专题04平行四边形易错必刷题型专项训练(29大题型共计94道题)2025-2026学年浙教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦平行四边形章节高频易错点，通过29类典型题型构建"概念辨析-性质应用-判定推理-综合拓展"的递进式训练体系，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |多边形基础|10题型|分类讨论截角问题、方程思想解内角和|从多边形定义到内外角和公式，构建平面图形认知基础| |平行四边形性质与判定|15题型|对角线互相平分转化、三点构造平行四边形策略|以性质为起点，判定为核心，形成"性质-判定-应用"逻辑闭环| |中位线与反证法|4题型|中位线倍长法、反证法三步论证法|拓展平面几何论证维度，培养逻辑推理与创新意识|

专题04平行四边形易错必刷题型专项训练 【不含图形的旋转】 本专题汇总平行四边形章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.多边形的概念与分类 题型02.多边形截角后边数问题 题型03.多边形对角线条数问题 题型04.对角线分割三角形个数问题 题型05.多边形内角和问题 题型06.多(少)算一个角问题 题型07.多边形截角后内角和问题 题型08.复杂图形内角和求解 题型09.多边形外角和实际应用 题型10.多边形内外角和综合 题型11.平行四边形性质计算 题型12.平行四边形性质证明 题型13.平行四边形性质应用 题型14.图形中平行四边形计数问题 题型15.平行线间距离求解问题 题型16.平行线间距离应用问题 题型17.证明四边形是平行四边形 题型18.平行四边形判定辨析题 题型19.补充条件成为平行四边形 题型20.三点构造平行四边形问题 题型21.全等三角形拼接平行四边形 题型22.由平行四边形性质与判定求解 题型23.由平行四边形性质与判定证明 题型24.平行四边形性质与判定的应用 题型25.三角形中位线求解问题 题型26.三角形中位线证明问题 题型27.三角形中位线实际应用 题型28.反证法证明中的假设 题型29.用反证法证明命题 易错必刷题型01.多边形的概念与分类 典题特征：区分多边形类别，判定正多边形 易错点：①混淆凸多边形与凹多边形判定标准 ②判定正多边形只看边长相等，忽视角度相等条件 1．白塔寺是廊坊永清县辽代时期典型的历史文化风貌体现，塔体平面为八边形．下列同为八边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据图形可得： A是七边形；B是八边形；C是九边形；D是五边形． 2．按照某分类标准，可以把下面的四边形分成两类，其中一类是③④，另一类是①②．该分类的标准是______． 【答案】看图中有无直角 【分析】本题考查了多边形的概念与分类，根据题意，得出③④都是有直角的，①②都是无直角的，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵题干的四边形分成两类，其中一类是③④，另一类是①②， ∴该分类的标准是看图中有无直角， 故答案为：看图中有无直角 3．下列说法中，错误的有（    ） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．边形有条边、个顶点、个内角、个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条 【答案】B 【分析】本题考查了多边形，根据多边形的定义及性质逐项判断即可求解，掌握多边形的定义及性质是解题的关键． 【详解】解：．三角形是边数最少的多边形，该选项说法正确； ．长方形不是正多边形，该选项说法错误； ．边形有条边、个顶点、个内角、个外角，该选项说法确； ．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条，该选项说法正确； 故选：． 易错必刷题型02.多边形截角后边数问题 典题特征：已知原多边形边数，求解截去一角后的新边数 易错点：①缺少分类讨论意识，只认定单一结果 ②不掌握截线不同位置对应的三种边数变化规律 4．将一张正方形的纸片减去一个角后，剩下纸片的角的个数为（    ） A．5 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5 【答案】D 【分析】分三种情况，画出图形，即可得出结果． 【详解】解：如图，减去一个角有三种情况，    ∴剩下纸片的角的个数为3或4或5； 故选D． 【点睛】本题主要考查了在不同情况下正方形的不同剪法，做此题考虑要全面不要遗漏，解答此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论． 5．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ___． 【答案】十七边形，或十八边形，或十九边形 【分析】结合题意，根据多边形截角后边数的性质，分三种截下的方式分析，即可得到答案． 【详解】把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，有三种截下的方式： 下图为多边形局部图，如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十七边形 如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十八边形 如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十九边形 ∴原多边形纸片的边数可能是：十七边形，或十八边形，或十九边形 故答案为：十七边形，或十八边形，或十九边形． 【点睛】本题考查了多边形的知识；解题的关键是熟练掌握多边形的性质，从而完成求解． 6．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】首先求出截角后的多边形边数，然后再求原来的多边形边数．　 【详解】解：设截角后的多边形边数为n，则有：（n-2）×180°=1620°，解得：n=11， ∴由下面的图可得原来的边数为10或11或12： 故选D． 【点睛】本题考查多边形的综合运用，熟练掌握多边形的内角和定理及多边形的剪拼是解题关键． 7．如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余的部分是几边形？请画出示意图说明． 【答案】剩余的部分分别为四边形、五边形和六边形，示意图见解析 【分析】本题考查了多边形的截法，正确分类截多边形是解题的关键．分为三种情况，画出图形，解答即可． 【详解】解：如图，剩余的部分分别为四边形、五边形和六边形． 易错必刷题型03.多边形对角线条数问题 典题特征：根据边数计算总对角线条数，或由对角线数量反推边数 易错点：①混淆单顶点对角线条数与总对角线条数公式 ②计算总条数时遗漏除以2 8．过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，则该多边形是______边形． 【答案】六 【分析】本题考查了多边形对角线，根据n边形过一个顶点的所有对角线公式是条可得答案． 【详解】解：设这个多边形是n边形， 则， 解得， 故答案为：六． 9．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线；五边形有2条对角线：六边形有3条对角线：……按此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（   ） A．9条 B．10条 C．11条 D．12条 【答案】A 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，根据从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是边数，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 五边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 六边形从一个顶点出发，可以画条对角线， …， ∴n边形从一个顶点出发，可以画条对角线， ∴十二边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 故选：A． 10．过七边形一个顶点可以引出的对角线将多边形分成了_____个三角形，这个多边形共有______条对角线（   ） A．5，21 B．5，14 C．4，28 D．4，21 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的对角线问题，根据过边形的一个顶点引出的对角线将该多边形分成个三角形分析即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过七边形一个顶点可以引出的对角线将多边形分成个三角形， 七边形共有对角线条数为：（条）， 故选：B． 易错必刷题型04.对角线分割三角形个数问题 典题特征：从多边形单一顶点引对角线，计算分割所得三角形数量 易错点：①记错计算公式，误将n-2记为n ②无法区分顶点连线与图形内点连线的分割差异 11．过五边形的一个顶点作对角线，可将五边形分成______个三角形．内角和是______． 【答案】 3 /度 【分析】过边形的一个顶点作对角线，可将边形分成个三角形，边形的内角和为，据此可得答案． 【详解】解：过五边形的一个顶点作对角线，可将五边形分成个三角形，内角和是． 12．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形是（　　）． A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】C 【分析】本题考查多边形对角线的性质，根据规律：从边形的一个顶点出发的所有对角线，会将多边形分成个三角形，据此列方程求解即可得到边数. 【详解】解：∵从边形一个顶点出发的所有对角线，将多边形分成个三角形，题目中分成个三角形， ∴， 解得， ∴这个多边形是八边形． 故选：． 13．从一个边形的同一顶点出发，分别连接和它不相邻的各顶点．若把这个边形分成8个三角形，则这个多边形的内角和为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查多边形的对角线，多边形的内角和，解题的关键是掌握一个边形，把一个顶点与其它各顶点连接起来，形成的三角形个数为． 一个边形，把一个顶点与其它各顶点连接起来，形成的三角形个数为，再根据内角和公式计算即可． 【详解】解：设多边形边数为，则分成三角形个数为． 由题意，， 解得． 内角和为． 故答案为：． 14．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分． 【初步探究】如图所示，从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形． （1）若多边形是一个五边形，则可以分割成______个三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成______个三角形，…，则n边形可以分割成______个三角形； （2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2026个三角形，那么此多边形的边数为______； 【深入探究】创新小组的小梦同学想到了另一种剖分方法，如下图所示： （1）按照图中所示的方法将多边形分割成三角形，图1中四边形可分割出4个三角形；图2中五边形可分割出______个三角形；图3中六边形可分割出______个三角形； （2）你能由（1）的结论归纳出分割成三角形的个数n与多边形边数m之间的关系吗？ 【答案】初步探究：（1）3，4，；（2）2028；深入探究：（1）5，6；（2） 【分析】本题考查多边形对角线或多边形内一点分多边形的三角形个数问题，根据前几个图形的特点寻找规律是关键． 初步探究：（1）分别求出三角形，四边形，五边形和六边形可以分割的三角形的个数，然后总结出规律求解即可； （2）设此多边形的边数为n，根据题意得到，进而求解即可； 深入探究：（1）根据图中的分割方法求解即可； （2）由（1）的结论总结出规律即可． 【详解】初步探究：（1）根据题意得，若多边形是一个三角形，则可以分割成个三角形； 若多边形是一个四边形，则可以分割成个三角形； 若多边形是一个五边形，则可以分割成个三角形； 若多边形是一个六边形，则可以分割成个三角形 …， ∴n边形可以分割成个三角形； （2）设此多边形的边数为n 根据题意得， ∴ ∴此多边形的边数为2028； 深入探究：（1）图1中四边形可分割出4个三角形； 图2中五边形可分割出5个三角形； 图3中六边形可分割出6个三角形； （2）由（1）可得，三角形的个数n与多边形边数m之间的关系． 易错必刷题型05.多边形内角和问题 典题特征：已知边数求内角和，已知内角和反向求解边数 易错点：①内角和公式记忆出错 ②忽略多边形边数为不小于3的正整数限制 15．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形对角线的性质与多边形内角和定理，掌握过多边形一个顶点的对角线分割三角形的规律，即可计算求解． 【详解】∵过边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形， 题目中分成了个三角形， ∴这个多边形的内角和等于这个三角形的内角和， ∵每个三角形内角和为， ∴这个多边形的内角和为 ． 16．如图，四边形中，与的角平分线交于点，___________． 【答案】105 【分析】先求解，结合角平分线可得，再进一步求解即可. 【详解】解：四边形的内角和为，， ， 分别是、的角平分线， ， ． 17．如图，四边形分别平分四边形的外角和，交于点，若，，则可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查四边形内角和，三角形内角和，角平分线的定义，先证，结合角平分线的定义，得出，再在和中利用三角形内角和定理列式，通过等量代换即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 分别平分和， ，， ， 在中，， 在中，， ， ， ， 解得， 故选：C． 18．如图，四边形的内角，的平分线交于点，，的平分线交于点． (1)若，则____________，____________． (2)猜想与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)200°；100° (2)．理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，三角形内角和为 ，以及角平分线的性质是解题的关键． （1）在中，由的度数利用三角形内角和求出的度数，再根据角平分线性质得到的度数，接着利用四边形内角和求出的度数，结合角平分线求出的度数，最后在中求出的度数； （2）先根据四边形内角和得到四个内角和为，结合角平分线性质得到的度数，再分别在和中用内角和定理，联立推导与的数量关系． 【详解】（1）解：在中； ∵ 平分，平分； ∴； 在四边形中； ∵ 平分，平分； ∴； 在中． ∴． （2）解：．理由如下： ，四边形的内角，的平分线交于点，，的平分线交于点， ． ，， ， ． 易错必刷题型06.多(少)算一个角问题 典题特征：依据错误内角和数值，计算未知角度与多边形边数 易错点：①不会利用内角取值范围判定条件 ②不懂借助除法余数推算真实内角和 19．马小虎在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于 ，则该多边形的边数是_________． 【答案】7或8 【分析】n边形的内角和为，多边形每个内角大于小于，因此少算的2个内角和的范围为，根据多边形内角和定理列出不等式，求解得到正整数n即可． 【详解】解：设少算的2个内角和为，该多边形的边数为n， 根据多边形内角和定理可得：， 整理得， 多边形每个内角满足内角， ∴少算的2个内角和的范围， 即， 移项得， 不等式同除以得， 为正整数， ∴或． 20．下面是明明与佳佳在探究某多边形的内角和时的一段对话：    请根据以上对话内容解答下列问题： (1)明明求的是几边形的内角和？ (2)少加的那个内角为多少度？ 【答案】(1)明明求的是七边形的内角和； (2) 【分析】（1）设少加的那个内角为，这个多边形的边数为，根据题意，列方程求解即可； （2）根据题意，列式求解即可； 【详解】（1）解：设少加的那个内角为，这个多边形的边数为． 根据题意，得， 则． 因为，所以． 解得． 因为为整数，所以． 所以明明求的是七边形的内角和． （2）解：当时，． 所以少加的那个内角为． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，多边形内角和，解题的关键是理解题意，正确列出方程或不等式． 21．请根据对话回答问题： (1)多加的外角是________°；这个凸多边形的边数是________． (2)求这个多边形的内角和及其对角线条数． 【答案】(1)，13； (2)内角和是，对角线有65条 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和以及多边形的对角线问题． （1）根据多边形的内角和公式可得内角和一定是180的倍数，用2024除以180，得到的余数即为多加的外角，再根据多边形的内角和公式可得边数； （2）用2024减去多加的外角即可得到内角和；根据n边形的对角线条数为求解即可． 【详解】（1）解：∵n边形的内角和是， ∴多边形的内角和一定是180的倍数， ∵， ∴多加的外角是， 这个凸多边形的边数是； （2）这个多边形的内角和为， 对角线条数为（条）， 答：这个多边形的内角和是，对角线有65条． 易错必刷题型07.多边形截角后内角和问题 典题特征：结合截角变化情况，计算新多边形整体内角和 易错点：①未先确定截角后的边数变化 ②直接使用原边数代入公式计算 22．一个多边形截去一个角后，形成一个新的多边形内角和为，原来的多边形是几边形？（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题考查多边形的内角和．先根据新多边形内角和求出其边数，再分情况讨论原多边形截去一个角后边数的变化，从而确定原多边形可能的边数． 【详解】解：第一种情况： 当按照顶点的连线剪，此时得到的多边形的边数比原来的边数少， ， 解得：； 第二种情况： 当只过一个顶点剪，此时得到的多边形的边数和原来的边数相等， 解得：， 第三种情况： 当不经过顶点剪时，此时得到的多边形的边数比原来的边数多， 解得：， ∴原来多边形的边数为或者或者． 故选：D． 23．已知一个多边形的内角和是900°，把这个多边形剪去一个角，则剩下多边形的内角和可以是___________． 【答案】或或 【分析】先求出原多边形是七边形，剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变．根据多边形的内角和定理可以知道，边数增加1，相应内角和就增加180度，由此即可求出答案． 【详解】解：∵多边形的内角和是， ∴， 解得：，即原多边形是七边形， 因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变， 当多边形的边数减少了1条边，内角和； 当多边形的边数不变，内角和； 当多边形的边数增加一条边，内角和． 答：将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，在理解剪掉多边形的一个角的含义时，确定其剩余几边形是关键． 24．（1）一个多边形的纸片，小明将这个多边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的内角和为2160°，求原多边形的边数． （2）小明在算另一个多边形纸片的内角和时不小心少算了一个内角，得到的结果为2024°，求它的边数及少算的内角的度数． 【答案】（1）13或14或15；（2）边数为14，内角为 【分析】本题考查多边形的内角和与切割问题： （1）先根据多边形的内角和公式，求出现在多边形的边数，再分三种情况讨论即可； （2）根据多边形的内角和为的整数倍，用2024°除以的结果中的整数加1再加2即为边数，再求出多边形的内角和减去2024°，即可． 【详解】解：（1）设新的多边形的边数为，由题意，得：， ∴， ∵切去一角有如图所示的三种切法，切完后新多边形的边数可以比原多边形多一条边，相等，少一条边，三种情况，      故：原多边形的边数为13或14或15； （2）设多边形的边数为， ∵， ∴， ∴， ∴少算的内角的度数为， 故多边形的边数为14，少算的内角度数为． 易错必刷题型08.复杂图形内角和求解 典题特征：不规则组合图形、星形图形角度总和计算 易错点：①不会用分割法拆解基础几何图形 ②生硬套用常规多边形内角计算公式 25．如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 【详解】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 26．如图，的度数为___________． 【答案】/360度 【分析】本题考查了三角形外角的性质、四边形的内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质得到，再根据四边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴． 故答案为：． 27．（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________． 【答案】 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求得； （2）根据四边形内角和可求得， ，再利用三角形内角关系可得 ，进而可求得． 【详解】解：（1）∵在中，， 在中，， ∴， 故答案为； （2）如图，∵， ， ∴． ∵， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理及多边形内角和定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 易错必刷题型09.多边形外角和实际应用 典题特征：正多边形铺设地面、行进转向角度相关计算 易错点：①误认为外角和随边数增减发生改变 ②未牢记任意多边形外角和固定为360° 28．完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则等于___________． 【答案】/240度 【分析】直接利用多边形的外角和为即可得出答案． 【详解】解：多边形的外角和为， ∴， ∵， ∴． 29．创客小组的同学给机器人设定了如图的程序，机器人从点出发，沿直线前进米后左转，再沿直线前进米，又向左转……照这样走下去，机器人第一次回到出发地点时，一共走的路程是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的外角和定理的应用．由题意可知机器人所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和，即可求出答案． 【详解】解：由题意可知机器人所走的路线为一个正多边形， 该正多边形的边数为：， 他需要走次才会回到原来的起点， 即一共走了（米）． ​故选：C． 30．求下列图中x的值． 【答案】图1中x的值为95，图2中x的值为60 【分析】根据五边形内角和与四边形外角和列方程求解即可． 【详解】在图1中，由五边形内角和可知， 解得：， 在图2中，由四边形外角和可知：， 解得：， 答：图1中x的值为95，图2中x的值为60． 【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，熟记公式是解题的关键． 易错必刷题型10.多边形内外角和综合 典题特征：依据内外角和倍数关系，求解多边形边数 易错点：①混淆单个内角、单个外角与整体内外角和概念 ②审题偏差，弄错题干所求条件 31．若一个正多边形的内角和等于外角和的2倍，则该正多边形的边数是______． 【答案】6 【分析】设边数为n，根据题意可列出方程进行求解． 【详解】解：设多边形有n条边，由题意得： ， 解得． 32．设五边形的内角和为，三角形的外角和为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据多边形的内角和公式、三角形的外角和性质求得、，然后结合选项即可解答． 【详解】解：∵五边形的内角和为，三角形的外角和为， ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查了多边形内角和公式、三角形外角和等知识点，掌握多边形内角和公式为、然后多边形的外角和为是解答本题的关键． 33．一个凸九边形中有三个内角分别为，，，则它的其它内角的度数不可能为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形的内角和，掌握好多边形内角和的计算方法是解题关键 利用九边形内角和公式求出剩余六个内角的和，再根据凸多边形每个内角小于的性质，分析哪个选项作为内角会导致剩余五个内角的和不小于． 【详解】解：九边形内角和为， ∵有三个内角之和为， ∴剩下六个角之和为， 设其中一个角为，则剩下五个角之和为， ∵凸多边形每个内角都小于， ∴， 解得，，只有选项A不满足． 故选：A． 34．已知是两个多边形，请阅读关于的相关信息，并完成下列各小题． (1)刘鹏说：“因为的边数比多，所以的外角和比的大．”请你判断刘鹏的说法是否正确？并说明理由． (2)设的边数为．小红说：“无论取何值，的值始终不变．”请用列方程的方法说明理由． 【答案】(1)错误，理由见详解 (2)理由见详解 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，多边形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握多边形的内角和定理与外角和定理． （1）利用多边形的外角和定理进行判断即可； （2）利用多边形的内角和定理进行证明即可． 【详解】（1）解：该说法错误，理由如下： 根据多边形的外角和定理，任何多边形的外角都等于， 所以，该说法错误； （2）解：假设的边数为，则的边数为， ∴的内角和为， 则的内角和为， ∴， 解方程得， 所以，无论取何值，的值始终不变，为2． 易错必刷题型11.平行四边形性质计算 典题特征：利用性质求解边长、周长、角度、线段长度 易错点：①遗忘邻角互补、对角线互相平分核心性质 ②边长与角度计算过程中出现运算失误 35．如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点．若平行四边形的周长为10，，则四边形的周长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】先利用平行四边形的性质得到边角关系，再由全等三角形的判定方法解题，求得的长，证明即可解题． 【详解】解：四边形是平行四边形，周长为10， 在与中 ， 则的周长 ． 36．如图，平行四边形的对角线交于点，过点作．交于点，连接．若，则___________°． 【答案】/40度 【分析】先根据平行四边形的性质得到对角线互相平分，，推出，再由线段垂直平分线的性质得出，进而得到，最后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：平行四边形的对角线交于点， ，， ， ，， 垂直平分， ， ， ， 故答案为：． 37．如图，在中，，，过点D作于点E，且．点P在上，连接，过点D作于点F，则的最大值为（　　）       A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，由勾股定理可得，连接，由平行四边形的性质可得无论点在上何处，的面积始终是平行四边形面积的一半，表示出，则，要使最大，需要最小，由图可得，当点与点重合时，最小，为，由此即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 连接，如图：    ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴无论点在上何处，的面积始终是平行四边形面积的一半， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴要使最大，需要最小， 由图可得，当点与点重合时，最小，为， ∴的最大值为． 38．如图，在中，，，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线方向以每秒4个单位长度的速度运动，在线段上取一点E，使得，连接，设点P的运动时间为t秒． (1)若，求的长． (2)请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或，见解析 【分析】（1）如图所示，过点作于点，可得是等腰直角三角形，根据边的关系列含的方程，由此即可求解； （2）分类讨论，根据平行四边形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，解得，， ∴， ∴的长为． （2）解：存在，或，理由如下， 第一种情况，当点在线段上时，若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，则， ∴， 解得，； 第二种情况，当点在线段延长线上时，若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，则， ∴， 解得，． 综上所述，存在的值，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形，或． 易错必刷题型12.平行四边形性质证明 典题特征：证明线段相等、角度相等、两直线平行关系 易错点：①推理过程缺少定理依据 ②未判定图形身份直接套用平行四边形性质 39．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件，使为矩形．这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从平行四边形的性质和矩形的判定条件入手．因为矩形的判定定理有“有一个角是直角的平行四边形是矩形”“对角线相等的平行四边形是矩形”，所以逐一分析选项是否符合这些判定条件． 【详解】选项A：，平行四边形邻边相等，可判定是菱形，不能判定为矩形，错误； 选项B：，即平行四边形有一个内角是直角，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可判定是矩形，正确； 选项C：，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不能判定为矩形，错误； 选项D：平行四边形本身就对边相等，是平行四边形的固有性质，无法判定它是矩形，错误． 40．如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 作，交的延长线于点H，求出得，由勾股定理求出，由折叠的性质得，，，得出，设，根据求出，进而可求出的长． 【详解】如图，作，交的延长线于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 由折叠的性质得，，， ∴，， ∴． 设， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 41．如图，在中，点E、F分别在、上，交于点．求证． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质，易证，得出，即可得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ，， ． 在和中， ， ， ， ， ． 易错必刷题型13.平行四边形性质应用 典题特征：平面坐标求值、图形面积相关计算题型 易错点：①坐标位置判断出现偏差 ②面积计算搭配错误的底与对应高 42．如图，的对角线，相交于点，是等边三角形，且，那么的面积是（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】根据等高模型，可知S△AOB＝S△AOD＝S△COD＝S△BOC，求出△AOB的面积即可． 【详解】解：∵△ABO是等边三角形，AB， ∠AOB=60°，OA=OB=AB=2． 作OE⊥AB于点E，则∠AOE=30°， ∴AE=1， ∴OE=， ∴S△AOB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∴S△AOB＝S△AOD＝S△COD＝S△BOC． ∴的面积= 故选：A． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、平行四边形的性质，等高模型等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 43．如图，面积为的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边的2倍，则图中四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质及三角形面积的计算，推出四边形的面积是的4倍是解本题的关键． 根据平移的性质得出四边形是平行四边形，用表示出、，设点A到的距离为h，然后根据三角形的面积公式与平行四边形的面积公式列式进行计算即可． 【详解】面积为的沿方向平移至的位置，平移的距离是边的2倍， ，即， ，， 四边形为平行四边形， 设点A到的距离为h， ， ∴四边形的面积为： 故选：C． 44．探究：如图1，在ABCD中，AC，BD交于点O，过点O的直线交AD于点E，交BC于点F． (1)求证：四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等． (2)直线EF是否将ABCD的面积分成二等份？试说明理由． (3)应用：张大爷家有一块平行四边形菜园，园中有一口水井P，如图2，张大爷计划把菜园平均分成两块，分别种植西红柿和茄子，且使两块地共用这口水井，请你帮助张大爷把地分开． 【答案】(1)证明见解析 (2)直线是将的面积分成二等份，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，同样的方法可证出，，然后根据四边形的周长公式即可得证； （2）先根据平行四边形的性质可得，再根据三角形全等的判定证出，从而可得，根据全等三角形的性质可得，，由此即可得出结论； （3）连接交于点，作直线，则直线两侧的四边形面积相等． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 在和中，， ， ， 同理可证：， ， ， 四边形与四边形的周长相等． （2）解：直线是将的面积分成二等份，理由如下： 四边形是平行四边形， ， 在和中，， ， ， 由（1）已证：，， ，， ， 四边形与四边形的周长相等， 即直线将的面积分成二等份． （3）解：连接交于点，作直线，则直线两侧的四边形面积相等，如图所示： 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 易错必刷题型14.图形中平行四边形计数问题 典题特征：在组合图形内统计平行四边形总数量 易错点：①计数顺序杂乱无章 ②出现重复计数或者遗漏图形的情况 45．如图，和都可以由平移得到，则图中共有____________个平行四边形． 【答案】3 【详解】解：∵和都可以由平移得到， ∴，，， ∴图中的平行四边形有，共三个， 故答案为：． 46．如图，在四边形中，，，则图中共有____个平行四边形，它们分别是_________________（有符号表示）． 【答案】 3 ，， 【分析】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握有两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定数出平行四边形的个数即可． 【详解】解：，， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， 则图中共有个平行四边形，它们分别是，，， 故答案为：；，，． 47．如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握利用中点条件结合平行四边形性质，有序找出所有满足判定的四边形是解题的关键． 利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合中点条件，有序找出所有满足平行四边形判定的四边形，避免遗漏． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，分别是的中点 ∴ ， ， ， ∴ 根据平行四边形的判定定理，图中的平行四边形有： 四边形：已知条件； 四边形：∵且； 四边形：∵且； 四边形：∵且； 四边形：且； 四边形：且； 综上，图中共有个平行四边形． 故选：D． 易错必刷题型15.平行线间距离求解问题 典题特征：求取两条平行线之间的标准距离长度 易错点：①误将斜向线段当作平行线间距离 ②不明确垂线段为距离唯一判定标准 48．如图，已知点A在直线a上，C、B两点在直线b上，且，是个钝角，若，则a、b两直线的距离可以是（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了平行线之间的距离，两条平行线中，过其中一条直线上任意一点向另外一条直线作垂线，这个点和垂足之间的线段的长就是这两条平行线之间的距离． 【详解】根据平行线之间的距离的定义可得、两直线的距离应该小于10， ∴a、b两直线的距离可以是8． 49．如图，已知直线，，，则的高是______． 【答案】 【分析】利用平行线间的距离处处相等得到与中边上的高相等，利用面积求出即可． 【详解】解：过点作，过点作， ， ， ，即， ， ，则的高是． 50．如图，，O为和的平分线的交点，于点E，且，求两平行线间的距离． 【答案】8 【分析】如图，过点O作于点M，交于点N，通过角平分线的性质可得，，即可得出结果． 【详解】解：如图，过点O作于点M，交于点N， ∵， ∴， ∵是的平分线，， ∴， ∵CO是的平分线，， ∴， ∴， ∴与之间的距离是8． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，属于基础题，难度一般，准确作出辅助线，利用角平分线的性质是解题的关键． 易错必刷题型16.平行线间距离应用问题 典题特征：借助距离相等条件求解线段与面积问题 易错点：①不熟悉平行线间距离处处相等的规律 ②不会进行等量替换辅助解题 51．如图，已知直线，则__________．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】利用平行线间的距离处处相等和“同底等高”的三角形面积相等进行解答． 【详解】解：∵， ∴边上的高与边上的高相等（平行线间的距离处处相等）， ∴（“同底等高”的三角形面积相等）． 52．如图，，，，那么图中和面积相等的三角形（不包括）有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据，，平行线之间距离相等，可得三角形之间同底等高，进而得出结论． 【详解】∵，平行线之间距离相等， ∴与同底等高， ∴与面积相等， ∵，平行线之间距离相等， ∴与同底等高， ∴与面积相等， ∵，平行线之间距离相等， ∴与同底等高， ∴与面积相等， ∴与面积相等的三角形为：、、，共有3个． 53．课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用 阅读理解：如图1，已知直线，直线a，b的距离为h，则三角形的面积为．    (1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：； (2)【深化拓展】如图3，记、、、，根据图形特征，试证明：； (3)【灵活运用】如图4，在平行四边形中，点E是线段上的一点，与相交于点O，已知，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平行线间的距离，三角形的面积，掌握转化思想是解题的关键． （1）根据“等底等高”可得，从而，即可得证结论； （2）分别过点C、B作边的垂线，记高分别、，根据三角形的面积可得出，从而得证结论； （3）连接，由得到，从而，进而得到，，由（1）可得，由（2）可得，因此，，进而，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴（等底等高）， ∴， ∴ （2）证明：如图3分别过点C、B作边的垂线，记高分别、，    则， ∴， ∴． （3）解：连接，    ∵， ∴， ∴（两个三角形等高，面积之比等于底边之比）， ∵， ∴， ∵， ∴由（1）可知， ∵由（2）可知，，即， ∴， ∴ ∴． 易错必刷题型17.证明四边形是平行四边形 典题特征：根据已知条件，完整证明四边形判定结论 易错点：①随意拼凑判定条件，定理使用混乱 ②证明逻辑顺序颠倒，推理不严谨 54．如图，将两条不同宽度的长方形纸条重叠在一起，使，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握“平行四边形的对角相等”是解题的关键． 根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵纸条的对边平行，即，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴． 故选：C． 55．如图，在四边形中，，且，，，，分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过_____秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及一元一次方程的应用，解题的关键在于掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法．设点，运动的时间为秒，则，，，，因为，故分两种情况：当或时，列方程解答即可． 【详解】解：设点，运动的时间为秒，则，，，， ， ①当时，四边形是平行四边形， 即，解得； ②当时，四边形是平行四边形， 即，解得； 经过或秒，直线将四边形截出一个平行四边形， 故答案为：或． 56．如图，在平行四边形中，是边上的一点，点，点分别在，延长线上，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，求证：． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)证明过程见解析． 【分析】（1）由平行四边形的性质，可得，，可得，由等边对等角，结合已知可得，可得，即可证得结论； （2）由平行四边形的性质，结合已知可得，证明，可得，可得点为的中点，即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴点为的中点， ∵， ∴， ∴． 易错必刷题型18.平行四边形判定辨析题 典题特征：判断给定条件能否证出平行四边形 易错点：①错误认定一组对边平行另一组对边相等可判定 ②无法区分有效判定与错误判定条件 57．下列条件：两组对边分别平行；两组对边分别相等；有一组对边平行且相等；两条对角线互相平分．其中可以判定四边形是平行四边形的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【详解】解：∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形， ∴符合题意， ∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形， ∴符合题意， ∵有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ∴符合题意， ∵两条对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴符合题意， ∴可以判定平行四边形有4个． 58．下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的是________（填序号）． ①，；②，；③，；④，． 【答案】③ 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出答案． 【详解】解：①∵，，∴四边形是平行四边形，不符合题意； ②∵，，∴四边形是平行四边形，不符合题意； ③，不能判定四边形是平行四边形，符合题意； ④∵，，∴四边形是平行四边形，不符合题意； 故答案为：③． 59．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理，对每个选项逐一判断即可得到结果． 【详解】解：A. 若，，四边形可能是等腰梯形，不能判定是平行四边形，故A不符合题意； B. ， ， ， ，，四边形两组对边分别平行，是平行四边形，故B符合题意； C. 若，，四边形可为等腰梯形，不能判定是平行四边形，故C不符合题意； D. 若， ，无法推出两组对边平行，不能判定是平行四边形，故D不符合题意． 60．如图，在中，，为锐角，点是对角线的中点．数学学习小组要在上找两点、，使四边形为平行四边形，“勤思小组”现总结出甲、乙、丙三种方案如下：    请回答下列问题： (1)以上方案能得到四边形． 为平行四边形的是______． (2)请将（1）中方案的证明过程写下来（如果有多种只写一种即可，写多种方案的证明过程不扣分也不多给分）． 【答案】(1)甲、乙、丙 (2)详见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意即可得出结论； （2）由平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质分别对各个方案进行判断即可． 【详解】（1）解：以上方案都能得到四边形为平行四边形， 故答案为：甲、乙、丙； （2）解：方案甲： 连接，如图，   四边形是平行四边形，为的中点， ，， 、分别为、的中点， ，    四边形为平行四边形 方案乙： 四边形是平行四边形， ，，， ， 平分，平分， ， 在和中， ， ，， ，， ， 四边形是平行四边形． 方案丙： 四边形是平行四边形，    ，， ，， 在和中， ，    四边形为平行四边形． 易错必刷题型19.补充条件成为平行四边形 典题特征：已知部分条件，增添合理条件构成平行四边形 易错点：①补充无效条件，无法满足判定定理 ②不会匹配对应判定方法补充条件 61．在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：如图， A．，，无法证明四边形为平行四边形； B．，，能够证明四边形为平行四边形； C．，，无法证明四边形为平行四边形； D．由可知，无法证明四边形为平行四边形． 62．如图，在四边形中，，是上一点，，从点出发以的速度向点运动，同时从点出发以的速度向点运动，设运动时间为．当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，则的值是______（）． 【答案】或 【分析】根据题意可得，，按照四边形为平行四边形、四边形为平行四边形，进行分类讨论，列方程求解即可． 【详解】解：根据题意可得，， 若四边形为平行四边形，点在线段上，， ∵， ∴， ∴， 解得， 若四边形为平行四边形，点在线段上，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴或． 63．如图，在中，是对角线上的两点，连接．若______，则四边形是平行四边形．请从；；这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，根据；；逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：选择， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 选择，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 选择无法得出四边形是平行四边形． 易错必刷题型20.三点构造平行四边形问题 典题特征：已知三个定点，找出第四个顶点组成平行四边形 易错点：①分类讨论不完整，只能找出一种构造方案 ②不清楚三种定点分组构造思路 64．已知以A，B，C，D四个点为顶点的平行四边形中，顶点A，B，C的坐标分别为，则顶点D的坐标为___________． 【答案】 【分析】分别在平面直角坐标系中确定出A、B、C的位置，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可确定D的位置． 【详解】解：由图可知，满足条件的点D坐标为 故答案为： 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 65．在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，，，则平行四边形第四个顶点D的坐标______． 【答案】或或 【分析】根据平行四边形的性质，画出可能的三种情况，即可得出答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，，， 分别过三个顶点作对边平行线，交点即为点，如图， 当四边形是平行四边形时，即图中，此时中点坐标为，中点坐标为， ∴，解得， ∴点D的坐标为， 同理可得其他两个点D的坐标为，， 故答案为：或或． 66．在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可求解，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： 当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： ∴符合要求的点有个， 故选：． 易错必刷题型21.全等三角形拼接平行四边形 典题特征：利用全等三角形拼接组合平行四边形 易错点：①拼接对应边判断错误 ②不清楚全等三角形拼接的有效组合方式 67．直角边不等的两个全等直角三角形能拼成的不同平行四边形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】因为直角边不等，直角三角形三条边长度均不同，每种对应边重合可得到不同平行四边形，统计个数即可． 【详解】解：分别将两条不同直角边、斜边依次重合拼接，共得到3种不同的平行四边形，如图： ∴能拼成的不同平行四边形的个数是3． 68．在等腰三角形纸片中，，，将此等腰三角形纸片沿底边上的中线剪成两个全等的三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形，则平行四边形的周长为______． 【答案】14或16或18 【分析】如图，过点作于点D，由三线合一得到，然后利用勾股定理求出，然后分三种情况讨论求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点D， ∵，， ∴， ∴，    如图①所示：可得四边形 是矩形，则其四边形的周长为：， 如图②所示：可得四边形是平行四边形，则其四边形的周长为：， 如图③所示：可得四边形是平行四边形，则其四边形的周长为：． 69．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的判定，以及平行四边形的判定，由是由六个全等的正三角形拼成的，可得出是正六边形，进而可得出，则四边形是平行四边形，同理可得出四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形． 【详解】解：∵是由六个全等的正三角形拼成的， ∴是正六边形， ∴，，是正六边形的对角线， 可得， ∴四边形是平行四边形， 同理：四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，共6个， 故选C． 易错必刷题型22.由平行四边形性质与判定求解 典题特征：结合判定与性质，综合计算线段与角度 易错点：①性质定理与判定定理混用 ②解题逻辑思路混乱，步骤衔接不畅 70．如图所示，在中，分别在上，且，若，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，证明四边形为平行四边形即可解答，熟练运用平行四边形的判定和性质是解题的关键；根据题意可证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ， 四边形为平行四边形， ， 故答案为：． 71．如图，E为的对角线上一点，，，连接并延长至点F，使得，过点F作交于点M，连结，则的长为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，，则可得，然后证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故选：B． 72．如图，在与中，点，，，在同一条直线上，连接，，且，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质是解题的关键． （1）根据得出，则，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，进而证明四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在与中 ， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 易错必刷题型23.由平行四边形性质与判定证明 典题特征：先判定图形再利用性质完成几何证明 易错点：①证明关键步骤简略缺失 ②前后定理运用衔接不合理 73．如图，在中，是对角线上的两点，且．给出下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的结论有（   ） A．①②③④⑥ B．②④③⑤⑥ C．①②④⑤⑥ D．①③④⑤⑥ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定的综合运用，理解相关知识是解答关键． 连接交于，过作于，过作于，推出得出平行四边形，可判断①②④；无法判断③正确；证明得出可判断⑤正确；根据可判断⑥正确． 【详解】解：连接交于，过作于，过作于， ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， ． ， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴①正确；②正确；④正确； ∵根据已知不能推出， ∴③错误； ∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴⑤正确； ∵， ∴， ∴， ∴⑥正确． 综上，正确的序号为：①②④⑤⑥． 故选：C． 74．如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为_______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质和平行四边形的性质证出，而，进而得到四边形是平行四边形，由折叠可得，垂直平分，即可得出是直角三角形，再证明，得到，即，最后在中，运用勾股定理进行计算即可得到的长． 【详解】解：由折叠可得，，， 平行四边形中，， ， ， ， ，而， 四边形是平行四边形， ， 由折叠可得，垂直平分， ， 又， ， 是直角三角形， ， ， 又，， ， ， ， 又是的中点，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，平行四边形的判定与性质，等角对等边以及勾股定理的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 75．如图，四边形是平行四边形，，是对角线上的两点且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先证明，得出，，再由平行线的判定可得，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证得结论； （2）根据平行四边形的性质得到，，根据平行线的性质得到，，求得，根据平行四边形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ∵ ∴，即 在和中， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， 四边形是平行四边形，， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ． 易错必刷题型24.平行四边形性质与判定的应用 典题特征：结合实际场景转化几何题型求解 易错点：①无法从题意中提取几何模型 ②实际问题与几何知识点脱节 76．在四边形ABCD中，，，若，则______． 【答案】140° 【分析】根据ABCD，AB=CD，可得四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的性质即可得答案． 【详解】解：∵ABCD，AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC ∵∠A=40°， ∴∠B=140°， 故答案为：140°． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是判定四边形ABCD为平行四边形． 77．某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有，，那么下列说法中错误的是（  ）    A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等 【答案】C 【分析】由题意得出四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形，得出的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，得出四边形的面积四边形的面积，即可得出结论． 【详解】解：如图所示：   ，， 四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形， 的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，故A，D选项正确 四边形的面积四边形的面积，故B选项正确 ∴A、B、D正确，C不正确； 故选：C． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，利用平行四边形性质比较三角形面积大小，结合图形解题较为简便． 78．综合与实践 折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． (1)【感知】如图①，若点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； (2)【探究】如图②，若点三点在同一条直线上，求证：； (3)【应用】如图③，若，连接并延长，交于点F．若平行四边形纸片的面积为6，，求线段的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）由折叠的性质结合平行四边形的性质证明是等腰三角形，即可得出结论； （3）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由折叠的性质可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：由折叠的性质可得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， 点三点在同一条直线上 是等腰三角形， ； （3）解：如图，延长交于点H， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 易错必刷题型25.三角形中位线求解问题 典题特征：利用中位线定理计算线段长度 易错点：①记错中位线与底边的倍数关系 ②倍数大小关系书写颠倒 79．如图，是的中位线，是的高线，若，，则的长度为_______ ． 【答案】 【分析】先结合中位线的性质得，，再运用勾股定理得，故，即可作答． 【详解】解：∵是的中位线， ∴， ∵是的高线， ∴ 则 ∴． 80．如图，在中，D是的中点，平分，，垂足为E，连接．若，则的长是（  ） A．3 B．6 C．4 D．5 【答案】A 【分析】延长交于F，证，得，是中位线，即可求解． 【详解】解：延长交于F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴， ∵D是的中点，， ∴． 81．如图，在中，，点D是边上的一点，延长至点E，使得，过点E作于点F，G为的中点，若，则_______ o． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等、中位线定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质．正确地作出辅助线是解题的关键．延长，交于点，延长交于点，先证明，然后证明是的中位线，可得，可得，再证明，可得，进而利用斜边中线的性质即可求解． 【详解】解：如图，分别延长，交于点，延长交于点， ， ． ， ， ， ． 为的中点， ， ， ． ，， ， ． 在和中， ． ， ∵， ， ， ． 82．如图，在中，，E，F分别是，的中点，延长到点D，使，连接，，，，交于点O． (1)求证：与互相平分． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明是的中位线，得出，，结合题意可得，，进而得出四边形为平行四边形，即可得证； （2）由勾股定理可得，由（1）可得，，求出，，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵E，F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分． （2）解：∵在中，，，， ∴， 由（1）可得：，， ∴， 在中，，， ∴． 易错必刷题型26.三角形中位线证明问题 典题特征：依托中位线定理完成平行、倍分关系证明 易错点：①未确认线段两端为中点就使用定理 ②证明过程缺少中点判定依据 83．如图，在四边形中，点E、F、G、H分别是边和对角线的中点，得四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定与性质定理，三角形中位线的定义和性质，关键是利用三角形中位线定理证明四边形是平行四边形．利用三角形中位线定理可得四边形是平行四边形，因为要使四边形为菱形，所以，则添加的条件是， 【详解】解：∵点E，F，G，H分别是的中点， ∴，且，，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， 要使四边形是菱形， 则， ∵，， ∴， 即当时，四边形是菱形． 故选：B． 84．如图，平行四边形的对角线相交于点，是的中点，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中结论正确的序号有______． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，确定是的中位线是解题的关键．首先可知是等边三角形，得，再利用平行线的性质可得，可知①正确，由，得平分，故②正确；由平行四边形的性质得是的中位线，利用三角形中位线定理可对③进行判断．根据等底同高的三角形面积相等可得，再由③可知，进而可得，可对④进行判断． 【详解】解：是的中点， ， ， ， 又， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 故①正确； ，， ， 平分， 故②正确； 平行四边形的对角线，相交于点， ， 是的中点， 是的中位线， ， 又， ， ， 故③正确； ， ， ，， ， ， ，故④错误． 故答案为：①②③ 85．如图，在中，D，E，F分别是，，的中点，于H．求证：． 【答案】见解析 【分析】先证明是的中位线，，，接着证明，推出四边形为平行四边形，得到．接着利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到，，推出，，从而得到，即可得证． 【详解】证明：∵D、E分别为，中点， ∴，． ∵F为中点， ∴． ∴． ∴四边形为平行四边形． ∴． ∵，D为中点， ∴． ∴． ∵F为中点，， ∴． ∴． ∴． 即， ∴． 易错必刷题型27.三角形中位线实际应用 典题特征：生活实景类题型，运用中位线知识解题 易错点：①不能快速识别实景中的中位线模型 ②不会转化实景条件为几何条件 86．如图，两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了间的距离：先在外选一地点C，然后测出的中点，并测出的长为，由此他就知道了间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的中位线定理解题． 【详解】解：由题意知，点为的中点， ∴，故选项C不合题意； 为的中位线， ∴，且， ∴，故选项A和选项B不合题意； ∵点为的中点， ∴，无法得到，故选项D符合题意． 87．如图，DE是△ABC的中位线，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B=，∠BDF=，那么与的数量关系为____________． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，根据平行线的性质得到∠ADE=∠B=α，根据折叠的性质、平角的定义计算，得到答案． 【详解】解：∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC， ∴∠ADE=∠B=α， 由折叠的性质可知，∠FDE=∠ADE=α， ∵∠FDE+∠ADE+∠BDF=180°， ∴2α+β=180°， 故答案为：2α+β=180°． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、翻转变换的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 88．在中，为的中点，分别延长，到点，，使；过，分别作，的垂线，相交于．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】取、的中点M、N，并连接、、、．根据直角三角形斜边中线性质易得，进而证明． 【详解】解：如图，分别取、的中点M、N，并连接、、、． ∵为的中点， ∴，，，， ， ∵M、N分别为直角三角形斜边的中点， ，， ， ∴， ， ， ∴、为顶角相等的等腰三角形， ． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形和等腰三角形的性质，解题的关键是正确做出辅助线． 易错必刷题型28.反证法证明中的假设 典题特征：书写命题结论的反面假设语句 易错点：①对原结论否定表述用词错误 ②否定逻辑不严谨，假设书写不规范 89．用反证法证明命题：若中，，则，应先假设______． 【答案】 【详解】解：用反证法证明命题：若中，，则，应先假设． 90．下列命题是假命题的有（   ） ①若，则；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③用反证法证明命题“在中，，求证：”时，应先假设；④角平分线上的点到角两边的距离相等；⑤等腰三角形的高线、中线及角平分线重合． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据平方性质、平行线判定、反证法、角平分线性质和等腰三角形性质相关知识点进行判断即可． 【详解】解：①：可得或，故①是假命题； ② 只有在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线才互相平行，命题未给出同一平面的前提，故②是假命题； ③用反证法证明时，应假设结论的反面成立，结论的反面是，命题的假设为，是结论本身，故③是假命题； ④ 角平分线上的点到角两边的距离相等，是角平分线的性质定理，故④是真命题； ⑤ 等腰三角形只有底边上的高线、底边上的中线和顶角的角平分线重合，不是所有高线、中线、角平分线都重合，故⑤是假命题． 综上，假命题共个． 91．求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． (1)你会选择哪一种证明方法？ (2)如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？ 【答案】(1)反证法 (2)答案见解析 【分析】根据题意，画出图形，结合图形写出已知和求证，再运用反证法证明． 【详解】（1）解：反证法； （2）如下图，直线， 求证： 证明：假设与不平行，则直线与相交， 设它们的交点为P，于是经过点P就有两条直线都和直线平行， 这就与“经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行”相矛盾， 所以假设不能成立，故． 【点睛】本题考查了反证法，解题的关键是掌握反证法的步骤，假设命题的结论不成立，从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾即可． 易错必刷题型29.用反证法证明命题 典题特征：按照标准步骤完成反证法整体证明 易错点：①推理得出的矛盾点不清晰 ②整体证明格式混乱，步骤不符合规范 92．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①，这与三角形内角和为相矛盾，不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角（、、）中有两个直角，不妨设．正确顺序的序号为（   ） A．③②① B．①③② C．②③① D．③①② 【答案】D 【分析】反证法的步骤是先假设结论不成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立，据此可得答案． 【详解】解：反证法中第一步先假设结论不成立，即第一步为假设三角形的三个内角（、、）中有两个直角，不妨设， 第二步是推出矛盾，即推出假设不成立，即第二步为，这与三角形内角和为相矛盾，不成立， 第三步为所以一个三角形中不能有两个直角 故正确的顺序为③①②． 93．如图，在中，，是的平分线，是边上的中线．用反证法说明点与点不重合． 【答案】假设点M与点D重合，延长到N，使，连接，可证得，则有和，根据角平分线的性质得，可得到得出矛盾，假设不成立． 【分析】本题主要考查反证法，涉及全等三角形的判定和性质、角平分线的性质以及等腰三角形的性质．假设点M与点D重合，延长到N，使，连接，可证得，有和，根据角平分线的性质得，可得到得出矛盾，假设不成立． 【详解】证明：假设点M与点D重合．延长到N，使，连接． 在和中， ∵是边上的中线． ∴， ∵，， ∴； ∴，； ∵（）是的平分线， ∴， ∴， 则， 即，与相矛盾． 因而M与点D重合是错误的． 所以点M与点D不重合． 94．证明：三角形中至少有一个内角小于或等于． 已知：如图，是的三个内角．求证：中至少有一个角小于或等于． 证明：假设①___________， 所以，②_____________． 这与“③___________”矛盾． 所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于． 【答案】三角形中所有角都大于；；三角形的内角和为 【分析】本题运用反证法证明三角形中至少有一个内角小于或等于，需先假设结论不成立，再根据假设推出与三角形内角和定理矛盾的结论，从而证明原结论成立． 【详解】证明：假设①三角形中所有角都大于， 所以，②． 这与“③三角形的内角和为”矛盾． 所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于 故答案为：三角形中所有角都大于；；三角形的内角和为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04平行四边形易错必刷题型专项训练 【不含图形的旋转】 本专题汇总平行四边形章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.多边形的概念与分类 题型02.多边形截角后边数问题 题型03.多边形对角线条数问题 题型04.对角线分割三角形个数问题 题型05.多边形内角和问题 题型06.多(少)算一个角问题 题型07.多边形截角后内角和问题 题型08.复杂图形内角和求解 题型09.多边形外角和实际应用 题型10.多边形内外角和综合 题型11.平行四边形性质计算 题型12.平行四边形性质证明 题型13.平行四边形性质应用 题型14.图形中平行四边形计数问题 题型15.平行线间距离求解问题 题型16.平行线间距离应用问题 题型17.证明四边形是平行四边形 题型18.平行四边形判定辨析题 题型19.补充条件成为平行四边形 题型20.三点构造平行四边形问题 题型21.全等三角形拼接平行四边形 题型22.由平行四边形性质与判定求解 题型23.由平行四边形性质与判定证明 题型24.平行四边形性质与判定的应用 题型25.三角形中位线求解问题 题型26.三角形中位线证明问题 题型27.三角形中位线实际应用 题型28.反证法证明中的假设 题型29.用反证法证明命题 易错必刷题型01.多边形的概念与分类 典题特征：区分多边形类别，判定正多边形 易错点：①混淆凸多边形与凹多边形判定标准 ②判定正多边形只看边长相等，忽视角度相等条件 1．白塔寺是廊坊永清县辽代时期典型的历史文化风貌体现，塔体平面为八边形．下列同为八边形的是（   ） A． B． C． D． 2．按照某分类标准，可以把下面的四边形分成两类，其中一类是③④，另一类是①②．该分类的标准是______． 3．下列说法中，错误的有（    ） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．边形有条边、个顶点、个内角、个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条 易错必刷题型02.多边形截角后边数问题 典题特征：已知原多边形边数，求解截去一角后的新边数 易错点：①缺少分类讨论意识，只认定单一结果 ②不掌握截线不同位置对应的三种边数变化规律 4．将一张正方形的纸片减去一个角后，剩下纸片的角的个数为（    ） A．5 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5 5．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ___． 6．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A． B． C．或 D．或或 7．如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余的部分是几边形？请画出示意图说明． 易错必刷题型03.多边形对角线条数问题 典题特征：根据边数计算总对角线条数，或由对角线数量反推边数 易错点：①混淆单顶点对角线条数与总对角线条数公式 ②计算总条数时遗漏除以2 8．过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，则该多边形是______边形． 9．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线；五边形有2条对角线：六边形有3条对角线：……按此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（   ） A．9条 B．10条 C．11条 D．12条 10．过七边形一个顶点可以引出的对角线将多边形分成了_____个三角形，这个多边形共有______条对角线（   ） A．5，21 B．5，14 C．4，28 D．4，21 易错必刷题型04.对角线分割三角形个数问题 典题特征：从多边形单一顶点引对角线，计算分割所得三角形数量 易错点：①记错计算公式，误将n-2记为n ②无法区分顶点连线与图形内点连线的分割差异 11．过五边形的一个顶点作对角线，可将五边形分成______个三角形．内角和是______． 12．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形是（　　）． A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 13．从一个边形的同一顶点出发，分别连接和它不相邻的各顶点．若把这个边形分成8个三角形，则这个多边形的内角和为_____． 14．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分． 【初步探究】如图所示，从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形． （1）若多边形是一个五边形，则可以分割成______个三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成______个三角形，…，则n边形可以分割成______个三角形； （2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2026个三角形，那么此多边形的边数为______； 【深入探究】创新小组的小梦同学想到了另一种剖分方法，如下图所示： （1）按照图中所示的方法将多边形分割成三角形，图1中四边形可分割出4个三角形；图2中五边形可分割出______个三角形；图3中六边形可分割出______个三角形； （2）你能由（1）的结论归纳出分割成三角形的个数n与多边形边数m之间的关系吗？ 易错必刷题型05.多边形内角和问题 典题特征：已知边数求内角和，已知内角和反向求解边数 易错点：①内角和公式记忆出错 ②忽略多边形边数为不小于3的正整数限制 15．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 16．如图，四边形中，与的角平分线交于点，___________． 17．如图，四边形分别平分四边形的外角和，交于点，若，，则可表示为（    ） A． B． C． D． 18．如图，四边形的内角，的平分线交于点，，的平分线交于点． (1)若，则____________，____________． (2)猜想与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 易错必刷题型06.多(少)算一个角问题 典题特征：依据错误内角和数值，计算未知角度与多边形边数 易错点：①不会利用内角取值范围判定条件 ②不懂借助除法余数推算真实内角和 19．马小虎在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于 ，则该多边形的边数是_________． 20．下面是明明与佳佳在探究某多边形的内角和时的一段对话：    请根据以上对话内容解答下列问题： (1)明明求的是几边形的内角和？ (2)少加的那个内角为多少度？ 21．请根据对话回答问题： (1)多加的外角是________°；这个凸多边形的边数是________． (2)求这个多边形的内角和及其对角线条数． 易错必刷题型07.多边形截角后内角和问题 典题特征：结合截角变化情况，计算新多边形整体内角和 易错点：①未先确定截角后的边数变化 ②直接使用原边数代入公式计算 22．一个多边形截去一个角后，形成一个新的多边形内角和为，原来的多边形是几边形？（    ） A． B． C． D．以上都有可能 23．已知一个多边形的内角和是900°，把这个多边形剪去一个角，则剩下多边形的内角和可以是___________． 24．（1）一个多边形的纸片，小明将这个多边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的内角和为2160°，求原多边形的边数． （2）小明在算另一个多边形纸片的内角和时不小心少算了一个内角，得到的结果为2024°，求它的边数及少算的内角的度数． 易错必刷题型08.复杂图形内角和求解 典题特征：不规则组合图形、星形图形角度总和计算 易错点：①不会用分割法拆解基础几何图形 ②生硬套用常规多边形内角计算公式 25．如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 26．如图，的度数为___________． 27．（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________． 易错必刷题型09.多边形外角和实际应用 典题特征：正多边形铺设地面、行进转向角度相关计算 易错点：①误认为外角和随边数增减发生改变 ②未牢记任意多边形外角和固定为360° 28．完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则等于___________． 29．创客小组的同学给机器人设定了如图的程序，机器人从点出发，沿直线前进米后左转，再沿直线前进米，又向左转……照这样走下去，机器人第一次回到出发地点时，一共走的路程是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 30．求下列图中x的值． 易错必刷题型10.多边形内外角和综合 典题特征：依据内外角和倍数关系，求解多边形边数 易错点：①混淆单个内角、单个外角与整体内外角和概念 ②审题偏差，弄错题干所求条件 31．若一个正多边形的内角和等于外角和的2倍，则该正多边形的边数是______． 32．设五边形的内角和为，三角形的外角和为，则（　　） A． B． C． D． 33．一个凸九边形中有三个内角分别为，，，则它的其它内角的度数不可能为（   ）． A． B． C． D． 34．已知是两个多边形，请阅读关于的相关信息，并完成下列各小题． (1)刘鹏说：“因为的边数比多，所以的外角和比的大．”请你判断刘鹏的说法是否正确？并说明理由． (2)设的边数为．小红说：“无论取何值，的值始终不变．”请用列方程的方法说明理由． 易错必刷题型11.平行四边形性质计算 典题特征：利用性质求解边长、周长、角度、线段长度 易错点：①遗忘邻角互补、对角线互相平分核心性质 ②边长与角度计算过程中出现运算失误 35．如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点．若平行四边形的周长为10，，则四边形的周长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 36．如图，平行四边形的对角线交于点，过点作．交于点，连接．若，则___________°． 37．如图，在中，，，过点D作于点E，且．点P在上，连接，过点D作于点F，则的最大值为（　　）       A．4 B． C． D． 38．如图，在中，，，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线方向以每秒4个单位长度的速度运动，在线段上取一点E，使得，连接，设点P的运动时间为t秒． (1)若，求的长． (2)请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 易错必刷题型12.平行四边形性质证明 典题特征：证明线段相等、角度相等、两直线平行关系 易错点：①推理过程缺少定理依据 ②未判定图形身份直接套用平行四边形性质 39．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件，使为矩形．这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 40．如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，，则的长为___________． 41．如图，在中，点E、F分别在、上，交于点．求证． 易错必刷题型13.平行四边形性质应用 典题特征：平面坐标求值、图形面积相关计算题型 易错点：①坐标位置判断出现偏差 ②面积计算搭配错误的底与对应高 42．如图，的对角线，相交于点，是等边三角形，且，那么的面积是（    ） A． B． C． D．8 43．如图，面积为的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边的2倍，则图中四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 44．探究：如图1，在ABCD中，AC，BD交于点O，过点O的直线交AD于点E，交BC于点F． (1)求证：四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等． (2)直线EF是否将ABCD的面积分成二等份？试说明理由． (3)应用：张大爷家有一块平行四边形菜园，园中有一口水井P，如图2，张大爷计划把菜园平均分成两块，分别种植西红柿和茄子，且使两块地共用这口水井，请你帮助张大爷把地分开． 易错必刷题型14.图形中平行四边形计数问题 典题特征：在组合图形内统计平行四边形总数量 易错点：①计数顺序杂乱无章 ②出现重复计数或者遗漏图形的情况 45．如图，和都可以由平移得到，则图中共有____________个平行四边形． 46．如图，在四边形中，，，则图中共有____个平行四边形，它们分别是_________________（有符号表示）． 47．如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 易错必刷题型15.平行线间距离求解问题 典题特征：求取两条平行线之间的标准距离长度 易错点：①误将斜向线段当作平行线间距离 ②不明确垂线段为距离唯一判定标准 48．如图，已知点A在直线a上，C、B两点在直线b上，且，是个钝角，若，则a、b两直线的距离可以是（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 49．如图，已知直线，，，则的高是______． 50．如图，，O为和的平分线的交点，于点E，且，求两平行线间的距离． 易错必刷题型16.平行线间距离应用问题 典题特征：借助距离相等条件求解线段与面积问题 易错点：①不熟悉平行线间距离处处相等的规律 ②不会进行等量替换辅助解题 51．如图，已知直线，则__________．（填“>”“<”或“=”） 52．如图，，，，那么图中和面积相等的三角形（不包括）有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 53．课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用 阅读理解：如图1，已知直线，直线a，b的距离为h，则三角形的面积为．    (1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：； (2)【深化拓展】如图3，记、、、，根据图形特征，试证明：； (3)【灵活运用】如图4，在平行四边形中，点E是线段上的一点，与相交于点O，已知，且，求四边形的面积． 易错必刷题型17.证明四边形是平行四边形 典题特征：根据已知条件，完整证明四边形判定结论 易错点：①随意拼凑判定条件，定理使用混乱 ②证明逻辑顺序颠倒，推理不严谨 54．如图，将两条不同宽度的长方形纸条重叠在一起，使，则等于（   ） A． B． C． D． 55．如图，在四边形中，，且，，，，分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过_____秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 56．如图，在平行四边形中，是边上的一点，点，点分别在，延长线上，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，求证：． 易错必刷题型18.平行四边形判定辨析题 典题特征：判断给定条件能否证出平行四边形 易错点：①错误认定一组对边平行另一组对边相等可判定 ②无法区分有效判定与错误判定条件 57．下列条件：两组对边分别平行；两组对边分别相等；有一组对边平行且相等；两条对角线互相平分．其中可以判定四边形是平行四边形的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 58．下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的是________（填序号）． ①，；②，；③，；④，． 59．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 60．如图，在中，，为锐角，点是对角线的中点．数学学习小组要在上找两点、，使四边形为平行四边形，“勤思小组”现总结出甲、乙、丙三种方案如下：    请回答下列问题： (1)以上方案能得到四边形． 为平行四边形的是______． (2)请将（1）中方案的证明过程写下来（如果有多种只写一种即可，写多种方案的证明过程不扣分也不多给分）． 易错必刷题型19.补充条件成为平行四边形 典题特征：已知部分条件，增添合理条件构成平行四边形 易错点：①补充无效条件，无法满足判定定理 ②不会匹配对应判定方法补充条件 61．在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（    ） A． B． C． D． 62．如图，在四边形中，，是上一点，，从点出发以的速度向点运动，同时从点出发以的速度向点运动，设运动时间为．当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，则的值是______（）． 63．如图，在中，是对角线上的两点，连接．若______，则四边形是平行四边形．请从；；这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 易错必刷题型20.三点构造平行四边形问题 典题特征：已知三个定点，找出第四个顶点组成平行四边形 易错点：①分类讨论不完整，只能找出一种构造方案 ②不清楚三种定点分组构造思路 64．已知以A，B，C，D四个点为顶点的平行四边形中，顶点A，B，C的坐标分别为，则顶点D的坐标为___________． 65．在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，，，则平行四边形第四个顶点D的坐标______． 66．在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 易错必刷题型21.全等三角形拼接平行四边形 典题特征：利用全等三角形拼接组合平行四边形 易错点：①拼接对应边判断错误 ②不清楚全等三角形拼接的有效组合方式 67．直角边不等的两个全等直角三角形能拼成的不同平行四边形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 68．在等腰三角形纸片中，，，将此等腰三角形纸片沿底边上的中线剪成两个全等的三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形，则平行四边形的周长为______． 69．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 易错必刷题型22.由平行四边形性质与判定求解 典题特征：结合判定与性质，综合计算线段与角度 易错点：①性质定理与判定定理混用 ②解题逻辑思路混乱，步骤衔接不畅 70．如图所示，在中，分别在上，且，若，则___________． 71．如图，E为的对角线上一点，，，连接并延长至点F，使得，过点F作交于点M，连结，则的长为（    ） A． B．4 C． D．5 72．如图，在与中，点，，，在同一条直线上，连接，，且，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 易错必刷题型23.由平行四边形性质与判定证明 典题特征：先判定图形再利用性质完成几何证明 易错点：①证明关键步骤简略缺失 ②前后定理运用衔接不合理 73．如图，在中，是对角线上的两点，且．给出下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的结论有（   ） A．①②③④⑥ B．②④③⑤⑥ C．①②④⑤⑥ D．①③④⑤⑥ 74．如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为_______． 75．如图，四边形是平行四边形，，是对角线上的两点且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的度数． 易错必刷题型24.平行四边形性质与判定的应用 典题特征：结合实际场景转化几何题型求解 易错点：①无法从题意中提取几何模型 ②实际问题与几何知识点脱节 76．在四边形ABCD中，，，若，则______． 77．某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有，，那么下列说法中错误的是（  ）    A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等 78．综合与实践 折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． (1)【感知】如图①，若点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； (2)【探究】如图②，若点三点在同一条直线上，求证：； (3)【应用】如图③，若，连接并延长，交于点F．若平行四边形纸片的面积为6，，求线段的长． 易错必刷题型25.三角形中位线求解问题 典题特征：利用中位线定理计算线段长度 易错点：①记错中位线与底边的倍数关系 ②倍数大小关系书写颠倒 79．如图，是的中位线，是的高线，若，，则的长度为_______ ． 80．如图，在中，D是的中点，平分，，垂足为E，连接．若，则的长是（  ） A．3 B．6 C．4 D．5 81．如图，在中，，点D是边上的一点，延长至点E，使得，过点E作于点F，G为的中点，若，则_______ o． 82．如图，在中，，E，F分别是，的中点，延长到点D，使，连接，，，，交于点O． (1)求证：与互相平分． (2)若，，求的长． 易错必刷题型26.三角形中位线证明问题 典题特征：依托中位线定理完成平行、倍分关系证明 易错点：①未确认线段两端为中点就使用定理 ②证明过程缺少中点判定依据 83．如图，在四边形中，点E、F、G、H分别是边和对角线的中点，得四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 84．如图，平行四边形的对角线相交于点，是的中点，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中结论正确的序号有______． 85．如图，在中，D，E，F分别是，，的中点，于H．求证：． 易错必刷题型27.三角形中位线实际应用 典题特征：生活实景类题型，运用中位线知识解题 易错点：①不能快速识别实景中的中位线模型 ②不会转化实景条件为几何条件 86．如图，两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了间的距离：先在外选一地点C，然后测出的中点，并测出的长为，由此他就知道了间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 87．如图，DE是△ABC的中位线，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B=，∠BDF=，那么与的数量关系为____________． 88．在中，为的中点，分别延长，到点，，使；过，分别作，的垂线，相交于．求证：． 易错必刷题型28.反证法证明中的假设 典题特征：书写命题结论的反面假设语句 易错点：①对原结论否定表述用词错误 ②否定逻辑不严谨，假设书写不规范 89．用反证法证明命题：若中，，则，应先假设______． 90．下列命题是假命题的有（   ） ①若，则；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③用反证法证明命题“在中，，求证：”时，应先假设；④角平分线上的点到角两边的距离相等；⑤等腰三角形的高线、中线及角平分线重合． A．个 B．个 C．个 D．个 91．求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． (1)你会选择哪一种证明方法？ (2)如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？ 易错必刷题型29.用反证法证明命题 典题特征：按照标准步骤完成反证法整体证明 易错点：①推理得出的矛盾点不清晰 ②整体证明格式混乱，步骤不符合规范 92．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①，这与三角形内角和为相矛盾，不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角（、、）中有两个直角，不妨设．正确顺序的序号为（   ） A．③②① B．①③② C．②③① D．③①② 93．如图，在中，，是的平分线，是边上的中线．用反证法说明点与点不重合． 94．证明：三角形中至少有一个内角小于或等于． 已知：如图，是的三个内角．求证：中至少有一个角小于或等于． 证明：假设①___________， 所以，②_____________． 这与“③___________”矛盾． 所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02无理数与实数易错必刷题型专项训练 本专题汇总无理数与实数章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.无理数 题型02.无理数的大小估算 题型03.无理数整数部分的有关计算 题型04.实数的概念理解 题型05.实数的分类 题型06.实数的性质 题型07实数与数轴 题型08.实数的大小比较 题型09.实数的混合运算 题型10.程序设计与实数运算 题型11.新定义下的实数运算 题型12.实数运算的实际应用 题型13.与实数运算相关的规律题 易错必刷题型01.无理数 典题特征：题目给出包含整数、分数、开方数、无限小数、π相关数等的数集，要求判断其中的无理数，或直接考查无理数的定义。 易错点：① 误将无限循环小数、开方开得尽的数、含π但可化简为有理数的数判定为无理数② 混淆无理数与带根号的数，错误认为带根号的数都是无理数③ 忽略无理数“无限不循环”的本质，误将有限小数判定为无理数 1．下列各数中，是无理数的是（    ） A． B．0.23 C． D． 【答案】C 【详解】解：A．是有理数，不符合题意； B．是有理数，不符合题意； C．是无理数，符合题意； D．，是有理数，不符合题意． 2．在下列各数，0，，，，，中，无理数的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据无理数的定义（无限不循环小数是无理数），逐个化简判断各数，统计无理数个数即可得到结果． 【详解】整数和分数统称为有理数，无限不循环小数是无理数． 是有限小数，是整数，、是分数，是整数，以上均为有理数； 中是无限不循环小数，因此是无理数；，是无限不循环小数，因此是无理数． 故无理数共有个． 3．下列说法：①；②是的平方根；③任何实数不是有理数就是无理数；④两个无理数的和还是无理数；⑤无理数都是无限小数，其中正确的说法有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据算术平方根、平方根、实数的分类、无理数的概念与性质，逐一分析每个说法的正误即可． 【详解】解：①、∵， ∴①错误； ②、∵，而的平方根是， ∴是的平方根， ∴②正确； ③、根据实数的定义：实数分为有理数和无理数两类，不存在其他情况， ∴③正确； ④、如和都是无理数，但，是有理数， ∴④错误； ⑤、根据无理数的定义：无理数是无限不循环小数，属于无限小数， ∴⑤正确； 综上，正确的有②③⑤． 易错必刷题型02.无理数的大小估算 典题特征：给出一个无理数，要求估算其介于哪两个整数之间，或比较无理数与有理数、其他无理数的大小，也会考查估算无理数的近似值。 易错点：① 找错与被开方数相邻的两个完全平方数或完全立方数② 比较含根号的数大小时，未先统一形式直接比较③ 估算近似值时，忽略精度要求，四舍五入出错 4．估计的值在哪两个整数之间（   ） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴，即， ∴的值在和之间． 5．如图，在数轴上表示实数的点可能是_____点． 【答案】 【分析】先估算的值，即可判断． 【详解】解：， ， ， 数轴上表示实数的点可能是点． 6．《九章算术》中勾股术曰：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即（a为“勾”，b为“股”，c为“弦”）．若“勾”为，“股”为2，则“弦”在如图所示的数轴上可表示在（    ） A．A点 B．B点 C．D点 D．C点 【答案】B 【分析】先根据题意求出“弦”，再确定这个数的范围，并在数轴上表示出来可得答案． 【详解】解：设“弦”为x，根据题意，得 ． ∵， ∴， 所以在数轴上表示在点B． 7．南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的近似值．现已知，则使用三次“调日法”可得到的一个更为精确的近似分数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，理解“调日法”的算法规则是解题关键，按照规则依次进行三次计算即可得到结果． 【详解】解：∵． ∴第一次使用“调日法”得． ∵． ∴此时． 第二次使用“调日法”得． ∵． ∴此时． 第三次使用“调日法”得． ∴使用三次“调日法”得到的近似分数为， 故选：C． 易错必刷题型03.无理数整数部分的有关计算 典题特征：给出一个无理数，要求确定其整数部分和小数部分，再进行相关运算，或求含该无理数的代数式的值。 易错点：① 错误表示无理数的小数部分② 计算时忽略小数部分的取值范围③ 涉及负无理数时，整数部分判断错误 8．阅读材料：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．规定：数的整数部分记为，小数部分记为．则的值是____________． 【答案】 【分析】先根据不等式性质确定的整数范围，得到的整数部分，再根据题目定义，用减去其整数部分得到小数部分的值． 【详解】解：， ， 的整数部分为， 小数部分． 9．介于两个相邻的整数之间，那么这两个整数的和为（   ） A．9 B．12 C．15 D．19 【答案】A 【分析】通过计算相邻整数的立方，确定的取值范围，得到两个相邻整数后计算它们的和即可． 【详解】解：∵，， 又∵ ， ∴， 即， ∴介于的两个相邻整数是和， ∴两个整数的和为． 10．若是的整数部分，是的小数部分，则的值______． 【答案】20 【分析】夹逼法求出的值，再进行计算即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 11．若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（   ）式子中的“”，“”依次相间 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的意义，本题是阅读型题，正确理解新定义的含义是解题的关键．利用题干中的新定义依次得到各数的整数部分，计算即可得出结论． 【详解】解：，， 与之间共有个数， ，， 与之间共有个数， ，， 与之间共有个数， ， ，， 与之间共有个数， ． 故选B． 易错必刷题型04.实数的概念理解 典题特征：考查实数的定义，或判断关于实数的命题的真假，也会考查实数与有理数、无理数的从属关系。 易错点：① 遗漏实数分类中的0，误将实数分为正实数和负实数两类② 混淆实数与有理数的范围，认为无限小数不是实数③ 错误认为带根号的数都是实数以外的数 12．实数的相反数是______． 【答案】 【详解】解：的相反数为：． 13．下列说法正确的是（    ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】本题考查实数、有理数的定义，解题的关键是掌握：有理数和无理数统称为实数，整数和分数统称为有理数．据此解答即可． 【详解】解：A．有理数和无理数统称为实数，实数包括正实数、负实数和0，原说法遗漏了0，故原说法不正确，故此选项不符合题意； B．有理数由正有理数、负有理数和0组成，而选项中的“正数”包含了无理数（如），故原说法不正确，故此选项不符合题意； C．有理数和无理数统称为实数，原说法不正确，故此选项不符合题意； D．无理数和有理数统称实数，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 14．下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是；⑤带根号的数都是无理数．其中正确的是________（填序号）． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了实数的相关概念，无理数的概念，倒数的概念，绝对值的定义，解题的关键在于熟练掌握相关概念．根据相关概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：①实数分为有理数和无理数，故①错误； ②无限不循环小数叫作无理数，故②正确； ③，既不是正数也不是负数，故③错误； ④倒数等于它本身的数是，故④正确； ⑤开方开不尽的数是无理数，故⑤错误． 综上所述，正确的有②④， 故答案为：②④． 易错必刷题型05.实数的分类 典题特征：题目给出一组实数，要求按有理数、无理数，或正实数、0、负实数等标准进行分类填空。 易错点：① 分类标准混淆，将有理数与无理数、正实数与负实数的划分逻辑弄混② 遗漏0的归类，或错误将0归为正实数/负实数③ 对可化简的数未先化简就分类，导致分类错误 15．下列实数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C． D．3 【答案】C 【分析】整数和分数统称有理数，无限不循环小数是无理数，根据无理数和有理数的定义，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：都是整数，属于有理数；是无限不循环小数，属于无理数． 16．将下列各数进行分类（填序号即可）： ，，，，，，（每个“”之间依次多一个“”）． 正整数：_______；分数：_______；无理数：_______． 【答案】 【分析】本题考查了实数的分类，掌握相关概念是解题的关键，正整数是大于零的整数；分数包括有限小数和无限循环小数；无理数是无限不循环小数．根据实数的分类即可解答． 【详解】解：是正整数； 是开方开不尽的数，属于无理数； 是整数，不是正整数； 是有限小数，是分数； ，是正整数； 是分数； （每个“”之间依次多一个“”）是无限不循环小数，属于无理数， 故答案为：正整数：；分数：；无理数：． 17．在实数3.1259，，0.1020020002…（每两个2之间依次多一个0），0.1030030003，，，，，，中，无理数有个，有理数有个，非负实数有个，则_________． 【答案】 【分析】根据有理数、无理数和非负实数的定义，对每个实数进行判断，统计数量后计算表达式． 【详解】解：无理数有：（每两个2之间依次多一个0），，共3个，故． 有理数有：，共7个，故． 非负实数有：，，，，，，， ，共8个，故． 则． 故答案为． 【点睛】本题考查了有理数、无理数和非负实数的定义，解决本题的关键是熟练掌握这些定义. 易错必刷题型06.实数的性质 典题特征：考查实数的相反数、绝对值、倒数的求法，或利用实数的非负性解决相关计算。 易错点：① 求负实数的绝对值时符号出错② 忽略0没有倒数的性质，错误计算0的倒数③ 利用非负性解题时，遗漏“几个非负数的和为0则每个非负数都为0”的条件 18．的相反数是（    ） A．2026 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的相反数是． 19．的相反数是_______，绝对值是_______；若，则_______． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了实数的性质．根据相反数的定义以及绝对值的性质解答即可． 【详解】解：的相反数是， 的绝对值是； ∵， ∴． 故答案为：；； 20．设、为实数，则下列说法正确的是（   ） A．，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、若，则，不能确定，所以此项说法错误，不符合题意； B、若，，则，所以，此项说法正确，符合题意； C、若，，则，所以此项说法错误，不符合题意； D、若，则或，所以不一定大于0，此项说法错误，不符合题意； 故选：B． 易错必刷题型07实数与数轴 典题特征：考查实数与数轴上的点的一一对应关系，或根据数轴上点的位置判断实数的大小、符号，也会考查在数轴上表示无理数。 易错点：① 错误认为数轴上的点只对应有理数，忽略无理数也能在数轴上表示② 根据数轴判断实数符号时，混淆原点左右的正负性③ 比较数轴上无理数的大小时，错误判断其对应位置 21．如图，圆的直径为1个单位长度，圆上的点A与数轴上表示的点重合，将这个圆沿数轴向右滚动一周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是（　　） A．π B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查实数与数轴．先求出圆的周长，再根据这个圆沿数轴向右滚动一周，点A到达点B的位置即可求出答案． 【详解】解：由题意可得圆的周长为， ∵将这个圆沿数轴向右滚动一周，点A到达点B的位置， ∴点B表示的数是， 故选：B． 22．如图，以1个单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴交于点，与负半轴的交点为，已知交点表示的数为，则交点表示的数为___________． 【答案】 【分析】根据交点表示的数为，即可得出交点表示的数． 【详解】解：以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴交于点，与负半轴的交点为，且交点表示的数为， 交点表示的数为． 23．如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正方形的面积公式运算出的长，即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴ ∴点所表示的数为． 易错必刷题型08.实数的大小比较 典题特征：给出一组含有理数、无理数的数，要求按大小顺序排列，或比较两个实数的大小。 易错点：① 比较两个负实数大小时，错误认为绝对值大的数更大② 比较无理数与有理数大小时，未先估算无理数的范围就直接判断③ 比较多个实数时，排序逻辑混乱，遗漏部分数 24．在、、1、这四个数中，最小的数是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】先化简可开方的二次根式，再根据实数比较大小的规则判断即可． 【详解】解：， ∵正数大于一切负数， ∴正数和大于两个负数和，排除C，D， 比较两个负数和， ∵，，， ∴， ∴四个数中最小的数是． 25．比较大小：_____3（填写“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 26．，，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数比较大小，得出各数绝对值的大小关系是解题关键． 比较负数大小时，先比较其绝对值，绝对值大的负数反而小. 通过比较、、的大小，得到绝对值关系，再转化为负数大小关系. 【详解】解：∵ ，， ， 且 ， ∴ ， 即. 故选：A. 27．设实数，，满足条件，且．设，，，则，，之间的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数的大小比较，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质． 先化简，根据不等式的基本性质比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵实数，，满足条件， ∴， ∴， ∴， 故选：． 易错必刷题型09.实数的混合运算 典题特征：包含实数的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算，要求按运算顺序计算结果。 易错点：① 运算顺序错误，先算加减后算乘除② 开方运算时符号出错，如误将算成±2③ 运算过程中去括号、合并同类项时符号错误 28．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对选项A，，A错误； 对选项B，与不含有相同的被开方数，所以不能合并，B错误； 对选项C，表示16的算术平方根，结果为，C错误； 对选项D，，，D正确． 29．计算的结果是____． 【答案】/0.5 【分析】本题考查实数的运算，涉及算术平方根、立方根，先计算算术平方根和立方根，再根据有理数的加减运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴原式． 故答案为：． 30．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算开方，再算括号内运算，后算除法，最后算加减的顺序求解即可． 【详解】解：∵==，=，=， ∴原式 = = =． 31．已知：，那么______________． 【答案】1 【分析】设，则，则，，得到，代入化简解答即可． 本题考查了立方和多项式乘法的应用，熟练掌握多项式是解题的关键． 【详解】解：设，则， 则，， 故， 故 ． 32．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： 易错必刷题型10.程序设计与实数运算 典题特征：给出实数运算的程序框图或运算流程，要求按流程输入数值计算输出结果。 易错点：① 未按程序流程的顺序运算，颠倒运算步骤② 循环运算时，错误计算循环次数③ 程序中的条件判断错误，导致分支选择错误 33．一个数值转换器的原理如图．当输入的为时，输出的是（   ） 　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数值转换器的原理，输入后先取算术平方根，若结果为有理数则继续取算术平方根，若结果为无理数则输出，据此逐步计算即可求解． 【详解】解：当时，是有理数， ∴需重新输入进行计算， 是无理数， ∴输出． 34．小明编写了一个程序，如图，若输入，则输出的值为_____． 【答案】/ 【分析】根据流程图和实数运算法则即可求解． 【详解】解：输入，则，然后，4的倒数为，然后得到， ∴输出的数为． 35．如图是一种程序运算图，若输入的值为32，则输出的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】读懂程序计算过程，把x代入程序中计算，判断结果是否是正数，最后得到结果． 【详解】解：， 的立方根为， ， 的立方根为， 2的算术平方根为， ∴输出的值为． 36．如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 【答案】(1) (2)2或3或1 (3)的负整数值为或 【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【详解】（1）解：当时，，，3不是无理数， 再求算术平方根，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）解：∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或； 故答案为：2或3或1； （3）解：若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值为或． 易错必刷题型11.新定义下的实数运算 典题特征：题目给出新的运算符号或运算规则，要求按新规则进行实数运算。 易错点：① 误解新定义的运算规则，套用原有运算规律② 运算时未严格按新定义的顺序计算③ 新定义涉及多层运算时，运算顺序错误 37．定义一个新运算，已知，，则等于（   ） A．8或 B．8 C．2 D．2或 【答案】D 【分析】由得，然后利用定义的新运算列式计算即可． 本题考查有理数的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 当，时， ， 当，时， ， 综上，的值为2或， 故选：D． 38．现对实数，定义一种运算：，则的值为____________． 【答案】 【分析】先计算算术平方根和立方根，再根据新定义运算规则进行计算． 【详解】解：，， 则． 39．自定义运算：，例如： ，若m，n在数轴上位置如图所示，且，则的值等于（    ） A．2025 B．2026 C．2029 D．2030 【答案】C 【分析】首先证明，进而结合，可得，据此求解的值即可． 【详解】解：由数轴可知，，， 即，， ， ， ∴ ∴． 40．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：．我们可以对连续求根整数，直到结果为1为止． 例如：对10连续求根整数2次：，这时候结果为1． （1）对64连续求根整数，__________次之后结果为1． （2）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是__________． 【答案】 3 255 【分析】根据根整数的定义对连续求根整数，统计次数即可得到结果；通过逆推确定取值范围，再验证不同正整数的运算次数，即可得到满足条件的最大正整数． 【详解】解：（1）第一次： =，第二次： =，第三次：=，因此对连续求根整数，次之后结果为； （2）设对正整数连续三次求根整数得，运算过程为：第一次 ，第二次 ，第三次 ， 由 ，得 ，即， ∴要使a最大，则m应取最大整数值3， 由 ，得，即， ∴的最大值为， 由 ，得 ，即 ， ∴只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是． 41．新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为______；的“青一区间”为______； (2)实数，，满足关系式：，，求的“青一区间”． (3)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据“青一区间”定义，通过平方数判断被开方数的范围即可； （2）先解出，的值，计算，再用平方数判断的区间，进而求出的“青一区间”； （3）通过两次区间条件列出的范围，取交集确定的值，再代入计算． 【详解】（1）解：， 的“青一区间”为， ， 的“青一区间”为， 的“青一区间”为． （2）解：， ，即， ， ， ， ， 的“青一区间”为． （3）解：的“青一区间”为， ，即， 的“青一区间”为， ，即， 为正整数，是无理数， ， ． 易错必刷题型12.实数运算的实际应用 典题特征：结合实际生活场景（如几何边长、面积、体积计算等），考查实数运算的应用。 易错点：① 实际问题中对无理数的取舍错误，如边长计算时未取正根② 单位换算错误，导致计算结果不符合实际③ 忽略实际问题对结果的精度要求，未按要求取近似值 42．一罐饮料净重克，罐上注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量为（　　） A．克 B．大于克 C．不小于克 D．不大于克 【答案】C 【分析】根据实数的乘法解决此题． 【详解】由题意得，该饮料中蛋白质的含量最少为克． 该饮料中蛋白质的含量不少于克． 故选：C． 【点睛】本题主要考查实数的运算，熟练掌握实数的乘法是解决本题的关键． 43．设x、y是有理数，并且x、y满足等式，求_________． 【答案】或1/1或 【分析】本题主要考查了实数混合运算的应用，根据已知等式求出x与y的值，即可求出的值． 【详解】解：∵x、y是有理数，并且x、y满足等式， ∴，， 解得：，， 则或． 故答案为：或1． 44．已知表示取三个数中最小的数．例如：，当时，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根及其最值问题，解此类题关键要注意分类思想的运用． 比较、、的大小，最小的值为，再求出的值即可． 【详解】解：由题意可知的取值范围是； 当时，， 此时， 解得， 符合题意； 当时， 此时， 不符合题意舍去； 综上所述：； 故选：B 45．如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确列出算式，是解题的关键： （1）根据直角三角形的面积公式列式计算即可； （2）利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：由题意，三角形的面积为； （2）由题意， ． 易错必刷题型13.与实数运算相关的规律题 典题特征：给出一组实数运算的式子，要求找出其中的运算规律，并用规律解决相关计算。 易错点：① 找规律时只看表面，未总结出通用的规律表达式② 应用规律时，错误代入数值或对应项数③ 验证规律时，遗漏特殊情况（如n=0、n=1的情况） 46．观察下列等式：，，，，，……根据其中的规律可得的结果的个位数字是（    ） A．0 B．1 C．7 D．8 【答案】C 【分析】分析71 = 7，72=49，73=343， 74 = 2401，75= 16807，…，得出个位数字是4个数7，9，3，1循环，由2021÷4 = 505余1即可得出的结果的个位数字是7． 【详解】解：∵71 = 7，72=49，73=343， 74 = 2401，75= 16807，…， ∴个位数字是7，9，3，1循环， ∵2021÷4 = 505余1， ∴的结果的个位数字是7． 故选： C． 【点睛】本题考查了规律型尾数特征，解题关键是分析给出的等式规律，判定出尾数规律． 47．已知，，，……，类比这些等式，若（为正整数），则等于___________． 【答案】63 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与运算，解题的关键是根据所给式子得出结论．通过观察给定等式的规律，发现对于正整数a，等式成立，因此当时，n的值为． 【详解】解：已知，，，……， 可归纳出一般形式：． 当时，． 故答案为63． 48．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意依次计算出，，，，，总结规律可知，线段的长的规律，据此即可求得答案． 【详解】解：根据题意，点表示的数为， ∵， ∴点表示的数为， ∴， ∴点表示的数为， ∵， ∴点表示的数为， ∴， 同理可得，，，， ∴线段， ∴． 49．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续． （1）点表示的数是______． （2）______． 【答案】 / 【分析】本题考查实数与数轴、估算无理数大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解决本题关键． （1）利用，右侧最近的整数点为求解即可； （2）根据实数与数轴的关系，逐一计算各点对应的数，再计算、、……，得出规律即可解决． 【详解】解：（1）根据题意得：表示在数轴上点处， ∵右侧最近的整数点为， ∴点表示的数为2； 故答案为：； （2）∵点表示的数为，点表示的数为2 ∴ ∴ ∴ ∴点表示的数为 ∵ ∴ ∴ ∴点表示的数为3， 同理可得，，，……， 以此类推可得，当n为奇数时，；当n为偶数时，； ． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $