7.4.2 第1课时 二项式系数的性质-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（苏教版）

7.4.2 二项式系数的性质及应用 二项式系数的性质 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 理解二项式系数的性质并灵活运用；掌握赋值法并会灵活应用. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.二项式系数的特点 此表的规律如下： (1)每一行中的二项式系数都是“______”的. (2)每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的____. (3)每行的二项式系数从两端向中间逐渐______. (4)第1行为1=20，第2行的两数之和为2，第3行的三数之和为22……第7行的各数之和为26. 对称 和 增大 2.二项式系数的性质 一般地，(a+b)n展开式的二项式系数，…，有如下性质： (1)=______； (2)+=_______； (3)当r<时，<______；当r>时，______<； (4)++…+=____. |微|点|助|解| (1)从n个不同元素中任取m个元素的组合与任取n-m个元素的组合是一一对应的，因此=，故二项式系数有对称性. (2)二项式系数最大与n的奇偶有关系， ①n为偶数，展开式中有n+1项，最中间一项的二项式系数最大； ②n为奇数，展开式中的n+1项是偶数，最中间两项的二项式系数最大. 1.(1-2x)n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n= (　　) A.9 B.10 C.11 D.12 √ 基础落实训练 解析：因为(1-2x)n展开式中，二项式系数最大的项只有第6项，根据二项式系数的性质，展开式中中间项的二项式系数最大，所以n+1=11，解得n=10. 2.设(1+x)n=a0+a1x+…+anxn(n∈N*)，若a1=a5，则n的值为 (　　) A.4 B.6 C.7 D.8 √ 解析：由题知，a1=，a5=，因为a1=a5，所以=，所以n=1+5=6. 3.(1-x)20的展开式中，二项式系数最大的项是第 (　　) A.9项 B.10项 C.11项 D.12项 √ 解析：由二项式定理知其展开式有21项，根据二项式系数的性质可知二项式系数最大项为第11项. 4.若(x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a4-a3+a2-a1+a0= (　　) A.-1 B.16 C.15 D.1 √ 解析：因为(x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，令x=-1得a4-a3+a2-a1+a0=(-2)4=16. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　二项式系数的和 [例1]　的展开式中所有二项式系数的和是_____；展开式中所有偶数项的二项式系数的和是______.(用数字作答)  256 128 解析：的展开式中所有二项式系数的和是28=256，展开式中所有偶数项的二项式系数的和是27=128. |思|维|建|模| (a+b)n的展开式的各二项式系数的和为2n. 针对训练 1.已知(1+2x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数的和为 (　　) A.512 B.210 C.211 D.212 √ 解析：∵(1+2x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，∴=，解得n=10，各二项式系数之和为210，∵奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数的和相等，∴(1+2x)10的展开式中奇数项的二项式系数的和为×210=29=512. 2.已知(x-my)n的展开式中二项式系数之和为64，x3y3的系数为-160，则实数m=______.  2 解析：由题意得，2n=64，解得n=6，而(x-my)6的通项为x6-k(-my)k，0≤k≤6，k∈N，所以x3y3的系数为(-m)3=-160，解得m=2. 题型(二)　利用赋值法求解系数和问题 [例2]　已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.求下列各式的值： (1)a0+a1+a2+…+a5； 解：令x=1，得a0+a1+a2+…+a5=1. (2)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|； 解：令x=-1，得(-3)5=-a0+a1-a2+a3-a4+a5. 由(2x-1)5的通项=(-1)r25-rx5-r知a1，a3，a5为负值， 所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243. (3)a1+a3+a5. 解：由a0+a1+a2+…+a5=1，-a0+a1-a2+…+a5=(-3)5， 得2(a1+a3+a5)=1-35， 所以a1+a3+a5==-121. [变式拓展] 本例条件不变，求5a0+4a1+3a2+2a3+a4的值. 解：因为(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，所以两边求导数， 得10(2x-1)4=5a0x4+4a1x3+3a2x2+2a3x+a4. 令x=1，得5a0+4a1+3a2+2a3+a4=10. |思|维|建|模|　二项展开式中系数和的求法 (1)①二项式系数和为+++…+=2n，其中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，都等于2n-1. ②求二项展开式各项系数之和，往往采用赋值法，对变量赋值计算可得. (2)一般地，对于多项式f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn，各项系数和为f(1)，奇次项系数和为[f(1)-f(-1)]，偶次项系数和为[f(1)+f(-1)]，a0=f(0). 针对训练 3.设(1-2x)2 024=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024(x∈R). (1)求a0的值； 解：在(1-2x)2 024=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024中，令x=0，得1=a0，∴a0=1. (2)求a1+a2+a3+…+a2 024的值； 解：令x=1，得1=a0+a1+a2+a3+…+a2 024，∴a1+a2+a3+…+a2 024=0. (3)求a1+a3+a5+…+a2 023的值. 解：分别令x=-1，x=1，得 ②-①，得1-32 024=2(a1+a3+…+a2 023). ∴a1+a3+a5+…+a2 023=. 题型(三)　二项式系数的增减性与最值 [例3]　在的展开式中， (1)求二项式系数最大的项； 解：由二项式通项，得Tr+1=()8-r=(-1)r2r. (1)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项，故T5=24=1 120x-6. (2)系数的绝对值最大的项是第几项? 解：(2)设第r+1项系数的绝对值最大， 则即 整理得所以r=5或r=6. 故系数绝对值最大的项是第6项和第7项. [变式拓展] 在本例条件下求系数最大的项与系数最小的项. 解：由本例(2)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大， 第6项的系数为负，第7项的系数为正.故系数最大的项为T7=26x-11= 1 792x-11，系数最小的项为T6=(-1)525=-1 792. |思|维|建|模| 二项式系数的最大项的求法 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论. (1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大. (2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大. 针对训练 4.若的展开式中的第3项与第4项的二项式系数相等且都为最大，则展开式中的常数项为(　　) A.6 B.-6 C.- D. √ 解析：由题意可得=，所以n=5.故的展开式的通项为Tr+1=·=.令=0，解得r=3，故展开式中的常数项为×=-. 5.(2024·全国甲卷)的展开式中，各项系数中的最大值为_____.  5 解析：由题知，展开式通项为Tr+1=xr，0≤r≤10且r∈Z， 设展开式中第r+1项系数最大，则 解得即≤r≤.又r∈Z，故r=8. 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为=5. 课时检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.展开式中的各二项式系数之和为1 024，则n的值为(　　) A.10 B.9 C.8 D.7 √ 解析：展开式中的各二项式系数之和为2n=1 024，解得n=10. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.在(1+x)12展开式中，系数最大的项是 (　　) A.第5，6项 B.第6，7项 C.第6项 D.第7项 √ 解析：因为(1+x)12的展开式的通项为Tk+1=xk，k=0，1，2，…，12，所以(1+x)12展开式中各项的系数即为其二项式系数，根据二项式系数的性质有，第7项的二项式系数最大. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.若(1+x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，则a1+a2+a3+…+a9= (　　) A.1 B.513 C.512 D.511 √ 解析：令x=0，得a0=1，令x=1，得a0+a1+a2+a3+…+a9=29=512，所以a1+a2+a3+…+a9=512-a0=512-1=511，故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知(3-x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，则a0-a1+a2+…+(-1)nan= (　　) A.32 B.64 C.128 D.256 √ 解析：由题意可得=，所以n=4.令x=-1，则(3-x)n=(3+1)4=a0-a1+a2-a3+a4=256.所以a0-a1+a2+…+(-1)nan=256. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为，则展开式中二项式系数最大的项为(　　) A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项 √ 解析：的展开式的通项为Tk+1=()n-k=2k，则T3=22，其系数为4.倒数第3项为Tn-1=2n-2x5-2n，其系数为2n-2.依题意2n-2=4×4，则n=6.所以展开式中二项式系数最大的项为第4项. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知(mx-1)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则“a1+a2+…+a8=255”是“m=3”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 解析：由题意，令x=0，得a0=1，令x=1，得(m-1)8=a0+a1+a2+…+a8，所以a1+a2+…+a8=(m-1)8-1，由(m-1)8-1=255，解得m=3或m=-1， 所以“a1+a2+…+a8=255”是“m=3”的必要不充分条件.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.[多选]已知(1-2x)2 025=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2 025x2 025，则 (　　) A.展开式中所有项的二项式系数的和为22 025 B.展开式中所有奇数项系数的和为 C.展开式中所有偶数项系数的和为 D.+++…+=-1 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：对于A，展开式中所有项的二项式系数之和为22 025，故A正确； 对于B，令x=-1，得32 025=a0-a1+a2-a3+…-a2 025，① 令x=1，得-1=a0+a1+a2+a3+…+a2 025，② ①+②，得32 025-1=2(a0+a2+…+a2 024)，∴a0+a2+…+a2 024=，故B正确；对于C，①-②，得32 025+1=-2(a1+a3+…+a2 025)，∴a1+a3+…+ a2 025=-，故C错误；对于D，令x=0，得a0=1，令x=，得0=a0+ +++…+，∴+++…+=-1，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)(2025·北京高考)已知(1-2x)4=a0-2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x4，则a0=______；a1+a2+a3+a4=_______.  1　 15 解析：令x=0，则a0=1， 又(1-2x)4=a0-2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x4， 故(1-2x)4=a0+a1(-2x)+a2(-2x)2+a3(-2x)3+a4(-2x)4， 令t=-2x，则(1+t)4=a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4， 令t=1，则a0+a1+a2+a3+a4=24，故a1+a2+a3+a4=15. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则第4项 为________.  120 解析：因为展开式中只有第6项的二项式系数最大，即+1=6，所以n=10，所以T4=()7·=120. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)若二项式(3-x)n(n∈N*)的展开式中所有项的系数之和为a，所 有项的系数的绝对值之和为b，则+的最小值为__________.  解析：令x=1，可得a=2n；令x=-1，可得b=4n，所以+=2n+.设t=2n(n∈N*)，则+=t+，t≥2.又函数y=s+在[2，+∞)上单调递增，所以ymin=2+=，即=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知(2x-1)n的展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则+++…+=______.  255 解析：设(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.则A=a1+a3+a5+…，B=a0+a2+a4+a6+….由已知可知，B-A=38.令x=-1，得a0-a1+a2-a3+…+(-1)nan=(-3)n， 即(a0+a2+a4+a6+…)-(a1+a3+a5+a7+…)=(-3)n， 则B-A=(-3)n，∴(-3)n=38=(-3)8，∴n=8. 由二项式系数的性质，得+++…+=2n-=28-1=255. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知(2x-1)n的展开式中各项的二项式系数之和为64. (1)求该展开式中各项的系数之和；(4分) 解：由题可知，2n=64，解得n=6，令x=1，得该展开式中各项的系数之和为(2-1)6=1. (2)求该展开式中所有偶数项的系数之和.(6分) 解：记(2x-1)6=a0x6+a1x5+…+a5x+a6.由(1)知a0+a1+…+a5+a6=1， 令x=-1，可得a0-a1+…-a5+a6=(-3)6=729. 所以该展开式中所有偶数项的系数之和为=-364. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知(+3x2)n的展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项；(5分) 解：令x=1，则展开式中各项系数的和为(1+3)n=22n.又展开式中二项式系数的和为2n，所以22n-2n=992，解得n=5. 所以展开式共6项，二项式系数最大的项为第3、4两项， 所以T3=()3(3x2)2=90x6，T4=()2(3x2)3=270. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求展开式中系数最大的项.(5分) 解：设展开式中第r+1项系数最大，则Tr+1=()5-r(3x2)r=3r， 所以⇒≤r≤. 又r∈N，所以r=4. 即展开式中第5项系数最大，T5=()(3x2)4=405. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)已知的展开式中，前3项的二项式系数之和为16，所有项的系数之和为1. (1)求n和a的值；(5分) 解：由题意，得++=16，即1+n+=16. 解得n=5或n=-6(舍去)，所以n=5. 因为所有项的系数之和为1，令x=1， 所以(a-1)5=1，解得a=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)展开式中是否存在常数项?若存在，求出常数项；若不存在，请说明理由；(5分) 解：不存在.理由如下： 因为=， 所以Tk+1=(2x)5-k=(-1)k25-k. 令5-=0，解得k=∉N，所以展开式中不存在常数项. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)求展开式中二项式系数最大的项.(5分) 解：由二项式系数的性质知，展开式中中间两项的二项式系数最大， 二项式系数最大的两项为 T3=(-1)225-2x5-3=80x2， T4=(-1)325-3=-40. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $