精品解析：江西弋阳县私立育才学校2025-2026学年下学期八年级学业质量诊断·期中检测卷 数学(六)

八年级下册学业质量诊断・期中检测卷 数学（六） 说明： 1．范围：第十九~二十一章． 2．满分：120分，时间：120分钟． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列式子是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】形如的式子叫做二次根式，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、被开方数，根式无意义，不是二次根式； B、根指数为3，属于三次根式，不是二次根式； C、根指数为2，被开方数，符合二次根式定义； D、是分式，不属于二次根式； 2. 如图，是的高，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形的内角和定理，掌握平行四边形的性质、三角形的内角和定理是解题的关键． 【详解】解：是的高， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ． 3. 若，则的取值范围为，那么□中的符号为（ ） A. < B. ≤ C. > D. ≥ 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据二次根式的性质可得 ∵题目给出 ∴ 根据绝对值的性质，当一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为非正数 ∴ 即 因此□中的符号为． 4. 为检测如图所示的矩形相框是否标准，小明同学认为用一个量角器就可以检测；小华认为用一根适当长度的绳子也可以检测．你认为他们俩的说法（ ） A. 小明正确，小华错误 B. 小明错误，小华正确 C. 小明正确，小华也正确 D. 小明错误，小华也错误 【答案】C 【解析】 【分析】运用矩形的判定即可． 【详解】解：小明同学用量角器只要量出三个角为直角即可：小华先测量四边形的四条边，若对边相等，可证明为平行四边形，再测量对角线，若对角线相等，则可证明矩形． 5. 将一台带有保护套的平板电脑按图1放置在水平桌面上，其侧面示意图如图2所示．经测得，．则，两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形内角和定理以及勾股定理，解题的关键是得到为直角三角形． 连接，根据三角形内角和定理可以得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，如下图： ， ，，， 又∵， ∴，即 ，即， ∴为直角三角形， 由勾股定理可得，． 6. 如图1，正六边形的边长为2，保持，不动，将点，，共线，，，共线，得到如图2所示的四边形，则四边形的面积为（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理以及等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 连接，作，连接，根据题意可得，，，，则，，则，根据直角三角形的性质可得，，由勾股定理可得，，则，根据面积公式求解即可． 【详解】解：连接，作，连接，如图， 在正六边形中，，， 由题意可得，， 则，， ∴， 由含角直角三角形的性质可得，， 由勾股定理可得，，， ∴，， ∴，D选项符合题意． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于0求解即可； 【详解】解：由二次根式有意义的条件可知，， 解得． 故答案为：． 8. 菱形的对角线，相交于点，则的大小为___________． 【答案】 ##90度 【解析】 【分析】本题根据菱形的对角线互相垂直这一性质，即可求出的度数． 【详解】菱形的对角线，相交于点， 所以，即． 9. 若．则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，二次根式的性质，解题的关键是正确求得关于的方程． 先移项得到，从而得到，求解即可． 【详解】解：由可得， 从而得到，解得． 10. 如图，已知正方形的面积为9，将其一边与一边重合（在上），点、、三点共线，若，，则的长为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】由正方形面积为，得边长．由，在上，．由，在中利用勾股定理求． 【详解】解：正方形的面积为， ， ， ，在上， ， ， ， 四边形是正方形， ，即． 在中，由勾股定理： 的长为． 11. 如果正整数、、满足等式，那么正整数、、叫作勾股数，某同学用下表呈现了一系列的勾股数，依据表中的规律，可知的值为___________． 3 5 7 9 11 … 4 12 24 40 … 5 13 25 41 … 【答案】60 【解析】 【分析】先理解题意，再依据表中的规律，得出，，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：依据表中的规律，得出，， 即 ∴ 解得． 12. 在等腰中，、、皆为锐角，且，过点作的垂线，垂足为，且，则的长为___________． 【答案】4或6或 【解析】 【分析】根据是等腰三角形，分三种情况，画出图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得： ， 分三种情况讨论： 情况1：当时，，如下图： 则. 此时所有角均为锐角，符合题意； 情况2：当时，，如下图： 因为，由等腰三角形三线合一得， 所以，此时所有角均为锐角，符合题意； 情况3：当时，如下图： 设，则， 在中，由勾股定理得， 即，解得，则， ，最大角为锐角，符合题意； 综上的长为4或6或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求完成各题 （1）化简：； （2）如图，在四边形中，，，求证：四边形是正方形． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先计算二次根式的乘法，再计算加减； （2）先根据四条边相等的四边形是菱形证明四边形为菱形，再根据有一个角是直角的菱形是正方形证明即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 证明：∵ ∴四边形是菱形， ∴ ∴ ∴四边形是正方形． 14. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，分母有理化等内容，先根据完全平方公式，平方差公式进行展开化简得出，再把整理得，然后代入计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴， 把代入，得出． 15. 如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与交于点．且与前支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，且，分别为、的中点，若．求前支架脚与后支架脚之间的距离． 【答案】 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形，再得到是的中位线，即可求解． 【详解】解：连接， 由题意得， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∵，分别为、的中点， ∴． 16. 如图，已知是正八边形的一条对角线．请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作出一个以为边的矩形； （2）在图2中，作出一个以为对角线的菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接，可求出，则由四边形内角和为360度和对称性可得，则，同理可得，则四边形为矩形； （2）连接交于点O，连接，可求出 ，，则可证明，则，同理可证明，则四边形是菱形． 【小问1详解】 解：如图所示，四边形即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，四边形即为所求． 17. 图1是某型号挖掘机，该挖掘机由基座、主臂和伸展臂构成．图2是其在某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．小明作于点，延长交于点，经测量发现，基座高度为，，主臂比长． （1）求主臂的长； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）可证明四边形是矩形，得到，设，则 ，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案； （2）根据（1）利用勾股定理求出的长，再求出的长即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 又∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， 设，则 ， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 答：主臂的长为 【小问2详解】 解：由（1）得 ，， 在中，由勾股定理得， ∴； 答：的长为． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，现有两块同样大小的长方形木板，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板上截出两个面积分别为和的正方形木板，． （1）图1截出的正方形木板的边长为________，正方形木板的边长为________； （2）乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板上截出面积都为的两个正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】（1） （2）不能截出，见解析 【解析】 【分析】（1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答． 【小问1详解】 解：∵正方形木板A的面积为，正方形木板B的面积为， ∴正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为； 【小问2详解】 解：不能截出； 理由：，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为． 由（1）可得长方形木板的长为 ，宽为． ∵，但， ∴不能截出． 19. 如图，平行四边形的对角线相交于点，，且． （1）求证：； （2）若，，猜想与的位置关系，并给予证明． 【答案】（1）见解析； （2），理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形可得，，代入可得，根据勾股定理逆定理可得，即可求解； （2）根据可得，结合可得，，由可得，从而得到，即可求解． 【小问1详解】 证明：在平行四边形中，，， 代入可得，即， 由勾股定理的逆定理可得，，即； 【小问2详解】 解：，证明如下： ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 20. 如图，将矩形沿折叠（在上），点的对应点恰好落在的延长线上，点的对应点为点，与相交于点，点为的中点． （1）求证：； （2）连接，若，求的大小． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角的余角相等即可证明； （2）连接，则点为的交点，根据矩形以及折叠可设，而，可得，再对运用三角形内角和定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 证明：由折叠可得，则 ∵矩形 ∴， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵四边形是矩形，点为的中点． ∴点为的交点， ∴ ∴， ∵折叠， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 设， 则， 在中，由三角形内角和定理可得， ∴ 解得， ∴． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形），若每个小正方形的边长为1，点表示的数为1． （1）图中正方形的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ （2）若阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，求的值； （3）如图所示，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点滚到与点重合时，记为第一次翻滚，点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，经过2025次翻滚后与数轴上的点重合，点表示的数为多少？ 【答案】（1）边长为；这个值在3与4之间 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据阴影部分的面积等于正方形的面积减去四周四个小直角三角形的面积，再利用算术平方根的定义求出边长，最后利用无理数的估算方法即可得到答案； （2）利用无理数估算的方法即可求得和；将和代入计算即可； （3）先根据点表示的数和正方形的边长即可得到点P表示的数，根据每次翻滚增加正方形边长，即可得出结论． 【小问1详解】 解：正方形的面积为； 正方形的边长为； ， ， 这个值在3与4之间； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ； 【小问3详解】 解：点A表示的数为1，正方形的边长为， 点表示的数为：； ∵正方形的边长为， 第一次翻滚后点表示的数为：； 第二次翻滚后点对应的数为： 依题意，经过2025次翻滚后数轴上的点重合，则点表示的数为： 22. 【项目式学习】 项目背景：许多住宅小区、停车场等地方均会安装电动门，以提升使用车库的便利性和安全性，围绕电动伸缩门，某校数学实践小组以“电动门”这一主题开展项目式学习． 素材1 如图1，是某小区的处于关闭状态的一电动门． 素材2 将图1状态下的电动门抽象成如图2所示的矩形，测量发现，，且与出入口相等，与地面的距离，，． 素材3 如图3，当有车辆来临，触发感应装置，电动门（矩形）自动抬起，变为四边形． 问题解决 （1）任务1：在抬起状态下，四边形的形状为________； （2）任务2：如图3，当抬起的电动门的端点与的连线与平行时，求，两点间的距离； （3）任务3：如图4，当电动门抬起，且与水平方向的夹角为时，一辆高，宽的汽车从该入口进入时，汽车需要与保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过，若能，请通过计算说明；若不能，说明理由．（参考数据：） 【答案】（1）平行四边形 （2） （3）能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）先证明四边形是矩形，然后对运用勾股定理求解即可； （3）在上取，，作于点，交于点，交于点，可得，然后根据直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 由题意得，，， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 过点作于点，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是矩形 ∴ 由题意得， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：汽车能安全通过，理由如下： 如图，在上取，，作于点，交于点，交于点， 当汽车与保持安全距离时， ， ， ∴， ∵ ∴四边形是矩形， ，，， 由题意得，， ∴， ∴ ∴， ， 汽车能安全通过． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【课本再现】 （1）如图1，在中，，为斜边上的中线，那么与之间存在什么样的数量关系呢？ 为解决这一问题，小明同学想的办法是：如图2，延长到，使，连接，⋯⋯ 请你顺着小明的思路完成解答； 【结论应用】 （2）如图3，中，，点为的中点，点在上，若，求证：点在的垂直平分线上； 【拓展提升】 （3）如图4，在正方形中，为上一点，为的中点，以，为边在的右侧作平行四边形． ①求证：四边形是菱形； ②若，，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）如图 2 ，作辅助线构建平行四边形，根据，可得矩形，所以，即可解答； （2）根据直角三角形斜边上中线的性质以及等腰三角形的判定证明即可； （3）①如图 4 ，连接，根据证明，可得，根据菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得结论； ②取的中点，连接，由三角形中位线定理得到，，然后由勾股定理求解，再由勾股定理求解，即可求解菱形的周长． 【小问1详解】 解：如图 2 ，延长到，使，连接， ∵为斜边上的中线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图 ∵，点为的中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴点在的垂直平分线上； 【小问3详解】 ①证明：如图4，连接， ∵四边形是正方形， ， ∵是的中点， ， ∴， ， ， ∵， ， ， ∴为菱形； ②解：取的中点，连接， ∵点为的中点 ∴， ∴ ∵正方形中，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵四边形是菱形 ∴四边形的周长等于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下册学业质量诊断・期中检测卷 数学（六） 说明： 1．范围：第十九~二十一章． 2．满分：120分，时间：120分钟． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列式子是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是的高，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的取值范围为，那么□中的符号为（ ） A. < B. ≤ C. > D. ≥ 4. 为检测如图所示的矩形相框是否标准，小明同学认为用一个量角器就可以检测；小华认为用一根适当长度的绳子也可以检测．你认为他们俩的说法（ ） A. 小明正确，小华错误 B. 小明错误，小华正确 C. 小明正确，小华也正确 D. 小明错误，小华也错误 5. 将一台带有保护套的平板电脑按图1放置在水平桌面上，其侧面示意图如图2所示．经测得，．则，两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 如图1，正六边形的边长为2，保持，不动，将点，，共线，，，共线，得到如图2所示的四边形，则四边形的面积为（ ） A. B. 8 C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 8. 菱形的对角线，相交于点，则的大小为___________． 9. 若．则的值为___________． 10. 如图，已知正方形的面积为9，将其一边与一边重合（在上），点、、三点共线，若，，则的长为___________． 11. 如果正整数、、满足等式，那么正整数、、叫作勾股数，某同学用下表呈现了一系列的勾股数，依据表中的规律，可知的值为___________． 3 5 7 9 11 … 4 12 24 40 … 5 13 25 41 … 12. 在等腰中，、、皆为锐角，且，过点作的垂线，垂足为，且，则的长为___________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求完成各题 （1）化简：； （2）如图，在四边形中，，，求证：四边形是正方形． 14. 先化简，再求值：，其中． 15. 如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与交于点．且与前支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，且，分别为、的中点，若．求前支架脚与后支架脚之间的距离． 16. 如图，已知是正八边形的一条对角线．请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作出一个以为边的矩形； （2）在图2中，作出一个以为对角线的菱形． 17. 图1是某型号挖掘机，该挖掘机由基座、主臂和伸展臂构成．图2是其在某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．小明作于点，延长交于点，经测量发现，基座高度为，，主臂比长． （1）求主臂的长； （2）若，求的长． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，现有两块同样大小的长方形木板，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板上截出两个面积分别为和的正方形木板，． （1）图1截出的正方形木板的边长为________，正方形木板的边长为________； （2）乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板上截出面积都为的两个正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 19. 如图，平行四边形的对角线相交于点，，且． （1）求证：； （2）若，，猜想与的位置关系，并给予证明． 20. 如图，将矩形沿折叠（在上），点的对应点恰好落在的延长线上，点的对应点为点，与相交于点，点为的中点． （1）求证：； （2）连接，若，求的大小． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形），若每个小正方形的边长为1，点表示的数为1． （1）图中正方形的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ （2）若阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，求的值； （3）如图所示，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点滚到与点重合时，记为第一次翻滚，点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，经过2025次翻滚后与数轴上的点重合，点表示的数为多少？ 22. 【项目式学习】 项目背景：许多住宅小区、停车场等地方均会安装电动门，以提升使用车库的便利性和安全性，围绕电动伸缩门，某校数学实践小组以“电动门”这一主题开展项目式学习． 素材1 如图1，是某小区的处于关闭状态的一电动门． 素材2 将图1状态下的电动门抽象成如图2所示的矩形，测量发现，，且与出入口相等，与地面的距离，，． 素材3 如图3，当有车辆来临，触发感应装置，电动门（矩形）自动抬起，变为四边形． 问题解决 （1）任务1：在抬起状态下，四边形的形状为________； （2）任务2：如图3，当抬起的电动门的端点与的连线与平行时，求，两点间的距离； （3）任务3：如图4，当电动门抬起，且与水平方向的夹角为时，一辆高，宽的汽车从该入口进入时，汽车需要与保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过，若能，请通过计算说明；若不能，说明理由．（参考数据：） 六、解答题（本大题共12分） 23. 【课本再现】 （1）如图1，在中，，为斜边上的中线，那么与之间存在什么样的数量关系呢？ 为解决这一问题，小明同学想的办法是：如图2，延长到，使，连接，⋯⋯ 请你顺着小明的思路完成解答； 【结论应用】 （2）如图3，中，，点为的中点，点在上，若，求证：点在的垂直平分线上； 【拓展提升】 （3）如图4，在正方形中，为上一点，为的中点，以，为边在的右侧作平行四边形． ①求证：四边形是菱形； ②若，，求四边形的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $