精品解析：重庆市巴蜀中学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学复习题

高2027届高二下数学期中复习题 一、单选题 1. 若数列是等比数列，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 某公司举办了教职工运动会，设置了三大类项目：个人项目､集体项目､趣味项目，其中个人项目包括100米､200米､1000米三种比赛，集体项目只有4*100米接力赛，趣味项目包括嘉嘉传真情､跳跳一家亲两种比赛.该公司一名员工从这三类项目中只选两类且每类项目中只能选一种比赛参加，则该员工共有（ ）种不同的选法. A. 6 B. 7 C. 11 D. 14 3. 在某校高二年级半期考试表彰仪式上，班1人、班2人、班3人总共6人站成一排在舞台上领奖，要求同班的同学不相邻，则不同排法共有（ ） A. 72种 B. 84种 C. 120种 D. 150种 4. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 80 D. 100 5. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图： 由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ） A. B. C. D. 6. 设随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 为了预防肥胖，某校对“学生性别和喜欢吃甜食”是否有关做了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的两倍，男生喜欢吃甜食的人数占男生人数的，女生喜欢吃甜食的人数占女生人数的，根据小概率值的独立性检验，推断出“学生性别和喜欢吃甜食”有关，则被调查的男生人数最少为（） 参考公式及数据：，其中. 附： 0.05 0.01 3.841 6.635 A. 12人 B. 13人 C. 14人 D. 15人 8. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，为双曲线上位于第二象限的一点，，的内切圆的圆心为，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 二、多选题 9. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 数列的公差为3 B. 数列是递增数列 C. 数列中的最小项为 D. 成等差数列 10. 甲罐中有2个红球、2个黑球，乙罐中有3个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出两球，记表示事件“甲罐取出的球是红球”，记表示事件“乙罐取出的球恰有一个红球”，则（ ） A. B. C. D. 11. 定义在上的函数的导函数为，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象与轴有2个不同的交点 C. D. 当时， 三、填空题 12. 已知随机变量，若，则__________. 13. 垂直于直线且与曲线相切的直线方程为______. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，若恒成立，则该椭圆离心率的取值范围为__________. 四、解答题 15. 某科技公司的厂告投入（单位：百万）与销售额（单位：千万）之间有如下对应数据： 广告投入 18 16 14 12 10 8 销售额 13 11 9 8 7 6 （1）求样本相关系数（结果保留两位小数），并判断与是否具有较强的线性相关性； （2）求销售额关于广告投入的经验回归方程. 参考公式：. 参考数据：. 16. 已知数列满足，令. （1）证明：是等比数列，并求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 17. 抛物线C：与直线：相切． （1）求抛物线C的方程． （2）设抛物线C的焦点为F，过F的直线交C于A，B，点满足，求直线的方程． 18. 重庆八中举办拔河比赛，经过预选赛最终确定由甲乙丙丁4支队伍角逐冠军．先进行半决赛：将4支队伍采用抽签的方式随机分成2队一组共两组进行比赛，每组的胜者再进行最后的决赛．已知在任何一场比赛中甲队的获胜概率均为，乙队的获胜概率均为，丙队胜过丁队的概率为． （1）求甲队的夺冠概率． （2）半决赛怎样分组可以使丙队的夺冠概率最大？ （3）求甲队能与丁队相遇的概率． 19. 已知函数，． （1）若函数在单调增，求实数a的取值范围： （2）当时，，求实数a的值； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2027届高二下数学期中复习题 一、单选题 1. 若数列是等比数列，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等比数列的通项公式将表示出来，然后将的表达式列出来，最后计算对数的值. 【详解】因为数列是等比数列， 则，而. 则. 故选：B. 2. 某公司举办了教职工运动会，设置了三大类项目：个人项目､集体项目､趣味项目，其中个人项目包括100米､200米､1000米三种比赛，集体项目只有4*100米接力赛，趣味项目包括嘉嘉传真情､跳跳一家亲两种比赛.该公司一名员工从这三类项目中只选两类且每类项目中只能选一种比赛参加，则该员工共有（ ）种不同的选法. A. 6 B. 7 C. 11 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列式求解即可. 【详解】由题意知种. 故选：C. 3. 在某校高二年级半期考试表彰仪式上，班1人、班2人、班3人总共6人站成一排在舞台上领奖，要求同班的同学不相邻，则不同排法共有（ ） A. 72种 B. 84种 C. 120种 D. 150种 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列组合的知识，先将C班的人按照不相邻的条件排列，共有4种情况，然后针对每种情况利用插空法再将A班和B班的人进行排列，最后将其相加得到总的排法数. 【详解】因为C班3人不相邻排列，所以有以下情形的排列方式： 第一类，C班3人分别在第一､第三､第五个位置，则有种排法； 第二类，C班3人分别在第一､第三､第六个位置，则有种排法； 第三类，C班3人分别在第一､第四､第六个位置，则有种排法； 第四类，C班3人分别在第二､第四､第六个位置，则有种排法；因此不同排法共有种. 故选：C. 4. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 80 D. 100 【答案】A 【解析】 【分析】先求出展开式的通项，从而得到展开式中的系数为.. 【详解】因为， 其中展开式的通项为， 当时，， 故，其他项均不合要求， 所以展开式中的系数为. 故选：A. 5. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图： 由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型. 【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近， 因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是. 故选：D. 【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题. 6. 设随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对立事件和独立事件的概率公式求出的值，然后利用二项分布的方差公式可求出的值. 【详解】因为随机变量，若， 解得，故. 故选：A. 7. 为了预防肥胖，某校对“学生性别和喜欢吃甜食”是否有关做了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的两倍，男生喜欢吃甜食的人数占男生人数的，女生喜欢吃甜食的人数占女生人数的，根据小概率值的独立性检验，推断出“学生性别和喜欢吃甜食”有关，则被调查的男生人数最少为（） 参考公式及数据：，其中. 附： 0.05 0.01 3.841 6.635 A. 12人 B. 13人 C. 14人 D. 15人 【答案】D 【解析】 【分析】假设男生的人数为，利用独立性检验得到关于的不等式，从而得解． 【详解】由题意可设男生的人数为：，则女生的人数为， 根据题意可列出如下的列联表： 男生 女生 合计 喜欢吃甜食 不喜欢吃甜食 合计 ， 因为根据小概率值的独立性检验，推断出“学生性别和喜欢吃甜食”有关， 所以；解得：， 因为,所以的最小值为， 则的最小值为， 故选：D． 8. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，为双曲线上位于第二象限的一点，，的内切圆的圆心为，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据内切圆的性质及双曲线定义可得，再求出，结合直线的斜率得到即可求解． 【详解】由题可知，， ，又， ，则， 当时，，解得， ，为双曲线上位于第二象限的一点， ，又直线的斜率为， ， 解得，. 二、多选题 9. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 数列的公差为3 B. 数列是递增数列 C. 数列中的最小项为 D. 成等差数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和公式，即可求出公差及前项和，从而可判断各选项. 【详解】设等差数列的首项为，公差为； 由可得，解得， 所以数列的公差为3，即A正确； 依题意可得， 所以，即B正确； 由，由二次函数性质以及可得，当时，，所以C错误； 由 ，所以成等差数列，故D正确. 故选：ABD 10. 甲罐中有2个红球、2个黑球，乙罐中有3个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出两球，记表示事件“甲罐取出的球是红球”，记表示事件“乙罐取出的球恰有一个红球”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据古典概型的计算公式，结合条件概率的计算公式，全概率公式直接计算出结果逐一判断即可. 【详解】A选项，由条件概率知：，选项错误； B选项，由条件概率知：，B选项正确； C选项，，由全概率公式知：，C选项正确； D选项，由条件概率知：， 又，选项正确. 故选：BCD 11. 定义在上的函数的导函数为，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象与轴有2个不同的交点 C. D. 当时， 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，令即可求解；对于B，求出即可求解；对于C，求出单调性，画出图象即可求解；对于D，根据当时即可求解. 【详解】对于A，令得， 因为，所以，故A正确； 对于B，由得， 则，因为， 所以，于是函数， 令，则， 所以只有一个零点，故B错误； 对于C，， 令，解得， 当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 由函数的图象可得， 因为， 所以，故C错误； 对于D，，当时， 因为，所以成立，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 12. 已知随机变量，若，则__________. 【答案】0.15## 【解析】 【分析】根据正态曲线的对称性，结合正态分布的概率表示，可得答案. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 13. 垂直于直线且与曲线相切的直线方程为______. 【答案】 【解析】 【详解】切线与垂直，则切线斜率为，且， 设切点的坐标为，则， 代入曲线方程中，得，所以切点的坐标为， 故该切线方程为，即. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，若恒成立，则该椭圆离心率的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意作图，根据圆的切线性质以及勾股定理，可建立方程，根据焦半径的取值范围以及题干中的不等式，通过化简整理，代入离心率，可得答案. 【详解】如下图所示：易知， 又焦半径的最小值为，且恒成立， 则，又，所以， 整理可得，即，可得，即， 又，解得，又半径，则，解得， 所以. 故答案为： 四、解答题 15. 某科技公司的厂告投入（单位：百万）与销售额（单位：千万）之间有如下对应数据： 广告投入 18 16 14 12 10 8 销售额 13 11 9 8 7 6 （1）求样本相关系数（结果保留两位小数），并判断与是否具有较强的线性相关性； （2）求销售额关于广告投入的经验回归方程. 参考公式：. 参考数据：. 【答案】（1），有较强的线性相关性 （2） 【解析】 【分析】（1）根据相关系数公式计算即可求解； （2）根据最小二乘法依次计算相关量即可计算求解. 【小问1详解】 由题意可知， ， 因为非常接近1，故与有较强的线性相关性； 【小问2详解】 ， 故.将代入可得， 故经验回归方程为. 16. 已知数列满足，令. （1）证明：是等比数列，并求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）根据，即可根据等比数列的定义证明为等比，求解首项，即可利用等比数列的通项公式求解， （2）利用错位相减法求和，结合等比数列的求和公式即可化简求解. 【小问1详解】 因为，则，所以， 又，则，故，因此是以4为首项，2为公比的等比数列, 则. 【小问2详解】 由（1）知，，所以①， 则②， 由①-②得到， 故 因此 17. 抛物线C：与直线：相切． （1）求抛物线C的方程． （2）设抛物线C的焦点为F，过F的直线交C于A，B，点满足，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立直线的方程与抛物线C的方程，利用判别式为0，求出p的值，从而可得答案； （2）设， 联立可得，利用韦达定理建立方程以及平面向量的数量积列式求解m的值即可. 【小问1详解】 联立，可得， 因为直线与相切， 所以， 抛物线C的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知， 设， 联立可得， 设，可得 ∵，∴ 因为,，所以， 则， 所以 即 所以，即， 解得， ， 即. 18. 重庆八中举办拔河比赛，经过预选赛最终确定由甲乙丙丁4支队伍角逐冠军．先进行半决赛：将4支队伍采用抽签的方式随机分成2队一组共两组进行比赛，每组的胜者再进行最后的决赛．已知在任何一场比赛中甲队的获胜概率均为，乙队的获胜概率均为，丙队胜过丁队的概率为． （1）求甲队的夺冠概率． （2）半决赛怎样分组可以使丙队的夺冠概率最大？ （3）求甲队能与丁队相遇的概率． 【答案】（1） （2）甲丁、乙丙 （3） 【解析】 【分析】（1）先分组，再分别计算每种情况下甲获胜的概率即可； （2）先分组，再分别计算每种情况下丙获胜的概率，再比较大小即可； （3）先分组，再分别计算每种情况下甲队能与丁队相遇的概率，再利用全概率公式即可. 【小问1详解】 2队一组共有甲乙、丙丁；甲丙、乙丁；甲丁、乙丙，种分组， 由于在第一场中，不含甲的那组无论谁赢都可以， 则每种分组下甲获胜的概率均为， 则甲队的夺冠的概率为. 【小问2详解】 若甲乙、丙丁，则丙队夺冠的概率为； 若甲丙、乙丁，则丙队夺冠的概率为； 若甲丁、乙丙，则丙队夺冠的概率为； 则半决赛按照甲丁、乙丙分组可以使丙队的夺冠概率最大. 【小问3详解】 若甲乙、丙丁，则甲队与丁队相遇的概率为； 若甲丙、乙丁，则甲队与丁队相遇的概率为； 若甲丁、乙丙，则甲队与丁队相遇的概率为， 则甲队与丁队相遇的概率为. 19. 已知函数，． （1）若函数在单调增，求实数a的取值范围： （2）当时，，求实数a的值； （3）求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）函数在某区间单调递增，可通过其导数在该区间大于等于0恒成立来求解参数范围； （2）要根据函数在给定区间的取值情况确定参数值，需结合函数的单调性等性质进行分析； （3）证明不等式需要利用前面得到的函数性质以及一些常见的放缩技巧变形，结合裂项求和即可. 【小问1详解】 据题意：，， 则当时，，则在单调减，所以， 由于在单调增，则恒成立，即，故． 【小问2详解】 下面证明：当时，恒成立，此时， 由（1）知，当时，，符合； 当时：，， ，则在单调增，由于， ，则存在使，则，即在单调减，，即在单调增，又，，所以对恒成立，即在单调减，故．、 综上，． 【小问3详解】 由（2）知：对恒成立， 令，， 所以 ． 【点睛】方法点睛：在证明导数与数列不等式综合问题时，经常将第一问的结论直接应用到证明当中去，再综合考虑不等式特征合理选取方法巧妙放缩求和，即可实现问题求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $