精品解析：河北秦皇岛市青龙满族自治县2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题

青龙县2025-2026学年第二学期期中学业水平监测 八年级数学试题 本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题 本试卷总分120分，考试时间120分钟． 本试卷答案一律写在答卷纸上，考试结束后，只收答卷纸． 卷Ⅰ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上正确填涂） 1. 妙妙在教室的座位是第3列第6行，记作，东东的座位是第7列第4行，记作（ ）． A. B. C. D. 2. 关于常量和变量表述不正确的是（ ） A. 矩形的面积是，宽为，长为．在这个问题中为常量； B. 在圆的周长公式中，2，为常量，C，r均为变量； C. 在匀速运动公式中，v、S和t均为变量； D. a比b的2倍多1，在这个问题中，2和1是常量，a和b是变量． 3. 我国很早就利用风能进行发电，如图，在发电的过程中，发电机组的输出功率随风速的变化而变化．这一过程中，自变量是（ ） A. 风速 B. 输出功率 C. 发电机 D. 以上都不对 4. 甲打电话给乙：“你在哪儿啊？”在下面乙的回话中，甲能确定乙位置的是（ ） A. 我在你的北方 B. 我和你相距米 C. 我在你北偏东方向的米处 D. 你走米，然后转再走米 5. 上课时，王老师用手在平面直角坐标系中捂住一个点，这个点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 6. 下列各点在函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 7. 老师在黑板上写了四个点，，，，，嘉淇将这些点描在平面直角坐标系中如图所示，其中所描位置有错误的是（　　） A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q 8. 已知y与x成正比例，如果时，，那么时，y为（ ） A. B. 2 C. D. 3 9. 骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化．如图反映了骆驼的体温随时间的变化情况，下列说法错误的是（ ） A. 骆驼体温从最低上升到最高需要12小时 B. 骆驼体温一天内有两次达到℃ C. 从时到时，骆驼的体温逐渐上升 D. 第一天8时与第二天8时，骆驼的体温相同 10. 若P点在第二象限，到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则P点的坐标是（ ） A. B. C. D. 11. 无论取何值，一次函数的图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 12. 下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分） 13. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 14. 将点先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点，则点的坐标是__________． 15. 请写出一个b的值，使一次函数的图象经过第一、三、四象限，__________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上运动，以为边作等边三角形，在点运动过程中，当的最小时，点的坐标为______． 三、解答题（本大题共8个小题；共72分．解答应写出演算步骤、证明过程或文字说明） 17. 已知点． （1）当点在轴上时，求的值； （2）点的坐标是，且轴，求点的坐标． 18. 如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线为：，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． （1）图中（________，________）； （2）若甲虫的爬行路线为，计算甲虫爬行的路程； （3）若甲虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P，请在图中标出点P的位置． 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点A，C的坐标分别为． （1）请在网格中画出相应的平面直角坐标系； （2）请画出关于y轴对称的，并写出点的坐标． 20. 周六，小峰去博物馆参观学习．他从家出发，先去早餐店吃完早餐，然后继续骑自行车去博物馆，参观完博物馆后直接骑自行车回家，如图是小峰离家的距离（）和时间（）之间的关系．根据图象完成下列各题 （1）在这个过程中，自变量是__________，因变量是__________； （2）点A表示的是什么？小峰在博物馆参观了多少分钟？ （3）小峰从博物馆骑自行车回家的平均速度是多少？ 21. 为了画一次函数的图象，嘉嘉在列表过程中的两组对应值如下． x 3 y 2 （1）①将表格补充完整； ②在坐标系中描出以表格中x，y的值为坐标的两个点，并画出一次函数的图象； （2）若点，在一次函数的图象上，当时，______（填“＞”（”或“＝”）； （3）将一次函数的图象向上平移3个单位，再向左平移1个单位，请直接写出平移后直线的表达式． 22. 项目式学习 【项目背景】声音的音调高低由物体振动的频率决定．在自制乐器“水瓶琴”中，我们通过改变水瓶中的水量来调整空气柱长度，从而改变振动频率，发出不同音调．某数学综合实践小组对水瓶中的水量和频率之间的关系进行了如下探究： 项目名称 水瓶琴调音师：用数学模型打造精准演奏的“水之乐器” 驱动性问题 如何通过数学建模与实践探究，设计并制作一把能稳定演奏出标准“”音（）的水瓶琴，并分析模型的适用边界． 数据收集 实践小组选取了6个相同规格的玻璃瓶，分别加入不同水量，用频率测量仪测得以下数据： 编号 1 2 3 4 5 6 水量 40 100 160 220 280 340 频率 544 496 448 400 352 304 实践反思 数学模型是对实际问题的近似描述，它往往只在特定条件和范围内有效．在应用模型时，需要结合实际情况验证其合理性． （1）【数据探究】在平面直角坐标系中描出这些点，并判断y关于x的函数类型． （2）【模型构建】请求出y与x的关系． （3）【模型应用】若想使水瓶琴发出频率为的“”音，请问需要向瓶中加入多少毫升水？ 23. 【问题情境】在平面直角坐标系中，有不重合的两点和点，小明在学习时发现，若，则轴，且线段的长度为，若，则轴，且线段的长度为． （1）【类比应用】若点，，则轴，的长度为______； （2）【联系拓展】已知点，， ①若线段与y轴交于点C，点C把线段分成的两部分时，求m的值； ②若点，，求的长． 24. 一次函数，的图象如图1所示，其中一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与一次函数的图象交于点C． （1）求点A、B的坐标． （2）求的面积． （3）已知一次函数． ①当时，函数有最大值5，求m的值． ②当时，一次函数的图象如图2所示．设y为，，中的最大值，请直接写出y的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青龙县2025-2026学年第二学期期中学业水平监测 八年级数学试题 本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题 本试卷总分120分，考试时间120分钟． 本试卷答案一律写在答卷纸上，考试结束后，只收答卷纸． 卷Ⅰ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上正确填涂） 1. 妙妙在教室的座位是第3列第6行，记作，东东的座位是第7列第4行，记作（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数对与位置的关系，熟练掌握数对中列与行的表示规则是解题的关键．根据妙妙座位的记法，明确数对中列数在前、行数在后的规则，据此确定东东座位的数对表示． 【详解】解：∵ 妙妙座位第3列第6行，记作，即数对中第一个数表示列，第二个数表示行， 东东座位是第7列第4行， ∴ 记作， 故选：． 2. 关于常量和变量表述不正确的是（ ） A. 矩形的面积是，宽为，长为．在这个问题中为常量； B. 在圆的周长公式中，2，为常量，C，r均为变量； C. 在匀速运动公式中，v、S和t均为变量； D. a比b的2倍多1，在这个问题中，2和1是常量，a和b是变量． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查常量与变量的概念．常量是问题中固定不变的量，变量是可以取不同值的量．逐一分析各选项，判断其表述是否正确即可． 【详解】解：选项A：矩形面积公式为，其中3是固定值，为常量；和随矩形形状变化，是变量．表述正确． 选项B：周长公式中，2和π是固定数值，为常量；和随圆的大小变化，是变量．表述正确． 选项C：匀速运动公式中，速度是固定不变的，为常量；路程和时间是变量．选项中将视为变量，表述错误． 选项D：关系式中，2和1是固定数值，为常量；和可变化，是变量．表述正确． 综上，选项C的表述不正确． 故选：C 3. 我国很早就利用风能进行发电，如图，在发电的过程中，发电机组的输出功率随风速的变化而变化．这一过程中，自变量是（ ） A. 风速 B. 输出功率 C. 发电机 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查常量和变量，根据自变量和因变量的意义求解即可． 【详解】解：∵发电机组的输出功率随风速的变化而变化， ∴自变量为风速，因变量为发电机组的输出功率． 故选：A． 4. 甲打电话给乙：“你在哪儿啊？”在下面乙的回话中，甲能确定乙位置的是（ ） A. 我在你的北方 B. 我和你相距米 C. 我在你北偏东方向的米处 D. 你走米，然后转再走米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用方向角和距离确定物体的位置，理解方向角的定义，掌握平面内一个点位置的确定方法是正确解答的关键． 根据平面内一个点位置的确定方法以及方向角的定义进行解答即可． 【详解】解：根据平面内确定一个点位置的方法可知，选项C“我在你北偏东方向的米处”可以确定具体的位置， 故选：C． 5. 上课时，王老师用手在平面直角坐标系中捂住一个点，这个点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点在第三象限点的坐标特点可直接解答． 【详解】解：∵手的位置是在第三象限， ∴手盖住的点的横坐标小于0，纵坐标也小于0， ∴结合选项这个点是． 6. 下列各点在函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将选项中的各点分别代入函数解析式，进行计算即可得到答案． 【详解】解：一次函数图象上的点都在函数图象上， 函数图象上的点都满足函数解析式， A.当时，，故本选项错误，不符合题意； B.当时，，故本选项错误，不符合题意； C.当时，，故本选项错误，不符合题意； D.当时，，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上的点都在函数图象上，是解题的关键． 7. 老师在黑板上写了四个点，，，，，嘉淇将这些点描在平面直角坐标系中如图所示，其中所描位置有错误的是（　　） A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据坐标描点，写出图中各点的坐标，与所给的四个点的坐标比较，即可得到所描错误的点． 【详解】解：由图可得：，，，， ∴点与老师所写的点不一致， 故所描位置有错误的是点Q． 故选：D 8. 已知y与x成正比例，如果时，，那么时，y为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数解析式，根据自变量值的求函数值，设，代入确定解析式，后计算求值即可． 【详解】设， 把，代入解析式，得 ， 解得， 故解析式为， 当时， ， 故答案为：C． 9. 骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化．如图反映了骆驼的体温随时间的变化情况，下列说法错误的是（ ） A. 骆驼体温从最低上升到最高需要12小时 B. 骆驼体温一天内有两次达到℃ C. 从时到时，骆驼的体温逐渐上升 D. 第一天8时与第二天8时，骆驼的体温相同 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，正确的识别图象是解题的关键．根据图象中的信息即可得到结论． 【详解】解：A、一天中，时到时骆驼的体温的变化范围是到，共需要小时，说法正确，该选项不符合题意； B、1时与时骆驼的温度是，说法正确，该选项不符合题意； C、0时到时骆驼体温是下降的，原说法错误，该选项符合题意； D、骆驼第一天8时与第二天8时，骆驼的体温相同，说法正确，该选项不符合题意； 故选：C． 10. 若P点在第二象限，到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则P点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵点在第二象限，且到轴的距离是，到轴的距离是， ∴点纵坐标的绝对值为，横坐标的绝对值为， 又∵第二象限内点的横坐标为负数，纵坐标为正数， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点坐标为， 11. 无论取何值，一次函数的图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将函数解析式整理为关于k的式子，根据无论k取何值等式都成立，令含k项的系数为0，即可求出定点坐标． 【详解】解：∵， ∴整理得， ∵无论取何值，一次函数图象一定经过该定点，等式恒成立， ∴， 解得 ， ∴一次函数图象一定经过定点． 12. 下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数是一一对应的关系，给自变量一个值，有且只有一个函数值与其对应，就是函数，如果不是，则不是函数．由此逐项判断即可． 【详解】解：C、B、D选项中，对于一定范围内自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，所以是的函数； A选项中，对于一定范围内取值时，有个值与之相对应，所以不是的函数． 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分） 13. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分母不能为零，可得 ，即可求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 14. 将点先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点，则点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据坐标平移中点的变化规律，向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减，计算即可得到点的坐标． 【详解】解：∵点先向右平移个单位，再向下平移个单位后得到点， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 15. 请写出一个b的值，使一次函数的图象经过第一、三、四象限，__________． 【答案】（答案不唯一，小于0即可） 【解析】 【分析】根据一次函数的图象经过第一、三、四象限，判断出的取值范围，写出符合范围的任意一个的值即可． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、三、四象限，， ， 可以取（答案不唯一）． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上运动，以为边作等边三角形，在点运动过程中，当的最小时，点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】以为边作等边，连接交轴于点，连接，过作轴于，由“”可证，得，所以点在过点所作的的垂线上运动，当时，最小，再求出，的长，从而求得点的坐标． 【详解】解：以为边作等边，连接交轴于点，连接，过作轴于，如图： ，都是等边三角形， ，，， ，即 在和中， ， ， ，则点在过点所作的的垂线上运动， 当时，最小， 在和中， ， ∴， ∴，则， ，则 ∵点的坐标为， ∴， ， 当时， ∵， ∴， ， 又∵，则 ， ，， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，作出合适的辅助线，通过证明三角形全等得到点C的运动轨迹是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题；共72分．解答应写出演算步骤、证明过程或文字说明） 17. 已知点． （1）当点在轴上时，求的值； （2）点的坐标是，且轴，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据上的点的纵坐标为，可知，解方程即可求出的值； （2）根据轴，可知点与点的横坐标相等，从而可得方程，解方程求出的值，即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：点在轴上， ， 解得：； 【小问2详解】 解：，轴， 点与点的横坐标相等， 即， 解得：， 当时， 可得：， 点的坐标为． 18. 如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线为：，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． （1）图中（________，________）； （2）若甲虫的爬行路线为，计算甲虫爬行的路程； （3）若甲虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P，请在图中标出点P的位置． 【答案】（1）， （2）10 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查坐标确定位置；理解正数与负数在实际问题中的意义是解题的关键. （1）B到D向右走3个格，向下走2个格； （2）先确定A到B，B到C，C到D的行走路线，再将所有路线长度相加即可； （3）根据题意，画出路线图即可. 【小问1详解】 解：根据题意，B到D的路线为， 故答案为：，， 【小问2详解】 解：，， 甲虫爬行的路程为； 【小问3详解】 解：点P如图所示． 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点A，C的坐标分别为． （1）请在网格中画出相应的平面直角坐标系； （2）请画出关于y轴对称的，并写出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）作图见解析，． 【解析】 【分析】（1）根据点A，C的坐标分别为找到直角坐标系的原点，以此构造平面直角坐标系即可； （2）先找出A、B、C三点关于y轴对称的对称点，连接三点画出三角形即可，进而写出点的坐标． 【小问1详解】 解：如图所示为所求： 【小问2详解】 解：如图所示： 则． 20. 周六，小峰去博物馆参观学习．他从家出发，先去早餐店吃完早餐，然后继续骑自行车去博物馆，参观完博物馆后直接骑自行车回家，如图是小峰离家的距离（）和时间（）之间的关系．根据图象完成下列各题 （1）在这个过程中，自变量是__________，因变量是__________； （2）点A表示的是什么？小峰在博物馆参观了多少分钟？ （3）小峰从博物馆骑自行车回家的平均速度是多少？ 【答案】（1）小峰离家时间，小峰离家的距离； （2）点A表示17分钟时小峰到达博物馆，此时离家3000米；小峰在博物馆参观了50分钟 （3）． 【解析】 【分析】本题考查了从函数图像中获取信息，解题的关键是找出变化过程中的自变量和因变量． （1）根据图象作答即可； （2）根据图象作答即可 （3）根据图象得出作从博物馆到家的距离和回家的时间，再作答即可． 【小问1详解】 解：由题意得：自变量是小峰离家时间，因变量是小峰离家的距离； 故答案为：小峰离家时间，小峰离家的距离； 【小问2详解】 由图知：点A表示17分钟时小峰到达博物馆，此时离家3000米；小峰在博物馆参观了50分钟； 【小问3详解】 由图知：小峰从博物馆骑自行车回家的平均速度为： ． 21. 为了画一次函数的图象，嘉嘉在列表过程中的两组对应值如下． x 3 y 2 （1）①将表格补充完整； ②在坐标系中描出以表格中x，y的值为坐标的两个点，并画出一次函数的图象； （2）若点，在一次函数的图象上，当时，______（填“＞”（”或“＝”）； （3）将一次函数的图象向上平移3个单位，再向左平移1个单位，请直接写出平移后直线的表达式． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①把表格数据代入进行计算，即可作答． ②先结合表格数据，再描点，连线，即可画出一次函数的图象 （2）根据②的一次函数的图象，且结合进行分析，即可作答． （3）结合“上加下减，左加右减”得出平移后直线的表达式，即可作答． 【小问1详解】 解：①当时，， 当时，即，则， 补全表格如下： x 1 3 y 2 ②描出表格中x，y的值为坐标的两个点，再连线，画出一次函数的图象，如图所示： 【小问2详解】 解： 由②的函数图像可知，y的值随着x的增大而减小， ∵点，在一次函数的图象上， ∴当时，． 【小问3详解】 解：∵将一次函数的图象向上平移3个单位，再向左平移1个单位， ∴ 即平移后直线的表达式为． 22. 项目式学习 【项目背景】声音的音调高低由物体振动的频率决定．在自制乐器“水瓶琴”中，我们通过改变水瓶中的水量来调整空气柱长度，从而改变振动频率，发出不同音调．某数学综合实践小组对水瓶中的水量和频率之间的关系进行了如下探究： 项目名称 水瓶琴调音师：用数学模型打造精准演奏的“水之乐器” 驱动性问题 如何通过数学建模与实践探究，设计并制作一把能稳定演奏出标准“”音（）的水瓶琴，并分析模型的适用边界． 数据收集 实践小组选取了6个相同规格的玻璃瓶，分别加入不同水量，用频率测量仪测得以下数据： 编号 1 2 3 4 5 6 水量 40 100 160 220 280 340 频率 544 496 448 400 352 304 实践反思 数学模型是对实际问题的近似描述，它往往只在特定条件和范围内有效．在应用模型时，需要结合实际情况验证其合理性． （1）【数据探究】在平面直角坐标系中描出这些点，并判断y关于x的函数类型． （2）【模型构建】请求出y与x的关系． （3）【模型应用】若想使水瓶琴发出频率为的“”音，请问需要向瓶中加入多少毫升水？ 【答案】（1）图见解析，一次函数 （2） （3）需要向瓶中加入水 【解析】 【分析】（1）结合表中数据描出各点，连线可得这些点在同一线上，符合一次函数图像； （2）根据待定系数法求解即可； （3）令，求解即可获得答案． 【小问1详解】 解：如图， 函数类型判断：观察数据，水量每增加，频率减少，变化均匀，且这些点在同一线上，因此是一次函数． 【小问2详解】 解：设，代入和得， 解得， 表达式为． 【小问3详解】 解：当时，， 解得， 所以需要向瓶中加入水． 23. 【问题情境】在平面直角坐标系中，有不重合的两点和点，小明在学习时发现，若，则轴，且线段的长度为，若，则轴，且线段的长度为． （1）【类比应用】若点，，则轴，的长度为______； （2）【联系拓展】已知点，， ①若线段与y轴交于点C，点C把线段分成的两部分时，求m的值； ②若点，，求的长． 【答案】（1）4 （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）由轴得到的长度为求解； （2）①首先求出轴，，然后根据题意分两种情况讨论求解； ②设，求出，，然后利用勾股定理求解． 【小问1详解】 解：∵点，，则轴， ∴的长度为； 【小问2详解】 解：①∵，， ∴轴，， ∵线段与y轴交于点C， ∴，， ∵点C把线段分成的两部分， ∴或． 又∵， 当时，则； 当时，则； 又，， ∴或， ∴或； ②如图，取， ∵，， ∴轴，轴，即 ∴， ∴． 24. 一次函数，的图象如图1所示，其中一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与一次函数的图象交于点C． （1）求点A、B的坐标． （2）求的面积． （3）已知一次函数． ①当时，函数有最大值5，求m的值． ②当时，一次函数的图象如图2所示．设y为，，中的最大值，请直接写出y的最小值． 【答案】（1）， （2） （3）①或；②y的最小值为 【解析】 【分析】（1）在中，求出时的函数值和时的自变量的值即可得到答案； （2）联立直线，求出交点C的坐标，再由三角形面积公式求解面积即可； （3）①分类讨论，根据一次函数的性质求解即可；②先求出三条直线的交点坐标，再分类讨论，根据函数图象求解即可． 【小问1详解】 解：在中，当时，， 当时，， ∴，； 【小问2详解】 解：当时，解得， 此时， ∴， ∴ 【小问3详解】 解：①当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，函数取得最大值，则，解得； 当时，随着的增大而减小， ∵， ∴当时，函数取得最大值，则，解得； 综上，或； ②当时，一次函数解析式为， 联立，得，， 解得， ∴直线，的交点为； 同理可求直线，的交点为；直线，的交点为； 如图： 当时，， ∴， ∵， ∴当时，的最小值为； 当时，最大， ∴， ∵ ∴当时，的最小值为； 当时， ∴， ∵， ∴当时，的最小值为； 综上：的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $