦值，可先由同角三角函数关系求出，再由正弦定理求出. 【详解】在△ABC中，因为 ，所以 又因为 ，所以， 由正弦定理，得， 所以. 14. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则________ ；平面图形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形的体积为________ ． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由斜二测画法原理可得平面图形是直角梯形，进而可求；直角梯形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形为圆台，可求其体积即可． 【详解】由平面图形的直观图的斜二测画法原理可知，平面图形是直角梯形，如图： 其中，，，， 过作交于，则为的中点， 在中，，， 所以， 将直角梯形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形为圆台， 其上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，高为， 故此圆台体积为． 故答案为：；． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知复数. （1）若复数是实数，求实数的值； （2）若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据复数的虚部为0求解即可； （2）根据复数的实部大于0，虚部小于0求解即可. 【小问1详解】 因为复数是实数， 所以， 解得或； 所以实数的值为或； 【小问2详解】 因为复数表示的点在第四象限， 所以， 即， 解得或， 所以实数的取值范围为. 16. 如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱. （1）求该圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积； （2）求该圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 设圆锥底面半径为，圆柱底面半径为，则， 又可知圆柱母线长，圆锥母线长. 所以剩下几何体的表面积； 【小问2详解】 所以剩下几何体的体积． 17. 已知． （1）若为与的夹角，求的值； （2）若与垂直，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的夹角公式求解； （2）根据向量与垂直，两个向量的数量积为零求解. 【小问1详解】 解：∵， ∴， 则， ∴． ∵，∴． 【小问2详解】 ∵， ∴． ∵向量与垂直， ∴， 解得． 18. 如图，在棱长为4的正方体中，E为的中点，F为AE的中点． （1）求证：平面BDF； （2）求三棱锥E-BDF的体积． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接AC交BD于O ，连接FO，利用中位线定理及线面平行判定定理即得； （2）由题可得，然后利用棱锥体积公式即得. 【小问1详解】 连接AC交BD于O ，连接FO， 因为F为AE的中点，又O为AC的中点， 则FO是△ACE的中位线，所， 又因为面BDF，且平面BDF， 所以平面BDF． 【小问2详解】 在正方体中，棱长为4，，，， 则 ． 所以三棱锥E-BDF的体积为． 19. 在锐角中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角C的大小； （2）若，且，求周长. 【答案】（1）60° （2）9 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理即可边角化求解， （2）由余弦定理即可求解. 【小问1详解】 ,由正弦定理得 ， ，或 是锐角三角形， 【小问2详解】 由余弦定理得, ,, 所以的周长 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，若，则（ ） A. -1 B. -7 C. 1 D. 7 3. 如图所示正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（ ） A. 12 B. 8 C. 8 D. 8 4. 底面半径为1的圆锥的侧面展开扇形面积是它的底面积的两倍，则母线长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 已知，且，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 1 6. 在中，已知，则（ ）. A. B. C. D. 7. 在中，D为AB的中点，点E满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知的外接圆圆心为，角所对的边分别为，且，，若，则（ ） A. 8 B. 13 C. 16 D. 32 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列有关复数z的叙述，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的虚部为 C. 若满足，则 D. 若，则 10. 已知圆锥的底面半径等于，高等于1，则（ ） A. 圆锥的体积为π B. 过圆锥顶点的截面面积的最大值为2 C. 圆锥外接球的表面积为16π D. 圆锥的母线与底面所成角大小为60° 11. 已知，，均为单位向量，则（ ） A. B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12. 已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是__________. 13. 在中，若，则___________． 14. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则________ ；平面图形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形的体积为________ ． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知复数. （1）若复数是实数，求实数的值； （2）若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 16. 如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱. （1）求该圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积； （2）求该圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积. 17. 已知． （1）若为与的夹角，求的值； （2）若与垂直，求的值． 18. 如图，在棱长为4的正方体中，E为的中点，F为AE的中点． （1）求证：平面BDF； （2）求三棱锥E-BDF的体积． 19. 在锐角中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角C的大小； （2）若，且，求周长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $