精品解析：重庆市第一中学校2025-2026学年七年级下学期期中数学 试卷

2026年初2028届初一下期半期考试 数学试题卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．作答前，认真阅读答题卡上的注意事项． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效． 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列新能源车标中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】轴对称图形是沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合，根据轴对称图形的定义判断选择即可． 【详解】解：新能源车标中不是轴对称图形的是． 2. 的倒数是（ ） A. 3 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据倒数的意义．乘积是1的两个数互为倒数．1的倒数是1，0没有倒数．求一个分数的倒数，把分子和分母调换位置即可，由此解答． 【详解】题目给出的数是 ， 将分子和分母交换位置，原数的分子是 −1，分母是 3，交换后得到 ． 选项中 −3 对应选项 B． 故选择：B． 3. 下列事件是不可能事件的是（ ） A. 明天是晴天 B. 买彩票中奖 C. 投篮命中 D. 一年有13个月 【答案】D 【解析】 【分析】先明确不可能事件的定义，再逐一判断选项，找出一定不会发生的事件即可，不可能事件的定义是：在一定条件下必然不会发生的事件． 【详解】解：∵ 选项A，明天是晴天，可能发生也可能不发生，是随机事件； 选项B，买彩票中奖，可能发生也可能不发生，是随机事件； 选项C，投篮命中，可能发生也可能不发生，是随机事件； 选项D，公历中一年固定有12个月，不可能有13个月，该事件必然不会发生。 ∴ D是不可能事件，符合题意． 4. 某公园准备在活动区安装一个跷跷板，如图，A和D为跷跷板两个座位到达最高点的位置，B和C为落地点，M为跷跷板的支撑点，为确保，工作人员只需要测量A、B两点到M的距离，距离相等便可说明．其中的依据是全等三角形的判定条件（ ） A. SSS B. AAS C. SAS D. ASA 【答案】C 【解析】 【分析】根据“边角边”证明，可得． 【详解】解：根据题意，得，则， ∵， ∴， ∴． 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 两个成轴对称的图形中，对称轴被对应点所连线段垂直平分 B. 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点不一定在这个角的角平分线上 C. 等腰三角形是轴对称图形，底边上的高线是它的对称轴 D. 两点之间，线段最短 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形，成轴对称图形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质等逐项判断即可． 【详解】解：对于A，根据轴对称的性质，成轴对称的两个图形中，对称轴垂直平分对应点所连线段，原说法颠倒关系，故A错误； 对于B，根据角平分线的判定定理，在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的角平分线上，故B错误； 对于C，对称轴是直线，等腰三角形底边上的高线是线段，正确表述为等腰三角形底边上的高线所在直线是它的对称轴，故C错误； 对于D，“两点之间，线段最短”是基本几何事实，说法正确． 6. 为丰富七年级学生暑期生活，某中学联合校外研学基地，组织为期5天的夏令营活动．活动期间，基地统一为参与学生安排标准宿舍入住．经统计，若每间宿舍安排4名学生入住，则有20名学生因床位不足无法入住；若每间宿舍安排6名学生入住，则会空出2间完整宿舍，其余宿舍均能刚好住满．设基地为本次夏令营准备的宿舍共有x间，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由学生总人数不变，分别根据两种住宿安排表示总人数，再根据总人数相等列方程即可． 【详解】解：设基地为本次夏令营准备的宿舍共有间， ∵每间宿舍安排4名学生，有20名学生无法入住， ∴学生总人数为． ∵每间宿舍安排6名学生，空出2间完整宿舍，其余刚好住满， ∴实际入住的宿舍数量为间，学生总人数为． ∵学生总人数固定不变，∴可列方程． 7. 用三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图形共有4个三角形，第②个图形共有9个三角形，第③个图形共有14个三角形，…，按照这一规律，第⑨个图形中三角形的个数为（ ） A. 45 B. 44 C. 47 D. 42 【答案】B 【解析】 【分析】先分别确定第①，②，③图形中三角形的个数，即可得出数字变化特点，再根据规律解答． 【详解】解：第①个图形共有4个三角形； 第②个图形共有个三角形； 第③个图形共有个三角形； 第④个图形共有个三角形， 第⑨个图形共有个三角形． 8. 已知，，则的值为（ ） A. 6 B. 4 C. 5 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知条件求出的值，再变形完全平方公式得到所求代数式的结果． 【详解】解： ，， 展开第二个等式得 ， 整理得 ， 将代入上式得 ， 解得． 对两边平方，得 ， ． 9. 如图，在四边形中，是的角平分线，F为上一点，连接，E为上一点，，且，若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在上截取，连接，证明，，从而得出，利用导角结合三角形外角的定义，角平分线的定义，全等三角形的性质和多边形内角和定理即可得出结果． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴ ． 10. 已知M和N为整式，且，，其中为正整数，且，（k为自然数），令．下列说法： ①时，A的最小值为11； ②时，所有满足条件的的个数为8个； ③且时，记满足条件的整式分别为，则关于x的多项式的最小值为3． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，整理整式M和N的式子，以及A的式子，通过枚举等方法逐个判断三个结论即可． 【详解】解：判断①： 当时，， ∵为正整数，， （k为自然数）， ∴当时， ；当时， ， ∴，， ∵为正整数， ∴的最小值为或， ∴， ∴ ，即A的最小值为11，故①正确； 判断②： 当时，此时分情况讨论： （i）当时：，，， ∵为正整数，， （k为自然数）， ∴当时，，则，， 此时的值可能为，；的值可能为，， ∴满足条件的有：，，，，共4个； （ii）当时：，，， 当时，，；当时，， ∴ ， 此时的值可能为，；的值可能为，；的值可能为，， ∴满足条件的有：，，，，，，，，共8个； （iii）当时：，，， 当时，，；当时，， ， 由及已知条件得 ，结合，为正整数且 ， 可得 且 ， ∴ ，与4矛盾，因此时无解， ∴所有满足条件的的个数为：，故②错误； 判断③： 当且时，，， ∵为正整数，， （k为自然数）， ∴当时，，则，， 此时的值可能为，；的值可能为，， ∴满足条件的有：，，，， ∴ 当时，有最小值， ∴， 即关于x的多项式的最小值为2并非3，故③错误， 综上，只有①正确，正确个数为1． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为________________. 【答案】2.5×10-6 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】0.0000025=2.5×10-6， 故答案为：2.5×10-6． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 12. 如图，在边长为的大正方形中，放入两个边长均为的小正方形和正方形，点E、N、H、G分别在边上．若一个小球在正方形内自由滚动，并随机停在某个位置，那么小球最终停在阴影部分的概率为________． 【答案】##0.0625 【解析】 【分析】根据几何概率的意义，求出阴影部分的面积与大正方形的面积，两部分面积的比即可． 【详解】解：阴影部分是一个正方形，其边长为，面积为， 大正方形的面积为， 则小球最终停在阴影部分的概率． 13. 如图，在中，平分，线段的垂直平分线交于点E，交于点F．若，的周长为15，，则的长度为________． 【答案】3 【解析】 【分析】连接，证明，再由线段垂直平分线的性质及周长条件即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵平分， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； ∵的周长为15， ∴， ∴， 即， ∴． 14. 如图，在等边中，D、E分别在边上，，连接交于点F，过点A作，交延长线于点G，若，，则的长度为________． 【答案】5 【解析】 【分析】证明，得到，，求出，根据得到，则，得到，即可得到的长． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 15. 已知关于x的方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的和为________． 【答案】 【解析】 【分析】先解关于的一元一次方程，用含的式子表示出，再根据方程的解为负整数且为整数，确定所有满足条件的的值，最后计算的值的和即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得， ∵方程的解为负整数，且a为整数， ∴是9的负整数约数，即的值为或或， 当时，解得，符合条件； 当时，解得，符合条件； 当时，解得，符合条件； 则所有满足条件的整数a的和为． 16. 如图，在中，平分，，点E为上一点，连接交于点F，若，且的面积比的面积大3，则四边形的面积为________． 【答案】22 【解析】 【分析】根据，设，，利用角平分线性质得到，，，表示出和的面积，由的面积比的面积大3列出方程并求解，即可得出最终结果． 【详解】解：∵， ∴设，则， 如图，连接， ∵平分，， 由角平分线的性质可知，点D到和到的距离相等，设距离为h， ∴， 同理可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵的面积比的面积大3， ∴， 解得：， ∴． 17. 如图，在等腰中，，在上取一点D，连接，使，延长至点E，连接使，延长交于点F，的角平分线交于点G，点M、N分别为、上的动点，连接、、，当面积是8时，周长的最小值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】通过等腰三角形的定义得到，结合已知条件利用导角可求得，从而证得是等腰直角三角形，并求得，利用轴对称的性质可得周长的最小时为的长度，证明是等边三角形，从而求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， 设，则， ∴，， ∴，解得：， ∴， ∴ ， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵点M、N分别为、上的动点， 如图，作点F关于的对称点，关于的对称点，连接，，，，与交点，与交点， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， 由轴对称的性质可知，，， ∴，即点在上， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即周长的最小值为4． 18. 若一个四位正整数M各数位数字互不相同且均不为0，满足千位数字与百位数字的和为10，则称这个数M为“和衡数”．例如：四位数2834，因为2，8，3，4互不相同且均不为0，，所以2834为“和衡数”．将M的百位数字与十位数字对调，得到一个新的四位数N，规定．若M是最小的“和衡数”，则________若“和衡数”G满足（k为整数），且G除以5余2，则满足条件的所有G中，最大值与最小值的差是________． 【答案】 ①. 630 ②. 7145 【解析】 【分析】根据新定义求出最小的“和衡数”，再按定义计算，将和对调后的表示为整式，化简，结合已知条件推得 ，再根据除以余得到个位数字的可能取值，最后求出满足条件的的最大值和最小值，计算差值即可． 【详解】解：由题意，“和衡数”是各数位不为0且互不相同的四位数，满足千位数字与百位数字和为10，要得到最小的“和衡数”，需千位数字最小，千位最小为1，则百位为，再依次让十位、个位最小，得十位为2，个位为3，故最小的“和衡数”， 将M的百位与十位对调，得， 则； 设“和衡数”，由题意得： ，，，，，且四个数互不相同， 对调百位和十位后得到新数， 则， ∵， ∴， 整理得：， ∵， ∴，且为整数， ∴， ∵k是整数， ∴是完全平方数， ∴是完全平方数， 仅当时，，符合条件，故， ∵G除以5余2， ∴G的个位数字或， 要使G最大，需千位a最大，a最大为9，由得， 由得或， ∵c不为0， ∴， 此时， ，，d不能与已有数字重复，故， 因此G的最大值为9127； 要使G最小，需千位a最小，a最小为1，由得， 由得或， ∵ ∴， 此时， ，，d取最小的不重复数字，故， 因此G的最小值为1982， 最大值与最小值的差为． 三、解答题：（本大题共8个小题，19、21题8分，20、22～25题每小题10分，26题12分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将答题过程书写在答题卡中对应位置上． 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由负整数指数幂，零指数幂，有理数乘方，绝对值的运算法则，分别计算每一项后合并即可得到结果； （2）由完全平方公式，单项式乘多项式的运算法则，展开后合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，在边长为1个单位长度的正方形方格纸中，的顶点都在格点上，，． （1）在方格纸中画出关于直线对称的（不写作法，不下结论）； （2）尺规作图：请在图中作出的角平分线交于点D，交于点E（要求：不写作法，不下结论，保留作图痕迹）； （3）在（1）（2）的条件下，求证：，并按下列思路完成填空． 证明：，， ， 和关于直线AO对称， ． ， _______， ， ， ∵BE平分， ． （________）． ， ∴________， （________）． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）作点B关于直线的对称点C，连接，则即为所求； （2）以点B为圆心，任意长为半径画弧，交于点G，F，再以点G，F为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点H，交于点D，交于点E，则即为所求； （3）先根据题意说明，进而得出，再得出，然后根据“等角的余角相等”得，即可得，最后根据“等角的余角相等”得． 【小问1详解】 解：如图所示； 【小问2详解】 解：如图所示； 【小问3详解】 解：证明：∵ ∴． ∵和关于直线对称， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴ ∴（等角的余角相等）． ∵， ∴， ∴（等角对等边）． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；19 【解析】 【分析】先利用整式的运算法则化简多项式，再利用完全平方公式及非负数的性质求出x与y的值，代入化简后的代数式中，即可求得代数式的值． 【详解】解： ； ∵， ∴， ∴， 原式． 22. 世界读书日来临之际，某校为了解七年级学生最喜爱的图书类别，随机抽取m名学生开展问卷调查（要求每名学生仅选择一类最喜爱的图书），调查将图书分为文学类、科普类、漫画类、艺术类、传记类五类，统计后得到两幅不完整的统计图，请结合以上信息解答下列问题： （1）填空：________，________； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，“艺术类”所对应的扇形圆心角度数是________°； （4）若该校七年级共有1200名学生，请估计该校七年级最喜爱“科普类”和“传记类”图书的学生人数之和． 【答案】（1）60,30 （2）见解析 （3）36 （4）900 【解析】 【分析】（1）先求出除喜爱“传记”类图书外其他四类的人数，及其所占的百分比可得抽查总人数，再用喜爱“科普”图书的人数除以抽查人数可得百分比； （2）先求出喜爱“传记”类图书的学生人数，再补全统计图即可； （3）用乘以“喜爱艺术类”图书所占的百分比可得答案； （4）用总人数乘以喜爱这两类图书所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 所以； 【小问2详解】 解：，补全统计图如下： 【小问3详解】 解：， 所以“艺术类”所对应的圆心角度数是； 【小问4详解】 解： ， 所以该校七年级最喜爱“科普类”和“传记类”图书的学生人数和为600人． 23. 如图，和均为等腰三角形，，，且，，连接交AE于点F，连接交于点M，交于点N． （1）求证：； （2）若，，，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据证明得，然后利用三角形内角和定理可得，可证； （2）延长交于点H，证明垂直平分得，，则，然后根据求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：延长交于点H， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 24. 列方程解应用题： 某花店售卖金桔盆栽和花肥，已知一盆金桔盆栽售价28元，利润率为40%；花肥进价每包2元，一包花肥的利润率和一盆金桔盆栽的利润率相同．花店第一次进货总共花费720元，其中花肥的进货数量是金桔盆栽的2倍． （1）花店第一次进货购进了金桔盆栽多少盆？ （2）第一次进货商品全部售完后，商家进行第二次进货．为吸引更多顾客，花店推出促销活动：每卖出一盆金桔盆栽，免费赠送一包花肥，金桔盆栽售完后，剩余的花肥再进行单独售卖（第二次购进花肥数量大于金桔盆栽数量）．第二次进货对比第一次：金桔盆栽的进价降低了m元，进货数量增加了8盆，售价不变；花肥的进价不变，进货数量比第一次增加了2m包，售价不变．第二次售完获得的总利润比第一次多76.4元，求m的值． 【答案】（1）30 （2）3 【解析】 【分析】（1）先根据金桔盆栽的售价和利润率求出金桔的进价，再设金桔进货数量为未知数，根据总进货花费列方程求解； （2）先求出花肥售价和第一次总利润，再根据题意表示出第二次的总利润，根据第二次总利润比第一次多76.4元列方程求解，验证条件后得到m的值． 【小问1详解】 解：设金桔盆栽的进价为x元， 由题意得， 解得， 设花店第一次进货购进金桔盆栽y盆，则购进花肥包， 由题意得， 解得． 答：花店第一次进货购进了金桔盆栽30盆． 【小问2详解】 解：由（1）得第一次购进花肥数量为（包），花肥售价为（元）， 第一次总利润为（元）， 第二次金桔盆栽进货数量为（盆），进价为元，第二次花肥进货数量为包，进价为2元，每卖一盆金桔赠送一包花肥，因此免费赠送38包，单独售卖的花肥数量为（包）， 由题意得：， 整理得 ，  解得， 此时第二次花肥进货数量为，符合题意． 答：m的值为3． 25. 如图，在中，D为边上一点，连接，，平分交于点E，过点D作交于点F，连接． （1）若，，求的度数； （2）若，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由三角形外角的性质得，再根据“等边对等角”得，然后结合三角形的外角的性质得，最后根据三角形内角和定理得，则此题可解； （2）在上取点G，使，连接，先根据“边角边”证明，可得，，再说明，然后根据“角角边”证明，可得，最后根据得出答案． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴． ∵是的外角， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． ∵， ∴． 在中，， 即， 解得； 【小问2详解】 证明：如图所示， 在上取点G，使，连接， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴，即． ∵ ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 26. 在等腰中，，点D为上一点，连接，在上分别取点E、F，连接，． （1）如图1，若，，，求的长度； （2）如图2，点E为中点，H为延长线上一点，连接、，满足，．若，求证：； （3）如图3，若，，点D是中点，在上取一点P，连接，使，将沿翻折到所在平面内，得到，点Q为所在直线上一动点，连接，将绕点A顺时针旋转得到，点T为线段上的动点，连接、，当取最小值时，请直接写出此时的面积（用字母m表示）． 【答案】（1）3 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）判定三角形全等，再根据性质：对应边相等，进行等量代换，求出的长度； （2）倍长到点M，使得，根据三角形全等证明，从而得到结论； （3）根据动点Q的运动轨迹及和的关系，确定动点R的运动轨迹，再根据对称性和垂线段最短确定动点T的位置，最后利用三角形面积公式算出结果． 【小问1详解】 解：， ，， ，即， ， ， 在和中，， ， ，， ． 【小问2详解】 证明：延长到点M，使得，连接， ∵点E为中点， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中，， ， ， ， ． 【小问3详解】 过点D作的对称点，连接交于点T，过点作的延长线，垂足为点H， ，， 是等边三角形， 点D是中点，， ，， 点Q为所在直线上一动点，且绕点A顺时针旋转得到， 点R的运动轨迹为：在点D左侧，到点D的距离为线段的长的直线l上，且 ， 当时，取最小值，此时，即，此时与的交点为点T， 翻折， ， ， ， 对称， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的性质和判定，对称性、垂线段最短、三角形面积公式，解题关键是数形结合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初2028届初一下期半期考试 数学试题卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．作答前，认真阅读答题卡上的注意事项． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效． 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列新能源车标中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 的倒数是（ ） A. 3 B. C. D. 1 3. 下列事件是不可能事件的是（ ） A. 明天是晴天 B. 买彩票中奖 C. 投篮命中 D. 一年有13个月 4. 某公园准备在活动区安装一个跷跷板，如图，A和D为跷跷板两个座位到达最高点的位置，B和C为落地点，M为跷跷板的支撑点，为确保，工作人员只需要测量A、B两点到M的距离，距离相等便可说明．其中的依据是全等三角形的判定条件（ ） A. SSS B. AAS C. SAS D. ASA 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 两个成轴对称的图形中，对称轴被对应点所连线段垂直平分 B. 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点不一定在这个角的角平分线上 C. 等腰三角形是轴对称图形，底边上的高线是它的对称轴 D. 两点之间，线段最短 6. 为丰富七年级学生暑期生活，某中学联合校外研学基地，组织为期5天的夏令营活动．活动期间，基地统一为参与学生安排标准宿舍入住．经统计，若每间宿舍安排4名学生入住，则有20名学生因床位不足无法入住；若每间宿舍安排6名学生入住，则会空出2间完整宿舍，其余宿舍均能刚好住满．设基地为本次夏令营准备的宿舍共有x间，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 用三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图形共有4个三角形，第②个图形共有9个三角形，第③个图形共有14个三角形，…，按照这一规律，第⑨个图形中三角形的个数为（ ） A. 45 B. 44 C. 47 D. 42 8. 已知，，则的值为（ ） A. 6 B. 4 C. 5 D. 3 9. 如图，在四边形中，是的角平分线，F为上一点，连接，E为上一点，，且，若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 10. 已知M和N为整式，且，，其中为正整数，且，（k为自然数），令．下列说法： ①时，A的最小值为11； ②时，所有满足条件的的个数为8个； ③且时，记满足条件的整式分别为，则关于x的多项式的最小值为3． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为________________. 12. 如图，在边长为的大正方形中，放入两个边长均为的小正方形和正方形，点E、N、H、G分别在边上．若一个小球在正方形内自由滚动，并随机停在某个位置，那么小球最终停在阴影部分的概率为________． 13. 如图，在中，平分，线段的垂直平分线交于点E，交于点F．若，的周长为15，，则的长度为________． 14. 如图，在等边中，D、E分别在边上，，连接交于点F，过点A作，交延长线于点G，若，，则的长度为________． 15. 已知关于x的方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的和为________． 16. 如图，在中，平分，，点E为上一点，连接交于点F，若，且的面积比的面积大3，则四边形的面积为________． 17. 如图，在等腰中，，在上取一点D，连接，使，延长至点E，连接使，延长交于点F，的角平分线交于点G，点M、N分别为、上的动点，连接、、，当面积是8时，周长的最小值为________． 18. 若一个四位正整数M各数位数字互不相同且均不为0，满足千位数字与百位数字的和为10，则称这个数M为“和衡数”．例如：四位数2834，因为2，8，3，4互不相同且均不为0，，所以2834为“和衡数”．将M的百位数字与十位数字对调，得到一个新的四位数N，规定．若M是最小的“和衡数”，则________若“和衡数”G满足（k为整数），且G除以5余2，则满足条件的所有G中，最大值与最小值的差是________． 三、解答题：（本大题共8个小题，19、21题8分，20、22～25题每小题10分，26题12分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将答题过程书写在答题卡中对应位置上． 19. 计算： （1） （2） 20. 如图，在边长为1个单位长度的正方形方格纸中，的顶点都在格点上，，． （1）在方格纸中画出关于直线对称的（不写作法，不下结论）； （2）尺规作图：请在图中作出的角平分线交于点D，交于点E（要求：不写作法，不下结论，保留作图痕迹）； （3）在（1）（2）的条件下，求证：，并按下列思路完成填空． 证明：，， ， 和关于直线AO对称， ． ， _______， ， ， ∵BE平分， ． （________）． ， ∴________， （________）． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 世界读书日来临之际，某校为了解七年级学生最喜爱的图书类别，随机抽取m名学生开展问卷调查（要求每名学生仅选择一类最喜爱的图书），调查将图书分为文学类、科普类、漫画类、艺术类、传记类五类，统计后得到两幅不完整的统计图，请结合以上信息解答下列问题： （1）填空：________，________； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，“艺术类”所对应的扇形圆心角度数是________°； （4）若该校七年级共有1200名学生，请估计该校七年级最喜爱“科普类”和“传记类”图书的学生人数之和． 23. 如图，和均为等腰三角形，，，且，，连接交AE于点F，连接交于点M，交于点N． （1）求证：； （2）若，，，求的长度． 24. 列方程解应用题： 某花店售卖金桔盆栽和花肥，已知一盆金桔盆栽售价28元，利润率为40%；花肥进价每包2元，一包花肥的利润率和一盆金桔盆栽的利润率相同．花店第一次进货总共花费720元，其中花肥的进货数量是金桔盆栽的2倍． （1）花店第一次进货购进了金桔盆栽多少盆？ （2）第一次进货商品全部售完后，商家进行第二次进货．为吸引更多顾客，花店推出促销活动：每卖出一盆金桔盆栽，免费赠送一包花肥，金桔盆栽售完后，剩余的花肥再进行单独售卖（第二次购进花肥数量大于金桔盆栽数量）．第二次进货对比第一次：金桔盆栽的进价降低了m元，进货数量增加了8盆，售价不变；花肥的进价不变，进货数量比第一次增加了2m包，售价不变．第二次售完获得的总利润比第一次多76.4元，求m的值． 25. 如图，在中，D为边上一点，连接，，平分交于点E，过点D作交于点F，连接． （1）若，，求的度数； （2）若，求证：． 26. 在等腰中，，点D为上一点，连接，在上分别取点E、F，连接，． （1）如图1，若，，，求的长度； （2）如图2，点E为中点，H为延长线上一点，连接、，满足，．若，求证：； （3）如图3，若，，点D是中点，在上取一点P，连接，使，将沿翻折到所在平面内，得到，点Q为所在直线上一动点，连接，将绕点A顺时针旋转得到，点T为线段上的动点，连接、，当取最小值时，请直接写出此时的面积（用字母m表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $