精品解析：天津外国语大学附属滨海外国语学校2025-2026学年高二下学期期中教学质量监测数学试题

天津外国语大学附属滨海外国语学校 2025-2026学年高二数学下学期期中教学质量监测 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题.（共12小题，每小题5分） 1. 若随机事件满足，则的值为（ ） A. 0.6 B. 0.5 C. 0.2 D. 0.08 2. 设随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 3. 把10个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同的箱子中，每个箱子的球的个数不少于其编号，则共有多少种放法（    ） A. 10种 B. 种 C. 种 D. 45种 4. 某科技公司要组建一个人的科研团队，现有名工程师和名专家可选，则至少有一名工程师被选中的选法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5. 若曲线在点处的切线方程是，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 某同学每周进行两次游泳训练，每次游趟或趟，第一次游趟或趟的概率均为，若第一次游趟，则第二次游趟的概率为，游趟的概率为；若第一次游趟，则第二次游趟的概率为，游趟的概率为．若一周至少游趟为训练量达标，则该同学一周训练量达标的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 四只不同的鹦鹉飞回三个不同的笼子，则至少有一个笼子空出来的概率为（    ） A. B. C. D. 11. 设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ） A. B. C. D. 12. 已知，，，其中为自然常数（），则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空（共8小题，每小题5分） 13. 六人排队，要求两人相邻，两人不相邻，则所有不同排法有_________种.（用数字作答） 14. 函数在上是增函数，则的取值范围是______． 15. 函数的所有极值点之和为______． 16. 已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为___________． 17. 中国古代儒家提出的“六艺”指：礼、乐、射、御、书、数．某校国学社团欲在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备排课六节，每艺一节，排课有如下要求：“乐”排在“书”与“数”的前面，“礼”和“射”不相邻且不排在最后面，则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有___________． 18. 已知对于，都有恒成立，则实数的最大值为__________. 三、解答题：本题共4小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19. 已知的二项展开式中二项式系数之和为64． （1）求正整数的值，第3项二项式系数及第3项系数； （2）求常数项； （3）求二项展开式中各项系数之和． 20. DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． （1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自A部门．从这6名部门领导中随机选取2人，求2人都来自于A部门的概率； （2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率； （ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润其他成本和费用）． 21. 已知函数 （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最值； （3）若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围. 22. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）已知，若存在，使得． （i）求实数m的取值范围； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津外国语大学附属滨海外国语学校 2025-2026学年高二数学下学期期中教学质量监测 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题.（共12小题，每小题5分） 1. 若随机事件满足，则的值为（ ） A. 0.6 B. 0.5 C. 0.2 D. 0.08 【答案】D 【解析】 【详解】根据条件概率公式，可得． 2. 设随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性直接求解即可. 【详解】易知正态分布关于对称，因此， 又，所以, 所以. 3. 把10个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同的箱子中，每个箱子的球的个数不少于其编号，则共有多少种放法（    ） A. 10种 B. 种 C. 种 D. 45种 【答案】B 【解析】 【分析】采用隔板法求解. 【详解】先在1号箱子放0个小球，2号箱子放1个小球，3号箱子放2个小球， 问题转化为将剩余的7个相同小球放入3个不同箱子中，方法数共有种. 故选：B. 4. 某科技公司要组建一个人的科研团队，现有名工程师和名专家可选，则至少有一名工程师被选中的选法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】直接用间接法计算可得. 【详解】因为从人中选人一共有种不同的选法， 若选中的人均为专家人员的有种不同的选法， 所以至少有一名工程师被选中的选法共有种不同的选法. 5. 若曲线在点处的切线方程是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】点在曲线上，所以当时，， 代入可得，即函数， 求导可得， 因为曲线在点处的切线方程是，即切线的斜率为， 所以， 所以，. 6. 函数的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】易知函数定义域为，且， 令，即; 解得， 即函数的单调增区间为. 7. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】当时，由图知函数减函数，则导函数，排除A，B； 又因当时，的图象趋势依次为增、减、增，则的值应依次为正、负、正，故D项不符合，C项符合． 8. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，，错误； 对于B，，错误； 对于C，，错误； 对于D，，正确. 9. 某同学每周进行两次游泳训练，每次游趟或趟，第一次游趟或趟的概率均为，若第一次游趟，则第二次游趟的概率为，游趟的概率为；若第一次游趟，则第二次游趟的概率为，游趟的概率为．若一周至少游趟为训练量达标，则该同学一周训练量达标的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查全概率公式的应用，根据题干条件进行分类，然后求出每种情况的概率，最后由互斥事件，将所有概率相加即可得到达标概率. 【详解】由题意知：一周训练量达标即为游趟或趟，设第一次游趟为事件， 第一次游趟为事件，第二次游趟为事件，第二次游趟为事件， 可分为以下三种情况： 情况：第一次游趟，第二次游趟，共游趟，训练量达标. 则由条件概率可得； 情况：第一次游趟，第二次游趟，共游趟，训练量达标. 则由条件概率可得； 情况：第一次游趟，第二次游趟，共游趟，训练量达标. 则由条件概率可得， 由三种情况为互斥事件，因此，该同学一周训练量达标的概率. 10. 四只不同的鹦鹉飞回三个不同的笼子，则至少有一个笼子空出来的概率为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意可知，四只鹦鹉飞回三个不同的笼子的总方法数为种. 其中“至少有一个笼子空出来”有两种情况： 4只鹦鹉飞回同一个笼子，有种； 4只鹦鹉飞回2个笼子里，有种. 则所求概率为. 11. 设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，根据条件得出其单调性，再将问题转化为解不等式即可. 【详解】令，则， 因为，所以， 故在上单调递减， 因为，所以， 因为，所以，即， 故不等式的解集为. 12. 已知，，，其中为自然常数（），则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数 ，将问题转化为比较函数值大小即可. 【详解】设，可得，，， 对求导得，令，解得​； 当时，，即，在上单调递减. 因为，由单调性得 ，即 . 二、填空（共8小题，每小题5分） 13. 六人排队，要求两人相邻，两人不相邻，则所有不同排法有_________种.（用数字作答） 【答案】144 【解析】 【分析】利用捆绑法和插空法求解即可. 【详解】将看成一个整体，与除外的两人进行排列，形成了四个空， 再将插入这四个空中， 所以所有不同排法有种. 故答案为：. 14. 函数在上是增函数，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件得在上恒成立，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为，则， 由题知在上恒成立，所以， 解得，所以的取值范围是. 15. 函数的所有极值点之和为______． 【答案】 【解析】 【详解】，令，解得，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增. 所以在取得极大值，在取得极小值，所以函数所有极值点之和为. 16. 已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】分别设出两曲线的切点，并写出切线方程，因为公切线，对应斜率以及截距相等得到等式进行消元求解即可. 【详解】设曲线上的切点为， 又因为，所以直线， 即 设曲线上的切点为， 又因为，所以直线， 即 因为是公切线，所以，解得 所以 所以在轴上的截距为 17. 中国古代儒家提出的“六艺”指：礼、乐、射、御、书、数．某校国学社团欲在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备排课六节，每艺一节，排课有如下要求：“乐”排在“书”与“数”的前面，“礼”和“射”不相邻且不排在最后面，则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有___________． 【答案】 【解析】 【详解】已知“乐”排在“书”与“数”的前面，“礼”和“射”不相邻且不排在最后面， 先排“乐、御、书、数”4个元素，总排列为种， “乐”在“书”与“数”的前面的情况占所有情况的，故符合条件的排列数为：； 排好4个元素后，形成5个空隙，由于“礼”和“射”不相邻且不排在最后面， 故排除最后一个空隙，剩下4个有效空隙， 从4个有效空隙中选2个，排列“礼”和“射”的排列数为：种， 总排列数为：种． 18. 已知对于，都有恒成立，则实数的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先将不等式变形为，令，化简不等式，设，求导判断单调性，得到等价于，即，令，求导判断单调性，求出的最小值，进而求得结果. 【详解】化简不等式为，即. 令，则不等式变为. ，求导得，所以在上单调递增， 又，所以等价于，即. 变形得，令，求导得. 令，解得，当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 所以在处取得最小值，即. 所以要使得不等式恒成立，则，所以. 所以实数的最大值为. 三、解答题：本题共4小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19. 已知的二项展开式中二项式系数之和为64． （1）求正整数的值，第3项二项式系数及第3项系数； （2）求常数项； （3）求二项展开式中各项系数之和． 【答案】（1），第3项二项式系数为15，系数为240 （2）60 （3）729 【解析】 【小问1详解】 二项式系数之和为，由题意得，解得， 所以二项展开式的第项， 第3项即时，二项式系数为，系数为． 【小问2详解】 令，解得， 所以常数项为． 【小问3详解】 令，代入原式得 ， 所以各项系数之和为729． 20. DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． （1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自A部门．从这6名部门领导中随机选取2人，求2人都来自于A部门的概率； （2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率； （ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润其他成本和费用）． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）1100万元 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的定义即可求解； （2）（ⅰ）记事件“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），根据概率加法公式和事件相互独立定义即可求解； （ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，然后根据二项分布期望公式结合条件即得. 【小问1详解】 根据题意，6名部门领导参加，恰有3人来自A部门，2人都来自于A部门的概率为 【小问2详解】 （ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第i轮培训达到优秀”（，2，3）， ，根据概率加法公式和事件相互独立定义得， ． 即每位员工经过培训合格的概率为． （ⅱ）记A，B两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为Y，则，则， 所以（万元） 即估计A，B两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元． 21. 已知函数 （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最值； （3）若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为 （2）最大值为，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间； （2）由（1）得函数的极值，并计算出区间端点处的函数值，比较后可得最值； （3）问题转化为直线与曲线有三个不同交点，结合（2）中计算的极值可得参数范围. 【小问1详解】 ， 因式分解得， 令，得或 1 3 + 0 - 0 + 单调递增 极大 单调递减 极小 单调递增 所以：单调递增区间为和，单调递减区间为； 【小问2详解】 由（1）知，在区间上的极值点为和，区间端点为和. 计算函数值： ， ， ， ， 比较得：最大值为，最小值为； 【小问3详解】 由（2）知，在处取得极大值，在处取得极小值1， 方程有三个不同的实数根直线与曲线有三个不同交点， 所以的取值范围为. 22. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）已知，若存在，使得． （i）求实数m的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增 （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数导数与函数单调性的关系，判断函数单调性即可. （2）（i）根据函数单调性与函数最值，判断函数图像，以及函数图像，判断有四个零点时的情况，求出参数范围； （ii）根据函数图像，求出四个零点的关系，进而构造函数，根据函数导数判断函数单调性，进而证明不等式. 【小问1详解】 的定义域为，． 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增． 【小问2详解】 （i）由（1）可知， 令， 若，则，则，则直线与函数的图象最多有两个交点，不符合题意； 若，，此时存在两个零点， 此时在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 此时作直线，其中，直线与的图象存在四个交点， 即存在，使得， 故实数m的取值范围是． （ii）由题意得，， 则，， 令，，注意到，则，即，同理， 要证，即，即证明， 设， 则， 设，设， 则，故在上单调递减， 从而，则，在上单调递减， 故，也即，因此． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $