15.3互斥事件和独立事件（第2课时 独立事件）分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

**基本信息** 该同步练习通过A、B、C三层设计，梯度递进覆盖独立事件从概念辨析到复杂情境应用，强化知识巩固同时培养数学抽象、逻辑推理与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层|独立事件概念、基础概率计算|以取球、样本空间等情境判断事件关系，填空题训练分步运算，夯实抽象能力| |B层|独立事件综合应用、复杂情境|结合接力赛、排球比赛等实际场景，多选题与分步计算提升推理能力，培养模型意识| |C层|跨学科与多步推理问题|ABO血型遗传、羽毛球赛制探究，需综合分析事件关系，发展创新意识与应用能力|

15.3　互斥事件和独立事件 第2课时　独立事件 A层 基础达标练 1.坛子中放有3个白球,2个黑球,从中进行不放回地取球两次,每次取1球,用A1表示第一次取得白球,A2表示第二次取得白球,则A1和A2是(　　) A.互斥事件 B.相互独立事件 C.对立事件 D.不相互独立的事件 2.如图所示是一个古典概型的样本空间Ω和事件A与B,其中n(Ω)=12,n(A)=3,n(B)=8,n(A∪B)=9,则事件A与事件B是(　　) A.互斥但非对立事件 B.对立事件 C.相互独立事件 D.以上都不是 3.(2025盐城期中)甲、乙两队进行羽毛球决赛,甲队只要再胜一局就获得冠军,乙队需要再胜两局才能获得冠军,若每局甲队获胜的概率为,则甲队获得冠军的概率为(　　) A. B. C. D. 4.(多选题)某人有6把钥匙,其中n把能打开门,如果随机地取一把钥匙试着开门,把不能开门的钥匙扔掉,设第二次才能打开门的概率为p,则下列结论正确的是(　　) A.当n=1时,p= B.当n=2时,p= C.当n=3时,p= D.当n=4时,p= 5.在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型,在乙盒内的240个螺母中有180个是A型.若从甲、乙两盒内各取一个,则能配成A型螺栓的概率为　　　　.  6.三个元件T1,T2,T3正常工作的概率分别为,将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路. (1)在如图所示的一段电路中,电路不发生故障的概率是多少? (2)三个元件按要求连成怎样的一段电路时,才能使电路中不发生故障的概率最大?请画出此时的电路图,并说明理由. B层 能力提升练 7.4×100米接力赛是田径运动中的集体项目,一根小小的木棒,要四个人共同打造一个信念,一起拼搏,每次交接都是信任的传递.甲、乙、丙、丁四位同学将代表高一年级参加校运会4×100米接力赛,教练组根据训练情况,安排了四人的交接棒组合.已知该组合三次交接棒失误的概率分别是p1,p2,p3,假设三次交接棒相互独立,则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是(　　) A.p1p2p3 B.1-p1p2p3 C.(1-p1)(1-p2)(1-p3) D.1-(1-p1)(1-p2)(1-p3) 8.甲、乙两队进行排球比赛,采取五局三胜制(当一队赢得三场胜利时,该队获胜,比赛结束).根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中,甲队获胜的概率为,乙队获胜的概率为.若前两局中乙队以2∶0领先,则下列结论正确的是(　　) A.甲队获胜的概率为 B.乙队以3∶0获胜的概率为 C.乙队以3∶1获胜的概率为 D.乙队以3∶2获胜的概率为 9.(2025扬州期末)“红旗-9”防空导弹系统杀伤空域大,抗干扰和抗多目标饱和攻击能力强,导引系统先进,是我国高空防空导弹的杰出代表.现假设在一次实战对抗演习中,单发红旗-9防空导弹对敌方高速飞行器的拦截成功率为0.8,则两发齐射(是否成功拦截互不干扰),敌方高速飞行器被拦截的概率为(　　) A.0.96 B.0.88 C.1.6 D.0.64 10.设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为,A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)等于(　　) A. B. C. D. 11.(2025南通质检)已知甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为,甲和乙是否命中目标互不影响,且各次射击是否命中目标也互不影响.若按甲、乙、甲、乙……的次序轮流射击,直到有一人击中目标就停止射击,则停止射击时,甲射击了两次的概率是(　　) A. B. C. D. 12.(2025新高考全国Ⅰ卷)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则(　　) A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 13.(多选题)甲袋中有5个红球,15个白球,乙袋中有5个红球,5个白球,从两袋中各摸出一个球,则下列结论正确的有(　　) A.2个球都是红球的概率为 B.2个球不都是红球的概率为 C.至少有1个红球的概率为 D.2个球中恰有1个红球的概率为 14.机动车驾驶考试是为了获得机动车驾驶证的考试,采用全国统一的考试科目内容及合格标准,包括科目一理论考试、科目二场地驾驶技能考试、科目三道路驾驶技能考试和科目四安全文明常识考试共四项考试,考生应依次参加四项考试,前一项考试合格后才能报名参加后一项考试,考试不合格则需另行交费预约再次补考.据公安部门通报,佛山市四项考试的合格率依次为,且各项考试是否通过互不影响,则一位佛山市民通过驾考四项考试至多需要补考一次的概率为　　　　.  C层 拓展探究练 15.(2025海门期末)我们通常所说的ABO血型系统是由A,B,O三个等位基因决定的,每个人的基因型由这三个等位基因中的任意两个组合在一起构成,且两个等位基因分别来自父亲和母亲,其中AA,AO为A型血,BB,BO为B型血,AB为AB型血,OO为O型血.比如:父亲和母亲的基因型分别为AO,AB,则孩子的基因型等可能地出现AA,AB,AO,BO四种结果,已知小明的爷爷、奶奶和母亲的血型均为AB型,不考虑基因突变,则小明是A型血的概率为(　　) A. B. C. D. 16.(2025淮阴期末)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为. (1)求甲连胜四场的概率; (2)求需要进行第五场比赛的概率; (3)求甲最终获胜的概率. 参考答案 1.D　因为P(A1)=,若A1发生了,则P(A2)=;若A1不发生,则P(A2)=,所以A1发生的结果对A2发生的结果有影响,所以A1与A2是不相互独立事件.故选D. 2.C　因为n(Ω)=12,n(A)=3,n(B)=8, 所以P(A)=,P(B)=, 又因为n(A∪B)=9, 所以P(A∪B)=, 所以P(AB)=P(A)+P(B)-P(A∪B)==P(A)·P(B), 故事件A与事件B相互独立.故选C. 3.D　甲队获得冠军包含下面两种情况: ①第一场比赛甲赢,概率为; ②第一场比赛乙赢,第二场比赛甲赢,概率为, 则甲队获得冠军的概率为.故选D. 4.AC　某人有6把钥匙,其中n把能打开门,如果随机地取一把钥匙试着开门,把不能开门的钥匙扔掉,设第二次才能打开门的概率为p.对于A,当n=1时,P=,故A正确;对于B,当n=2时,P=,故B错误;对于C,当n=3时,P=,故C正确;对于D,当n=4时,P=,故D错误.故选AC. 5.　“从甲盒内取一个A型螺杆”记为事件M,“从乙盒内取一个A型螺母”记为事件N,因为事件M,N相互独立,所以能配成A型螺栓(即取一个A型螺杆与一个A型螺母)的概率为P(MN)=P(M)P(N)=.故答案为. 6.解 记“三个元件T1,T2,T3正常工作”分别为事件A1,A2,A3,则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=. (1)电路不发生故障的事件为(A2∪A3)·A1, ∴电路不发生故障的概率为 P1=P[(A2∪A3)·A1]=P(A2∪A3)·P(A1)=[1-P()·P()]·P(A1)=1-×. (2)如图,此时电路不发生故障的概率最大.证明如下: ① ② 图①中电路不发生故障的事件为(A1∪A2)·A3, ∴电路不发生故障的概率为 P2=P[(A1∪A2)·A3]=P(A1∪A2)·P(A3)=[1-P()·P()]·P(A3)=1-×, ∴P2>P1. 图②不发生故障的事件为(A1∪A3)·A2, 同理,不发生故障的概率为P3=P2>P1,命题得证. 7.C　∵该组合三次交接棒失误的概率分别是p1,p2,p3, ∴三次交接棒不失误的概率分别为1-p1,1-p2,1-p3, ∴假设三次交接棒相互独立,则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是(1-p1)(1-p2)(1-p3).故选C. 8.B　对于A,在乙队以2∶0领先的前提下,若甲队获胜,则第三、四、五局均为甲队获胜,所以甲队获胜的概率为3=,故A错误; 对于B,若乙队以3∶0获胜,则第三局乙获胜,概率为,故B正确; 对于C,若乙队以3∶1获胜,则第三局甲获胜,第四局乙获胜,概率为,故C错误; 对于D,若乙队以3∶2获胜,则第五局为乙队获胜,第三、四局甲队获胜,所以乙队以3∶2获胜的概率为,故D错误.故选B. 9.A　依题意得,敌方高速飞行器被拦截的概率为1-(1-0.8)×(1-0.8)=0.96,故选A. 10.D　由题意,知P()P()=,P()P(B)=P(A)P().设P(A)=x,P(B)=y, 则 ∴x2-2x+1=,∴x-1=-,或x-1=(舍去), ∴x=,即事件A发生的概率P(A)=.故选D. 11.A　设事件A表示“甲射击一次命中目标”,事件B表示“乙射击一次命中目标”,则A,B相互独立,停止射击时甲射击了两次包括两种情况:①甲、乙第一次射击都未命中,甲第二次射击命中,此时的概率为P(A)=;②甲、乙第一次射击都未命中,甲第二次射击未命中,乙第二次射击命中,此时的概率为P(B)=.故停止射击时,甲射击了两次的概率是.故选A. 12.B　P(甲)=P(乙)=,P(丙)=,P(丁)=.P(甲丙)=0≠,故A错误; P(甲丁)=,故B正确; P(乙丙)=,故C错误; P(丙丁)=0≠,故D错误.故选B. 13.AC　令从甲袋中、乙袋中摸出一个红球的事件分别为A,B,事件A,B相互独立,则P(A)=,P(B)=,P()=,P()=.对于A,2个球都是红球的事件为AB,则P(AB)=P(A)P(B)=,故A正确;对于B,2个球不都是红球的对立事件为AB,则概率为1-P(AB)=,故B不正确;对于C,至少有1个红球的事件的对立事件为,则概率为1-P()=1-P()P()=,故C正确;对于D,2个球中恰有1个红球的事件为AB,则P(AB)=P(A)P()+P()P(B)=,故D不正确.故选AC. 14.　据公安部门通报,佛山市四项考试的合格率依次为,且各项考试是否通过互不影响,则一位佛山市民通过驾考四项考试至多需要补考一次的情况有2种:①四项考试均一次通过,概率为P1=.②四项考试中恰有一项补考通过,其他三项均一次通过,概率为P2=,所以一位佛山市民通过驾考四项考试至多需要补考一次的概率为P=.故答案为. 15.C　因为小明的爷爷、奶奶的血型均为AB型,所以小明父亲的血型可能是AA,AB,BB,它们对应的概率分别为;当小明父亲的血型是AA时,因为其母亲的血型为AB,所以小明的血型可能是AA,AB,它们的概率均为,此时小明是A型血的概率为;当小明父亲的血型是AB时,因为其母亲的血型为AB,所以小明的血型是AA的概率为,此时小明是A型血的概率为;当小明父亲的血型是BB时,因为其母亲的血型为AB,则小明的血型不可能是AA,所以小明是A型血的概率为.故选C. 16.解 (1)记事件M为“甲连胜四场”,则P(M)=. (2)记事件A为“甲输”,事件B为“乙输”,事件C为“丙输”, 则四局内结束比赛的概率为P'=P(ABAB)+P(ACAC)+P(BCBC)+P(BABA)=4×, 所以需要进行第五场比赛的概率为P=1-P'=. (3)记事件A为“甲输”,事件B为“乙输”,事件C为“丙输”,记事件M为“甲赢”, 则甲赢的基本事件包括BCBC,ABCBC,ACBCB, BABCC,BACBC,BCACB,BCABC,BCBAC, 所以甲赢的概率P(M)=+7×. 学科网（北京）股份有限公司 $