7.4.2 二项式系数的性质及应用课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦二项式系数的性质及应用，从杨辉三角数字规律观察切入，衔接二项式定理基础，通过表格归纳对称性、增减性等核心性质，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于结合杨辉三角相邻数字比、系数最值求法等实例，以数学眼光发现规律，用数学思维推理解决问题，借赋值法等数学语言表达关系，题型分类清晰且附规律总结，助力学生提升探究能力，教师可直接用于教学案例。

7.4 二项式定理 7.4.2 二项式系数的性质及应用 1 【课标要求】 1.能掌握二项式系数的性质,并能灵活运用性质解决相关问题. 2.会用赋值法求二项展开式系数的和,注意区分项的系数和二项式系数. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.二项式系数表及其数字规律 二项式系数表 4 此表的规律如下: （1）每一行中的二项式系数都是“对称”的. （2）每行两端都是1,而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. （3）每行的二项式系数从两端向中间逐渐增大. （4）第1行为,第2行的两数之和为2,第3行的三数之和为 第7行的各 数之和为 . 名师点睛 二项式系数与二项展开式中某一项的系数是不同的概念,特别地, 的展开式中,各项的系数即对应的各二项式系数; 的展开式中,各项的系数的绝对值即对应的二项式系数. 5 知识点2.二项式系数的对称性、增减性、最值 一般地,展开式的二项式系数,, , 有如下性质: （1） . （2） . （3）当时, ; 当时, . （4） . （5） . （6）的展开式为 . 6 题型分析·能力素养提升 7 【题型一】“杨辉三角”问题 例1 在如图所示的三角形数阵中,从第3行开始,每一 行除1以外,其他每一个数字都是其上一行的左、右 两个数字之和.若在此数阵中存在某一行,满足该行 中有三个相邻的数字（除1以外）之比为 ,则这 一行是第____行（填行数）. 98 [解析] 在三角形数阵中,第 行的数由二项式系数 ,, 组成. 如果第行中有, , 那么解得 8 规律方法 “杨辉三角”问题解决的一般方法 9 跟踪训练1 以下排列的数是二项式系数在三角形中的几何 排列,在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一 书里就出现了.在欧洲,这个表被称为帕斯卡三角形.试问第 9行第8个数是____. 36 [解析] 由题意,第0行的数为1,第1行的数为,,第2行的数为,, ,第3行的数为 ,,,,第4行的数为,,,,,因此,第行第个数为 ,所以第 9行第8个数是 . 10 【题型二】求二项展开式中系数或二项式系数最大的项 例2 已知 的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大 的项和系数最大的项. 11 解 , , 依题意有,解得 , 在 的展开式中,二项式系数最大的项为 . 设第项的系数最大 ,则有 解得或 , 则, . 当时,;当时,.故系数最大的项为 , . 12 规律方法 求二项展开式中系数的最值的方法 （1）若二项展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等,则可转化为确定二项 式系数的最值来解决. （2）若二项展开式的系数为的形式,如求 的 展开式中系数最大的项,一般是采用待定系数法,设其展开式的各项系数分别为, , , ,且第项系数最大,应用解出 ,即得系数最大的项. 13 跟踪训练2 已知 的展开式中的二项式系数之和比各项系数之和大255. （1）求 展开式所有的有理项； 解 令,可得展开式中各项系数之和为,而展开式中的二项式系数之和为 , 由题意可得,解得 . 展开式通项为 , 当为整数时,为有理项,则或 , 所以展开式所有的有理项为 , . 14 （2）求 展开式中系数最大的项. 解 设第项最大,且为偶数, , 则 可得因为,解得 . 所以.当时,;当 时, .故展开式中系数最大的项为 . 15 【题型三】二项式系数和问题 例3 已知 .求下列各式的值: （1） ; 解 令,得 . （2） ; 解 令,得 . 由展开式的通项知,,, 为负值, 所以 . 16 （3） . 解 由 , ,得 . 所以 . 17 规律方法 二项展开式中系数和的求法 （1）对形如, 的式子求其展开式 的各项系数之和,常用赋值法,只需令即可;对 的式子 求其展开式的各项系数之和,只需令 即可. （2）一般地,若,则 展开式中各项系数之 和为 , 奇数项系数之和为 , 偶数项系数之和为 . 18 变式探究 在本例条件下,求下列各式的值: （1） ; 解 因为 , . 所以 . 19 （2） ; 解 因为是展开式中 的系数, 所以 . 又因为 , 所以 . （3） . 解 因为 , 所以两边求导数得 . 令,得 . 20 跟踪训练3 在 的展开式中,求: 解 设 . （1）二项式系数之和; 解 二项式系数之和为 . （2）各项系数之和; 解 各项系数之和为 , 令,,则 . 21 （3）所有奇数项系数之和. 解 令,,可得 . 又 , 将两式相加,得 , 即所有奇数项系数之和为976 562. 22 【题型四】利用二项式定理解决整除和余数问题 例4 试判断 能否被19整除. 解 . 由于76能被19整除,因此 能被19整除. 规律方法 用二项式定理解决整除（或余数）问题时,一般需要将底数 写成除 数的整数倍加上或减去 的形式,利用二项展开式求解. 23 跟踪训练4 被100整除所得的余数为____. 81 [解析] , 前91项都能被100整除,剩下两项和为 , 而8 281被100整除余81, 故 被100整除所得的余数为81. 24 $