正余弦定理的应用限时作业五-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

**基本信息** 聚焦正余弦定理的实际应用与综合解题，通过多样化题型构建从基础到复杂情境的知识逻辑链 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本解三角形|单选1、解答9|已知边边角/边角关系求边或角|体现正弦定理与余弦定理的选择逻辑，强化方程思想| |实际应用|单选2/3/4、填空7/8|含方向角/仰俯角的距离高度测量|构建几何模型转化为解三角形问题，发展几何直观与空间观念| |解的个数判断|多选5|已知两边及对角判断三角形解的情况|深化正弦定理应用中“大边对大角”的推理意识| |综合应用|多选6、解答10|平面四边形及多三角形组合问题|培养多图形关联分析能力，提升数学语言表达的系统性|

2026年高一数学正余弦定理的应用限时作业五 (人教版B版必修四第九章) (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题) 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.在△ABC中，BC=2,AC=V3,∠BCA=30°，则∠A等于() A.90° B.60° C.45° D.120° 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力 及思维能力，属于基础题型.直接利用正弦定理和余弦定理的应用求出结果 【解答】 解：△ABC中，BC=2,AC=√3，∠BCA=30°， 所以c2=a2+b2-2 abcosC, 解得c=1. 利用正弦定理品品所以A=1， 解得A=90. 故选：A. 第1页，共7页 2.已知轮船A在灯塔B的北偏东45°方向上，轮船C在灯塔B的南偏西15°方向上，且轮 船A,C与灯塔B之间的距离分别是10千米和10V3千米，则轮船A,C之间的距离是 ( A.10千米 B.10v3千米 C.10v5千米 D.10v7千米 【答案】D 【解析】【分析】 本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的距离问题，属于基础题， 【解答】 解：如图，由题意可知AB=10千米，BC=10v3千米，∠ABC=150°， 由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosABC =102+(10W2-2×10×10W3×(-5)=700, 则AC=10w7千米 B 3.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上， 测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15方向走10m到位置D,测 得∠BDC=45°，则塔AB的高是( ) A D B A.10m B.10v2m C.10v3m D.10v6m 【答案】D 第2页，共7页 【解析】解：在△BCD中，CD=10m,∠BDC=45°， ∠BCD=15°+90°=105°，∠DBC=30°， 由正弦定理，得Bc CD sinBDC-sn∠DBc' BC=10sin45 =10V2m). sin30 在Rt△ABC中，tanLACB=-tam60-0AB=BC×an60~=I0Wm. 故选：D 4.如图所示，A,B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需经C地沿折线A C-B行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶，已知AC=10km,∠A=30°， ∠B=45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走( )(结果精确到0.1km; 参考数据：√2≈1.41，V3≈1.73) A30°6 為45B A.3.4km B.2.3km C.5km D.3.2km 【答案】A 【解析】略 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.根据下列条件解三角形，有两个解的是( ) A.a=5,b=4,A=120° B.a=9,b=10,A=60° C.c=50,b=72,C=135° D.a=√3，b=√2，B=45% 【答案】BD 【解析】[A中，nB=nl20-专×9=号 5 :a>b,B为锐角，…三角形有一解. B中，sinB=sin60°=”×5=55， 9 29 而号<<1， 9 第3页，共7页 当B为锐角时，满足imB=g的角有60°<B<90°. 故对应的钝角B有90°<B<120°， 也满足A+B<180°， 故三角形有两解. C中，c<b,.C<B,.B+C>180°， 故三角形无解. D中，$inA=asim腿=sm45°=5 b 又a>b,.A>45°，故A=60°或120°， 都满足A+45°<180°，故有两解.] 6.某人在A处向正东方向走xkm后到达B处，他沿南偏西60°方向走3km到达C处，这 时他离出发点v3k,那么x的值可以是( A.3 B.2V3 C.v2 D.2W2 【答案】AB 【解析】【分析】 本题主要考查了余弦定理，属于基础题， 根据余弦定理，即可求解， 【解答】 解：如图， 由条件可知，AB|=xkm,∠ABC=30°，BC=3km,AC=√3km,根据余弦定理可 知3=x2+9-23x,即x2-33x+6=0, 解得：x=V√3或x=2W3. 故选AB. 第4页，共7页 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7瑞云塔是福清市古街的著名景点.如图，某同学为了测量瑞云塔ED的高，他在山下A 处测得塔尖D的仰角为45°，再沿AC方向前进15m到达山脚点B,测得塔尖点D的仰角 为60°，塔底点E的仰角为30°，那么瑞云塔高为 m.(答案保留根号) D 【答案】(15+5V3 【解析】略 8.某地需要经过一座山两侧的D,E两点修建一条穿山隧道.工程人员先选取直线DE上的 三点A,B,C,在隧道DE正上方的山顶P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为45°，C 处的俯角为30°，且测得AB=1.4kam,BD=0.2kum,CE=0.5km,则拟修建的隧道DE的 长为 p A BD E 【答案】0.7kum 【解析】【分析】 本题考查正弦定理的应用，属于基础题. 由题意可得∠APB=30°，∠PAB=15°，∠PCE=30°，∠BPC=105°，在△PAB中，由正弦 定理得PB,在△PBC中，由正弦定理得BC,再由DE=BC-BD一EC得到答案， 【解答】 解：由题意得∠APB=45°-15°=30°，∠PAB=15°，∠PCE=30°，∠BPC=180°-45°- 30°=105°， 在△PAB中，由正弦定理得s -PB 0即14 =PB sin/APB sinzPAB' sin30° sin15' 所以PB=2.8sinl5°， 第5页，共7页 在△PBC中，由正弦定理得B= BC sinPCE sinzBPC' 即咫 BC s1n30° sin1050 BC5.6sin15"cos15*-2.8sn301.4 sin30° DE=BC-BD-EC=1.4-0.2-0.5=0.7m. 故答案为：0.7kam. 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且ccosB+bcosC=3 acosB. (I)求cosB的值； (2)若c=2,△ABC的面积为22，求b的值. 【答案】解：(I)在△ABC中，由正弦定理以及ccosB+bcosC=3 acosB, sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB, 化简得sinA=3 sinAcosB, 因为Ae(0,m)sinA>0, 所以coB= (②)由sinB>0,得simB=√1-cosB=2y, 3 又SAABG=JacsinB,. 所以ax2×9=2W2, 解得a=3. 在△ABC中，由余弦定理得2 accosB=a2+c2-b2, 所以2×3×2×号=32+22-b, 解得b=3. 【解析】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积公式应用，两角和与差的三 角函数公式，属基础题， (1)根据正弦定理，两角和与差的三角函数公式以及诱导公式求得siA=3 sinAcosB,化 第6页，共7页 简即可. (2)由(1)可知sinB=2, 根据三角形面积公式得a=3,再根据余弦定理即可求得结果. 10.(本小题14分) 如图，在平面四边形ABCD中，∠BAD=60°，BC=1,AD=CD=2,∠DCB=120°. (I)求BD的长： (2)求LABD的正弦值. 【答案】解：(I)在△BCD中，由余弦定理可知： BD2=BC+CD2-2BC.CDcos∠BCD=12+22-2×1×2×(-)=7, BD=7; (2)在△ABD中，由正弦定理可知： BD AD sin∠BAD sinABD 即： 2 Sin∠ABD sin∠ABD=② 【解析】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于基础题， (I)在。BCD中，利用余弦定理即可求解： (2)在ABD中，利用正弦定理即可求解， 第7页，共7页2026年高一数学正余弦定理的应用限时作业五 (人教版B版必修四第九章) (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.在△ABC中，BC=2,AC=V√3，∠BCA=30°，则∠A等于() A.90° B.60 C.45o D.120° 2.已知轮船A在灯塔B的北偏东45°方向上，轮船C在灯塔B的南偏西15°方向上，且轮 船A,C与灯塔B之间的距离分别是10千米和10V3千米，则轮船A,C之间的距离是 () A.10千米 B.10V3千米 C.10v5千米 D.10W7千米 3如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上， 测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D,测 得∠BDC=45°，则塔AB的高是( ) .-D B A.10m B.10v2m C.10v3m D.10v6m 第1页，共4页 4.如图所示，A,B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需经C地沿折线A一 C-B行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶，已知AC=10km,∠A=30°， ∠B=45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走( )(结果精确到0.1km;参 考数据：√2≈1.41，√3≈1.73) A30° 45 B A.3.4km B.2.3km C.5km D.3.2km 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5根据下列条件解三角形，有两个解的是( ) A.a=5,b=4,A=120° B.a=9,b=10,A=60° C.c=50,b=72,C=135 D.a=V3,b=V2,B=45° 6.某人在A处向正东方向走xum后到达B处，他沿南偏西60°方向走3kam到达C处，这 时他离出发点V3km,那么x的值可以是( ) A.V3 B.2W3 C.√2 D.2W2 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7瑞云塔是福清市古街的著名景点.如图，某同学为了测量瑞云塔ED的高，他在山下A 处测得塔尖D的仰角为45°，再沿AC方向前进15到达山脚点B,测得塔尖点D的仰角 为60°，塔底点E的仰角为30°，那么瑞云塔高为 m.(答案保留根号) D . 第2页，共4页 8.某地需要经过一座山两侧的D,E两点修建一条穿山隧道.工程人员先选取直线DE上的 三点A,B,C,在隧道DE正上方的山顶P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为45°，C 处的俯角为30°，且测得AB=1.4km,BD=0.2km,CE=0.5km,则拟修建的隧道DE的 长为 BD E 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且ccosB+bcosC=3 acosB. (I)求cosB的值； (2)若c=2,△ABC的面积为2V2,求b的值. 第3页，共4页 10.(本小题14分) 如图，在平面四边形ABCD中，∠BAD=60°，BC=1,AD=CD=2,∠DCB=120°. (I)求BD的长； (2)求LABD的正弦值. 第4页，共4页 2026年高一数学正余弦定理的应用限时作业五 （人教版B版必修四第九章） （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在中，，，，则等于(     ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．直接利用正弦定理和余弦定理的应用求出结果． 【解答】 解：中，，，， 所以， 解得． 利用正弦定理所以， 解得． 故选：． 2.已知轮船在灯塔的北偏东方向上，轮船在灯塔的南偏西方向上，且轮船，与灯塔之间的距离分别是千米和千米，则轮船，之间的距离是(     ) A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的距离问题，属于基础题． 【解答】 解：如图，由题意可知千米，千米，， 由余弦定理可得 ， 则千米． 3.如图，为测得河对岸塔的高，先在河岸上选一点，使在塔底的正东方向上，测得点的仰角为，再由点沿北偏东方向走到位置，测得，则塔的高是(     ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：在中，，， ，， 由正弦定理，得， ． 在中，，． 故选：． 4.如图所示，，两地之间有一座山，汽车原来从地到地需经地沿折线行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线行驶，已知，，，则隧道开通后，汽车从地到地比原来少走结果精确到参考数据：， A. B. C. D. 【答案】A  【解析】略 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.根据下列条件解三角形，有两个解的是(     ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】BD  【解析】中，， ，为锐角，三角形有一解． 中，， 而， 当为锐角时，满足的角有． 故对应的钝角有， 也满足， 故三角形有两解． 中，，，， 故三角形无解． 中，． 又，，故A或， 都满足，故有两解 6.某人在处向正东方向走后到达处，他沿南偏西方向走到达处，这时他离出发点，那么的值可以是(     ) A. B. C. D. 【答案】AB  【解析】【分析】 本题主要考查了余弦定理，属于基础题． 根据余弦定理，即可求解． 【解答】 解：如图， 由条件可知，，，，，根据余弦定理可知，即， 解得：或． 故选AB． 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.瑞云塔是福清市古街的著名景点如图，某同学为了测量瑞云塔的高，他在山下处测得塔尖的仰角为，再沿方向前进到达山脚点，测得塔尖点的仰角为，塔底点的仰角为，那么瑞云塔高为           答案保留根号 【答案】  【解析】略 8.某地需要经过一座山两侧的两点修建一条穿山隧道．工程人员先选取直线上的三点，在隧道正上方的山顶处测得处的俯角为，处的俯角为，处的俯角为，且测得，，，则拟修建的隧道的长为           ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查正弦定理的应用，属于基础题． 由题意可得，，，，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，再由得到答案． 【解答】 解：由题意得，，，， 在中，由正弦定理得，即， 所以， 在中，由正弦定理得， 即， 所以， ． 故答案为： ． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 在中，角，，所对的边分别为，，，且． 求的值； 若，的面积为，求的值． 【答案】解：在中，由正弦定理以及， 有， 化简得， 因为， 所以； 由，得， 又，  所以， 解得． 在中，由余弦定理得， 所以， 解得． 【解析】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积公式应用，两角和与差的三角函数公式，属基础题． 根据正弦定理，两角和与差的三角函数公式以及诱导公式求得，化简即可． 由可知，根据三角形面积公式得，再根据余弦定理即可求得结果． 10.本小题分 如图，在平面四边形中，，， ，． 求的长； 求的正弦值． 【答案】解：在中，由余弦定理可知： ， ； 在中，由正弦定理可知：， 即：， ． 【解析】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于基础题． 在中，利用余弦定理即可求解； 在中，利用正弦定理即可求解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高一数学正余弦定理的应用限时作业五 （人教版B版必修四第九章） （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在中，，，，则等于(     ) A. B. C. D. 2.已知轮船在灯塔的北偏东方向上，轮船在灯塔的南偏西方向上，且轮船，与灯塔之间的距离分别是千米和千米，则轮船，之间的距离是(     ) A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 3.如图，为测得河对岸塔的高，先在河岸上选一点，使在塔底的正东方向上，测得点的仰角为，再由点沿北偏东方向走到位置，测得，则塔的高是(     ) A. B. C. D. 4.如图所示，，两地之间有一座山，汽车原来从地到地需经地沿折线行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线行驶，已知，，，则隧道开通后，汽车从地到地比原来少走结果精确到参考数据：， A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.根据下列条件解三角形，有两个解的是(     ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6.某人在处向正东方向走后到达处，他沿南偏西方向走到达处，这时他离出发点，那么的值可以是(     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.瑞云塔是福清市古街的著名景点如图，某同学为了测量瑞云塔的高，他在山下处测得塔尖的仰角为，再沿方向前进到达山脚点，测得塔尖点的仰角为，塔底点的仰角为，那么瑞云塔高为           答案保留根号 8.某地需要经过一座山两侧的两点修建一条穿山隧道．工程人员先选取直线上的三点，在隧道正上方的山顶处测得处的俯角为，处的俯角为，处的俯角为，且测得，，，则拟修建的隧道的长为           ． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 在中，角，，所对的边分别为，，，且． 求的值； 若，的面积为，求的值． 10.本小题分 如图，在平面四边形中，，， ，． 求的长； 求的正弦值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $