山西现代双语学校学校等校2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

高二年级数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、2部文艺片、3部喜剧片，小华从中任选1部电 影观看，则不同的选法种数有 A.18 B.9 C.8 D.7 2.已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 1 m 3m-1 高 则m= A号 B司 c D. 0 3.若随机变量XN(6,6),且P(X<3)=0.2,则P(3≤X≤9)= A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8 4.某同学参加校园义卖活动，将自己制作的8个不同类型的手工艺品排成一排进行售卖，要求 其中的甲、乙、丙3个手工艺品相邻排列，则不同的排法总数为 A.5760 B.4320 C.2160 D.1440 5.小李在花盆中种下2粒花卉种子，若每粒种子发芽的概率均为0.8，则这两粒种子至少有1 粒发芽的概率为 A.0.16 B.0.32 C.0.64 D.0.96 【高二年级数学第1页（共4页）】 26-T-616B 6.网购是现代年轻人重要的购物方式，某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额y (单位：万元)与年份代码x进行了统计，得如下数据： 2 3 4 5 2.5 3.3 4.5 6.2 8.5 则x与y的样本相关系数r≈ A.0.99 B.0.98 C.0.97 D.0.96 含x-)y-列 参考公式：r ,参考数据：名(y,-)2=23.08,230.8≈ √含(x-)√含(y-) 15.19. 7.甲、乙两位旅游博主准备周末去A,B,C,D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示 甲、乙至少有1人去A景点，事件N表示甲、乙去相同的景点，则P(N|M)= A月 A名 c D号 8(x+是-1)八 的展开式中的常数项为 A.29 B.61 C.308 D.309 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.通过随机抽样，得到变量x和变量y的7对数据，并绘制成散点图如图所示，已知变量y和变 量x线性相关，且回归直线是图中直线，则下列说法正确的是 A.直线I的斜率是负数 6 B.变量y与变量x正相关 4 C.相关系数0 3 2 D.若去掉图中点A后，剩余数据的相关系数”变大 10.已知(.x-1)9=ao十a1x十a2x2+…十agx°，则 01234567 A.ao=1 B.a0+a1十a2+…十ag=0 C.ag-a+a2-a3+…+ag-ag=-512 D.ao+a2+a4+a6+ag=256 11.在n维空间中(n≥2，n∈N),以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标 (a1,a2,…,a,),其中a:∈{0,1}(l≤i≤n,i∈N).定义：在n维空间中两点(a1,a2,…,am)与 (b,b2,…,bn)的曼哈顿距离为a-b|十|a2-b2|十…十|a,一b.在6维“立方体”的顶 点中任取两个不同的顶点，记所取两点间的曼哈顿距离为随机变量X,则 A.6维“立方体”的顶点有36个 B.P(X=3)= 20 C.E(X)= 64 21 D.D(X)-508 441 【高二年级数学第2页（共4页）】 26-T-616B 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若C5=C号，则r= 13.已知随机变量XB(6,号)，随机变量Y=一3X+4,则D(Y)= 14.为丰富同学们的劳动体验，增强劳动技能，认识到劳动最光荣、劳动最伟大，高二年级在社会 实践期间开展“拔草”“翻土”“播种”“浇水”这四个项目的劳动技能比赛.某小组7名同学积 极参加，若每名同学必须参加且只能参加1个项目，每个项目至少有1人参加，则这7名同 学有 种不同的参加方法.（用数字作答）》 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知数列{an}是等差数列，且a=一13，a14=1. (1)求{aw}的通项公式； (2)记{a,}的前n项和为Sn,求S,的最小值. 16.(本小题满分15分)》 如图，在四面体P-ABC中，PA⊥平面ABC,PA=AB=AC=2,D,E分别为PA,AB的 中点。 (1)求证：DE∥平面PBC: (2)若BC=2√2，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值. 17.(本小题满分15分)》 某工厂为了提高产品的合格率，采取A,B两种制造工艺制造了一批产品，现对该种产品进 行随机抽查，得到的2×2列联表如下表所示： A种制造工艺 B种制造工艺 合计 合格 450 不合格 30 合计 500 500 【高二年级数学第3页（共4页）】 26-T-616B (1)补全2×2列联表，依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为产品是否合格与制造 工艺有关？ (2)在不合格的样本产品中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8件，从这8件产品 中随机抽取3件产品进行不合格原因检查，设这3件产品中来自A种制造工艺的有X 件，求X的分布列及期望， n (ad-bc)? 附：X-(a+b)c+(a+c)b+d不其中n=a+b+c+d a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 工w 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18.(本小题满分17分)》 已知椭圆C:号+芳-1(a>6>0)的离心率为写，上顶点B的坐标为(0,1). (1)求C的方程； (2)已知M为C上一点，过M作x轴的垂线，垂足为N,若点S满足NS=3NM,当点M在 C上运动时，求点S的轨迹方程； (3)过（一1,0）的直线1与椭圆C交于P,Q两点，O为坐标原点，直线OQ与椭圆的另一个 交点为G,若△PQG的面积Sa一多，求直线1的方程. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=ax2-a.x+lnx(a∈R). (1)当a=2时，求f(x)的图象在x=1处的切线方程； (2)讨论f(x)的单调性； (3)当a=0时，求证：f(x)<e-2. 【高二年级数学第4页（共4页）】 26-T-616B高二年级数学参考答案、提示及评分细则 1.C由分类加法计数原理，得不同的选法种数为3+2+3=8.故选C. 2A由随机变量分布列的性质知品十十3m一1十是=1，解得m=号故选A 10 3.C因为随机变量X~N(6,a2),所以正态曲线的对称轴是x=6,所以P(X>9)=P(X<3)=0.2,所以 P(3≤X≤9)=1-P(X<3)-P(X>9)=1-0.2-0.2=0.6.故选C. 4.B若甲、乙、丙3个手工艺品相邻排列，则有A=6种情况，将甲、乙、丙3个手工艺品看作一个整体，和剩余 的5个工艺品进行排列，则有Ag=720种情况.综上，共有6×720=4320种不同的排法.故选B. 5.D这两粒种子至少有1粒发芽的概率为1-(1一0.8)2=0.96.故选D. 6.B 由题意，得元=3,5=5，名(-)2=10，含(-)(-)=14.9，所以r ∑(x-x)(y-y) √含(x-)√2-) 晨品地限收达用 2AP(M=1-器-话：PMN)-六所以P(NM-变=子放选A P(M 16 8.D(x+二-1)广的展开式中的常数项为C(-1)+CCC(-1)+CC=309.故选D 9.AC由图可知直线L的斜率是负数，所以变量y与变量x负相关，相关系数r<0,故AC正确，B错误；若去 掉图中点A后，剩余的数据会更集中，相关程度会更高，相关系数的绝对值|变大，又<0，所以相关系数 r变小，故D错误.故选AC. 10.BC令x=0,得a=(-1)9=-1,故A错误；令x=1,得a十a1十a2+…十ag=0=0,故B正确；令x -1,得an-a1十a2一a3十…+a8-ag=(-2)9=-512,故C正确；将aa+a1十a2十…+ag=0与a-a1+ a一ag十…十ag-ag=-512这两式的左右两边分别相加，得2(a十a2十a4十a6十ag)=-512,解得an十a2 +a4十a6十ag=-256,故D错误.故选BC. 11.BCD对于6维坐标(a,a,aa,a4,a5,a6),其中a∈{0，l}(1≤i≤6，i∈N),即a:有2种选择 (1≤≤6，i∈N),故共有26=64种选择，即6维“立方体”的顶点有64个，故A错误；当X=3时，在 (a1,a2,ag,a4,a5,a6)与(b1,b2,b,b4,b,b)中有3个坐标值不同，即有3个i(1≤i6,i∈N)满足a≠ 6,有3个j(1≤j<6,jN)满足u,=b,所以满足X=3的顶点有C2)X2=640组，P(X=3)=640- 2 C洛4 得故B正确：满足X=的顶点有C2X2=C·学组，所以P(X=)-C:2=黑 2 C4 63 (=1,2.3,45,6),即P(X=1D-号P(X=2)=员P(X=3)-器PX=40=7,PX=5)=员 P(X=6)=高，所以EX)=1X号+2×号+3×器+4×号+5×号+6×高器放C正确：DX) (1-)×号+(2-)×易+(3-)'×器+(4)×+(6-)×号+(6一)×高 -,故D正确故选CD 【高二年级数学参考答案第1页（共4页）】 26-T-616B 12.2或3由组合数的性质知r=2,或r=3. 1812因为X~B(6,号)，所以D(X)=6×号×了=告，DY)=D(-3X+4)=(-3)D(X)=9×告 =12. 14.8400 先将7名同学分成四组，有1,1,1,4；1,1,2,3和1,2,2,2这三种情况，当分组为1,1,1,4时，不同的 参加方法有CICICICIXAI=840:当分组为1,1,23时，不同的参加方法有CCCC×A=5040:当分组 A A 为1,2,2,2时，不同的参加方法有CCCC×A=2520.综上所述，满足题意的不同的参加方法有840+5 A 040+2520=8400种. 15.解：(1)设等差数列{an}的公差为d, 由a?=-13,a14=1,得a1+6d=-13,a1十13d=1,解得a1=-25,d=2.…3分 所以an=a1十(n-1)d=一25十2(n-1)=21-27.…6分 (2)因为{an}是等差数列， 所以S.=a+00,1DL=-25十n(1-1)=m-261=(1-13)2-169,10分 2 因为n∈N”,所以当n=13时，Sn有最小值一169.…13分 16.(1)证明：因为D,E分别为PA,AB的中点， 所以DE∥PB. 因为DE平面PBC,PBC平面PBC, 所以DE∥平面PBC.…4分 (2)解：因为AB=AC=2,BC=2√2， 所以AB+AC=BC,即AB⊥AC 5分 因为PA⊥平面ABC,AB,ACC平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥AC,故以A 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2), 所以AP-(0,0,2),CP-(0,-2,2),CB=(2,-2,0.…8分 设平面PBC的法向量n=(x,y,z), 〔n…CP=0,1-2y十2x=0, 则n.d=0,即2x-2y-0 即 不妨设x=1,则y=1,2=1,所以n=(1,1,1).…12分 设直线PA与平面PBC所成角为0， 则simg-|cosA访，m1=A:nl 2√5 APn 2X3 3' 所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为厚。 …15分 17.解：(1)2×2列联表如下： A种制造工艺 B种制造工艺 合计 合格 470 450 920 不合格 30 50 80 合计 500 500 1000 …2分 零假设为H:产品是否合格与制造工艺无关， 【高二年级数学参考答案第2页（共4页）】 26-T-616B X-100XC70X5050X30》-≈.485>3.84l,… 920×80×500×500 23 …4分 根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H,不成立，即认为产品是否合格与制造工艺有关. …6分 (2)在不合格的样本产品中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8件，其中A种制造工艺有器×8= 3(件)，B种制造工艺有职×8=5（件）. …8分 由题意，得X的取值可以是0,1,2,3，… …9分 则P(X=0y-8-8=0PX=1)詈-器桌PcX=2》图=最PX=3)= C C C =品 所以X的分布列为： X 0 2 3 15 15 1 28 28 56 56 13分 所以E(X0=0×+1×+2×+3×元=骨 ………… 15分 18解：①设C的半熊距为c,由题意知。=台-9,6=1，所以（一 3， 2分 又a2=8+2,所以a2=1+号a2,解得d=3, 则C的方程为写十1， 万 (2)设S(x,y),M(x0,),由题意知N(xo,0), …5分 所以N$=(x-,y),Ni=(0,为)，由N$-3NM,得 x-x0=0, …7分 y=3y0, x0=x, 所以 场 又M在C上，所以号+6=1， …9分 3 所以号+（）广=1，化简，得号+=1， 所以点S的锐迹方程为写+号-1 11分 (3)由题意知过点（一1,0）的直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=my一1，与C的方程联立，得 +y=1. 消元，得(m+3)y2-2my-2=0,△=4m2+8(m2+3)=12m2+24>0, x=my-1, 设P).Q).则n十0子写=子 2 12分 因为OQ与椭圆的另一交点为G,所以Q,G关于原点对称，即O为QG中点， 所以S△G=2S0m0三号所以S200, 13分 【高二年级数学参考答案第3页（共4页）】 26-T-616B Smw=合X1×y-y=7X1X0+2)-4为=7√ 2m 8 3 m2+3 m2+34 化简，得3m十2m2-5=0,…15分 (m2-1)(3m2十5)=0，解得m=1,m=士1，… 16分 所以直线l的方程为x=士y一1，即x十y十1=0，或x一y十1=0. 17分 19.(1)解：当a=2时，f(x)=2x2-2x+lnx,所以f(1)=0,f(x)=4-2+1 所以f(1)=4-2+1=3, 所以f(x)的图象在x=1处的切线方程为y-0=3(x一1)，即3.x-y-3=0. …3分 (2)解：f(x)的定义域为(0，+∞)，f(x)=2ax-a十1=2ax2-az+」 ………4分 当a=0时，f(x)=>0,此时f(x)在(0，十o∞)上单调递增； …5分 当a<0时，令∫(x)>0,解得0<x< 证，令了()<0，解得x>-应 Aa _4a 所以f)在(0，片。)上单周递增，在（宁-区，+）上单调迷减： …7分 当a>0时，若a2-8a≤0，即0<a≤8，(x)≥0，所以(x)在(0，十∞)上单调递增；…8分 若a-8a>0,即a>8,令了(x)>0,解得0<<-或x>{+2&,令了(x<0,解得 Aa 4 士-如<x<士+鸟，所以f()在(0，)上单调道增，在 4 (任。0，}+)上单酒递减，在(}+，+)上单满递啦， …9分 4a Γ，4 4a 综上，当a<0时，)在(0，-画)上单调递增，在（任-色，十）上单调递诚： 当0≤a≤8时，f(x)在(0，十∞)上单调递增； 当a>8时，()在(0，-应)上单调递增，在（任 -8,1+a8)上单调递减，在 (什+区，十e0)上单调递增.… 10分 Aa (3)证明：当a=0时，f(x)=lnx,要证f(x)<e-2,即证e-lnx-2>0. 令g(x)=e-lnx一2(>0)，测g()=e-子，易得g(x)在(0，十∞)上单调递增， 又g(号）=et-士=-2<0，g1)=e-1>0,所以3m∈（合1），使得g()=0,放en= 2 …13分 当x∈(0，m)时，g(x)<0,g(x)单调递减；当x∈(x,十o∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 所以gx)=g(a)=e-h-2=-h-2=十w-2>0,所以f)g-2.…17分 【高二年级数学参考答案第4页（共4页）】 26-T-616B高二年级数学 答题卡 准考证 号 学 校 [0][0][0][0][0][0][0][0][0][0 [1][1][1][1][1][1][1][1][1][1 姓 名 [2][2][2][2][2][2][2][2][2][2 [3][3][3][3J[3][3][3][3][3][3 [4][4][4][4][4][4][4][4][4][4 班 级 [5] [5][5][5][5[5][5][5] [5][ [6[6][6[6[6[6][6][6][6] 6 [7J[7][7J[7[7J[7[7][7] [7J1 考场 [8][8][8][8[8][8][8][8][8][8 [9]「97 「91「91[91[91[9][9][9][9 1.答题前，考生务必清楚地将白己的姓名、准考证号填写在规 注 定的位置，核准条形码上的准考证号、姓名与本人相符并完 全正确及考试科目也相符后，将条形码粘贴在规定的位置。 意2法择题必须使用2B铅笔填涂：非选搭题必须使用05毫米 事 黑色墨水签字笔作答，字体工整笔迹清楚 贴条形码区 3.考生必须在答题卡各题目的规定答题区域内答题，超出答题 项 区域范围书写的答案无效：在草稿纸，试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁，不准折叠、不得弄破。 填涂样例 正确填涂： 错误填涂：动X☐p四 缺考标记：☐ 选择题（请用2B铅笔填涂）》 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A]LB][C][D] 2LA][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 11CA][B][C][D] 4A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 非选择题（请使用0.5毫米的黑色字迹签字笔书写） 12.5分) 13.5分) 14.5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高二年级数学第1页（共2页）26-T-616B 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(本小题满分15分) A 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(本小题满分15分) A种制造工艺 B种制造工艺 合计 合格 450 不合格 30 合计 500 500 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高二年级数学第2页（共2页）26-T-616B 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！