几何图形中的解三角形问题、解三角形在距离与高度测量中的应用 专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

几何图形中的解三角形问题、解三角形在距离与高度测量中的应用专项训练 几何图形中的解三角形问题、解三角形在距离与高度测量中的应用专项训练 考点目录 几何图形中的解三角形问题 解三角形在距离与高度测量中的应用 考点一 几何图形中的解三角形问题 例1．（25-26高一下·安徽安庆·期中）如图，四边形ABCD中，是等边三角形. (1)当时，求四边形ABCD的面积； (2)若E，G分别是边AB，BD的中点，连接CE，EG，CG，设. ①试用表示； ②求CE长的最大值. 【答案】(1) (2)①； ② 【分析】（1）首先利用余弦定理求出，然后把四边形面积转化为和的面积之和，利用三角形面积公式即可求解； （2）①首先利用余弦定理求出，然后在中利用三角函数表示； ②首先根据正弦定理和余弦定理结合平面几何知识可得，然后根据余弦定理表示出，最后利用辅助角公式结合三角函数的图像性质即可求解. 【详解】（1）在中，由余弦定理： ， 得，四边形面积， ， 是等边三角形，， 因此. （2）①在中，由余弦定理：， 因为是中点，为等边三角形，故是边上的高，， 因此： ， ②是中点，是中点，故是的中位线，，且 ， 在中，由正弦定理， ， 在中，由余弦定理得： ， 因为 ，，故， 所以的最大值为， 代入得，故. 例2．（25-26高一下·河北石家庄·期中）已知的内角的对边分别为，且. (1)求. (2)若，且边上的中线长为，求的面积. (3)若，且角的平分线长为，求的面积. 【答案】(1) (2) (3). 【详解】（1）由正弦定理，得，，. 代入已知式，两边乘以得：，整理得：. 由余弦定理，代入：，解得：. 因为为三角形内角，所以. （2）已知，边上的中线长为，对应边为，即.设为中点，则为中线，.中线公式为：，其中为边上的中线长，代入，： 由余弦定理，代入，：，代入：，化简得：，解得或（舍）. 代入得，所以. 面积. （3）设角的平分线交于点，则，且. 在中，由正弦定理：；在中，由正弦定理：.又，且，所以. 由,,在中，，，，由余弦定理：，则，解得：. 同理，在中，，，设，由余弦定理：，则. 由角平分线性质：，所以，两边平方得，代入表达式：，解得或. 若，则三角形为等腰三角形，，，此时，三角形为等边三角形，角平分线长应为，与不符，舍去； 若，成立. 所以，，面积. 例3．（25-26高一下·山东菏泽·期中）如图，在中，为边上一点，且. (1)若. （i）求； （ii）求的面积； (2)求的取值范围. 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【分析】（1）（i）已知，，可求得的大小；在和中，利用角的关系结合正弦定理，建立关于的等式求解； （ii）根据已知边、角关系，先求出，的长度，再利用三角形面积公式计算的面积. （2）利用三角形内角和及直角三角形的性质，用分别表示出和；将其代入，转化为关于的三角函数；再根据的取值范围，结合三角函数的性质求取值范围. 【详解】（1）（i），，； ，，在中，由正弦定理得，即，解得. 在中，，为锐角； ，. 所以， 在中，由正弦定理得， 所以. （ii），， 所以， ，得. ，， 在中，由正弦定理得 ，即，所以. 所以. （2），，在中，由正弦定理得， ，得. ，，在中，由正弦定理得， ，得. 在中，，得，； 所以 ； ，，； ，即. 例4．（25-26高一下·上海·期中）如图，某大型商场一楼大厅的局部是等腰直角三角形，商场管理部门拟用围栏在其中围出一个三角形区域，供商家开展促销活动．已知（米），分别在上，为的中点，，当． (1)当时，求三角形的周长；（精确到0.01米） (2)用表示三角形的面积，并求的最小值．（精确到0.01平方米） 【答案】(1)40.22米 (2)，．最小值为46.41平方米 【分析】（1）利用正余弦定理解三角形； （2）根据正弦定理表示出进而表示出三角形面积，根据角的范围结合正弦型函数的性质求解. 【详解】（1）因为，所以， 在中，，所以， 在中，， 所以三角形的周长为米； （2）由题意，且， 在三角形中，由正弦定理得，即， 在三角形中，由正弦定理得，即， 则三角形的面积为， 即，又，即， 所以当，即时，取得最小值，为， 则区域面积的最小值为46.41平方米，对应的值为． 变式1．（25-26高一下·浙江·期中）如图，已知为三个内角的对边，为边上一点，且. (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)求的取值范围. 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）根据题意得出角的大小，然后通过计算即可； （2）利用正弦定理的边化角以及三角形三角的关系即可求解； （3）利用正弦定理的边化角以及三角形三角的关系构造新函数，利用函数的单调性即可求解. 【详解】（1）如图所示，，所以， （2）设，则， 所以在中，有， 所以，所以， 又因为，所以 所以， 因为，所以. （3）设，则，设外接圆半径为，则 因为，所以，因此.所以，所以 所以 设，则由已知可知，所以， 所以 任取，则， 所以，所以，所以 又因为，所以 所以，所以在上单调递减， 所以，即的取值范围是. 变式2．（25-26高一下·河南许昌·期中）某市计划在中央公园的一块三角形空地上建休闲花园，将三角形分割成三部分，如图，在区域，分别种植薰衣草、马鞭草花田，将区域设计为下沉式水景庭院，并在水景庭院周围设置木质护栏．在中，，，M、N在BC上，且． (1)当时，求木质护栏的长度； (2)为了控制建设成本，如何设计能使水景庭院面积尽可能小？请写出设计方案，并求出水景庭院面积的最小值． 【答案】(1) (2)方案见解析，最小值为． 【分析】(1)根据余弦定理求AN，进而得出和，即可求出AM和MN. (2)法一假设 ，法二假设 ，用正弦定理表示出AM和AN， 再利用三角形面积公式和三角恒等变换可表示出，然后根据三角函数求最值即可求出面积的最小值. 【详解】（1）在中，，，所以，，． 在中， ，所以， 则为等腰三角形，，又因为，所以，则， 得，， 则， 所以护栏的长度为． （2）设计使得时水景庭院面积最小（或设计等符合题意都可）． 方法一  设，，则 ， 在中，，即，解得． 在中，，即，解得． 所以水景庭院的面积为 ， 则当，即，时，水景庭院的面积最小，最小值为． 方法二  设，，则 ， 在中，，即，解得． 在中，，即，解得． 所以水景庭院的面积为 ， 则当，即时，水景庭院的面积最小，最小值为． 变式3．（25-26高一下·吉林长春·月考）《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块四边形ABCD的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将连接，经测量． (1)若，，求的长度； (2)霍尔顿发现无论BD多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值； (3)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关（正相关描述的是两个变量之间的一种关系：当一个变量增大时，另一个变量也倾向于增大；反之，当一个变量减小时，另一个变量也倾向于减小），记与，面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求的最大值. 【答案】(1) (2)定值为 (3) 【分析】（1）在中，由余弦定理求得，得到，再由，得到，结合勾股定理，即可求解； （2）在与中，利用余弦定理求得和，列出关系式，即可求解； （3）利用三角形的面积公式，分别求得和，根据题意，得到，将，代入，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：在中，，且， 由余弦定理得， 所以，可得，所以 因为，可得，所以， 在直角中，可得. （2）解：在中，由余弦定理得， 即， 同理可得，在中，可得， 即， 所以，整理得， 所以无论多长，此时为定值. （3）解：因为的面积为， 的面积， 所以， 由（2）知，可得， 代入上式得， 根据二次函数的性质得，当时，取得最大值， 最大值为. 变式4．（24-25高一下·江苏常州·期末）如图，在平面四边形中，，若是上一点，．记，． (1)证明：； (2)若. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求线段长度的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（Ⅰ）; （Ⅱ） 【分析】（1）结合图形，先找到的数量关系式，再运用诱导公式推理即得； （2）（Ⅰ）在中，运用正弦定理得到，结合（1）结论，联立解方程即可求得； （Ⅱ）在中，分别运用正、余弦定理得到，两式，结合式，在中，利用余弦定理将用的三角函数表示，并运用辅助角公式化成正弦型函数，利用三角函数的值域即得. 【详解】（1）证明：∵，∴， 在中，，可得，                            ∴，即. （2）（Ⅰ）在中，由正弦定理得， 可得，∴，                                 ∵，∴， 可得，即，                          解得或（舍去）， ∵，∴.                                                    （Ⅱ）在中，由正弦定理得， 即，                                            由余弦定理得， ∵，，∴，∴，                      在中，由余弦定理得 ，                                               ∵，∴，∴，       ∴，解得. 考点二 解三角形在距离与高度测量中的应用 例1．（25-26高一下·山东烟台·期中）如图，观测站C在目标A的南偏西方向，经过A处有一条南偏东走向的公路，在C处观测到有一轿车从A处沿此公路向B处行驶，行驶后到达D处，此时测得. (1)求A，C两地的距离； (2)若此轿车从D处继续行驶，经过20分钟后到达B处，且，求该车行驶的速度（单位：）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合两角和差公式可得，再利用正弦定理运算求解； （2）在中，由余弦定理可得，进而可得以及该车行驶的速度. 【详解】（1）由题意可知：， 且，则为锐角，可得， 则， 在中，由正弦定理可得. （2）在中，由余弦定理可得， 即，可得，解得或（舍去）， 则，所以该车行驶的速度为. 例2．（25-26高一下·江苏徐州·期中）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内.已知两点间的水平距离为，在处测得的俯角为的俯角为，在处测得的俯角为的俯角为. (1)计算的长度； (2)计算两山顶之间的距离. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意可求出各角度，在中，利用正弦定理可求出，在中，利用正弦定理可求出； （2）求出后，利用余弦定理计算即可得. 【详解】（1）由题意可得、、、 、， 则，， 则在中，由正弦定理可得， 即， 在中，由正弦定理可得， 即， 即，； （2）， 在中，由余弦定理可得， 即. 例3．（25-26高一下·河北石家庄·月考）如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东，B点北偏西的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时． (1)求间距离； (2)该救援船到达D点需要多长时间？ 【答案】(1)海里 (2)小时 【详解】（1）在中，海里，， 由正弦定理，得，即， ，即. （2）如图，连接．在中，，，． 由余弦定理，得， ，． 故救援船到达点需要的时间为小时． 例4．（25-26高一下·福建厦门·月考）如图，某建筑物顶部有一旗杆，且点、、在同一条直线上，小明在地面处观测旗杆顶端的仰角为，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的处，又测得旗杆顶端的仰角为，已知建筑物高度为12米. (1)求点到建筑物的距离； (2)求旗杆的高度. 【答案】(1)10米； (2)米. 【详解】（1），，， 则是以为顶点，底角为的等腰三角形，米， 在中，，由正弦定理得：， 代入数据得：米. 点到建筑物的距离是10米. （2）在中，由正弦定理得： 代入数据得：米. 米， 旗杆的高度为米. 变式1．（25-26高一下·山东临沂·月考）如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处海里的B处有一艘故障船．在A处北偏西方向，距A处2海里的C处的救援船奉命以海里/时的速度追赶故障船，此时故障船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东方向行驶．问：救援船沿什么方向行驶才能最快追上故障船？并求出所需时间(精确到1分钟，)． 【答案】救援船应沿北偏东的方向行驶，才能最快追上故障船，大约需要15分钟 【分析】设救援船应沿CD方向行驶t小时，才能最快追上（在D点）故障船，可得，，先结合余弦定理求得，再利用正弦定理计算得到B点在C点的正东方向上，进而再利用正弦定理得到，可得救援船沿北偏东的方向行驶，进而得到，即可求解. 【详解】设救援船应沿CD方向行驶t小时，才能最快追上（在D点）故障船，则，， 在中，由余弦定理，得 ，即， 由正弦定理得，， 则， 又，则，所以B点在C点的正东方向上， 则， 在中，由正弦定理，得， 所以， 又，则， 所以救援船沿北偏东的方向行驶． 在中，，，则，即， 则，即小时，则（分钟）， 所以救援船应沿北偏东的方向行驶，才能最快追上故障船，大约需要15分钟． 变式2．（2026·重庆·一模）如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上.    (1)求处与小岛之间的距离； (2)求两座小岛之间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中利用正弦定理计算可得； （2）在中利用余弦定理求出，再在中利用余弦定理求出； 【详解】（1）由题可知在中，，，所以， 由正弦定理可得：，及， 所以（海里）． （2）由题可知在中：，，所以． 所以（海里）， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）， 由题意可知，在中，， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）. 变式3．（24-25高一下·江苏镇江·期末）镇江句容茅山风景名胜区有一座闻名遐迩的老子像，是世界上最大、最高的露天老子铜像．某数学兴趣小组在铜像底座中心正东方向处测得铜像顶的仰角为，从处沿直线走38米到达南偏东的处，测得铜像顶的仰角为，点，，在同一平面内． (1)求铜像连同底座的高度； (2)若铜像底座的高度为3米，组员甲用相机给铜像拍照，已知相机镜头到地面的距离为1.5米，为使拍照的视角最大，请问组员甲应在距离铜像底座中心多远处？ (3)在（2）的条件下，若组员甲在区域内以最大视角拍照，则他站位的轨迹长度为多少？ （参考数据：，，所有答案精确到小数点后1位） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，由三角函数的定义表示出，在中由余弦定理列出方程即可求解； （2）设距离铜像底座中心时，拍照的视角最大，设该处为点，相机镜头为点，过点作平行线，交于点，设，分别表示出，由两角差的正切公式及基本不等式即可求解； （3）根据弧长公式即可求解． 【详解】（1）由题可知，， 设，在中，， 在中，， 在中，由余弦定理得，， 解得，所以铜像连同底座的高度为． （2）设距离铜像底座中心时，拍照的视角最大，设该处为点，相机镜头为点，过点作平行线，交于点，设，如图所示， 则，， 在中，，在中，， ， 当且仅当，即时等号成立， 故组员甲应在距离铜像底座中心处拍照的视角最大． （3）以点为圆心，7.4为半径画弧，交于点，如图所示， 则他站位的轨迹为，轨迹长度为． 变式4．（25-26高一下·浙江·月考）位于某港口的小艇要将一件重要物品送到一艘正在航行的海轮上.在小艇出发时，海轮位于港口北偏东且与该港口相距海里的处，并正以海里/时的速度沿正西方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/时的航行速度匀速行驶，经过小时与海轮相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇的航行速度应为多少？ (2)若经过小时小艇与海轮相遇，则小艇的航行速度应为多少？ (3)假设小艇的最高航行速度只能达到海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与海轮相遇，并求出其相遇时间. 【答案】(1)海里/时 (2)海里/时 (3)当小艇的航行方向为北偏西，航速为海里/时，小艇能以最短时间小时和海轮相遇 【分析】（1）利用正弦定理可求最小距离，进而确定速度； （2）由两小时可确定边，再利用余弦定理可得及速度； （3）设，可得，，再根据时间相等可确定速度，再利用三角函数性质可得的最值及时间的最值. 【详解】（1） 如图所示， ，，， 时，即小艇往正北方向航行时航行的距离最小为海里， 海轮航行的距离为海里，故航行时间为小时， 所以小艇的航行速度海里/时； （2）如图所示， 设小艇与海轮在点处相遇， 经过小时后海轮航行的里程为海里， 即， 则在中，由余弦定理得， 所以小艇航行的里程海里， 故小艇的航速海里/时； （3）如图所示， 因为，且小艇的最高航速为海里/时， ，，故小艇与海轮不可能于，及之间的任意位置相遇， 设在点相遇，， 则，， ， 整理得， 从而，所以， ， 故时，即，相遇时间最短，为小时， 综上当小艇的航行方向为北偏西，航速为海里/时，小艇能以最短时间小时和海轮相遇. 2 学科网（北京）股份有限公司 $几何图形中的解三角形问题、解三角形在距离与高度测量中的应用专项训练 几何图形中的解三角形问题、解三角形在距离与高度测量中的应用专项训练 考点目录 几何图形中的解三角形问题 解三角形在距离与高度测量中的应用 考点一 几何图形中的解三角形问题 例1．（25-26高一下·安徽安庆·期中）如图，四边形ABCD中，是等边三角形. (1)当时，求四边形ABCD的面积； (2)若E，G分别是边AB，BD的中点，连接CE，EG，CG，设. ①试用表示； ②求CE长的最大值. 例2．（25-26高一下·河北石家庄·期中）已知的内角的对边分别为，且. (1)求. (2)若，且边上的中线长为，求的面积. (3)若，且角的平分线长为，求的面积. 例3．（25-26高一下·山东菏泽·期中）如图，在中，为边上一点，且. (1)若. （i）求； （ii）求的面积； (2)求的取值范围. 例4．（25-26高一下·上海·期中）如图，某大型商场一楼大厅的局部是等腰直角三角形，商场管理部门拟用围栏在其中围出一个三角形区域，供商家开展促销活动．已知（米），分别在上，为的中点，，当． (1)当时，求三角形的周长；（精确到0.01米） (2)用表示三角形的面积，并求的最小值．（精确到0.01平方米） 变式1．（25-26高一下·浙江·期中）如图，已知为三个内角的对边，为边上一点，且. (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)求的取值范围. 变式2．（25-26高一下·河南许昌·期中）某市计划在中央公园的一块三角形空地上建休闲花园，将三角形分割成三部分，如图，在区域，分别种植薰衣草、马鞭草花田，将区域设计为下沉式水景庭院，并在水景庭院周围设置木质护栏．在中，，，M、N在BC上，且． (1)当时，求木质护栏的长度； (2)为了控制建设成本，如何设计能使水景庭院面积尽可能小？请写出设计方案，并求出水景庭院面积的最小值． 变式3．（25-26高一下·吉林长春·月考）《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块四边形ABCD的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将连接，经测量． (1)若，，求的长度； (2)霍尔顿发现无论BD多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值； (3)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关（正相关描述的是两个变量之间的一种关系：当一个变量增大时，另一个变量也倾向于增大；反之，当一个变量减小时，另一个变量也倾向于减小），记与，面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求的最大值. 变式4．（24-25高一下·江苏常州·期末）如图，在平面四边形中，，若是上一点，．记，． (1)证明：； (2)若. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求线段长度的取值范围． 考点二 解三角形在距离与高度测量中的应用 例1．（25-26高一下·山东烟台·期中）如图，观测站C在目标A的南偏西方向，经过A处有一条南偏东走向的公路，在C处观测到有一轿车从A处沿此公路向B处行驶，行驶后到达D处，此时测得. (1)求A，C两地的距离； (2)若此轿车从D处继续行驶，经过20分钟后到达B处，且，求该车行驶的速度（单位：）. 例2．（25-26高一下·江苏徐州·期中）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内.已知两点间的水平距离为，在处测得的俯角为的俯角为，在处测得的俯角为的俯角为. (1)计算的长度； (2)计算两山顶之间的距离. 例3．（25-26高一下·河北石家庄·月考）如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东，B点北偏西的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时． (1)求间距离； (2)该救援船到达D点需要多长时间？ 例4．（25-26高一下·福建厦门·月考）如图，某建筑物顶部有一旗杆，且点、、在同一条直线上，小明在地面处观测旗杆顶端的仰角为，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的处，又测得旗杆顶端的仰角为，已知建筑物高度为12米. (1)求点到建筑物的距离； (2)求旗杆的高度. 变式1．（25-26高一下·山东临沂·月考）如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处海里的B处有一艘故障船．在A处北偏西方向，距A处2海里的C处的救援船奉命以海里/时的速度追赶故障船，此时故障船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东方向行驶．问：救援船沿什么方向行驶才能最快追上故障船？并求出所需时间(精确到1分钟，)． 变式2．（2026·重庆·一模）如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上.    (1)求处与小岛之间的距离； (2)求两座小岛之间的距离. 变式3．（24-25高一下·江苏镇江·期末）镇江句容茅山风景名胜区有一座闻名遐迩的老子像，是世界上最大、最高的露天老子铜像．某数学兴趣小组在铜像底座中心正东方向处测得铜像顶的仰角为，从处沿直线走38米到达南偏东的处，测得铜像顶的仰角为，点，，在同一平面内． (1)求铜像连同底座的高度； (2)若铜像底座的高度为3米，组员甲用相机给铜像拍照，已知相机镜头到地面的距离为1.5米，为使拍照的视角最大，请问组员甲应在距离铜像底座中心多远处？ (3)在（2）的条件下，若组员甲在区域内以最大视角拍照，则他站位的轨迹长度为多少？ （参考数据：，，所有答案精确到小数点后1位） 变式4．（25-26高一下·浙江·月考）位于某港口的小艇要将一件重要物品送到一艘正在航行的海轮上.在小艇出发时，海轮位于港口北偏东且与该港口相距海里的处，并正以海里/时的速度沿正西方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/时的航行速度匀速行驶，经过小时与海轮相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇的航行速度应为多少？ (2)若经过小时小艇与海轮相遇，则小艇的航行速度应为多少？ (3)假设小艇的最高航行速度只能达到海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与海轮相遇，并求出其相遇时间. 2 学科网（北京）股份有限公司 $