精品解析：浙江金华市第四中学2025-2026学年下学期年级八年级数学期中阶段测试

金华四中八年级数学期中阶段测试 说明：本卷共三大题，考试时间120分钟，满分120分，请把所有的答案写在答题卷上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 中国经典纹样，千古流传，深受人们喜爱．下列纹样示意图中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 如意纹 B. 风车纹 C. 冰裂纹 D. 柿蒂纹 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，∴ A错误； B、，∴ B错误； C、，计算结果正确，∴ C正确； D、与不是同类二次根式，无法合并，∴ D错误； 3. 若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和和外角和问题，设这个多边形的边数为，根据多边形的内角和公式和外角和并结合题意得出方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得：， 解得：， 故这个多边形的边数是， 故选：D． 4. 用反证法证明：“中，若，则”，应先假设（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了反证法．反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，在选项中找出对应的假设即可． 【详解】解：用反证法证明命题“在中，若，则”时，应先假设． 故选：B． 5. 已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩（分）的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 一班成绩比二班成绩集中 B. 一班成绩的下四分位数是80分 C. 一班有同学的成绩超过140分 D. 一班的平均分高于二班的平均分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了箱线图，根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及到的统计量进行分析判断即可． 【详解】解∶A．观察箱线图知∶二班成绩的箱线图宽度较窄，则二班成绩比一班成绩集中，故原说法错误； B．观察箱线图知∶ 一班成绩的下四分位数是80分，故原说法正确； C．观察箱线图知∶ 一班没有同学的成绩超过140分， 故原说法错误； D．观察箱线图知∶ 一班的平均分低于二班的平均分， 故原说法错误； 故选∶B． 6. 如图，在锐角三角形中，，是边上的中线，以点为圆心，长为半径在的右侧作弧，延长交此弧于点，连接，．四边形是平行四边形的依据是（ ） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵在锐角三角形中，是边上的中线 ∴ 由作图得， ∴四边形是平行四边形，依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形． 7. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，观察图形，列出方程即可. 【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得： (32−2x)(20−x)=570， 故选：A 【点睛】本题考查根据题意列方程.理解题意是解题的关键. 8. 若关于x的一元二次方程（m-1)x2+x-1=0有实数根，则m的取值范围是（　　) A. m< B. m 且m≠1 C. m 且m≠1 D. m>且m≠1 【答案】C 【解析】 【分析】关于x的一元二次方程（m-1)x2+x-1=0有实数根，则≥0且m-1≠0，据此求解即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程（m-1)x2+x-1=0有实数根， ∴≥0且m-1≠0， 即1-4×(m-1)×(-1)≥0且m≠1， 解得：m≥且m≠1， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，注意m-1≠0． 9. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，各小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，P都在格点上，且点P在的外部，，，的面积都相等，则满足条件的点P的个数为（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，根据网格的特点得到，，证明出四边形是平行四边形，得到的面积等于的面积，同理得到，，的面积都相等，进而求解即可． 【详解】如图所示， 由网格可得，， ∴四边形是平行四边形 ∴的面积等于的面积 同理可得，四边形，是平行四边形 ∴的面积等于，的面积 ∴，，的面积都相等 ∴满足条件的点P的个数为3个． 故选：C． 10. 如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接，将沿方向平移至，连接、，则当取得最小值时，的长为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，平行四边形性质和勾股定理，利用勾股定理得到边的长度，根据平行四边形的性质，得知最短即为最短，利用垂线段最短得到点的位置，再根据得到的长度，继而得到的长度，从而即可得解． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形， ，， 最短也就是最短， 过作的垂线，垂足为，连接， ∵垂线段最短， ∴当点P在点处时，最小，即最小， ∵， 即， ∵， ， 则的最小值为， ， ， ∴当取得最小值时，的长为． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若是二次根式，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题的关键．根据被开方数是非负数，建立不等式求解即可． 【详解】解：是二次根式， ，即， 故答案为：． 12. 若点与点关于坐标原点对称，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是．注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 【详解】解：∵点与关于坐标原点对称， ∴，即 故答案为：． 13. 若是方程的一个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 先根据一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 故答案为：． 14. 样本数据5，9，1，3，7，6，10的是________． 【答案】9 【解析】 【分析】先将样本数据从小到大排序，再计算分位数的位置，最后根据百分位数的定义得到结果． 【详解】解：将样本数据从小到大排列，得，，，，，， 样本容量，计算分位数位置 因为不是整数，将向上取整，得，即该分位数为排序后第个数据 故该样本的为． 15. 如图，在中，，点D是上一动点，作且，连接分别是的中点，连接，则长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质． 由勾股定理得出，取中点，连接，证出是的中位线，是的中位线，由三角形中位线定理得出，证出，再由勾股定理求出即可． 【详解】解：∵， ， 取中点，连接，如图所示： ∵分别是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，点是上的一点，点是边上一点，将平行四边形沿折叠，使得点与点重合，得到四边形，点的对应点为点，则的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】作于，过点作于，由 角直角三角形的性质可求，则，证明，那么，而，设，则，则，由折叠可知，，在中，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：如图，作于，过点作于． ∵，， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由折叠可知，，，， ∴，，， ∴， 在和中， ∴； ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， 由勾股定理得， 解得， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题有8小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键． （1）先化简二次根式，再计算加减即可； （2）先计算乘法公式，再计算加减即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）先移项，然后运用因式分解法求解即可； （2）直接运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴或 ∴． 【小问2详解】 解：， ， ∴或， ∴ ． 19. 各顶点都在方格纸格点（横竖格子线的交错点）上的四边形称为格点四边形．在的正方形方格纸中，点均为格点（如图所示），按下列要求画格点四边形． （1）请在图甲中画一个平行四边形，使点在它的一边上，且不与顶点重合． （2）请在图乙中画一个平行四边形，使点在它的对角线上． （注：图甲、图乙在答题纸上） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查格点作图，掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）点O在边上或在边上，利用格点作图即可； （2）点O在边上或在边上，利用格点作图即可． 【小问1详解】 解：画法不唯一，如图1或图2等． 【小问2详解】 解：画法不唯一，如图3或图4或图5或图6等． 20. 某学校从九年级同学中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组(每组20人)进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出下面的统计表和统计图． 甲组成绩统计表 成绩 7 8 9 10 人数 1 9 5 5 乙组成绩统计图 请根据上面的信息，解答下列问题： （1）甲组成绩的中位数是 ，乙组成绩的众数是 ； （2）请求出乙组成绩的平均数； （3）已知甲组成绩的方差为，请求乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定． 【答案】（1）；8 （2） （3）；乙组更加稳定些 【解析】 【分析】本题考查了众数，中位数，平均数，方差，熟练掌握公式是解题的关键． (1)根据中位数，众数的定义计算即可． (2)根据加权平均数的公式计算即可． (3)根据方差计算公式计算即可． 【小问1详解】 根据题意，甲组成绩的是中间两个数据8和9的平均数， 故中位数是， 故答案为：； 乙组中，成绩为8的数据出现了9次，次数最多， 故乙组数据的众数是8， 故答案为：8． 【小问2详解】 根据加权平均数的公式，得 【小问3详解】 ∵乙组的平均数是， ∴其方差为： ∵， 故乙组更加稳定些． 21. 如图，在中，点是边的中点，连接并延长，与的延长线交于． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）24 【解析】 【分析】（1）此题根据平行四边形的性质得到，由此得到内错角相等：，再结合中点条件，可证, 由全等三角形的性质可得，又因为，再根据平行四边形的判定定理：可证是平行四边形． （2）此题根据角平分线的定义可知，又因为，所以，由等腰三角形的判定定理：是等腰三角形，所以，再根据平行四边形的性质：，进而计算出平行四边形的周长． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ，即 ． 点E是的中点， ． 在和中 ， ． 又 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：四边形和四边形都是平行四边形， ， 平分， ， ， ， ，， ，， ， 的周长为24． 22. 某商城在“双11”期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个12元，标价为每个20元． （1）商城举行了“感恩老用户”活动，对于老客户，商城对甲商品连续进行两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元售出，求每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当甲商品每个标价20元时，平均每天能售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个． ①在保证甲每个商品的售价不低于进价的前提下，若商城要想销售甲商品每天的销售额为1190元，则每个应降价多少元？ ②若要使甲商品每天的销售利润最大，每个应该降价多少元？此时最大利润为多少元？ 【答案】（1）每次降价的百分率是 （2）①每个应降价3元；②每个应该降价2元，此时最大利润为360元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键是正确的找到题目中的等量关系且利用其列出方程． （1）设每次降价的百分率为，根据题意得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）①设每个应降价x元，利用销售总额销售单价销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x值，再根据售价不低于进价进行选择即可求出结论； ②设每个应降价x元，利润为W元，列出二者之间的函数关系式，再根据顶点式求出二次函数的最值即可． 【小问1详解】 解：设每次降价的百分率是， 根据题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 每次降价的百分率是； 【小问2详解】 解：设每个应降价x元， ①根据题意得：， 解得或， 售价不低于进价， 舍去， ， 每个应降价3元； ②设甲商品每天的销售利润为W元， 根据题意得 ，当时，W取最大值，最大值为360， 每个应该降价2元，此时最大利润为360元． 23. 定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根满足，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 【答案】（1）此方程为“限根方程”，理由见解析 （2）k的值为2 （3）m的取值范围为或 【解析】 【分析】（1）解该一元二次方程，得出，再根据“限根方程”的定义判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，代入，即可求出，．再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可； （3）解该一元二次方程，得出或．再根据此方程为“限根方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出，且，可求出m的取值范围．最后分类讨论即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， ∴． ∵，， ∴此方程为“限根方程”； 【小问2详解】 ∵方程的两个根分比为， ∴， ． ∵， ∴， 解得：，． 分类讨论：①当时，原方程为， ∴，， ∴，， ∴此时方程是“限根方程”， ∴符合题意； ②当时，原方程为， ∴，， ∴，， ∴此时方程不是“限根方程”， ∴不符合题意． 综上可知k的值为2； 【小问3详解】 ， ， ∴或， ∴或． ∵此方程为“限根方程”， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴，且， ∴，即， ∴且． 分类讨论：①当时， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②当时， ∴， ∵， ∴， 解得：． 综上所述，m的取值范围为或． 【点睛】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．读懂题意，理解“限根方程”的定义是解题关键． 24. 在平行四边形中，点在平行四边形内，连接，，，是等腰直角三角形，，其中． （1）如图，求的度数； （2）如图，在上取点使得，求证：； （3）如图，在问的条件下，若、、在同一直线上，当时，求平行四边形的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）设，可求出，由平行四边形的性质可得出，，由得出，进一步可得出结论； （2）在上截取，连接，，证明四边形是平行四边形，得到，， ，证明，再证明为等腰直角三角形，得，从而可得出结论； （3）过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点，分别求出、的长，根据平行四边形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：设， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，在上截取，连接，； ， ，即． ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ，， ， ， ， ，即， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ； 【小问3详解】 解：过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， 即  设， ∴， ∴， 在中，， ∵，   解得， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，   ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理等知识，正确作辅助线是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金华四中八年级数学期中阶段测试 说明：本卷共三大题，考试时间120分钟，满分120分，请把所有的答案写在答题卷上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 中国经典纹样，千古流传，深受人们喜爱．下列纹样示意图中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 如意纹 B. 风车纹 C. 冰裂纹 D. 柿蒂纹 2. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 用反证法证明：“中，若，则”，应先假设（ ） A. B. C. D. 5. 已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩（分）的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 一班成绩比二班成绩集中 B. 一班成绩的下四分位数是80分 C. 一班有同学的成绩超过140分 D. 一班的平均分高于二班的平均分 6. 如图，在锐角三角形中，，是边上的中线，以点为圆心，长为半径在的右侧作弧，延长交此弧于点，连接，．四边形是平行四边形的依据是（ ） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 7. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 8. 若关于x的一元二次方程（m-1)x2+x-1=0有实数根，则m的取值范围是（　　) A. m< B. m 且m≠1 C. m 且m≠1 D. m>且m≠1 9. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，各小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，P都在格点上，且点P在的外部，，，的面积都相等，则满足条件的点P的个数为（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 10. 如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接，将沿方向平移至，连接、，则当取得最小值时，的长为(　　) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若是二次根式，则的取值范围是______． 12. 若点与点关于坐标原点对称，则的值为__________． 13. 若是方程的一个根，则________． 14. 样本数据5，9，1，3，7，6，10的是________． 15. 如图，在中，，点D是上一动点，作且，连接分别是的中点，连接，则长为__________． 16. 如图，在中，，，，点是上的一点，点是边上一点，将平行四边形沿折叠，使得点与点重合，得到四边形，点的对应点为点，则的长度为________． 三、解答题（本大题有8小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解下列方程： （1） （2） 19. 各顶点都在方格纸格点（横竖格子线的交错点）上的四边形称为格点四边形．在的正方形方格纸中，点均为格点（如图所示），按下列要求画格点四边形． （1）请在图甲中画一个平行四边形，使点在它的一边上，且不与顶点重合． （2）请在图乙中画一个平行四边形，使点在它的对角线上． （注：图甲、图乙在答题纸上） 20. 某学校从九年级同学中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组(每组20人)进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出下面的统计表和统计图． 甲组成绩统计表 成绩 7 8 9 10 人数 1 9 5 5 乙组成绩统计图 请根据上面的信息，解答下列问题： （1）甲组成绩的中位数是 ，乙组成绩的众数是 ； （2）请求出乙组成绩的平均数； （3）已知甲组成绩的方差为，请求乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定． 21. 如图，在中，点是边的中点，连接并延长，与的延长线交于． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，，求的周长． 22. 某商城在“双11”期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个12元，标价为每个20元． （1）商城举行了“感恩老用户”活动，对于老客户，商城对甲商品连续进行两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元售出，求每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当甲商品每个标价20元时，平均每天能售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个． ①在保证甲每个商品的售价不低于进价的前提下，若商城要想销售甲商品每天的销售额为1190元，则每个应降价多少元？ ②若要使甲商品每天的销售利润最大，每个应该降价多少元？此时最大利润为多少元？ 23. 定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根满足，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 24. 在平行四边形中，点在平行四边形内，连接，，，是等腰直角三角形，，其中． （1）如图，求的度数； （2）如图，在上取点使得，求证：； （3）如图，在问的条件下，若、、在同一直线上，当时，求平行四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $