7.4.1 二项式定理课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦二项式定理，涵盖定理证明、展开式特征及通项公式，通过回顾计数原理导入，搭建从组合数到展开式项数、二项式系数再到通项公式的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点是结合正用逆用例题（如两种展开方法、多项式化简）培养数学思维，区分二项式系数与项的系数发展数学眼光，规律方法总结助学生用数学语言表达解题过程。学生能提升逻辑推理与运算能力，教师可直接使用题型与方法体系提高教学效率。

7.4 二项式定理 7.4.1 二项式定理 1 【课标要求】 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.理解二项式定理及二项展开式的特征,能记住二项式定理和二项展开式的通项. 3.正确运用二项展开式展开或化简某些二项式,运用通项求某些特定项、二项式系数或项的系数. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.二项式定理 . 1.这个公式叫作二项式定理. 2.二项展开式:等号右边的多项式叫作 的二项展开式,二项展开式共有 项. 3.二项式系数:叫作第 项的二项式系数. 4 名师点睛 理解二项式定理的注意事项: （1）二项式系数都是组合数 ,它与二项展开式中某一项的系数 不一定相等. （2）二项式定理中的字母,是不能交换的,即与 的展开式是有 区别的,二者的展开式中的项的排列顺序是不同的,不能混淆. （3）二项式定理中和中间用“ ”连接,若出现“-”,“-”归属后边的字母或数,仍可 用二项式定理展开. 5 知识点2.二项展开式的通项 展开式的第项称为二项展开式的通项,记作 . 名师点睛 二项展开式的通项在形式上的特点: （1）它表示二项展开式的第项,该项的二项式系数是,而不是或 . （2）字母 的次数和组合数的上标相同. （3）与的次数之和为 . 6 题型分析·能力素养提升 7 【题型一】二项式定理的正用、逆用 例1（1） 求 的展开式. 解（方法一） . （方法二） . 8 （2）化简: . 解 原式 . 规律方法的二项展开式有 项,是和的形式,各项的幂指数规律是①各 项的次数和等于.②字母按降幂排列,从第一项起,次数由逐项减1直到0;字母 按升 幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到 . （2）逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分析已知多项式的 特点,向二项展开式的形式靠拢. 9 跟踪训练1 已知,则 的值为___. 6 [解析] 由 ,得 , 则,即 , 解得 . 10 【题型二】二项展开式的通项的应用 角度1 二项式系数与项的系数 例2 在二项式 的展开式中,求: （1）第4项的二项式系数; 解 的展开式的通项是 . 该展开式中第4项的二项式系数为 . （2）第4项的系数. 解 该展开式中第4项的系数为 11 规律方法（1）二项式系数都是组合数 ,它与二项展开式中某一项 的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念. （2）第 项的系数是此项字母前连同符号的数,而此项的二项式系数为 .例如,在的展开式中,第四项是 ,其 二项式系数是,而第四项的系数是 . 12 跟踪训练2 已知在 的二项展开式中,第4项的二项式系数与第3项的二项式系 数的比为 . （1）求 的值; 解 第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为 , ,, . （2）求展开式中的系数及含 的项的二项式系数. 解 由（1）知,,其通项为 . 令,可得 . 展开式中的系数为 . 含的项的二项式系数为 . 13 角度2 展开式中的特定项 例3 已知在 的展开式中,第6项为常数项. （1）求 ; 解 通项为 . 第6项为常数项, 当时,有,得 . （2）求含 的项的系数; 解 令,得 , 所求的系数为 . 14 （3）求展开式中所有的有理项. 解 由题意,得令 , 则,即 . ,应为偶数,可得,0,,即 ,5,8, 第3项、第6项与第9项为有理项,它们分别为,, . 15 规律方法 1.求 的二项展开式的特定项的常见题型 （1）求第项,;（2）求含的项（或含 的项）;（3） 求常数项;（4）求有理项. 2.求二项展开式的特定项的常用方法 （1）对于常数项,隐含条件是字母的指数为0（即0次项）. （2）对于有理项,一般是先写出通项,其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解 这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数 的整除性来求解. （3）对于二项展开式中的整式项,其通项中同一字母的指数应是非负整数,求解方 式与求有理项一致. 16 跟踪训练3 设的展开式中第二项和第四项的系数之比为,求含 的项. 解 的展开式中第二项和第四项分别为 , . 由题意可知,即 , 又,解得 . 设的展开式中含的项为第 项, 则 , 根据题意可知,解得 . 所以的展开式中含的项为 . 17 $