专题02一元二次方程易错必刷题型专项训练(20大题型共计68道题)2025-2026学年浙教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦一元二次方程高频易错点，通过20类题型系统梳理定义、解法、根的性质及应用，提炼典题特征与易错关键，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与参数|2类4题|定义参数需验证二次项系数非零；方程解代入后复核方程类型|从概念本质出发，构建参数求解的严谨逻辑链| |解法|6类20题|因式分解需先化标准式；配方遵循等式同加原则；换元后需回代原未知数|按解法适用场景递进，形成从基础到复杂的求解体系| |根的性质|3类14题|判别式判定根的情况需先化一般式；韦达定理使用前验证判别式非负|衔接解法与根的特征，建立代数推理框架| |应用问题|9类30题|传播问题明确单轮基数；几何问题需舍去负根；营销问题关联单价销量利润|从实际情境抽象数学模型，体现数学与现实的联系|

专题02一元二次方程易错必刷题型专项训练 本专题汇总一元二次方程全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.由一元二次方程的定义求参数 题型02.由一元二次方程的解求参数 题型03.因式分解解一元二次方程 题型04.直接开平法解一元二次方程. 题型05.配方法解一元二次方程 题型06.配方法的应用 题型07.公式法解一元二次方程 题型08.判别式判定根的情况 题型09.由根的情况求参数 题型10.换元法解一元二次方程 题型11.一元二次方程根与系数的关系 题型12.传播问题 题型13.增长率问题 题型14.与图形有关的问题 题型15.营销问题 题型16.动态几何问题 题型17.工程问题 题型18.行程问题 题型19.图表信息问题 题型20.握手.循环赛问题 易错必刷题型01.由一元二次方程的定义求参数 典题特征：题干明确方程为一元二次方程，式中含未知字母参数，根据定义限定条件求解参数取值 易错点：①只关注未知数最高次数为2，忽视二次项系数不为零的硬性要求 ②多组解值未逐一验证，直接全部取用 1．若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知方程是关于的一元二次方程，则的值是______． 3．若方程是关于的一元二次方程，求的值． 易错必刷题型02.由一元二次方程的解求参数 典题特征：已知方程固定实数根，将根代入原方程，构建含参数的等式进行求解 易错点：①数值代入时正负符号书写错误 ②求解参数后，未复核方程依旧符合一元二次方程标准 4．若a是方程的根，则的值为（   ） A．2024 B．2026 C．2028 D．2030 5．若关于的一元二次方程有一根为．则关于的一元二次方程必有一根为___________． 6．已知a是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D．2024 7．定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为______（填序号）． (2)已知是关于的黄金方程，若是此黄金方程的一个根，求的值． (3)已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 易错必刷题型03.因式分解解一元二次方程 典题特征：方程左侧可因式拆分，整体易于分解，适用于结构简洁的整式方程求解 易错点：①未将方程统一整理为右边等于0的标准形式便分解因式 ②方程两边同除含未知数因式，造成有效根缺失 8．一元二次方程的解是（    ） A． B．， C．， D．， 9．对于任意实数a、b，规定运算∶．判定关于x的方程的根的情况：________． 10．方程的解是（  ） A．2或0 B．±2或0 C．2 D．－2或0 11．解下列方程： (1)； (2)． 易错必刷题型04.直接开平法解一元二次方程. 典题特征：方程整体化为完全平方等于常数的固定结构，无需复杂变形即可开方运算 易错点：①开平方运算遗漏负根，只保留单一正数值 ②常数项为负数时，无法准确判定无实数解 12．一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 13．方程的根是_______． 14．解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 易错必刷题型05.配方法解一元二次方程 典题特征：针对任意形式一元二次方程，通过恒等变形配成完全平方式完成求解 易错点：①配方时仅在单侧添加常数，未遵循等式左右同加原则 ②一次项系数拆分计算失误，配方结果偏差 15．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 16．如果方程可以配方成，那么__________． 17．小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下： ①， ②， ③， ④， ⑤， ⑥． 小明的解答从第_____步开始出错，请写出正确的解答过程． 易错必刷题型06.配方法的应用 典题特征：依托配方变形，求解代数式最值、比较式子大小、证明代数恒成立关系 易错点：①配方过程符号变换出错，式子结构变形失真 ②求解最值时，忽略自变量实际取值约束范围 18．用配方法将方程化成的形式，则m，n的值是（    ） A．，9 B．3，9 C．，10 D．3，10 19．当______时，二次三项式有最大值，最大值为______． 20．若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程；与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2018 B．2020 C．2025 D．2030 21．定义：如果关于x的一元二次方程，满足，我们称这个方程为“和谐方程”． (1)根据定义判断，方程________“和谐方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于x的一元二次方程是“和谐方程”，则b的值为多少，并解出这个“和谐方程”； (3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求代数式的最小值． 易错必刷题型07.公式法解一元二次方程 典题特征：通用解方程方法，适用于所有有实数根的一元二次方程，固定套用求根公式计算 易错点：①记错求根公式整体结构与符号 ②未统一化为一般式，错误代入各项系数数值 22．若一元二次方程的两根是，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 23．对于任意实数a，b，定义．若，则a的值为____． 24．满足方程的所有正整数解有：（    ） A．一组 B．二组 C．三组 D．四组 25．小明在解方程时出现了错误，解答过程如下： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)小明解答过程开始出错的是_______； (2)写出此题正确的解答过程． 易错必刷题型08.判别式判定根的情况 典题特征：通过计算根的判别式数值，精准区分方程无实根、一个实根、两个不等实根三类情况 易错点：①判别式代数式计算运算失误 ②混淆三类根的判定标准，概念界定模糊 26．关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 27．关于的一元二次方程根的情况是______． 28．已知，，，则关于的方程的根的情况是（   ） A．无实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有无数个实数根 29．已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)如果此方程的两个实数根都为整数，求整数的值． 易错必刷题型09.由根的情况求参数 典题特征：给定方程根的限定条件，反向推导式中字母参数的取值范围或具体数值 易错点：①求解范围时遗漏二次项系数非零前提 ②不等关系判定方向出错，取值区间界定错误 30．若关于的方程 有两个相等的实数根，则______． 31．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 32．设m满足不等式，且关于x的一元二次方程有两个整数根，则符合条件的整数m的个数为______． 33．对于任意实数a，b，c有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算．例如，． (1)求关于x的一元二次方程的解； (2)若关于x的一元二次方程无实数根，求k的取值范围． 易错必刷题型10.换元法解一元二次方程 典题特征：针对结构复杂、重复式较多的高次整式方程，设新元简化方程结构再计算 易错点：①新设变量取值范围把控不当 ②算出新元数值后，忘记回代换算原未知数结果 34．当时，的值为（　　） A． B．1 C．1或 D．0 35．关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是______． 36．方程的负整数解为______． 37．【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①． 解方程①可得，． 当时，，即，∴； 当时，，即，∴． ∴原方程的解为，，，． 【解决问题】 (1)方程的解为______； (2)已知，求的值； (3)请仿照材料中的方法，解方程：． 易错必刷题型11.一元二次方程根与系数的关系 典题特征：不求解具体根值，直接利用韦达定理整体代换，完成代数式化简与求值计算 易错点：①记错两根和、两根积的对应符号规则 ②使用定理前，未验证方程存在实数根 38．已知是方程的两个根，则的值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 39．若m，n是方程的两个实数根，则的值为____ ． 40．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 41．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，其中为实数． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 易错必刷题型12.传播问题 典题特征：以病毒扩散、人员传播为背景，按照逐轮倍增规律构建方程计算总数量 易错点：①错误理解单轮传播基数，列式倍数关系错乱 ②传播轮次统计不清，方程模型构建错误 42．一种电脑病毒每一台可传播给若干台，若一台电脑感染病毒，经两轮传播后共有49台电脑感染，则这种病毒每轮每台平均可传播________台． 43．九年级一班班长在接到学校紧急通知后，通知了班级的x名班委，班委接到通知后，又分别通知了班级的其他x名同学，这样包括班长在内的全班57名同学就都知道了该通知，求x的值． 44．数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 易错必刷题型13.增长率问题 典题特征：已知初始基数与涨跌幅度，计算连续多次增减变化后的最终对应数值 易错点：①单次增长与多次连续增长公式混用 ②求解所得数值未结合现实场景合理取舍 45．某高科技公司今年1月份的产值是2000万元，3月份的产值是4500万元，如果之后每月的增长率都与1月到3月的月平均增长率相同，月产值首次突破1亿元的月份是（    ） A．4月份 B．5月份 C．6月份 D．7月份 46．错题本是同学们整理知识点，提升复习效率的好帮手．某校周边文具店销售的新款活页错题本深受学生喜爱．经销商统计了该款错题本3月份到5月份的销量：3月份销售125本，5月份销售180本． (1)求该款活页错题本3月至5月销售量的月平均增长率； (2)若该款错题本的进价为每本8元，经市场调研发现，当售价为每本12元，月销售量为200本，若在此基础上售价每本上涨0.5元，则月销售量将减少10本．为使月销售利润达到960元，现需适当涨价且尽可能让学生得到实惠，则该款错题本的实际售价应定为每本多少元？ 47．某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为162元/件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种商品每次降价的百分率； (2)若该种商品进价为156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用150元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1450元，每件应降价多少元? 易错必刷题型14.与图形有关的问题 典题特征：结合几何图形边长、周长、面积等数量关系，建立一元二次方程解答实际问题 易错点：①几何等量关系式构建不符合图形实际特征 ②求解后未舍去边长为负数的不合理解 48．如图，有一长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙足够长），另三边用竹篱笆围成，竹篱笆的总长为米，与墙平行的边留有米宽的门（门用其他材料做成），若鸡场的面积为平方米，则鸡场与墙垂直的边长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米或米 49．综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） (1)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； (2)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 50．某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等． (1)求停车位的宽． (2)该商场停车场原收费8元/小时，日均运营成本200元，高峰时段（12小时）车位全满，平峰时段（12小时）使用率．现计划调整收费：每小时上涨a元，高峰时段使用率不受影响，但平峰时段使用率会降低（因涨价导致部分车主选择其他停车场），若调整后日均利润为9208元，求a的值． 易错必刷题型15.营销问题 典题特征：围绕商品单价、销售数量、总利润三者关联关系，建立方程求解定价方案 易错点：①单价变动对应的销量变化量推算错误 ②忽略商品定价、销量的现实约束条件 51．某商场销售一批运动休闲衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件休闲衫每降价元，商场平均每天可多售出件．若商场销售该批休闲衫平均每天盈利元，每件休闲衫应降价多少元？设每件休闲衫降价元．根据题意，列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 52．2026年4月5日是清明节，清明节前一周，铂航妈妈到超市购买了6个肉松青团和8个红豆青团，共付款54元，已知每个红豆青团比每个肉松青团贵元． (1)求每个肉松青团和每个红豆青团各多少元． (2)为进一步提升青团的销量，超市将两种青团分别包装成A，B两种礼盒销售，两种礼盒每盒都有16个青团（包装成本忽略不计），A礼盒中有个肉松青团，B礼盒中有个红豆青团．包装后每个青团降价元，统计发现，A，B两种礼盒的销量分别为盒、盒，A，B两种礼盒的销售总额为4100元，求m的值． 53．某社区为丰富居民文化生活，新建了一个图书室，初始藏书量为200册．参照以往的管理统计，当每本书的月借阅费定为6元时，所有藏书均可被借出；月借阅费每增加1元（增加费用不超过5元），未被借出的图书将增加4册；已借出的书每册月维护成本为2元（包括消毒、修补）；未被借出的书每册月仓储管理成本为1元． (1)当月借阅费为10元时，求图书的借阅量； (2)设每本书的月借阅费增加a元，写出该图书室月维护与管理成本的总和（用含a的代数式表示）； (3)若每月借阅利润为1144元，求每本书的月借阅费． 易错必刷题型16.动态几何问题 典题特征：几何图形内存在动点，随时间变化改变线段长度，结合几何关系列方程解题 易错点：①动点运动后的线段长度表达式书写错误 ②几何边长约束条件未纳入解题判定 54．如图，中，，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为．当的面积等于四边形的面积的时，的值为_________秒． 55．如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 56．如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为秒． (1)________（用含的代数式表示）； (2)点在边上运动时．当是等腰三角形时，求出此时的值． (3)点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． (4)点在运动过程中，通过计算说明能否把的周长平分？ 易错必刷题型17.工程问题 典题特征：以工程施工、任务完成为背景，依托工作总量、效率、时间三者关系列式 易错点：①多人合作工作效率拆分计算错误 ②整体工作总量设定逻辑混乱，等量关系失衡 57．某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 58．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 59．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 易错必刷题型18.行程问题 典题特征：结合相遇、追及、变速行驶等场景，依靠路程速度时间公式构建方程求解 易错点：①速度、时间、路程三者对应关系颠倒 ②变速路段拆分不清，整体列式逻辑混乱 60．在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，小球的滚动速度平均每秒减少2米/秒，小球滚动24米用了______秒． 61．在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 62．在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少___________米/秒，从开始到滚动了秒后小球的速度为___________米/秒； (2)小球滚动24米用了多少秒？ 易错必刷题型19.图表信息问题 典题特征：题干以表格、函数图像呈现数据，提取有效信息转化为数学方程作答 易错点：①读取图表数据出现看错、读错情况 ②无法将图表信息精准转化为代数等量关系 63．如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    64．某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 65．疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 易错必刷题型20.握手.循环赛问题 典题特征：多人两两组合互动类计数题型，遵循固定组合规律建立方程计算总次数 易错点：①计算组合次数时出现重复统计 ②混淆单循环与双循环的列式计算公式 66．2024年11月3日，大连足球在万众期待中迎来历史性时刻，时隔一年重返中国足球超级联赛（中超），彰显了大连在中国足球历史上的重要地位．2025 年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛 240 场．求本次联赛共有多少支球队． 67．九年级乒乓球赛制采用单循环形式（每两人之间进行一场比赛）． (1)若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？ (2)以下是小文和小博对比赛总场数的统计，判断小博的说法是否正确，并说明理由． (3)若八年级也举行单循环赛制的乒乓球比赛，且比赛场次控制在90~100之间，则应该安排___________名参赛者． 68．（1）滦南县教育局十月举行了“初中杯篮球友谊赛”，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划安排55场比赛，那么共有多少支球队参加比赛呢？ （2）学校为奖励“初中杯篮球友谊赛”的优胜队员，派王老师到超市购买某种奖品，如下是超市销售员对王老师关于该奖品的销售信息的相关介绍： 方案一：若购买数量不超过10件，则单价为20元． 方案二：若购买数量超过10件，每多买一件，购买的所有奖品单价均降低元，但单价不得低于12元． 于是王老师便用300元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02一元二次方程易错必刷题型专项训练 本专题汇总一元二次方程全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.由一元二次方程的定义求参数 题型02.由一元二次方程的解求参数 题型03.因式分解解一元二次方程 题型04.直接开平法解一元二次方程. 题型05.配方法解一元二次方程 题型06.配方法的应用 题型07.公式法解一元二次方程 题型08.判别式判定根的情况 题型09.由根的情况求参数 题型10.换元法解一元二次方程 题型11.一元二次方程根与系数的关系 题型12.传播问题 题型13.增长率问题 题型14.与图形有关的问题 题型15.营销问题 题型16.动态几何问题 题型17.工程问题 题型18.行程问题 题型19.图表信息问题 题型20.握手.循环赛问题 易错必刷题型01.由一元二次方程的定义求参数 典题特征：题干明确方程为一元二次方程，式中含未知字母参数，根据定义限定条件求解参数取值 易错点：①只关注未知数最高次数为2，忽视二次项系数不为零的硬性要求 ②多组解值未逐一验证，直接全部取用 1．若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵原方程是一元二次方程，其二次项系数为， ∴， 解得． 2．已知方程是关于的一元二次方程，则的值是______． 【答案】 【分析】由一元二次方程的定义可知，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， 得或， 解得或， 由得：， ∴． 3．若方程是关于的一元二次方程，求的值． 【答案】的值为2或3或4 【分析】本题考查了一元二次方程的定义的应用，能理解一元二次方程的定义是解此题的关键． 分三种情况讨论，求出的值即可． 【详解】解：分以下三种情况讨论： ①当时，方程是一元二次方程，解得；此时方程化为，二次项系数为，符合题意； ②当时，方程是一元二次方程，解得；此时方程化为，二次项系数为，符合题意； ③当时，即，此时方程的二次项系数为，符合题意． 综上所述，的值为或或． 易错必刷题型02.由一元二次方程的解求参数 典题特征：已知方程固定实数根，将根代入原方程，构建含参数的等式进行求解 易错点：①数值代入时正负符号书写错误 ②求解参数后，未复核方程依旧符合一元二次方程标准 4．若a是方程的根，则的值为（   ） A．2024 B．2026 C．2028 D．2030 【答案】A 【分析】根据根的定义得到的值，利用整体代入思想求解即可． 【详解】解：是方程的根， ， ， ． 5．若关于的一元二次方程有一根为．则关于的一元二次方程必有一根为___________． 【答案】 【分析】利用已知根得到满足原方程的等式，对等式变形后即可推导出所求方程的根． 【详解】解：将代入一元二次方程，得， ， ∴， 若，代入原方程可得，与矛盾， 将两边同时除以，得， 整理得， 当时，方程成立， 方程必有一根为． 6．已知a是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D．2024 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，整体代入法求代数式的值，掌握一元二次方程根的概念是关键；由题意得，则有，，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ ． 故选：D． 7．定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为______（填序号）． (2)已知是关于的黄金方程，若是此黄金方程的一个根，求的值． (3)已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)①③ (2)或 (3)4 【分析】本题主要考查了解一元二次方程解的定义，解题的关键是理解黄金方程解的定义． （1）根据黄金方程的定义进行求解即可； （2）根据黄金方程的定义得到，则原方程为，再由a是此黄金方程的一个根，得到，解方程即可； （3）利用配方法，非负数的性质求解即可． 【详解】（1）解：①是黄金方程，理由： ∵， ∴， ∴ ∴， ∴是黄金方程； ②不是黄金方程，理由： ∵ ∴ ∴， ∴， 故不是黄金方程； ③是黄金方程， ∴， ∴， ∴是黄金方程， 故答案为：①③； （2）解：∵是关于的黄金方程， ∴， ∴， ∴原方程为， ∵是此黄金方程的一个根， ∴，即 ∴， 解得或； （3）解：∵关于的一元二次方程是“黄金方程”， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴的最小值为4． 易错必刷题型03.因式分解解一元二次方程 典题特征：方程左侧可因式拆分，整体易于分解，适用于结构简洁的整式方程求解 易错点：①未将方程统一整理为右边等于0的标准形式便分解因式 ②方程两边同除含未知数因式，造成有效根缺失 8．一元二次方程的解是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】使用因式分解法解题，先移项变形，提取公因式分解后，即可求出方程的解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 9．对于任意实数a、b，规定运算∶．判定关于x的方程的根的情况：________． 【答案】有两个实数根 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及实数的运算，根据新的运算法则列出一元二次方程，再用因式分解法直接求解即可解答． 【详解】解：根据题意得：可化为， 解得：， ∴关于x的方程有两个实数根． 故答案为：有两个实数根． 10．方程的解是（  ） A．2或0 B．±2或0 C．2 D．－2或0 【答案】B 【分析】首先提公因式，再根据平方差公式分解因式，即可得出结论． 【详解】． 解：∵， ∴， ∴或或， 故选：B． 【点睛】本题考查了高次方程，运用类比思想将高次方程转化为二次方程或一次方程是解题的关键． 11．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】用因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， 解得，； （2）解：， ， ， ， ∴或， 解得，． 易错必刷题型04.直接开平法解一元二次方程. 典题特征：方程整体化为完全平方等于常数的固定结构，无需复杂变形即可开方运算 易错点：①开平方运算遗漏负根，只保留单一正数值 ②常数项为负数时，无法准确判定无实数解 12．一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用直接开平方法解一元二次方程，通过移项、系数化为1后开平方即可求出方程的根． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 解得 故选：C． 13．方程的根是_______． 【答案】， 【分析】此题考查了利用开平方解方程，根据题意得到或，即可求出答案． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴或 解得， 故答案为：， 14．解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，掌握直接开平方法，因式分解法以及公式法是解题的关键． （1）根据直接开平方法求解一元二次方程即可； （2）先移项，再提取公因式求解即可； （3）利用公式法求解一元二次方程即可； （4）利用公式法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 解得，； （2）解：， ， ， 解得，； （3）解：， ， ，，， ， ， 解得，； （4）解：， ，，， ， ， 解得，． 易错必刷题型05.配方法解一元二次方程 典题特征：针对任意形式一元二次方程，通过恒等变形配成完全平方式完成求解 易错点：①配方时仅在单侧添加常数，未遵循等式左右同加原则 ②一次项系数拆分计算失误，配方结果偏差 15．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将二次项系数化为1，再根据完全平方公式进行配方，计算后即可得到正确结果． 【详解】解：∵， ∴ ， ， ， 整理得． 16．如果方程可以配方成，那么__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程-配方法，通过配方法将方程转化为完全平方形式，比较系数求出和的值，再计算并求其2025次幂即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 已知配方后为 ， ∴，， 解得， 则， 所以 ， 故答案为：． 17．小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下： ①， ②， ③， ④， ⑤， ⑥． 小明的解答从第_____步开始出错，请写出正确的解答过程． 【答案】⑤；见解析． 【分析】根据配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：小明从第⑤步开始出现了错误；正确的解答过程如下： 由， 移项，得：，即：， 配方，得：，即：， 开方，得：， 解得：． 易错必刷题型06.配方法的应用 典题特征：依托配方变形，求解代数式最值、比较式子大小、证明代数恒成立关系 易错点：①配方过程符号变换出错，式子结构变形失真 ②求解最值时，忽略自变量实际取值约束范围 18．用配方法将方程化成的形式，则m，n的值是（    ） A．，9 B．3，9 C．，10 D．3，10 【答案】D 【分析】按照配方法的步骤完成移项和配方后，和要求的形式对比即可得到，的值． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， 对左边配方，一次项系数的一半为，两边同时加得： ， 整理得：， ∴，． 19．当______时，二次三项式有最大值，最大值为______． 【答案】 1 【分析】根据配方法的步骤把代数式通过配方变形为，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴时，代数式有最大值，其最大值为． 20．若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程；与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2018 B．2020 C．2025 D．2030 【答案】B 【分析】根据新定义，把方程化成定义型方程，利用恒等式性质，确定a，b的值，后代入，配方，利用非负性求最值即可． 本题考查了一元二次方程新定义问题，配方法求最值是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故， 又与是“同族二次方程”． ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，取得最小值，且为2020， 故选：B． 21．定义：如果关于x的一元二次方程，满足，我们称这个方程为“和谐方程”． (1)根据定义判断，方程________“和谐方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于x的一元二次方程是“和谐方程”，则b的值为多少，并解出这个“和谐方程”； (3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)是 (2)， (3)代数式的最小值为 【分析】（1）根据“和谐方程”定义进行判断即可； （2）根据“和谐方程”定义得出，求出b的值，再解方程即可； （3）根据“和谐方程”定义得出，把代入得出根据非负数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解：∵方程中，，， ∴， ∴方程是“和谐方程”； （2）解：∵关于x的一元二次方程是“和谐方程”， ∴， 解得：， 解方程， 解得； （3）解：∵关于x的一元二次方程是“和谐方程”， ∴， ∴， ∴ ， ， ， 即代数式的最小值为． 易错必刷题型07.公式法解一元二次方程 典题特征：通用解方程方法，适用于所有有实数根的一元二次方程，固定套用求根公式计算 易错点：①记错求根公式整体结构与符号 ②未统一化为一般式，错误代入各项系数数值 22．若一元二次方程的两根是，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将原方程整理为一元二次方程一般形式，再用求根公式求出两根，判断两根的符号关系，逐一判断选项即可． 【详解】解：将原方程整理得， ∵，，， ∴， ∴两个根一个为，一个为，两根异号， A项：，故A错误； B项：题目未规定的大小，若为正根，则，故B错误； C项：两根异号，则，故C错误； D项：两根异号，异号两数相除商为负，则，故D正确． 23．对于任意实数a，b，定义．若，则a的值为____． 【答案】 【分析】根据定义的运算规则，将 代入公式，得到关于 的方程，然后解该一元二次方程． 本题考查了新定义计算，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由定义，， 所以 ． 给定 ， 因此 ， 即 ． 解得． 故答案为：． 24．满足方程的所有正整数解有：（    ） A．一组 B．二组 C．三组 D．四组 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式的应用，二元一次方程的正整数解，将原方程变形为关于x的一元二次方程，通过求根公式和判别式分析可能的正整数解，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：原方程变形为： 将其视为关于x的一元二次方程，判别式为： ， ∵方程有正整数解， 即判别式为非负完全平方数， 即，且y为正整数， 解得y的可能取值为,,,： 当时，则， 此时，不是正整数，不符合题意，故舍去； 当时，则， 此时， ∴ （舍去）， 即方程组的正整数解为； 当时，则， 此时，不是正整数，不符合题意，故舍去； 当时，则， 此时， ∴ ， 即方程组的正整数解为 或 ； 综上，共有三组正整数解， 故选：C 25．小明在解方程时出现了错误，解答过程如下： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)小明解答过程开始出错的是_______； (2)写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)第三步 (2)见解析 【分析】（1）将方程化为一般形式，再根据公式法解一元二次方程的步骤进行判断即可； （2）运用公式法求解即可． 【详解】（1）解：小明的解答是从第三步开始出错的； （2）解：方程化为一般式为， ， ， ， ． 易错必刷题型08.判别式判定根的情况 典题特征：通过计算根的判别式数值，精准区分方程无实根、一个实根、两个不等实根三类情况 易错点：①判别式代数式计算运算失误 ②混淆三类根的判定标准，概念界定模糊 26．关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】计算出根的判别式，判断其符号即可得到方程根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程， ∵，，， ∴， ∵对任意实数，都有， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 27．关于的一元二次方程根的情况是______． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，把原方程整理成一般形式，算出一元二次方程根的判别式的值，即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解： 整理得到， ∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 28．已知，，，则关于的方程的根的情况是（   ） A．无实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有无数个实数根 【答案】C 【分析】根据一元二次方程判别式的符号来判断根的情况，由于已知条件，，，可推导出判别式大于零，从而有两个不相等的实数根. 【详解】解：二次方程的判别式为， 又，，， ，， ， ， 方程有两个不相等的实数根. 故选：C. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握根的判别式． 29．已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)如果此方程的两个实数根都为整数，求整数的值． 【答案】(1)见解析 (2)或、2、 【分析】（1）求出的值，再判断出其符号即可； （2）先求出x的值，再由方程的两个实数根都是整数，求出m的值即可． 【详解】（1）证明：∵是关于x的一元二次方程， ∴， ∵， ∴此方程总有两个实数根； （2）由一元二次方程的求根公式得，， ∴，， ∵、都为整数， ∴或、2、． 易错必刷题型09.由根的情况求参数 典题特征：给定方程根的限定条件，反向推导式中字母参数的取值范围或具体数值 易错点：①求解范围时遗漏二次项系数非零前提 ②不等关系判定方向出错，取值区间界定错误 30．若关于的方程 有两个相等的实数根，则______． 【答案】/0.25 【分析】根据一元二次方程根的判别式及定义解答即可求解． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴ 且， 解得． 31．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，说明该方程为一元二次方程，因此需满足二次项系数不为0，且根的判别式，据此列不等式组求解即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解不等式得， 解不等式得， ∴的取值范围是且． 32．设m满足不等式，且关于x的一元二次方程有两个整数根，则符合条件的整数m的个数为______． 【答案】7 【分析】首先把方程进行整理，根据一元二次方程的求根公式得，再根据x，m均是整数且，得m为完全平方数，即可求解． 【详解】解：将方程整理得：， ∴， ∴当时，方程根为，     ∵，均是整数且， ∴为完全平方数， ∴，1、4、9、16、25、36． ∴符合条件的整数m的个数为7． 33．对于任意实数a，b，c有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算．例如，． (1)求关于x的一元二次方程的解； (2)若关于x的一元二次方程无实数根，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义可得方程，解方程即可得到答案； （2）根据新定义可得方程，根据该方程无实数根，利用判别式和一元二次方程的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， ∴． 易错必刷题型10.换元法解一元二次方程 典题特征：针对结构复杂、重复式较多的高次整式方程，设新元简化方程结构再计算 易错点：①新设变量取值范围把控不当 ②算出新元数值后，忘记回代换算原未知数结果 34．当时，的值为（　　） A． B．1 C．1或 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设，原式化成关于的一元二次方程，解方程即可求解， 解题关键是能准确的找出可用替换的代数式，再用字母代替解方程． 【详解】解：设，则原方程可化为：， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 35．关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是______． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解，利用换元思想对比已知方程与待求方程的结构，根据已知方程的解即可得到待求方程的解． 【详解】解：将已知方程整理得 ，其解为． 将待求解方程 变形为 令，则方程变为 ，可得， 即或， 解得． 36．方程的负整数解为______． 【答案】 【分析】本题考查换元法在解一元二次方程中的应用，设，，则，则可得，可得，即可得到或，再解方程即可，仔细观察得到是解题的关键． 【详解】解：设，，则， 可得， 解得， 或， 解得， 故方程的负整数解为， 故答案为：． 37．【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①． 解方程①可得，． 当时，，即，∴； 当时，，即，∴． ∴原方程的解为，，，． 【解决问题】 (1)方程的解为______； (2)已知，求的值； (3)请仿照材料中的方法，解方程：． 【答案】(1)， (2) (3)，，， 【分析】（1）设，则原方程可化为，再根据一元二次方程的解法即可求解； （2）设，则原方程可化为，根据一元二次方程的解法即可求解； （3）设，则原方程可化为，仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为，即， 解得，（舍去）， 当时， ∴， 解得，； （2）解：设，则原方程可化为， 整理，得， 解得，， 又∵， ； （3）解：设，则原方程可化为， 解得，， 当时，，解得，， 当时，，解得，， ∴原方程的解为，，，． 易错必刷题型11.一元二次方程根与系数的关系 典题特征：不求解具体根值，直接利用韦达定理整体代换，完成代数式化简与求值计算 易错点：①记错两根和、两根积的对应符号规则 ②使用定理前，未验证方程存在实数根 38．已知是方程的两个根，则的值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式的变形求解． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴由一元二次方程根与系数的关系可得， ∵， ∴代入得． 39．若m，n是方程的两个实数根，则的值为____ ． 【答案】7 【分析】利用一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ∵m是方程的实数根， ∴，变形得． 故 ． 40．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义．根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到，，再把原式变形为，由此代值计算即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， 故选：B． 41．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，其中为实数． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由根与系数的关系得，，结合已知的，即可求得，的值，代入即可求得的值； （2）由根与系数的关系得，，对所求代数式先通分，再利用完全平方公式变形，代入所求代数式的值求解即可． 【详解】（1）解：由根与系数的关系得，， ， ， ， ， ； （2）解：， 一元二次方程为， ，， ， ． 易错必刷题型12.传播问题 典题特征：以病毒扩散、人员传播为背景，按照逐轮倍增规律构建方程计算总数量 易错点：①错误理解单轮传播基数，列式倍数关系错乱 ②传播轮次统计不清，方程模型构建错误 42．一种电脑病毒每一台可传播给若干台，若一台电脑感染病毒，经两轮传播后共有49台电脑感染，则这种病毒每轮每台平均可传播________台． 【答案】6 【分析】本题主要考查列一元二次方程以及求解，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 首先设每轮每台平均传播x台电脑，根据两轮传播后总感染电脑数为，即可列方程求解． 【详解】解：设这种病毒每轮每台平均可传播x台电脑． 由题意得：， ∴或（舍去）， 解得：， 故答案为：6． 43．九年级一班班长在接到学校紧急通知后，通知了班级的x名班委，班委接到通知后，又分别通知了班级的其他x名同学，这样包括班长在内的全班57名同学就都知道了该通知，求x的值． 【答案】7 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意可得方程，再解方程即可． 【详解】解：由题意得， 解得，（舍去） 答：x的值为． 44．数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 【答案】4名 【分析】先设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学，根据题意列出一元二次方程，求出解，舍去不合题意的即可． 【详解】解：设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学， 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：每一轮传播中，1名同学传给4名新同学． 易错必刷题型13.增长率问题 典题特征：已知初始基数与涨跌幅度，计算连续多次增减变化后的最终对应数值 易错点：①单次增长与多次连续增长公式混用 ②求解所得数值未结合现实场景合理取舍 45．某高科技公司今年1月份的产值是2000万元，3月份的产值是4500万元，如果之后每月的增长率都与1月到3月的月平均增长率相同，月产值首次突破1亿元的月份是（    ） A．4月份 B．5月份 C．6月份 D．7月份 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程与实际问题，设月平均增长率为，可得方程，解方程求得月平均增长率，然后逐月判断即可． 【详解】解：设月平均增长率为． 根据题意，得 ． 解方程，得 ，． 根据题意可知，月平均增长率大于零，故不符合题意，应当舍去，符合题意． 4月份产值为（万元）． 5月份产值为（万元）． 所以，月产值首次突破1亿元的月份是5月份． 46．错题本是同学们整理知识点，提升复习效率的好帮手．某校周边文具店销售的新款活页错题本深受学生喜爱．经销商统计了该款错题本3月份到5月份的销量：3月份销售125本，5月份销售180本． (1)求该款活页错题本3月至5月销售量的月平均增长率； (2)若该款错题本的进价为每本8元，经市场调研发现，当售价为每本12元，月销售量为200本，若在此基础上售价每本上涨0.5元，则月销售量将减少10本．为使月销售利润达到960元，现需适当涨价且尽可能让学生得到实惠，则该款错题本的实际售价应定为每本多少元？ 【答案】(1) (2)14元 【分析】（1）设该款活页错题本销售量的月平均增长率为x，根据题意，得：，即可得到答案； （2）设该款错题本的售价上涨了元/本，根据题意，得：，要尽可能让学生得到实惠，所以，即可得到答案． 【详解】（1）解：设该款活页错题本销售量的月平均增长率为x， 根据题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该款活页错题本销售量的月平均增长率为； （2）解：设该款错题本的售价上涨了元/本， 根据题意，得：， 解得：，， 因为要尽可能让学生得到实惠，所以，此时实际售价为：（元/本）， 答：该款错题本的实际售价应定为14元/本． 47．某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为162元/件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种商品每次降价的百分率； (2)若该种商品进价为156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用150元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1450元，每件应降价多少元? 【答案】(1)10%， (2)4元． 【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）每件商品的盈利×（原来的销售量＋增加的销售量）－150=1450，为了减少库存，计算得到的降价多的数量即可． 【详解】（1）解：设该种商品每次降价的百分率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）； 答：该种商品每次降价的百分率为10%． （2）解：设每件商品应降价x元，根据题意，得： ， 解方程得， ∵在降价幅度不超过10元的情况下， ∴不合题意舍去， 答：每件商品应降价4元． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决解决本题的难点，根据每天的盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键． 易错必刷题型14.与图形有关的问题 典题特征：结合几何图形边长、周长、面积等数量关系，建立一元二次方程解答实际问题 易错点：①几何等量关系式构建不符合图形实际特征 ②求解后未舍去边长为负数的不合理解 48．如图，有一长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙足够长），另三边用竹篱笆围成，竹篱笆的总长为米，与墙平行的边留有米宽的门（门用其他材料做成），若鸡场的面积为平方米，则鸡场与墙垂直的边长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米或米 【答案】D 【分析】设鸡场与墙垂直的边长为米，则与墙平行的边长为米，根据题意列出方程解答即可求解． 【详解】解：设鸡场与墙垂直的边长为米，则与墙平行的边长为米， 由题意得， ， 解得，， ∴鸡场与墙垂直的边长为米或米． 49．综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） (1)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； (2)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【答案】(1)答：剪去的正方形的边长为． (2)答：剪去的正方形的边长为． 【分析】（1）本题涉及了一元二次方程的应用以及几何图形面积的计算，根据图形剪拼的空间想象得到剪去4个小正方形后底面的长和宽，再根据底面的面积，实际问题中根的合理性检验，最后得出剪去小正方形的边长． （2）本题涉及了一元二次方程的应用以及几何图形面积的计算，根据图形剪拼的空间想象得到剪去矩形的长为，矩形的宽和减去正方形的边长相等，再结合实际问题中根的合理性检验，得到剪去正方形的边长． 【详解】（1）解：设剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的边长为，宽为． 由题意得： 解得． 因为，所以不符合题意，舍去． 所以剪去的正方形的边长为． （2）解：设剪去的正方形的边长为，根据题意，剪去的矩形的长为，宽为，则剪去部分的面积为： 解得或，（不符合题意，舍去）． 所以剪去的正方形的边长为． 50．某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等． (1)求停车位的宽． (2)该商场停车场原收费8元/小时，日均运营成本200元，高峰时段（12小时）车位全满，平峰时段（12小时）使用率．现计划调整收费：每小时上涨a元，高峰时段使用率不受影响，但平峰时段使用率会降低（因涨价导致部分车主选择其他停车场），若调整后日均利润为9208元，求a的值． 【答案】(1)停车位的宽为 (2) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及矩形面积公式和利润的计算．分析边长的组成关系，根据价格调整后的使用率变化建立等量关系是解题关键． （1）用表示停车位的长和宽，再表示出停车场长和宽，根据矩形的面积公式列方程求解即可． （2）根据题意表示出停车场每日高峰时段和平峰时段的收费之和，减去成本即为利润，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设停车位的宽为，则停车位的长为，通车道宽为，停车场的长为，宽为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：停车位的宽为． （2）解：价格上涨后，停车场收费， 高峰时段收费为元， 平峰时段收费为元， ， 解得，， 当，，停车场使用率不可能为负值，故舍去， ． 答：的值为2． 易错必刷题型15.营销问题 典题特征：围绕商品单价、销售数量、总利润三者关联关系，建立方程求解定价方案 易错点：①单价变动对应的销量变化量推算错误 ②忽略商品定价、销量的现实约束条件 51．某商场销售一批运动休闲衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件休闲衫每降价元，商场平均每天可多售出件．若商场销售该批休闲衫平均每天盈利元，每件休闲衫应降价多少元？设每件休闲衫降价元．根据题意，列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，关键是审明题意，找到恰当的等量关系列方程；根据“每件盈利销售量总盈利”的等量关系列方程． 【详解】解：∵设每件休闲衫降价元， ∴可列方程为， ∴故选：D． 52．2026年4月5日是清明节，清明节前一周，铂航妈妈到超市购买了6个肉松青团和8个红豆青团，共付款54元，已知每个红豆青团比每个肉松青团贵元． (1)求每个肉松青团和每个红豆青团各多少元． (2)为进一步提升青团的销量，超市将两种青团分别包装成A，B两种礼盒销售，两种礼盒每盒都有16个青团（包装成本忽略不计），A礼盒中有个肉松青团，B礼盒中有个红豆青团．包装后每个青团降价元，统计发现，A，B两种礼盒的销量分别为盒、盒，A，B两种礼盒的销售总额为4100元，求m的值． 【答案】(1)每个肉松青团的价格为3元，每个红豆青团的价格为元 (2)6 【分析】（1）设每个肉松青团的价格为元，则每个红豆青团的价格为元，根据“6个肉松青团和8个红豆青团，共付款54元”列方程求解即可； （2）降价后，肉松青团单价为元，红豆青团单价为元，则每盒A礼盒有个肉松、个红豆，单盒价格为；每盒B礼盒有个红豆、个肉松，单盒价格为；根据“A，B两种礼盒的销售总额为4100元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设每个肉松青团的价格为元，则每个红豆青团的价格为元， 由题意得： 解得， ∴每个红豆青团的价格为（元）， 答：每个肉松青团的价格为3元，每个红豆青团的价格为元； （2）解：由题意得，降价后，肉松青团单价为（元），红豆青团单价为（元）， 则每盒A礼盒：个肉松、个红豆，单盒价格为； 每盒B礼盒：个红豆、个肉松，单盒价格为； 根据题意，得 解得，（不符合实际，舍去）， 即m的值为6． 53．某社区为丰富居民文化生活，新建了一个图书室，初始藏书量为200册．参照以往的管理统计，当每本书的月借阅费定为6元时，所有藏书均可被借出；月借阅费每增加1元（增加费用不超过5元），未被借出的图书将增加4册；已借出的书每册月维护成本为2元（包括消毒、修补）；未被借出的书每册月仓储管理成本为1元． (1)当月借阅费为10元时，求图书的借阅量； (2)设每本书的月借阅费增加a元，写出该图书室月维护与管理成本的总和（用含a的代数式表示）； (3)若每月借阅利润为1144元，求每本书的月借阅费． 【答案】(1)184册 (2)元 (3)8元 【分析】（1）根据题意得到增加的费用，再用增加的费用得到未被借出的册数，最后，用总册数未被借出的册数=图书的借阅量即可； （2）根据每本书的月借阅费增加a元，得未被借出的图书数量为册，进而得到借出的图书数量为册，最后，运用每册月维护成本借出的图书数量未被借出的书每册月仓储管理成本未被借出的图书数量，即可得出月维护与管理成本的总和； （3）根据题意找出等量关系式：(每本书的月借阅费-每本书的维护成本)借出的图书数量-未被借出的书每册月仓储管理成本未被借出的图书数量每月借阅利润，列出关于x的方程，然后，解方程即可． 【详解】（1）解：(元)，(册)， ∴借出的图书为（册）；                        （2）解：∵每本书的月借阅费增加a元， ∴未被借出的图书数量为册， 借出的图书数量为册，则月维护与管理成本的总和为：， 整理，得  ， ∴该图书室月维护与管理成本的总和为元； （3）解：设每本书的月借阅费为x元，则该月未被借出的图书册数为， 可列方程：， 解得， 由题意，月借阅费增加不超过5元，即，解得，故舍去， ∴若每月借阅利润为1144元，则每本书的月借阅费为8元． 易错必刷题型16.动态几何问题 典题特征：几何图形内存在动点，随时间变化改变线段长度，结合几何关系列方程解题 易错点：①动点运动后的线段长度表达式书写错误 ②几何边长约束条件未纳入解题判定 54．如图，中，，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为．当的面积等于四边形的面积的时，的值为_________秒． 【答案】 【分析】本题考查了几何图形中的动点问题，涉及到了一元二次方程的求解，正确理解题意利用方程的思想求解是解题的关键．根据路程速度时间，表示出，，，根据面积等于面积的，可得面积等于面积的列方程求解即可． 【详解】解：根据路程速度时间得：，， 则， 的面积等于四边形的面积的， 面积等于面积的， ， 即， 解得． 当秒时，的面积等于四边形的面积的． 故答案为：． 55．如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1 (3)存在，当时，线段的长度最小，最小值为 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据五边形的面积等于，代入相应数据解方程即可； （3）根据勾股定理求得，再根据配方法，求得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， （2）解：， ， ，， ， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1． （3）解：， ∵， ∴， ∴当时，线段的长度最小，此时． 56．如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为秒． (1)________（用含的代数式表示）； (2)点在边上运动时．当是等腰三角形时，求出此时的值． (3)点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． (4)点在运动过程中，通过计算说明能否把的周长平分？ 【答案】(1) (2) (3)11，12 (4)可以 【分析】本题围绕三角形中的动点问题，结合等腰三角形性质与一元一次方程应用展开．需分情况讨论点Q的位置（段、段），利用线段长度关系、等腰三角形的边相等条件建立方程求解；对于周长平分问题，需分析各段路径下线段和的关系来判断是否存在满足条件的． 【详解】（1）点从向运动，速度为，运动时间为，则． 已知，由，可得． （2）点从向运动，速度为，， 故在上时，运动时间满足． 当是等腰三角形时，，则两腰为与 由，，令， 即， 解得． 验证：，符合在上的条件． （3）当是以为底边的等腰三角形时： 此时，腰为． 如图1，则． ∵， ∴． 又∵ 在中，， ∴． ∴． ∴． ． 已知点的速度为，故． 当是以为底边的等腰三角形时： 此时，腰为． 如图2，则． ． ∴． 综上所述，当t为11或12时，是以或为底边的等腰三角形． （4）周长为，若平分周长，则每部分为． 若在上，（）： ，，则， 令，得，但，不符合在上的条件． 若在上（）： ，． 周长被分成和， 即，与． 令，得（符合）； 验证：时，，，和为； ，，，和为，确实平分． 【点睛】本题核心是利用动点的速度与时间表示线段长度，结合等腰三角形的边相等性质建立方程，同时注意分类讨论点的位置（段、段）及等腰三角形的底边情况．周长平分问题需明确周长的组成与分割方式，通过方程求解并验证范围合理性． 易错必刷题型17.工程问题 典题特征：以工程施工、任务完成为背景，依托工作总量、效率、时间三者关系列式 易错点：①多人合作工作效率拆分计算错误 ②整体工作总量设定逻辑混乱，等量关系失衡 57．某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 【答案】6 【分析】本题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程的应用，正确的找出等量关系列出方程是解题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，在本题中“开工后每天比原计划多栽2棵”和“提前4天完成任务”，就是两个相等关系．根据题目所要解决的问题，选择第二个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 【详解】解：设原计划每天栽x棵，那么原计划完成任务所需的天数为，实际每天栽棵树棵，实际完成任务所需的天数为， 依题意列方程得： ， 整理得： 解方程得：（舍去） 故原计划每天栽6棵桂花树． 58．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 59．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答； （2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 易错必刷题型18.行程问题 典题特征：结合相遇、追及、变速行驶等场景，依靠路程速度时间公式构建方程求解 易错点：①速度、时间、路程三者对应关系颠倒 ②变速路段拆分不清，整体列式逻辑混乱 60．在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，小球的滚动速度平均每秒减少2米/秒，小球滚动24米用了______秒． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设小球滚动24米用了x秒，则末速度为米/秒，利用路程平均速度运动时间，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设小球滚动24米用了x秒，则末速度为米/秒， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， 小球滚动24米用了4秒． 故答案为：． 61．在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒，此时速度为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 62．在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少___________米/秒，从开始到滚动了秒后小球的速度为___________米/秒； (2)小球滚动24米用了多少秒？ 【答案】(1)2， (2)4秒 【分析】本题考查了一元二次方程在匀变速直线运动中的应用，涉及平均速度公式、路程公式．解题用到的思想是方程思想，方法是根据题意建立速度、时间、路程的数量关系，通过列方程求解；解题关键是理解匀变速直线运动中平均速度的计算方法（初末速度的算术平均数）以及路程公式即的应用；易错点是在求解时间时，忽略小球停止运动的时间限制（5秒），导致误选不符合实际的解． （1）根据“速度均匀减少”的特点，用初速度与停止时的速度差除以时间可求每秒速度减少量；再根据速度减少规律，得出t秒后的速度表达式． （2）先根据平均速度公式求出时间段内的平均速度，再结合路程公式即建立关于时间t的一元二次方程，求解后结合小球停止时间的限制，舍去不符合实际的解，得到最终时间． 【详解】（1）根据题意，小球平均每秒速度减少量为：（米/秒）． 从开始滚动t秒后，速度减少了米/秒，所以此时速度为：（米/秒）． 故答案为：2，． （2）根据题意，平均速度． 因为运动路程即，且米， 解得，． 因为小球5秒后停止运动，不符合实际情况，舍去． 答：小球滚动24米用了4秒． 易错必刷题型19.图表信息问题 典题特征：题干以表格、函数图像呈现数据，提取有效信息转化为数学方程作答 易错点：①读取图表数据出现看错、读错情况 ②无法将图表信息精准转化为代数等量关系 63．如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    【答案】最小数为8，最大数为18 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】解：设最小数为x，根据题意，得到最大数为， ∴， 解得（舍去）． 故最小数为8，最大数为18． 64．某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 【答案】(1)元 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用． （1）由题意列出代数式即可得出结论； （2）由3月份的用电量、缴电费总数，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，超过a度的电费为元； （2）由表格可知3月份的用电量超过a度，故：， 整理得：， 解得：， ∵4月份用电量度，交费元， ∴， ∴不符合题意，舍去， ∴， 答：电厂规定的a的值为． 65．疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 【答案】(1)40，，29，26 (2)他今日检测总人数为人 【分析】（1）设检测人数为y，人均检测时间为t（秒），由题意可得出y、t与x之间的函数关系式，即可补全表格； （2）根据人均检测时间×检测人数＝总检测时间，可得关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设检测人数为，人均检测时间为秒， 由题意得：、， 补全表格如下： 检测人数人 人均检测时间秒 （2）解：由题意得，， 解得，， 当时，检测总人数为人， 每位大白的检测人数不超过人， 不符合题意，舍去， 当时，检测总人数为人， 答：他今日检测总人数为人． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据条件建立函数关系是解决本题的关键． 易错必刷题型20.握手.循环赛问题 典题特征：多人两两组合互动类计数题型，遵循固定组合规律建立方程计算总次数 易错点：①计算组合次数时出现重复统计 ②混淆单循环与双循环的列式计算公式 66．2024年11月3日，大连足球在万众期待中迎来历史性时刻，时隔一年重返中国足球超级联赛（中超），彰显了大连在中国足球历史上的重要地位．2025 年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛 240 场．求本次联赛共有多少支球队． 【答案】本次联赛共有16支球队 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系并正确列出一元二次方程是解题的关键．设本次联赛共有支球队，根据2025年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛240场，列出一元二次方程，求解并取符合题意的值即可． 【详解】解：设本次联赛共有支球队， 由题意得， ， ， （舍去）， 本次联赛共有16支球队． 67．九年级乒乓球赛制采用单循环形式（每两人之间进行一场比赛）． (1)若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？ (2)以下是小文和小博对比赛总场数的统计，判断小博的说法是否正确，并说明理由． (3)若八年级也举行单循环赛制的乒乓球比赛，且比赛场次控制在90~100之间，则应该安排___________名参赛者． 【答案】(1)15场 (2)说法正确，理由见解析 (3)14 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）由题意，得6个队伍需比赛的局数为，即可求解； （2）设有x个队伍报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （3）设有人参赛，则比赛的总场数为，然后取当，，，计算的值，结合题意即可得出答案． 【详解】（1）解： 故按赛制共进行了15场比赛； （2）解：小博的说法正确． 理由：设有人参赛， 由题意得， 整理得， 解得 的取值不为整数，即方程的解不符合实际， 小博的说法正确； （3）解：设有人参赛，则比赛的总场数为， 当时，； 当时，； 当时，； 又比赛场次控制在90~100之间， ∴应该安排14名参赛者， 故答案为：14． 68．（1）滦南县教育局十月举行了“初中杯篮球友谊赛”，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划安排55场比赛，那么共有多少支球队参加比赛呢？ （2）学校为奖励“初中杯篮球友谊赛”的优胜队员，派王老师到超市购买某种奖品，如下是超市销售员对王老师关于该奖品的销售信息的相关介绍： 方案一：若购买数量不超过10件，则单价为20元． 方案二：若购买数量超过10件，每多买一件，购买的所有奖品单价均降低元，但单价不得低于12元． 于是王老师便用300元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数． 【答案】（1）11支；（2）20件． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设应邀请支篮球队参加比赛，根据题意列方程求解即可； （2）由题意可知奖品数超过了10件，设购买的件数为，根据题意列方程求解，进而判断是否符合题意即可． 【详解】（1）解：设应邀请支篮球队参加比赛， 根据题意，可列方程： 整理得 解得或（舍去） 答：应邀请11支篮球队参加比赛； （2）解：， 奖品数超过了10件， 设购买的件数为，则每件商品的价格为：元，根据题意可得： 解得：， 当时，； 当时，，不合题意舍去； 答：王老师购买该奖品的件数为20件． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $