7.4.1 二项式定理-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（苏教版）

7.4 二项式定理 7.4.1 二项式定理 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.能用计数原理证明二项式定理.　 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.二项式定理及相关概念 二项式定理 (a+b)n=an+an-1b+…+an-rbr+…+bn(n∈N*) 二项展开式 公式右边的多项式 二项式系数 ___________________叫作第r+1项的二项式系数 二项式通项 Tr+1=_________叫作二项展开式的第r+1项(也称通项) (r=0，1，…，n) an-rbr |微|点|助|解| (1)二项展开式共有n+1项，各项中a，b的指数和都是n. (2)a按降幂排列，指数由n逐项减1直到0；b按升幂排列，指数由0逐项加1直到n. (3)对于任意的a，b，该等式都成立. (4)二项式系数和项的系数的区别 ①二项展开式中的二项式系数是指，…，这些组合数，与a，b无关. ②展开式中项的系数则是展开式中关于某一个(或两个)字母的系数，与a，b有关，项的系数未必是正数. 2.二项式定理的三种常见变形 ①(a-b)n=anb0+(-1)1an-1b1+an-2b2+…+(-1)ran-rbr+…+(-1)na0bn. ②(1+x)n=+x+x2+…+xr+…+xn. ③(1-x)n=+(-1)1x+x2+…+(-1)rxr+…+(-1)nxn. 1.若(2x-3)n+3的展开式中共有15项，则自然数n的值为(　　) A.11 B.12 C.13 D.14 √ 基础落实训练 解析：因为(2x-3)n+3的展开式中共n+4项，所以n+4=15，即n=11. 2.展开式中的常数项为(　　) A.80 B.-80 C.40 D.-40 √ 3.(1+2x)5的展开式的第3项的系数为______，第3项的二项式系数为______.  40　 10 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　二项式定理的正用、逆用 [例1]　(1)求的展开式. 解：=(3)4+(3)3+(3)2+(3) +=81x2+108x+54++. (2)化简：(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1). 解：因为[(x-1)+1]5=(x-1)5+(x-1)4+(x-1)3+(x-1)2+(x-1)+1=(x-1)5+ 5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1)+1，所以(x-1)5+5(x-1)4+…+5(x-1)=x5-1. |思|维|建|模|　运用二项式定理的解题策略 (1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.形如(a-b)n的展开式中会出现正负交替的情况.对较繁杂的式子，需先化简再用二项式定理展开. (2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数. [注意]　逆用二项式定理时如果各项的系数是正负相间的，则结果是(a-b)n的形式. 针对训练 1.若(1+)4=a+b(a，b均为有理数)，则a+b=(　　) A.33 B.29 C.23 D.19 √ 解析：∵(1+)4=×()0+×()1+×()2+×()3+×()4 =17+12=a+b，∴a=17，b=12，∴a+b=29，故选B. 2.已知0<p<1. (1)写出[p+(1-p)]n的展开式； 解：由0<p<1，得0<1-p<1，所以[p+(1-p)]n=pn+pn-1(1-p)+pn-2(1- p)2+…+p(1-p)n-1+(1-p)n. (2)化简：p3+p2(1-p)+p(1-p)2+(1-p)3. 解：二项式定理逆向使用，将展开式进行合并， 原式=[p+(1-p)]3=(p+1-p)3=13=1. 题型(二)　二项式系数和项的系数 [例2]　(1)求二项式的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数； 解：由已知得展开式通项为Tk+1=(2)6-k·=26-k(-1)k， ∴T6=26-5(-1)5=-12. ∴第6项的二项式系数为=6，第6项的系数为-12. (2)求的展开式中x3的系数. 解：设展开式中的第(k+1)项为含x3的项， 则Tk+1=x9-k=(-1)k， 令9-2k=3，得k=3，即展开式中第4项含x3， 其系数为(-1)3=-84. |思|维|建|模| 正确区分二项式系数与项的系数 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关. 针对训练 3.(2024·北京高考)在(x-)4的展开式中，x3的系数为(　　) A.6 B.-6 C.12 D.-12 √ 解析：(x-)4的展开式的通项Tr+1=x4-r(-)r=(-1)r(r=0，1，2，3，4).由4-=3，得r=2，所以(x-)4的展开式中x3的系数为(-1)2=6. 4.已知的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为1∶3. (1)求n的值； 解：因为二项式的展开式中第2项、第3项的二项式系数分别为，所以=，即=，解得n=7. (2)求展开式中含项的系数. 解：因为展开式的通项为Tk+1=(3)7-k·=37-k，当=-1时，k=3，所以展开式中含项的系数为34=2 835. 题型(三)　二项展开式的特定项 [例3]　已知展开式中第3项的系数比第2项的系数大162，求： (1)n的值； 解：因为T3=()n-2=4， T2=()n-1=-2， 依题意得4+2=162，所以n2=81. 因为n∈N*，所以n=9. (2)展开式中含x3的项. 解：设第r+1项含x3，则Tr+1=()9-r=(-2)r， 所以=3，解得r=1， 所以第2项为含x3的项，T2=-2x3=-18x3. [变式拓展] 1.在本例条件下，求二项展开式中的常数项. 解：因为Tr+1=(-2)r，若Tr+1为常数项，则9-3r=0，所以r=3， 因此常数项为第4项，即(-2)3=-672. 2.在本例条件下，求二项展开式中的所有有理项. 解：因为Tr+1=(-2)r，若Tr+1为有理项，当且仅当为整数. 因为0≤r≤9，r∈N，所以r=1，3，5，7，9， 即展开式中的有理项共5项，它们分别是T2=-18x3，T4=-672， T6=-，T8=-，T10=-. |思|维|建|模|　求二项展开式中特定项的步骤 针对训练 5.若的展开式的常数项为60，则实数a的值为(　　) A.4 B.2 C.8 D.6 √ 解析：的展开式的通项为Tr+1=x6-r=(-1)rx6-3r.令6-3r=0，解得r=2，则常数项为(-1)2a=60，解得a=4. √ 6.在的展开式中，系数为有理数的项是(　　) A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项 解析：在的展开式中，根据通项Tk+1=(x2)7-k 可知，k=4时系数为有理数，即第5项的系数为有理数. 课时检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.(x-1)12的展开式的第8项的系数是 (　　) A.- B. C.- D. √ 解析：由题意得Tk+1=x12-k(-1)k(k=0，1，2，…，12)，令k=7，得T8=x5(-1)7=-x5，所以(x-1)12的展开式的第8项的系数是-. 故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.在的二项展开式中，x的系数为(　　) A.10 B.-10 C.40 D.-40 √ 解析：Tr+1=(2x2)5-r=(-1)r·25-rx10-3r，令10-3r=1，得r=3.所以x的系数为(-1)325-3=-40. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有(　　) A.3项 B.4项 C.5项 D.6项 √ 解析：Tk+1==，则k=0，6，12，18，24时，x的幂指数为整数，所以x的幂指数是整数的项共有5项. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.在的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 √ 解析：Tk+1=(3x2)n-k=3n-kx2n-5k，令2n-5k=0，∴n=k.∴正整数n的最小值为5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.[多选]二项式(x+)n(n∈N*)的展开式中至少有2项的系数为有理数，则n的可能取值为(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 √ √ √ 解析：的展开式的通项为Tk+1=(x)n-k()k=()n-kxn-k. 结合选项，若n=6或n=8，则当k=0和k=6时，项的系数均为有理数，满足题意；若n=7，则只有当k=3时，项的系数为有理数，不满足题意；若n=9，则当k=3和k=9时，项的系数均为有理数，满足题意.故选ACD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知(其中a>0)的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项共有(　　) A.6项 B.5项 C.4项 D.3项 √ 解析：展开式的第7项为T7=(x2)n-6·=(-a)6x2n-14，由题意，得2n-14=0，(-a)6=7(a>0)，所以n=7，a=1，则展开式的通项为Tk+1=(-1)kx14-2k=(-1)k，k=0，1，2，…，7，令∈Z，则k=0，3，6，所以展开式中的有理项共有3项. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.在二项式的展开式中，二项式系数的和为64，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为(　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：在二项式展开式中，二项式系数的和为2n=64=26，所以n=6.则即，通项为Tr+1=，r=0，1，2，…，6，故展开式共有7项，当r=0，4时，展开式为有理项，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻，即把其他的5个无理项先任意排，再把这两个有理项插入其中的6个空中，方法共有种，故有理项都互不相邻的概率为P==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.[多选]已知二项式(x>0且x≠1，n∈N*，n≥2)的展开式中第n-1项为15，则下列结论正确的是(　　) A.n=6 B.m=2 C.+=10 D.=4 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由二项式定理得Tn-1=(xm)2=·x2m-n+2=15， 所以⇒故A、B正确. 因为+===15，所以C错误.因为==15，==30，所以=2，故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)+2+22+…+2n=_______.  3n 解析：原式=20+21+22+…+2n=(1+2)n=3n. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)(2024·天津高考)在的展开式中，常数项为_____.  20 解析：展开式的通项Tk+1==36-2kx6k-18.令6k-18=0，则k=3，所以常数项为T4=30x0=20. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)已知(a-bx)5(a，b均为常数)的展开式中第4项的系数与含x4项的系数分别为-80与80，则a+b=_____.  3 解析：由题意，知第4项的系数为a2(-b)3，含x4项的系数为a(-b)4，所以即解得所以a+b=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)“算两次”是一种重要的数学方法，也称作富比尼(G.Fubini)原理.“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来”(波利亚著《数学的发现》第一卷)，即将一个量“算两次”.由等式(1+x)2n=(1+x)n(x+1)n，n∈N*，n≥2，利用“算两次”原理可得()2+()2+()2+…+()2+()2=________.(结果用组合数表示)  解析：因为(1+x)n(x+1)n=(+x+x2+…+xn)(xn+xn-1+xn-2 +…+)，因此()2+()2+()2+…+()2+()2是展开式中xn项的系数，而(1+x)2n的展开式中xn项的系数为，所以()2+()2+()2+… +()2+()2=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)设(x-)n的展开式中第2项与第4项的系数之比为1∶2，求含x2的项. 解：(x-)n的展开式中第2项与第4项分别为T2=xn-1(-)=-nxn-1，T4=xn-3(-)3=-2xn-3.根据题意得到=， 整理得n2-3n-4=0，解得n=4或n=-1(舍去). 设(x-)4的展开式中含x2的项为第r+1项，则Tr+1=x4-r(-)r(r=0，1，2，3，4)，根据题意有4-r=2，解得r=2， 所以(x-)4的展开式中含x2的项为T3=x2(-)2=12x2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)在二项式的展开式中，前3项系数的绝对值成等差数列. (1)求展开式的第4项；(6分) 解：展开式的通项为Tr+1=，r=0，1，2，…，n，由已知成等差数列，∴2×=1+， ∴n=8，Tr+1=.令r=3，T4==-7. (2)求展开式的常数项.(4分) 解：令8-2r=0，得r=4，∴T5=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)已知f(x)=(1+x)m，g(x)=(1+2x)n(m，n∈N*). (1)若m=3，n=4，求f(x)g(x)的展开式中含x2的项；(6分) 解：当m=3，n=4时，f(x)g(x)=(1+x)3(1+2x)4.(1+x)3的展开式的通项为xr，(1+2x)4的展开式的通项为(2x)k，f(x)g(x)的展开式中含x2的项为1×(2x)2+x×(2x)+x2×1=51x2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)令h(x)=f(x)+g(x)，若h(x)的展开式中含x的项的系数为12，那么当m，n为何值时，含x2的项的系数取得最小值?(9分)   解：h(x)=f(x)+g(x)=(1+x)m+(1+2x)n.因为h(x)的展开式中含x的项的系数为12，所以+2=12，即m+2n=12，所以m=12-2n.x2的系数为+ 4=+4=(12-2n)(11-2n)+2n(n-1)=4n2-25n+66=4+， n∈N*，所以当n=3，m=6时，含x2的项的系数取得最小值. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $