精品解析：云南曲靖市第一中学2026届高三考前教学质量检测数学试题

曲靖一中2026届高三年级教学质量检测（七） 数 学 试 卷 命题人：董善清 审题人：李东林 终审人：张琳 注意事项： 1．考生务必用黑色笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案. 4．本试卷共4页，共19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过一元二次不等式确定集合，再结合交集运算即可求解. 【详解】由 ，解得 ，即 ， 又， 因此 . 2. 已知抛物线经过点，则其焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】因为抛物线过点，所以，即. 所以其焦点到准线的距离为. 3. 在中，，点E是线段AD的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形，根据向量的线性运算结论用，表示，由此确定正确选项. 【详解】∵ E为线段AD的中点 ∴ ， 又， ∴ ， 故选：B. 4. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由函数的解析式可知该函数的定义域为全体非零实数， 因为， 所以该函数是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除选项AC； 当时，，所以排除选项D，所以选项B中的图象有可能是该函数的图象. 5. “”是“直线：和直线：平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】必要性：若直线和平行，则有，解得或， 当时，，不成立，无意义，舍去， 故两直线平行必有，必要性成立； 充分性：时，直线为，直线为， 因为，且，所以两直线平行，充分性成立； 综上所述，“”是“直线和平行”的充分必要条件． 6. 今天是星期一，再过天是星期几（ ） A. 星期二 B. 星期三 C. 星期四 D. 星期五 【答案】D 【解析】 【分析】通过二项式定理将逐步变形为与相关的展开式，消去能被整除的项，最终求得除以的余数，进而推算出对应的选项. 【详解】因为， 由能被整除，则上式前项都能被整除，只需看最后一项除以的余数， 由， 则除以的余数为， 所以今天是星期一，再过天，是星期五. 7. 函数与图象的交点个数为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】在同一坐标系中画出函数与函数交点个数可得答案. 【详解】由题. 在一个周期内，所过5个特殊点对应表格为： 1 0 -1 0 据此可在同一坐标系中画出大致图像如下，由图可得共8个交点. 故选：A 8. 已知数列的前项和，数列的前项和为，若对任意的恒成立，则整数的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由与的关系，求得通项公式，再通过放缩，裂项求和即可求解. 【详解】因为， 当时，， 当时，， 所以， 因为满足上式， 所以， 所以， 所以，又， 所以， 所以.又， 故当对任意的恒成立时，可得， 所以整数的最小值为4. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 9. 下列说法正确的是（   ） A. 若随机变量，则 B. 若事件，相互独立，则 C. 若样本数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为5 D. 用相关指数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 【答案】AD 【解析】 【分析】利用正态曲线的对称性即可判断A，根据随机事件的概率加法公式与互斥事件的概率公式即可判断B；利用方差的性质即可判断C；根据相关指数与残差平方和之间的关系即可判断D. 【详解】对于A：因随机变量，则， 由正态曲线的对称性可得，故A正确； 对于B：由事件，相互独立，可知，对于随机事件，， 都有， 故仅当，互斥时，才有，故该结论不成立，即B错误； 对于C，由题意，， ， 对于数据，，，， 其均值为 ， 其方差为 ，故C错误； 对于D，相关指数越接近1，值越大，残差平方和接近0，值越小， 则该回归模型的拟合效果越好，故D正确. 10. 已知复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】设，得到其在复平面的点坐标，设，证明，从而得到点的轨迹为椭圆，然后得到椭圆方程.结合椭圆中线段分别计算各个选择中的结果即可. 【详解】设，则复数在复平面内对应点，设， 则，同理， ∴，即点的轨迹为椭圆，且椭圆长半轴，焦半径， ∴短半轴，∴点的轨迹方程为：， A选项：，A选项正确； B选项：，B选项正确； C选项：若，即，令，则，∴，C选项正确； D选项：，若，则或，当时，，此时；当时，，此时，D选项错误. 故选：ABC. 11. 如图，该八面体的棱长均为2，且六边形ABCDEF为正六边形，则（ ） A. 平面平面ABCDEF B. 四边形ABHG是正方形 C. 该八面体的体积为 D. 该八面体外接球的体积为 【答案】ABD 【解析】 【详解】在该八面体中，点，，，共面. 因为该八面体的棱长均相等，所以四边形是菱形，所以，平面. 同理，平面. 因为平面，所以平面平面，A正确. 如图，记正六边形的中心为，，的中点分别为，，连接，， 则点，在平面上的投影，分别在直线，上，连接， 则，. 在正六边形中，直线与直线，的夹角均为30°，即，所以， ，，，，. 又因为，所以平面，，所以四边形是正方形，B正确. 连接，，（图略），，，. 同理，可得，所以点到该八面体的顶点的距离均为2，即该八面体外接球的半径为2，该八面体外接球的体积为，D正确. 记点在平面上的投影为（图略）. 该八面体可看成由3个与三棱柱全等的三棱柱，3个与三棱锥全等的三棱锥，及三棱柱构成. 其体积为，C错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差中项性质可得，再利用基本不等式中“1”的应用计算可得结果. 【详解】因为在公差不为0的等差数列中，是与的等差中项， 所以，所以， 因此， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 故答案为： 13. 已知向量，，且，则在方向上的数量投影的取值范围为___________ 【答案】 【解析】 【分析】代入数量投影公式，转化为三角函数值域问题求解. 【详解】在方向上的数量投影为， ，，. 14. 已知过原点的直线与双曲线交于M，N两点，点M在第一象限且与点Q关于x轴对称，，直线NE与双曲线的右支交于点P，若，则双曲线的离心率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先设出相关点的坐标，利用求得点坐标，推理证明（二阶结论），再利用和整体代入即得的齐次式，计算即得离心率. 【详解】 如图，设，则，,根据可得: ,故， 因点均为双曲线上的点，则 由① 因为，所以②，又③， 将②，③两式代入①式得：．故双曲线的离心率． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的方程与几何性质以及关于双曲线的二阶结论 是否熟悉.关键在于能否建立四条直线的斜率之间的数量关系，通过代入消去未知量，得出的齐次式. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某地环境部门监测了16条河流的污染物（主要指磷和氨氮）浓度（单位：）和下游湿地某种水鸟的观测数量（单位：只）. 监测数据如下： 污染物浓度 0.012 0.015 0.018 0.020 0.021 0.023 0.025 0.026 水鸟数量 52 48 45 43 40 42 37 39 污染物浓度 0.028 0.030 0.031 0.032 0.035 0.037 0.038 0.040 水鸟数量 36 32 30 29 28 27 26 22 （1）已知III类河流的标准是污染物浓度不高于 ，估计这16条河流中III类河流的比重（用百分数表示，结果保留两位有效数字）; （2）已知关于的线性回归方程为，污染物浓度平均数，预测在下游湿地观测到33只水鸟时河流的污染物浓度（结果精确到）； （3）某摄影师在这16条河流中随机选取3条不同的河流，前往下游湿地拍摄水鸟照片，每次拍摄1张，求至少有2张照片中出现不少于30只水鸟的概率. 【答案】（1）25% （2）0.030 （3） 【解析】 【分析】（1）根据表格数据得到III类河流的数量然后计算比重即可； （2）先计算出水鸟数量的平均数，代入回归方程得到参数，再利用方程预测时的值； （3）分析事件包含的情况，用组合数得到各种情况的数量，最后根据古典概型计算出概率. 【小问1详解】 根据表格数据，16条河流中污染物浓度的有4条，比重为. 【小问2详解】 水鸟数量的平均数， 所以样本中心点为，代入回归方程得，解得， 即回归方程为，当观测到33只水鸟即时， 根据解得，即预测的污染物浓度为. 【小问3详解】 由表格可知，在这16条河流中，水鸟数量“不少于30只”的共有11条， 设“至少有2张照片中出现不少于30只水鸟”为事件， 则包含两种情况：恰好有2张照片中的水鸟不少于30只，有种情况； 3张照片中的水鸟均不少于30只，有种情况， 根据古典概型的概率计算公式有. 16. 已知点A是圆上的动点，点A在x轴上的射影为B，点P满足，记动点P的轨迹为E． （1）求E的方程； （2）若斜率为2的直线l与y轴交于点D，与E交于M，N两点，证明：为定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设出点的坐标，利用相关点法求解动点的轨迹方程； （2）设直线l的方程为，，，与椭圆方程联立，韦达定理，根据两点距离公式代入韦达定理化简即可证明. 【小问1详解】 设，，因为B为A在x轴上的射影，所以． 已知，则，可得，即． 又因为在圆上，将代入圆方程得， 即，所以E的方程为． 【小问2详解】 设直线l的方程为，，设，． 将代入得：，化简得． 即， 由韦达定理得，． 根据两点间距离公式，， ． 所以． 把，代入得： ． 所以为定值5． 17. 已知函数，． （1）若，求曲线的斜率为1的切线方程； （2）若不等式没有整数解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求导，构造函数，利用导数求得的零点即得时的值，继而求得切点坐标，再用点斜式即可得切线方程. （2）通过参变分离转化为没有整数解，相继构造函数，，利用导数分析的单调性，得存在唯一的使，即，继而再利用的单调性结合得结论：当时，，从而当时，没有整数解. 【小问1详解】 当时，， 则，即， 令，则， 令，得，令，得， 所以，故有且仅有，， 此时，所以曲线的斜率为1的切线方程为在处的切线方程， 该切线方程为． 【小问2详解】 由得，即， 所以没有整数解， 设，， 设，，所以单调递增， 且，， 所以存在唯一的，使，即， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又，所以当时，， 所以当时，没有整数解，即没有整数解． 18. 日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，比如月饼盒.烘焙店在售卖月饼时，为美观起见，通常会用彩绳对月饼盒做一个捆扎，如图所示，并配上花结.图中，正四棱柱的底面是正方形，且，.已知. （1）证明：四点共面. （2）记点关于平面的对称点为，点关于直线的对称点为. （ⅰ）求线段的长； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）结合正四棱柱的性质及对应线段成比例得到，即可得证. （2）（ⅰ）以为原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，可求出点到平面的距离，即可求出； （ⅱ）结合投影向量求出直线的方向向量与平面的法向量，由线面角的向量公式即可得出答案. 【小问1详解】 证明：连接，， 因为底面是正方形，所以，又，所以，所以. 同理可得. 正四棱柱中，，，所以为平行四边形， 所以，由平行线的传递性，得， 所以可确定一个平面，即四点共面. 【小问2详解】 （ⅰ）如图，以为原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，， ， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，取，则，，所以 ， 所以点H到平面的距离， 所以，即线段的长为. （ⅱ）设为的中点，则，且， 因为，所以， 所以，， 由（ⅰ）知，，所以， 则， 易知为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，  ， 故直线与平面所成角的正弦值为. 19. 在中，分别是角的对边，，且. （1）求. （2）设是线段的中点，在线段上，且. ①求面积的最小值； ②求线段的长度的最小值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合可得，利用余弦定理即可； （2）①过点作，得出，再在中利用正弦定理以及两角和差公式得出，利用来表示面积，结合基本不等式可求解； ②由①得出，再构造函数，通过求导研究其单调性，求最值即可. 【小问1详解】 利用正弦定理可化简为， 因为，则，即， 则； 【小问2详解】 ①过点作，垂足为，则，则， 在中利用正弦定理， 有，得， 则 ， 等号成立时，， 故面积的最小值为； ②由①可知，， 令， 则， 令，则， 则得，即； 得，即， 则在上单调递减，上单调递增， 则， 故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曲靖一中2026届高三年级教学质量检测（七） 数 学 试 卷 命题人：董善清 审题人：李东林 终审人：张琳 注意事项： 1．考生务必用黑色笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案. 4．本试卷共4页，共19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知抛物线经过点，则其焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 在中，，点E是线段AD的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. “”是“直线：和直线：平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 今天是星期一，再过天是星期几（ ） A. 星期二 B. 星期三 C. 星期四 D. 星期五 7. 函数与图象的交点个数为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 8. 已知数列的前项和，数列的前项和为，若对任意的恒成立，则整数的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 9. 下列说法正确的是（   ） A. 若随机变量，则 B. 若事件，相互独立，则 C. 若样本数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为5 D. 用相关指数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 10. 已知复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 11. 如图，该八面体的棱长均为2，且六边形ABCDEF为正六边形，则（ ） A. 平面平面ABCDEF B. 四边形ABHG是正方形 C. 该八面体的体积为 D. 该八面体外接球的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为______． 13. 已知向量，，且，则在方向上的数量投影的取值范围为___________ 14. 已知过原点的直线与双曲线交于M，N两点，点M在第一象限且与点Q关于x轴对称，，直线NE与双曲线的右支交于点P，若，则双曲线的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某地环境部门监测了16条河流的污染物（主要指磷和氨氮）浓度（单位：）和下游湿地某种水鸟的观测数量（单位：只）. 监测数据如下： 污染物浓度 0.012 0.015 0.018 0.020 0.021 0.023 0.025 0.026 水鸟数量 52 48 45 43 40 42 37 39 污染物浓度 0.028 0.030 0.031 0.032 0.035 0.037 0.038 0.040 水鸟数量 36 32 30 29 28 27 26 22 （1）已知III类河流的标准是污染物浓度不高于 ，估计这16条河流中III类河流的比重（用百分数表示，结果保留两位有效数字）; （2）已知关于的线性回归方程为，污染物浓度平均数，预测在下游湿地观测到33只水鸟时河流的污染物浓度（结果精确到）； （3）某摄影师在这16条河流中随机选取3条不同的河流，前往下游湿地拍摄水鸟照片，每次拍摄1张，求至少有2张照片中出现不少于30只水鸟的概率. 16. 已知点A是圆上的动点，点A在x轴上的射影为B，点P满足，记动点P的轨迹为E． （1）求E的方程； （2）若斜率为2的直线l与y轴交于点D，与E交于M，N两点，证明：为定值． 17. 已知函数，． （1）若，求曲线的斜率为1的切线方程； （2）若不等式没有整数解，求实数的取值范围． 18. 日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，比如月饼盒.烘焙店在售卖月饼时，为美观起见，通常会用彩绳对月饼盒做一个捆扎，如图所示，并配上花结.图中，正四棱柱的底面是正方形，且，.已知. （1）证明：四点共面. （2）记点关于平面的对称点为，点关于直线的对称点为. （ⅰ）求线段的长； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 在中，分别是角的对边，，且. （1）求. （2）设是线段的中点，在线段上，且. ①求面积的最小值； ②求线段的长度的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $