8.5.1 直线与直线平行 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦“直线与直线平行”，核心内容为基本事实4（平行线传递性）和等角定理。通过长方体抽象空间线线平行关系，课前微思考链接平面几何平行定理，构建从平面到空间的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以典例剖析和规律总结为核心，结合直观想象与逻辑推理素养。如通过空间四边形证梯形、正方体中证角相等，采用“认知-应用-总结”教学法，助力学生提升核心素养，也为教师提供系统教学资源与方法支持。

第八章　立体几何初步 8.5.1　直线与直线平行 目 标 素 养 1.借助长方体,抽象出空间直线与直线平行的关系,了解基本事实4,能用基本事实4证明和寻求空间中的直线与直线平行,提升直观想象素养. 2.理解等角定理,会用等角定理证明空间中两角之间的相等或互补关系,提升逻辑推理素养. 3.通过对基本事实4和等角定理的学习与应用,提升直观想象和逻辑推理核心素养. 知 识 概 览 课前·基础认知 1.基本事实4 基本事实4表述的性质通常叫做平行线的 传递性 . 微思考 平面中有哪些常用的证明两直线平行的定理? 提示:平行四边形的对边平行,三角形的中位线平行于底边,梯形的中位线平行于两底边,平行线分线段成比例定理等. 2.等角定理 微训练 已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,则∠PQR等于 (　　) A.30° B.30°或150° C.150° D.以上结论都不对 答案:B 课堂·重难突破 一 基本事实4的应用 典例剖析 1.如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD边上的点,且 .求证:四边形GHFE是梯形. 所以EF∥HG,且EF≠HG, 所以四边形GHFE是梯形. 规律总结 证明两条直线平行的方法 (1)平行线的定义; (2)三角形中位线定理、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等; (3)基本事实4. 学以致用 1.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,BC的中点,E1,F1分别是A1D1,C1D1的中点. 求证:EE1∥FF1. 证明:如图,连接EF,E1F1,A1C1,AC. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中, 因为AA1 CC1,所以四边形AA1C1C是平行四边形, 所以AC A1C1. 因为E,F分别是AB,BC的中点, 所以EF E1F1,所以四边形EFF1E1是平行四边形, 所以EE1∥FF1. 二 等角定理的应用 典例剖析 2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别为AD和A1D1的中点. 求证:(1)四边形BB1M1M为平行四边形; (2)∠BMC=∠B1M1C1. 证明：(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中, ∵AD􀰿A1D1,M,M1分别为AD,A1D1的中点, ∴AM􀰿A1M1,∴四边形AMM1A1为平行四边形, ∴MM1􀰿AA1.又AA1􀰿BB1,∴MM1􀰿BB1, ∴四边形BB1M1M为平行四边形. (2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,∴B1M1∥BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,∴C1M1∥CM. 又∠BMC与∠B1M1C1的两边方向相同, ∴∠BMC=∠B1M1C1. 规律总结 在立体几何中,常用等角定理来证明两个角相等或互补,在证明两个角的两边对应平行后,应注意借助图形说明两个角的两边方向相同或相反,进而得出结论. 学以致用 2.如图,不共面的三条直线a,b,c交于点O,在直线a上分别取点A和A1,直线b上分别取点B和B1,直线c上分别取点C和C1,且点A,A1,B,B1,C,C1在点O同侧, ,求证: △ABC∽△A1B1C1. 则在平面OAB和平面OAC中,有A1B1∥AB,A1C1∥AC, 又∠BAC与∠B1A1C1的两边方向相同, ∴∠BAC=∠B1A1C1. 同理∠ABC=∠A1B1C1. ∴△ABC∽△A1B1C1. 随堂训练 1.在三棱锥P-ABC中,PB⊥BC,E,D,F分别是AB,PA,AC的中点,则∠DEF等于(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案:D 解析:如图,因为E,D,F分别是AB,PA,AC的中点, 所以DE∥PB,EF∥BC, 由∠DEF与∠PBC的两边方向相同, 得∠DEF=∠PBC=90°. 2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,M,N分别是AB,BC,A1B1,BB1,C1D1,CC1的中点,则下列结论正确的是(　　) A.直线GH和MN平行,GH和EF相交 B.直线GH和MN平行,MN和EF相交 C.直线GH和MN相交,MN和EF异面 D.直线GH和EF异面,MN和EF异面 答案:B 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是正方形AA1D1D,正方形CC1D1D的中心,G,H分别是AB,BC的中点,则直线EF与直线GH的位置关系是(　　) A.相交 B.异面 C.平行 D.不能确定 答案:C 解析:如图,连接AD1,CD1,AC,则E,F分别为AD1,CD1的中点. 由三角形中位线定理,知EF∥AC,GH∥AC,所以EF∥GH. 故选C. 4.已知角α和角β的两边分别平行且一组边的方向相同,另一组边的方向相反.若α=45°,则β=　　　　　.  答案:135° 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是CD,AD的中点.求证: (1)四边形MNA1C1是梯形. (2)∠DNM=∠D1A1C1. 证明:(1)如图,连接AC. 因为M,N分别是CD,AD的中点, 所以MN∥AC,MN= AC. 又AC∥A1C1,AC=A1C1, 所以MN∥A1C1,且MN≠A1C1, 所以四边形MNA1C1是梯形. (2)由(1)可知MN∥A1C1,又ND∥A1D1,∠DNM与∠D1A1C1的两边方向相同,所以∠DNM=∠D1A1C1. $