2026年江苏省南京市中考数学考前冲刺卷

**基本信息** 立足南京中考命题趋势，以足球飞行轨迹、视力健康调查等真实情境和折叠、位似变换等动态问题为载体，考查抽象能力、推理意识与数据观念，适配考前冲刺需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6题|不等式性质、中心投影、概率计算|结合生活场景（如飞镖游戏）考查空间观念| |填空题|10题|因式分解、圆内接四边形、二次函数平移|设置反证法假设、折叠重叠等创新考点| |解答题|8题|统计分析、解直角三角形、二次函数综合|23题圆与平行四边形综合证明，24题函数图象与不等式跨知识探究，体现逻辑推理与模型意识|

2026年江苏省南京市中考数学考前冲刺卷 一、单选题 1．已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，夜晚冬冬从点出发沿直线走向点，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（    ） A．一直变长 B．一直变短 C．先变长，后变短 D．先变短，后变长 3．实数在数轴上对应的点位置如图所示，则下列代数式中，结果最小的是（    ） A． B． C． D． 4．小明把如图所示的矩形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在扇形中，，，点C在上，连接，垂直平分交于点D，则的长度为（   ） A． B． C． D． 6．如图，P是的重心，D是边的中点，交于点E，交于点F．若四边形的面积为4，则的面积为（   ） A．8 B．12 C．16 D．24 二、填空题 7．计算的结果是_________． 8．分解因式：____________． 9．将函数的图像向左平移1个单位长度所得到的图像对应的函数表达式为_____． 10．式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 11．如图，四边形内接于，连接，．若，则的度数为______． 12．如图，在中，若，是的平分线，是边上的中线，则点与点不重合．若用反证法证明，则第一步应假设________． 13．某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度与足球飞行的时间之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是________s． 14．实数，，满足，且．下列结论：①；②与异号；③；④．其中所有正确结论的序号是_________． 15．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D．已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那PB＝___________． 16．将矩形纸片的一组对角按图中方式折叠，折痕为和，图中所示的重叠部分刚好是一个边长为的正方形，已知长为，则长为_______． 三、解答题 17．计算： (1)． (2)． 18．解不等式组，并写出不等式组的非负整数解． 19．按照国家视力健康标准，学生视力状况分为A，B，C，D四个类别，为了解某校学生视力状况，调查小组随机抽取了该校部分学生进行调查，绘制成如下不完整的统计表和统计图． 抽取的学生视力状况统计表 类别 A B C D 视力 视力 4.9 视力 视力 健康状况 视力正常 轻度视力不良 中度视力不良 重度视力不良 人数 160 m n 56 根据以上信息，回答下列问题： (1)______，______，______； (2)抽样调查数据的中位数所在类别为______类； (3)已知该校共有800名学生，请估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数；为更好保护好视力，结合上述统计数据分析，给出一条合理化的建议． 20．在某一片水平的海面上，点A和点B是两个小岛，小岛A位于小岛B的南偏东方向上．某一时刻商船C位于小岛A的北偏东方向上且位于小岛B的南偏东方向上，经测量，求小岛A到小岛B之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 21．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； (2)将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 22．在二次函数中． (1)若它的图象与轴只有一个交点，求的值和顶点坐标； (2)当时，的最小值为，求出的值； (3)如果，，都在这个二次函数的图象上，且．求的取值范围． 23．如图，在中，连接，是的外接圆，交于点，连接． (1)求证：． (2)若． 求证：与相切． 若，．则的半径为 ． 24．研究函数图象与坐标轴的交点，是分析函数性质、解决函数问题的重要抓手． (1)如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B．用直尺和圆规作出下列函数的图象（保留作图痕迹）． (2)已知二次函数（m为常数，且）． ①求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； ②该函数图象所过的象限随m的值变化而变化，直接写出函数图象所经过的象限及对应的m的取值范围． (3)下图是用数学软件绘制的函数（a、c为常数，且）的图象．下方的演示图显示当、时对应的函数形态． 已知，利用函数图象，直接写出关于x的不等式的解集（用含a，c的式子表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年江苏省南京市中考数学考前冲刺卷》参考答案 1．D 【分析】利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：已知， A、两边同时减去1，得，则A不符合题意， B、两边同时除以2，得，则B不符合题意， C、两边同时乘以，得，则C不符合题意， D、两边同时加上1，得，则D符合题意． 2．D 【分析】本题考查了中心投影，掌握中心投影的定义是解答本题的关键．根据接近光源时，影子会变短，远离光源时，影子会变长解答即可． 【详解】解：如图，夜晚冬冬从点走向点，他的影子会先变短，再变长． 故选：D． 3．C 【分析】本题考查了数轴、整式的加减、绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴可得，，则，，，，再比较与的大小，由此即可得． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴，，，， ， ∴， ∴在这四个代数式中，结果最小的是， 故选：C． 4．C 【分析】此题主要考查了几何概率问题，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，根据矩形的性质可得，证明，进而得出，根据几何概率，即可求解． 【详解】解：如图， 四边形是矩形，交于点，过点， ∴,， ∴， ∵， ∴， 又∵，, ∴， ∴， ∴， ∴飞镖落在阴影区域的概率是； 故选：C． 5．C 【分析】由垂直平分线的性质易证是等边三角形，进而得出，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：垂直平分， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 的长度为． 6．B 【分析】连接，根据三角形重心的性质可知：在上，由三角形中线平分三角形的面积可知：，证明和，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可解答． 【详解】解：如图，连接． 点是的重心，点是边的中点， 在上，， ， ， ， ， ， ， ， 设的面积为，则的面积为，的面积为， 四边形的面积为4， ， ， 的面积为6， 的面积是12． 7．3 【分析】本题分别利用绝对值的性质和零指数幂的运算法则计算两项，再将结果相加即可． 【详解】解：． 8． 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故本题答案为：． 9． 【分析】根据一次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”计算即可． 【详解】解：由函数的图象向左平移个单位长度，根据平移规律得新函数表达式为 化简得 ． 10．x≥3 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得到关于x的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】由题意可得：x—3≥0， 解得：x≥3， 故答案为：x≥3 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键. 11．/123度 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，根据圆周角定理得，再由圆内接四边形的性质得到即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴ 故答案为：． 12．点与点重合 【分析】本题考查反证法，掌握反证法的意义与使用步骤是关键． 根据反证法的步骤，第一步是假设结论不成立，由此作答． 【详解】解：用反证法证明点与点不重合，则第一步应假设点与点重合． 故答案为：点与点重合． 13．1.6 【分析】本题考查二次函数的应用，设飞行的高度与足球飞行的时间之间的二次函数关系为，用待定系数法求出，令即可解得答案． 【详解】解：设飞行的高度与足球飞行的时间之间的二次函数关系为， 将，代入，得 ， 解得， ， 令得， 解得或， 足球从踢出到落地所需的时间是． 故答案为：1.6． 14．③④ 【分析】先根据得到，结合绝对值性质和等式性质判断③④，再分类讨论的符号判断①②，即可得到正确结论． 【详解】解：已知，且， 因此．移项得， 两边取绝对值得，故④正确． 等式两边同时除以，得， 整理得，故③正确． 由得， 假设异号，则，可得或，则或，这与已知条件矛盾， 故假设不成立，必为同号． 又因为， 所以的符号与，的符号相反， 分两种情况讨论： 当时，，，此时，，同号； 当时，，，此时，，同号， 因此不一定成立，故①错误； ，一定同号，故②错误． 综上，正确结论的序号是③④． 15．20. 【分析】连接AC，BT，AT，易证∆CAD~∆BTD，得到TD=6，易证：∆BTP~∆TAP，得：，设PB=x，则AP=x+7，，PD=x+4，根据勾股定理，即可求解. 【详解】连接AC，BT，AT， ∵∠CAD=∠BTD，∠ADC=∠TDB， ∴∆CAD~∆BTD， ∴，即： ∴TD=6， ∵PT是⊙O的切线，T为切点， ∴∠BTP+∠BTD=90°， ∵CT是直径， ∴∠CAD+∠TAP=90° ∵∠CAD=∠BTD， ∴∠BTP=∠TAP， ∵∠P=∠P， ∴∆BTP~∆TAP， ∴，即：， 设PB=x，则AP=x+7，，PD=x+4， ∵在Rt∆DPT中，， ∴，解得：x=20， 故答案是：20. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质定理与圆的性质的综合，根据题意，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键. 16． 【分析】过点作交的延长线于点，根据折叠的性质可得，然后证明四边形是矩形，则，然后求出，最后对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点 ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得，， ∵重叠部分刚好是一个边长为的正方形， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∴， ∵， ∴ 解得（舍负）． 17．(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．0，1 【分析】分别解出不等式组中的每一个不等式，即得出不等式组的解集，再在解集中找出非负整数即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∴不等式组的非负整数解为0，1． 【点睛】本题考查求不等式组的整数解．掌握解不等式组的方法和步骤是解题关键． 19．(1)64，120，30 (2) (3)人，建议合理即可 【分析】本题考查了扇形统计图，用样本估计总体，中位数等知识点，解题的关键是正确理解题意，读懂统计图． （1）先由A的人数除以占比求出总人数，再由总人数乘以的占比即可求解，再由总人数减去组的人数即可求解； （2）根据中位数的定义即可求解； （3）用样本估计总体的方法求解即可，建议合理即可． 【详解】（1）解：， ∴， ， ， ∴， 故答案为：64，120，30； （2）解：总人数人，则中位数为第和人视力的平均数，而组人，组人， ∴中位数在组， 故答案为：； （3）解：（人）， 学校可以定期组织视力检查，增加户外活动时间，培养正确的读写姿势和用眼习惯等． 20．小岛A到小岛B之间的距离AB约为 【分析】过点C作于点D，根据锐角三角函数的定义，结合方位角，求出、和的长，即得答案． 【详解】解：如图，过点C作于点D， ． 由题意可知，， ， ， 在Rt中，， ，， （）， （）， ， ， ， （）， ）， 答：小岛A到小岛B之间的距离约为． 【点睛】作垂线构造直角三角形是解直角三角形问题的常用方法． 21．(1)见解析 (2)是，图见解析，M的坐标为 【分析】本题主要考查了作图位似变换，平移变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． （1）根据位似变换的性质找出对应点，再顺次连接对应点，即可解题； （2）根据平移变换的性质画出，再根据位似中心的性质求解，即可解题． 【详解】（1）解：所作如图所示： （2）解：如上图画出， 与是关于某一点M为位似中心的位似图形，如图，M的坐标为． 22．(1)，顶点坐标为 (2) (3)或 【分析】（1）根据抛物线与x轴只有一个交点可得，再求出解可得二次函数关系式，然后配方得出答案； （2）先表示出抛物线的对称轴和顶点坐标，再分两种情况：当时，，y有最小值，其最小值为，可得方程，求出解；当时，时，y有最小值，其最小值为，并得到方程，求出解； （3）先根据抛物线的对称轴得，再根据可得，再求出当时，，然后分两种情况讨论：当4在对称轴左边时，要使，需要满足，求出解集；当4在对称轴右边时，要使，需要满足即，求出解集并得出答案． 【详解】（1）解：∵，它的图象与x轴只有一个交点， ∴， 解得或． ∵， ∴， ∴， ∴顶点坐标为； （2）解：∵， ∴对称轴是，顶点坐标为． 当时， y有最小值为． 当时，，y有最小值，其最小值为， ∴， 解得． ∵， ∴； 当时，时，y有最小值，其最小值为， ∴y有最小值，其最小值为， 解得，不符合题意． 综上所述，； （3）解：∵点都在这个二次函数的图象上， ∴对称轴是． ∵抛物线的对称轴是， ∴． ∵， ∴， 解得； 当时，，对称轴是， ∴时，． 当4在对称轴左边时，要使，需要满足，即 解得； 当4在对称轴右边时，要使，需要满足即， 解得， 综上所述：或． 23．(1)见解析； (2)见解析；． 【分析】（）由平行四边形性质可得，所以，然后通过弧、弦、圆心角的关系即可求证； （）连接并延长，交于点，连接，通过弧、弦、圆心角的关系得，由垂径定理得，即，又四边形是平行四边形，所以，所以，再由切线的判定方法即可求证； 由（）得，又四边形是平行四边形，则，，证明，所以，即，解得，再求出，设的半径为，则，由勾股定理得，即，求出的值即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接并延长，交于点，连接， ∵， ∴， 由垂径定理得，即， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即， ∵是的半径， ∴与相切； 由（）得， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 设的半径为，则， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴的半径为． 24．(1)作图见解析 (2)①证明见解析；②当时，此时图像经过一、二、四象限；当时，此时图像经过三、四象限；当或时，此时图像经过一、三、四象限；当时，开口向下，此时图像经过一、二、三、四象限． (3)解集为：当，时，或；当，时，或． 【分析】（1）对于直线，当，当时，，解得，那么直线与轴的交点坐标为，同理可求直线与轴的交点坐标为，那么直线也经过点，与轴的交点和直线与轴的交点关于原点对称，据此即可作直线；可求直线与轴的交点坐标为，那么直线与轴交点在轴负半轴，且距离原点的距离是距离原点的距离的一半，直线与轴交点与关于原点对称，据此即可作出直线； （2）①当时，，解得，据此证明即可； ②分；；或；四种情况讨论求解即可； （3）先得到函数与x轴的三个交点分别为：，，，再分类讨论根据函数图象确定不等式的解集． 【详解】（1）解：如题①，直线即为所求；如题②，直线即为所求 （2）①证明：当时，， 解得，     当，即时，方程有两个相等的实数根； 当，即时，方程有两个不相等的实数根， ∴不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点； ②当时，， ∴抛物线与轴交点为 若抛物线与轴正半轴相交， 设，即z是m的二次函数， 当，则或时， ∵抛物线开口向上， ∴当或时，． ∴当或时，抛物线与轴正半轴相交； 当时，经过原点； 当时，抛物线与轴负半轴相交； 情况一：当时，开口向上，与x轴交点的横坐标：，如图： 此时图像经过一、二、四象限； 情况二：若抛物线与轴只有一个交点时，则，解得，那么时，开口向下，与x轴交点的横坐标为1，此时图像经过三、四象限，如图： 情况三：当或时，开口向下，与x轴交点的横坐标：， 此时图像经过一、三、四象限，如图： 情况四：当时，开口向下，与x轴交点的横坐标为：， 此时图像经过一、二、三、四象限，如图： 综上：当时，此时图像经过一、二、四象限；当时，此时图像经过三、四象限；当或时，此时图像经过一、三、四象限；当时，开口向下，此时图像经过一、二、三、四象限． （3）解：设函数， ∵， ∴， 则方程有两个不相等的实数根， ∵当时，， ∴函数与x轴有三个交点， 根据求根公式可得： 方程的两个根分别为：，， ∴函数与x轴的三个交点分别为：，，， ①当，时，如图： ∴或时，； ②当，时，如图： ∴或，． 综上，解集为：当，时，或；当，时，或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $