专题3 解三角形中的最值与范围问题16大类题型讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学讲义通过知识框架图系统构建了解三角形中最值与范围问题的知识体系，按“基本不等式—三角函数模型—综合应用”三大模块划分，每个模块下细分面积、周长、中线等16类题型，用思维导图呈现“化角为边”“化边为角”等核心方法，清晰梳理重难点及内在逻辑。 讲义亮点在于分层练习设计与精准方法指导，如“面积最值”题型结合余弦定理与基本不等式，“实际问题”题型通过鱼塘规划案例培养应用意识，典型例题涵盖不同年级检测题，帮助学生用数学思维推理转化，教师可据此实施分层教学，助力学生系统提升解题能力。

专题3 解三角形中的最值与范围问题 总览 题型·解读 【重难点突破】2025-2026学年高一下学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 利用基本不等式求最值 最值范围问题常见处理方法 1、利用基本不等式或常用不等式求最值：化角为边 余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本 不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。 结合余弦定理求周长，面积，中线，角平分线，高线相关最值，对数式子来说适用于和，积，平方和相关 问题 涉及周长，面积，角平分线，中线的最值问题一般通过余弦定理得出等式，再采用常见不等式变形 常见不等式： 边对角型周长、面积最值二级结论：当三角形为等腰三角形时，周长和面积同时取到最大 2、转为三角函数求最值：化边为角 如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边 【题型1】求面积最值 基础知识 公式结论 1面积公式： 2已知角C时：或由余弦定理得 3结合正弦定理转化为三角函数求最值 解题思路 1明确已知条件（角/边）选择合适的面积公式 2利用余弦定理或正弦定理将边的关系转化为可用基本不等式的形式 3套用基本不等式求的最值进而求面积最值 4验证等号成立条件（）是否满足三角形约束 典型例题 【例题 1】（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）的内角的对边分别是，已知． (1)求； (2)若点在边上，为的平分线且长度为1，求； (3)若是边上的一点，且，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理对已知条件进行转换得到，从而得到； （2）利用为及三角形的面积公式即可得到的关系式，变形得； （3）根据已知条件得到，再利用数量积的运算律得到的关系式，最后运用基本不等式得到的最大值，从而得到的面积的最大值． 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得， 整理可得，由余弦定理可得 ，所以， 因为，故． （2）因为为的平分线，所以， 因为，即， 又因为，所以，故． （3）因为，所以，即， 所以， 即， 即，当且仅当即当时等号成立， 所以， 即面积的最大值为． 【例题2】（25-26高一下·江苏镇江·期中）在四边形中，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，利用余弦定理求出，在中，利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，结合三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【详解】如图，连接，在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得 ， 所以，当且仅当时，取等号， 所以. 所以面积的最大值为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三下·陕西商洛·阶段检测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（    ） A．9 B．18 C． D．6 【答案】A 【分析】根据正弦定理和三角形内角和关系，确定是直角三角形，由勾股定理及基本不等式求得面积最大值. 【详解】由题设 及正弦定理可得 ， 又， 故，化简得， 因为，所以，即 ， 是直角三角形，直角在 ，   由勾股定理，直角在 ，故 ， 的面积 ，根据基本不等式 ，得： ， 因此 ，当且仅当 时取等号，即面积最大值为 . 【巩固练习2】（25-26高一下·广东湛江·期中）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且．求： (1)角C及边c的值； (2)的最大值； (3)三角形面积的最大值． 【答案】(1)， (2)4 (3) 【分析】(1)使用余弦定理和正弦定理求解； (2)利用基本不等式求出即可； (3)利用基本不等式求出，再利用面积公式求解即可. 【详解】（1）由， 根据余弦定理，得， 因为，则 由 ，得， 根据正弦定理，得， 则. （2）由（1）知， ， 则， 即， 当且仅当时等号成立， 则的最大值为4. （3）由（1）知，， 则， 即，得 当且仅当时等号成立， 则. 【巩固练习3】（25-26高三下·河南周口·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. (1)求C； (2)若D是边的中点，且，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理，由边化角，再根据余弦定理，直接求出角C即可； （2）根据三角形中线的性质，求出向量关系，再根据基本不等式和三角形正弦面积公式，求出面积最大值即可. 【详解】（1）由，可得， 化简得，则，解得. （2）由题意可得，所以， 即， 则，化简得， 由基本不等式可知，当且仅当时取等号， 即，解得， 所以， 所以面积的最大值为. 【题型2】 周长相关最值问题 基础知识 公式结论 1周长已知边和角时：或由余弦定理 2基本不等式：代入得可求的范围 3三角形两边之和大于第三边： 解题思路 1利用余弦定理建立与的关系 2用基本不等式将放大为得到关于的不等式 3解不等式得到的最值进而得到周长最值 4结合三角形三边关系验证范围 典型例题 【例题1】（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知的面积为，角、、所对的边分别为、、，且. (1)求； (2)若，，求外接圆半径； (3)若，求周长的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平面向量数量积的定义和三角形的面积公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用余弦定理求出的值，再利用正弦定理可求得外接圆的半径； （3）利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，即可得出该三角形周长的最大值. 【详解】（1）由得，整理得， 因为，故，于是得到，故. （2）因为，，由余弦定理可得，故， 设外接圆的半径为，由正弦定理可得，则， 故外接圆的半径为. （3）因为，由余弦定理和基本不等式可得 ， 即，当且仅当时，等号成立， 所以的周长为，即周长的最大值为. 【例题2】（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）已知中，角所对的边分别为，满足． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最大值； (3)若，为线段上一点，满足，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将已知条件进行边角转化，利用三角恒等变换求解即可； （2）结合余弦定理及基本不等式求解即可； （3）设，利用余弦定理及与互补，可得①，在中，由余弦定理可得②，由①②，求得，代入面积公式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以． 整理得：， 即，， 而,故，又因为，所以； （2），， 由余弦定理可得：， 即， 又因为，当且仅当时，等号成立； 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以周长，当且仅当时，等号成立， 所以周长的最大值为； （3）如图所示： 设， 则， 在中，由余弦定理可得： ， 在中，由余弦定理可得： ， 又因为与互补， 所以， 所以①， 在中，由余弦定理可得： ， 整理得，② 由①②可得：， 解得， 所以 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·山东·期中）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. (1)求角及边c的值； (2)求周长的最大值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用余弦定理确定角，利用正弦定理进行转化，结合已求得的角计算边的值； （2）结合余弦定理得到与的关系式，再利用基本不等式或三角函数的有界性求解的最大值. 【详解】（1）由，根据余弦定理， 得， 因为，则. 由，得， 根据正弦定理，得，则. （2）由（1）知，， 因为，即， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为2. 故周长的最大值为. 【巩固练习2】（25-26高一下·广东东莞·阶段检测）的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求C； (2)若，且的面积为，求，. (3)若，求的周长的最大值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用诱导公式、正弦定理将边化为角以及两角和的正弦公式将题目等式进行化简得出即可求解. （2）先利用余弦定理得出,再根据三角形面积公式得出，进而可得，即可得出的周长. （3）应用余弦定理及基本不等式求得，即可得周长的最大值. 【详解】（1）在中，，， ， ， 由正弦定理可得，即. ，，则，解得. （2） ，， 由余弦定理可得，即. 的面积为， ，得，则（负值舍去）， 或. （3） ，，且， 由余弦定理得，即， 由基本不等式有， ，当且仅当等号成立， ∴的最大周长为. 【巩固练习3】（25-26高一下·江苏扬州·期中）的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求周长的最大值． 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）由正弦定理将已知条件中的边与角的混合等式转化为角，再利用三角形内角和定理与三角恒等变换公式化简等式，进而求出角； （2）已知和角，要求周长最大值，可先结合余弦定理得到关于的关系式，再利用基本不等式求出的取值范围，进而得到周长的最大值. 【详解】（1） ，由正弦定理得，即，得； 又 ，∴，得； ，，得； ， ； （2） ，，由余弦定理得，即 ； ，，，当且仅当时等号成立； ，解得，当且仅当时等号成立； 又 为的边长，，，即； ，得； 周长的最大值是12. 【题型3】中线相关最值 基础知识 公式结论 1中线长公式：（为边对应的中线） 2由基本不等式或可求中线的最值 3已知角时代入中线公式转化为的函数 解题思路 1代入中线长公式将问题转化为的最值问题 2结合余弦定理用基本不等式求的最值 3代入中线公式得到中线的最值 4验证三角形存在性（如两边之和大于第三边） 典型例题 【例题1】（2026·天津滨海新区·模拟预测）在中，角所对的边分别为．满足 (1)求角的大小； (2)设，求的值； (3)设，已知是边的中点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换可得，结合角的范围即可求解； （2）根据余弦定理可得，利用余弦定理，同角关系式及二倍角公式可得，，然后利用和差角公式结合条件即得. （3）根据题意，结合余弦定理得，进而结合基本不等式得，再根据中线公式，结合余弦定理求解即可. 【详解】（1）因为， 所以 ， 所以， 因为，故，则， 又，所以. （2）由（1）知，，且，， 因为，即， 化简，解得（舍），，所以. 由， 则， 则，， 所以 . （3）由（1）知，， 所以，由余弦定理得：， 因为，即，当且仅当时等号成立， 因为是边的中点，所以， 所以 ， 所以，即的最大值为. 【例题2】（2026·四川·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且为的中点，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】由正弦定理边化角，结合角A、B的范围，可得角A，根据余弦定理及基本不等式，可得的最大值，根据条件，可得，两边同时求模，化简整理，即可得答案. 【详解】因为，由正弦定理得， 即. 因为，所以，即. 又，所以. 由余弦定理，得， 所以，即，当且仅当时等号成立. 因为为的中点，所以， 所以 ，所以的最大值为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三下·福建厦门·月考）已知分别为的内角所对的边，且. (1)求； (2)已知是边的中点，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理与两角和的正弦公式求解即可； （2）利用平面向量，余弦定理，以及基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得：， 因为， 所以， 因为，所以，所以， 所以，即， 因为，所以，所以，所以． （2）因为，，所以， 因为是的中点，所以， 所以 ， 因为，所以，即， 所以， 当且仅当时，等号成立．所以的最大值为． 【巩固练习2】（2026·河南许昌·模拟预测）的内角，，的对边分别为，，.已知，，若是的中点，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换先化简，进而得，再由余弦定理即可求解. 【详解】由 ， 所以， 又，所以， 所以， 所以， 又，， 所以，所以， 又是的中点，所以， 由余弦定理有：， 又， 所以， 当时，，即. 【巩固练习3】（2026·广东肇庆·二模）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求角的值． (2)若的面积为，求线段长度的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换计算可得，可求； （2）由三角形面积公式可求得，利用向量数量积的运算律可求得 ，结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】（1）因为， 所以. 因为， 所以， 所以， 所以， 即， 即. 因为，所以， 所以. （2）由（1）得， 因为的面积为，即， 所以. 因为， 所以， 所以 ． 当且仅当，即时，等号成立， 所以线段长度的最小值为. 【题型4】角平分线相关最值问题 基础知识 公式结论 1角平分线长公式：（为角对应的角平分线） 2由基本不等式得 3已知角时可由正弦定理转化为三角函数形式 解题思路 1代入角平分线公式利用求最值 2或用正弦定理将转化为三角函数结合三角恒等变换求最值 3注意角的范围（如）确定三角函数的取值范围 4验证等号成立条件（） 典型例题 【例题1】（25-26高一下·安徽宿州·期中）已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为边BC上一点，且AD为的角平分线，若，则最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．6 【答案】B 【分析】利用正弦面积公式表示出：，化简可得，即，再结合基本不等式中“1”的妙用求解. 【详解】如图，为角平分线，， 即， 化简得，则， 当且仅当时取等号，故最小值为4. 【例题2】（2026·重庆·模拟预测）已知中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若的角平分线与交于点，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用同角三角函数平方关系化简三角等式，得到，再由正弦定理把角的关系转化为边的关系式，接着代入余弦定理求出，结合角的范围即可求得角的值为. （2）由角平分线得两角均为，利用三角形面积拆分相等建立等式，化简推出，再将乘上定值式子展开，用基本不等式放缩求出最小值并验证等号成立条件. 【详解】（1）； 根据正弦定理化简得：，再由余弦定理， 代入上式得：，因为，所以. （2）因为的角平分线与交于点， 所以，因为， 所以， 得，故； 所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立； 故的最小值为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·山东枣庄·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足. (1)求角C的大小； (2)若，边上的中线的长为，求的面积； (3)若内角C的角平分线交于D点，且，求的面积的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可； （2）解法一：根据余弦定理结合可求得，进而根据三角形的面积公式求解即可；解法二：根据结合平面向量的数量积的运算律可得，再根据余弦定理求得，进而根据三角形的面积公式求解即可； （3）利用等面积法可得，再根据基本不等式可得，进而根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）由 根据正弦定理，得， 则， 因为，所以，则，故. （2）解法一：因为，N为的中点，则， 由余弦定理可得，即， 在中，， 在中，， 因为，所以， 所以，解得， 故的面积为； 解法二：因为N为的中点，则， 所以， 即， 由余弦定理可得，即，所以， 故的面积为. （3）因为，角C的角平分线交于D点， 所以，又， 则由，得， 所以，由基本不等式可得，则，得， 当且仅当时，等号成立， 所以， 故面积的最小值为. 【巩固练习2】（25-26高一下·重庆·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)求B； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． (3)若角B的角平分线交AC于D点，求BD长度的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可求解； （2）由正弦定理转化为三角函数，利用两角差的正弦公式化简，再由正弦型三角函数求值域即可； （3）由余弦定理及基本不等式求出范围，再由三角形面积公式得出，再利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由正弦定理可得：， 因为， 所以， 即， 由可得，即， 由，可得. （2）因为， 所以 ， 由三角形为锐角三角形可知，，解得， 所以，， 所以. （3）如图， 由余弦定理，， 即，当且仅当时，等号成立， 又， 化简可得，， 所以，当且仅当时等号成立. 故BD长度的最大值为. 【巩固练习3】（24-25高一下·江苏南京·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若，D为BC中点，求线段AD长； (3)若该三角形面积为，AD为内角A的角平分线，交BC边于点D，求线段AD长的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解. （2）利用向量数量积的运算律及定义求解. （3）利用三角形面积公式，结合基本不等式求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 即，由余弦定理得，而， 所以. （2）由（1）知，，由D为BC中点，得，而， 所以. （3）由的面积为，得，解得， 由为内角的角平分线，得， 由，得， 因此，，当且仅当时取等号， 所以线段AD长的最大值为. 【题型5】与线段相关的最值 基础知识 公式结论 1通用思路：将线段长度用三角形的边或角表示结合基本不等式求最值 2常见转化：利用正弦定理或余弦定理 3基本不等式常用形式： 解题思路 1用正弦/余弦定理将目标线段转化为边或角的函数 2利用基本不等式对边的组合进行放缩 3结合三角形内角和、角的范围确定最值 4验证三角形存在性条件 典型例题 【例题1】（25-26高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知的内角所对的边分别为向量,,且. (1)求角； (2)若,,求的面积； (3)若求的最大值. 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】（1）根据向量的共线可得角的三角函数值，进而可得角的值； （2）先由余弦定理求得，再由面积公式可得； （3）先由余弦定理得,再由基本不等式可得最大值. 【详解】（1）因为向量，且，所以. 又由正弦定理得，因为，所以 又因为，所以. （2）因为中,,,由（1）知，由余弦定理， 即,所以,解得或（舍去）. 所以的面积. （3）由余弦定理可知，，即， 则，因为， 所以，则，当时等号成立， 则，且，所以， 所以的最大值为. 【例题2】（25-26高一下·河南信阳·期中）在中，分别为内角的对边，且. (1)求角的大小； (2)若在（1）的条件下，有，求边的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，结合两角和的正弦公式计算即可得； （2）借助数量积公式可求出，再利用余弦定理结合基本不等式计算即可得. 【详解】（1）由正弦定理可得， 即， 又，故，故，则； （2）由，故， 由余弦定理可得， 当且仅当时，等号成立， 故边的最小值为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·浙江温州·期中）已知中，角，，的对边分别为，，，且满足． (1)求角的值． (2)若，求的最大值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）法一：借助余弦定理将角化为边后计算即可得；法二：借助正弦定理将边化为角后计算即可得； （2）法一：借助余弦定理结合基本不等式计算即可得；法二：借助正弦定理将边化为角后，利用三角恒等变换公式计算即可得. 【详解】（1）法一：借助余弦定理可得， ，，，； 法二：借助正弦定理可得， ，， ，，，，； （2）法一：，， ， ，即，当且仅当时取等． 的最大值为2. 法二：由，得，． ， 当时，取到最大值2． 【巩固练习2】（25-26高一下·浙江衢州·期中）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答.①；②；③. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知_________. (1)求角A； (2)若，. （ⅰ）若，求的最大值； （ⅱ）若为锐角三角形，，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）选①，可利用三角形内角和及两角和的正弦公式计算即可得解；选②，先将角化为边，再利用余弦定理即可得解；选③，先将角化为边，再利用两角和的正弦公式计算即可得解； （2）（i）借助平面向量线性运算法则及模长与数量积的关系及基本不等式计算即可得；（ⅱ）利用模长与数量积关系，可用表示，再借助正弦定理结合锐角三角形性质可求出范围，即可得解. 【详解】（1）选①， 则， 所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以； 选②， 则， 所以，即， 所以，又因为，所以； 选③， 所以， 所以， 所以， 因为，所以，又因为，所以 （2）（i）因为，所以， 所以，即， 所以， 所以，（当且仅当时，取等号）， 所以的最大值为； （ⅱ）因为，所以， 因为， 所以，所以， 因为， 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以，所以 所以实数t的取值范围为. 【巩固练习3】（25-26高一下·山东临沂·阶段检测）已知的内角所对的边分别为，向量，且． (1)求角； (2)若，求的面积； (3)若，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的共线可得角的三角函数值，进而可得角的值； （2）先由余弦定理求得，再由面积公式可得； （3）先由余弦定理得，再由基本不等式可得最大值. 【详解】（1）因为向量，且，所以. 又由正弦定理得，因为，所以 又因为，所以. （2）因为中，，由（1）知，由余弦定理， 即，所以，解得或（舍去）. 所以的面积. （3）由（1）知，且，由余弦定理， 得 ， 即，当且仅当时等号成立. 所以的最大值为. 模块二 利用三角函数值域函数模型求最值 【题型6】已知一角，另外两角的函数最值 基础知识 公式结论 1三角形内角和：已知角则 2三角函数性质：最大值为（当时） 3最大值为（当时） 解题思路 1利用内角和将两角转化为一个变量（如） 2代入三角函数公式利用和差化积或辅助角公式化简 3结合角的范围（如）求三角函数的最值 4注意三角形为锐角/钝角三角形时的额外限制 典型例题 【例题1】（25-26高一下·重庆·期中）如图，中，角，，的对边分别为，，，，．点在延长线上． (1)若，的角平分线交于点，求线段的长； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图： 因为，又，则， 所以． 解得． （2）因为在的延长线上，故， 所以 ， 因为，所以，得， 所以的取值范围为． 【例题2】（25-26高一下·宁夏·期中）已知锐角三个内角所对的边分别为，且，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】先利用余弦定理得到，由于为锐角三角形得到，利用三角恒等变换化简得到，最后利用三角函数求解即可. 【详解】因为， ，所以； 由于为锐角三角形且，因此， 又因为 所以， 因为，所以，所以， 则. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理和三角恒等变换得到，结合三角形为锐角三角形，得到角A的范围，化简得到关于的关系式，从而得到答案. 【详解】，由正弦定理得， 即， 其中 ， 所以， 其中，所以， 因为为锐角三角形，所以， ，故，， 故， 由于，解得， 故， ， 由于，故，， ，. 【巩固练习2】（2026·山东淄博·一模）已知锐角的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足. (1)求角； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角，化简即可求解； （2）由（1）结合三角形为锐角三角形，确定的范围，将转换成，再结合两角差正弦公式及辅助角公式，转换成正弦型函数求值域即可. 【详解】（1）由正弦定理，，，可得： ， 又， 所以，因为， 化简可得：， 因为是锐角三角形，， 故； （2）由得，即， 因为是锐角三角形，所以， 解得， 由得， 故， 代入得： ， 因此的取值范围为. 【巩固练习3】（25-26高一下·安徽滁州·阶段检测）已知是锐角三角形，内角的对边分别为，且. (1)求； (2)求的取值范围； (3)若，求边上的中线的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理及三角恒等变换化简即可得解； （2）根据三角形内角和定理及三角恒等变换化简，再结合三角函数的性质即可得解； （3）易得，两边同时平方将用表示，再利用正弦定理求出，再根据三角函数的性质即可得解. 【详解】（1）由及正弦定理得， ， 因为，所以， 即， 所以，即， 因为，所以， 因为，所以； （2） ， 因为是锐角三角形，且， 所以，所以， 所以， 所以的取值范围为； （3）由余弦定理得，，即， 由边上的中线为，得， 两边平方得， 由正弦定理可知，， 所以， 所以 ， 由（2）知， 所以， 即，则. 【题型7】对角对边型最值 基础知识 公式结论 1正弦定理：已知边和角则 2余弦定理：可转化为关于的不等式 3外接圆半径已知时为定值 解题思路 1用正弦定理将边转化为角的正弦值 2利用三角形内角和化简三角函数表达式 3结合角的范围（如）求最值 4或用余弦定理结合基本不等式求边的最值 典型例题 【例题1】（25-26高三下·青海西宁·开学考试）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，的面积为． (1)求； (2)求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用余弦定理和面积公式可得，化简得解； （2）利用正弦定理，进而边化角得，从而，再利用三角恒等变形求范围. 【详解】（1）由，得， 所以， 由余弦定理及， 得， 因为，所以． （2）由（1）得，又因为A为锐角，所以． 所以，则． 因为为锐角三角形，所以，即． 由正弦定理得， 令， 则， 因为，所以． ， 因为，所以． 所以， 故． 【例题2】（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理以及三角恒等变换即可求解. 【详解】因为，又由射影定理得， 所以，又， 所以， 由正弦定理得，所以， 由， 所以，又， 所以， 因为，则，所以， 故选：A． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三上·安徽六安·期末）已知、、分别为三个内角、、的对边，且. (1)求角； (2)已知，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理角化边，再利用余弦定理公式可得答案； （2）利用正弦定理将转化为，然后利用三角恒等变换的公式将表示成三角函数的形式，通过三角函数的值域的求法求出范围. 【详解】（1）因为，所以， 即，即， 所以， 又，所以； （2）由（1）知，又， 由正弦定理， 所以， 所以 ， 又，所以， 所以， 所以的取值范围是. 【巩固练习2】（25-26高三·全国·二轮复习）在锐角中，，，点是的中点，求的取值范围 【答案】 【分析】求的取值范围化为求，用向量表示出向量，两边同时平方，再利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换及三角函数的性质即可求解. 【详解】在锐角中，，，点是的中点， 则， 由余弦定理可得， 设的外接圆半径为，由正弦定理， 则， 因为， 所以 ， 在锐角中，， 所以， 所以，所以， 所以. 【巩固练习3】（25-26高三·全国·二轮复习）在锐角中，已知，且，求周长的取值范围 【答案】 【分析】正弦定理化边为角，利用和差公式辅助角公式，结合三角形为锐角三角形即可求解. 【详解】在锐角中，已知，且， 由正弦定理得 ， 周长 ， 因为为锐角三角形， 所以， 所以三角形周长的范围是. 【题型8】一次比值型最值问题 基础知识 公式结论 1常见形式：利用正弦定理转化为 2和差化积：则比值可化简为 3当时比值取得最大值 解题思路 1用正弦定理将边的比值转化为角的正弦比值 2利用和差化积或辅助角公式化简 3结合角的范围（如）求最值 4注意三角形为锐角/钝角三角形时的额外限制 典型例题 【例题1】（25-26高三上·浙江杭州·期末）在中，角的对边分别为，已知 (1)求证：； (2)若是锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正弦定理将角化边，再结合余弦定理得到，再利用正弦定理将边化角得到，即可得到，从而得证； （2）解法1：由（1）可知，再根据三角形为锐角三角形，得到角的取值范围，则，即可求出的取值范围；解法二： 利用，边化角可求其范围. 【详解】（1）由余弦定理， 代入得，则， 由正弦定理得 所以， 所以, 得 由知，故， 所以或（舍去） 所以 （2）解法1：，由得， 所以， . ， 由，得，， 所以， 所以，即； 解法2：由得， 因为，所以，得， 所以，即， 所以. 【例题2】（25-26高三上·广东东莞·期末）已知是锐角三角形，内角、、所对应的边分别为、、.若，则的最小值是____________． 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，求得，且，根据为锐角三角形求出角的取值范围，利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理可得， 所以， 可得， 因为为锐角三角形，即、，故， 因为正弦函数在上单调递增，所以，即， 则， 由可得，所以， 所以 ， 故当时，取最小值. 故答案为：. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026高三上·安徽合肥·专题练习）已知，，分别为锐角三个内角，，的对边，且． (1)求角的大小 (2)求的取值范围． 【答案】(1); (2) 【分析】（1）由正弦定理及两角和差的余弦公式结合诱导公式得，再求即可； （2）在中，由正弦定理及两角和差的正弦公式可得，然后结合三角函数的值域的求法求解即可. 【详解】（1）由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 所以， 所以，即，所以； （2）根据正弦定理得， 由（1）得，， ，为锐角，所以，， 其中，，即， 综上可知，的取值范围是． 【巩固练习2】（25-26高二上·广西·月考）在中，角所对应的边分别为，且. (1)求角； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式，正弦定理及和差角的正、余弦公式，将原式变形、化简，得到，再结合角的范围，即可得解； （2）由（1）可得，进而表示出，再利用正弦定理将转化为，再根据角的范围，即可求出的取值范围. 【详解】（1）在中，因为， 所以. 因为， 所以由正弦定理得. 则 ， 化简得， 因为，所以， 所以上式可化为，即. 又因为，所以； （2）由（1）可得，即， 所以， 由正弦定理可得. 因为为锐角三角形， 所以，即，解得， 所以，所以， 即的取值范围为. 【巩固练习3】（25-26高三上·河北邢台·期中）在锐角三角形中，内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知及正弦定理、三角恒等变换得，再根据三角形内角性质得到、，进而有，最后由正弦定理、诱导公式、三角恒等变换化简，结合余弦函数的性质求范围. 【详解】由已知及正弦定理，得， 因为，所以， 所以 ， 因为，，所以， 所以，故，则， 因为是锐角三角形，所以，解得，所以， 由正弦定理，得 ， 因为，所以． 故选：A 【题型9】角对邻边型最值问题 基础知识 公式结论 1已知角和邻边求边的最值：由余弦定理或由正弦定理 2转化为三角函数： 3结合利用的单调性求最值 解题思路 1用正弦定理将边转化为角的函数 2利用三角恒等变换化简表达式 3结合角的范围利用三角函数的单调性求最值 4验证三角形存在性（如） 典型例题 【例题1】（25-26高三上·福建泉州·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 (1)求A； (2)若是锐角三角形，，求面积的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由题设及正弦定理可得，即，根据，可得角A； （2）由正弦定理可得，从而，由为锐角三角形，得，即可求解． 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得， 又， 所以， 因为B为三角形内角，， 所以，可得， 因为，所以； （2）由正弦定理可得， 所以， 故， 而因为为锐角三角形， 故，解得， 从而，所以， 故的取值范围是. 【例题2】（24-25高一下·贵州·月考）已知的内角的对边分别为，且 (1)求角； (2)求的取值范围； (3)若是锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)利用边角互化,再利用投影公式,求解角度;(2)利用二次函数的性质求解;(3)利用锐角三角形转化为角度求解范围. 【详解】（1）由,则, 即,故, 由,所以; （2）因为,所以,则, 故 , 则, 故的范围为; （3）由正弦定理可得, , 则, 故 由是锐角三角形,则,故, 则,故, 则,故. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三上·广东深圳·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别为，． (1)求角A； (2)若，为锐角三角形，求c的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用两角和的正弦公式将条件化简，再利用正弦定理和三角恒等变换求出，根据三角形内角的取值范围即可求解； （2）利用正弦定理将边化为角得，由锐角三角形得，然后利用正切函数的性质及不等式性质求解即可. 【详解】（1）因为，化简可得， 由正弦定理可得， 所以， ， 所以， ，即，又， 则，所以，则； （2）由（1）知，由正弦定理得， 所以， 因为，所以，所以，所以， 所以， 则c的取值范围为． 【巩固练习2】（24-25高一下·湖南娄底·期末）在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且边，求面积的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简得到，从而得到； （2）方法一：由为锐角三角形，得到的范围，三角形面积公式表示出的面积，整理成关于的函数，根据的范围得到面积的范围； 方法二：根据直角三角形的临界条件，得到为锐角三角形时面积的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 因为，所以，， 因为，所以； （2）方法一：因为是锐角三角形，又， 所以，解得， ， 因为，∴，则， 从而. 方法二： 若为锐角三角形， 所以， 因为，，所以， 所以， 又因为， 所以. 【巩固练习3】（24-25高一下·山东临沂·期末）已知是锐角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正余弦定理进行边角互化即可； （2）利用三角形的面积公式求出然后利用正弦定理结合三角函数的性质求出的取值范围即可. 【详解】（1）， 故，即 故， 且，故. （2）由正弦定理得， ， 因为是锐角三角形，. 故，即 所以，故， 所以， 故面积的取值范围为. 【题型10】锐（钝）角限制的复杂型最值 基础知识 公式结论 1锐角三角形：所有角即对应余弦值 2钝角三角形：有一个角其余角对应钝角的余弦值 3结合正弦定理余弦定理（锐角）或（钝角） 解题思路 1先利用正弦/余弦定理将目标转化为三角函数形式 2根据锐角/钝角条件列出角的范围限制 3结合三角函数的单调性或辅助角公式求最值 4注意多个角的范围交集避免遗漏限制条件 典型例题 【例题1】（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别为. (1)若顶点的坐标为，求的面积； (2)若，求锐角周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量夹角公式求出，结合平方关系求得，由三角形面积公式得解； （2）由正弦定理可得，结合条件和三角恒等变换化简可得，结合角的范围求解，从而得到答案. 【详解】（1）由题意， ， ， ， 所以的面积为. （2）设角所对的边分别分， ， ， ， 因为是锐角三角形，，得， ，故， ， 即周长的取值范围为. 【例题2】（24-25高一下·四川成都·期末）锐角的内角所对应的边分别为，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正余弦定理，变形已知条件，求出与角的余弦之间的关系，根据锐角三角形，求出角的范围，求出结果. 【详解】已知，又因为， 所以，解得， 所以，即， 由，得， 由，得，化简得， 即， 可得或者（舍），所以， 因为为锐角三角形，所以，即，解得， 所以，所以，所以， 故选：C. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高一下·福建漳州·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． (1)求A； (2)若D为中点，且，求的周长； (3)若是锐角三角形，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再化简即可得到角A； （2）由题意可得，将两边平方结合向量的数量积可得，再利用余弦定理得求得，进而得到周长； （3）由正弦定理用表示出，再代入三角形的面积公式，即可求得面积的取值范围. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 即， 所以， 所以，因为，所以， 所以，得，由，得； （2）因为D为中点，所以， 则， 所以，解得（舍）或， 由余弦定理得，所以， 所以的周长为； （3）在中，由正弦定理得， 所以， 所以 根据题意得，解得， 所以，所以，所以， 所以， 所以的取值范围是. 【巩固练习2】（24-25高一下·广东广州·期末）已知是钝角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的周长的取值范围为__________. 【答案】 【分析】分为钝角，为钝角两种情况，结合余弦定理和三角形三边关系得到不等式，求出的取值范围，进而求出周长的取值范围. 【详解】显然，所以， 因为为钝角三角形，故为钝角，或为钝角， 当为钝角时，， 故，解得， 又，故，故，故， 此时的周长取值范围是，即， 当为钝角时，， 故，故， 又，故， 此时的周长取值范围是， 综上，的周长取值范围是， 故答案为： 【巩固练习3】（24-25高二下·云南临沧·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)若，求a； (2)若为钝角三角形，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二倍角公式化简得到，从而求出，由余弦定理得到； （2）由正弦定理，结合为钝角三角形，得到，从而由三角形面积公式求出. 【详解】（1）因为，所以，即． 因为，，所以，，． ，解得； （2）的面积． 由正弦定理得 ， 因为为钝角三角形，所以或， 即或，故， 所以， 所以． 故面积的取值范围是． 模块三 其它最值问题 【题型11】二次比值型最值问题 基础知识 公式结论 1常见形式：利用正弦定理转化为 2三角恒等变换：或用余弦定理转化为边的关系 3结合基本不等式或导数法求最值 解题思路 1用正弦定理将边的二次比值转化为角的正弦平方比值 2利用降幂公式、和差化积化简表达式 3结合角的范围利用三角函数的单调性或基本不等式求最值 4或用余弦定理转化为边的二次式用代数方法求最值 典型例题 【例题1】（25-26高一下·重庆·期中）钝角的内角，，的对边分别为，，，满足，则的取值范围为（    ） A．（0，1） B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用正弦定理将条件 转化为角的关系，结合钝角三角形的限制，推出 的取值范围，再将目标式 转化为关于 的函数，最后结合函数单调性求出取值范围即可. 【详解】因为，由正弦定理得，， 即，中，故， 由及为钝角三角形可得，， 由正弦定理得， ， 由各内角大于0，即，可得，故， 对勾函数在上单调递减，且， 所以，的取值范围为. 【例题2】（25-26高一下·山西长治·期中）在中，内角的对边分别为，已知 . (1)求角的值； (2)若为锐角三角形，，求的面积的取值范围； (3)若恒成立，求实数的最小值. 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）正弦定理边化角，利用三角恒等变换即可求解； （2）正弦定理边化角结合三角形面积公式即可求解； （3）余弦定理结合三角形面积公式，得关于的齐次式，结合均值不等式即可求解. 【详解】（1）在中，∵，∴． ∴ 即， ∴， ∵，∴， ∵，∴. （2）由正弦定理， . 由的面积为 ， 由为锐角三角形，得，解得， 则，那么， 从而. （3）由恒成立，即， 由，， 即， 由，当且仅当，即时取等号， 所以. 所以由恒成立，知， 从而实数的最小值为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·河南南阳·二模）已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且，. (1)求； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理，解三角形即可； （2）根据锐角三角形的性质，求出角的范围，再根据正弦定理求出的范围，进而构造函数，根据函数单调性，求出函数值域，判断结果即可. 【详解】（1）由，得，由，化简得， 所以，即 （2）因为为锐角三角形，所以，即，解得， 由正弦定理可知， 可知，则，即； 由题意可得， 令，， 由对勾函数可知在上单调递减，在上单调递增， 可知，所以； 即的取值范围为. 【巩固练习2】（25-26高一下·山西·期中）定义：设为坐标原点，若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． (1)若向量为函数的伴随向量，求的坐标； (2)若函数为向量的伴随函数，在中，内角的对边分别为，恰好为函数的最大值． （ⅰ）若，的角平分线交于点，，求的最大值； （ⅱ）若，在锐角中，求的范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）应用和角正弦公式展开，再由伴随向量的定义写出； （2）（i）根据已知及辅助角公式得，，结合已知求得，，再由三角恒等变换、等面积法、基本不等式求的范围，即可得；（ii）根据已知及（i）得，应用正弦边角关系、三角恒等变换得且，利用余弦函数的性质求范围. 【详解】（1）由已知，所以； （2）（i）根据题意，由知，， 利用辅助角公式得，其中， 不妨令为锐角，当时，取到最大值，即， 则，同理 由二倍角公式得：， 如图，由三角形面积可得：， 所以， 由余弦定理得， 因为，所以， 则，当且仅当时取等号. （ii）由，结合（i）， ， 利用正弦定理边化角可得，其中，， 所以， ， 且，则， 所以 ， 由于三角形是锐角三角形，则，得，故， 所以，易知. 【巩固练习3】（25-26高一下·重庆·阶段检测）在中，角，，所对应的边分别为，，，的面积为． (1)若为锐角三角形，且满足， ①求证：； ②设，求的取值范围； (2)求的最大值． 【答案】(1)①证明见解析； ② (2) 【分析】利用正弦定理、余弦定理、辅助角公式进行求解. 【详解】（1）①设外接圆半径为，由正弦定理得：，, 是锐角三角形，则 所以， 又因为 所以 则, 因此或(舍去)，所以. ②因为为锐角三角形，所以，解得：，则 若，则由正弦定理得： 而， 代入化简得：， 令，，其中 则易得：在上是单调递增的， 所以，即， 所以的取值范围是 （2）因为，且 令，当且仅当的时候等号成立，此时需求的最大值， 不妨设，易得，整理得： 利用辅助角公式化简得：，其中， 而，因此，所以，解得， 又因为，所以，因此的最大值是， 所以当且仅当，时，最大值为. 【题型12】非常规型（复杂）基本不等式求最值 基础知识 公式结论 1常见形式：或含多个边的混合式 2常用基本不等式： 3结合余弦定理消元转化为单变量函数 解题思路 1利用余弦定理消元将问题转化为两个变量的问题 2套用合适的基本不等式进行放缩 3验证等号成立条件（如）是否满足三角形约束 4无法直接用基本不等式时可转化为函数用导数求最值 典型例题 【例题1】（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）的内角，，所对的边分别为，，，其面积为，若点满足，且，则的最大值为________． 【答案】 【分析】化简，根据余弦定理，， 化简，使用基本不等式求最值，再检验最值可以取到． 【详解】，． 设，，则． ，即得， 由得，即， 平方得， 即，解得． 由余弦定理， 而，代入所求式： 当且仅当时取等号，此时，可以构成三角形． 【例题2】（25-26高一下·湖南·阶段检测）在中，，，则实数的最小值为____________． 【答案】/ 【分析】将 两边平方,结合余弦定理可得,由 结合正弦定理可得,两者结合利用基本不等式求最值. 【详解】在中，，可得. 两边平方得：，又. 所以，即. 所以，所以. 由，根据正弦定理可得，所以， 所以，当且仅当时等号成立. 故实数的最小值为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·贵州贵阳·模拟预测）中，角，，所对的边分别为，，，若的面积是2，则的最小值是________. 【答案】 【分析】先由三角形面积公式得与的关系，再用余弦定理代换目标表达式，接着通过基本不等式放缩，随后设斜率转化几何意义，最后利用直线与单位圆相切求最值，得出最终结果. 【详解】在中，，得，即. 由余弦定理. 所以. 由基本不等式，当且仅当时取等号. 代入得. 令，，所以 则表示单位圆上的点与连线斜率,， 直线与单位圆相切时，. 解得，即. 故，即. 因此. 两处等号可同时成立，故最小值为. 【巩固练习2】（25-26高一下·安徽蚌埠·期中）已知的内角的对边分别为，若，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正弦定理及三角恒等变换的综合应用，通过三角形内角和与正弦定理，将边转化为同一个角，利用基本不等式求出最后的最小值. 【详解】在中，，由，则，所以. 因为，，即，所以， 则，即， 化简整理得， 所以， 当且仅当，即时取等号， 由，则，符合条件，所以的最小值为3. 【巩固练习3】（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）已知的内角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（    ）． A．1 B． C． D．5 【答案】D 【分析】先根据 与三角形内角和，利用正弦定理将 、 转化为关于 的表达式，再令 把原式化为对勾函数，最后用基本不等式求出最小值并验证等号成立条件. 【详解】在中，，由得，所以. 由正弦定理，，则，即. 由，，则， . 故. 原式， 代入得：. 令，由得，故. 原式化为，. 由均值不等式得，当且仅当即时取等号 符合条件，故，即原式最小值为. 【题型13】化为对勾（或二次函数）函数求最值 基础知识 公式结论 1对勾函数标准形式 极小值点 最小值 2单调区间 单调递减 单调递增 3三角形常用变形 由正余弦定理消元后整理成单变量分式结构 凑出经典对勾结构 4隐含限制 边长大于0满足三角形三边关系角的取值范围 解题思路 1依据题干条件用正弦定理或余弦定理统一变量 2消去多余边或角整理成只含单一自变量的表达式 3分离常数配方变形化成标准对勾函数形式 4结合三角形约束条件确定自变量准确取值范围 5对照对勾函数单调性确定最值位置 6代入计算最值检验三角形存在性 典型例题 【例题1】（25-26高一下·山东济宁·期中）已知函数，若将其图象向左平移个单位得到函数的图象.在钝角中，内角的对边分别是，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出的解析式，由，可得，从而得，，结合正弦定理及三角恒等变换，可得，利用换元法及对勾函数的性质求解即可. 【详解】由题意可知， 又因为， 即， 因为是钝角三角形， 所以或, 即或（舍去）， 所以， 所以，， 所以， ， 令， 所以， 则原式即为， 令，则即为， 由对勾函数的性质可知在上单调递增， 又因为， 所以， 即. 【例题2】（2026·湖南郴州·模拟预测）在锐角中，角的对边分别为.已知成等差数列，且，若O是外接圆的圆心，则和面积之差的取值范围为________. 【答案】 【分析】利用外接圆的半径和圆心角来计算两个三角形的面积，从而转化为的二次函数，来求面积差的取值范围. 【详解】由成等差数列，则， 由正弦定理，化边为角得：， 因为，所以，又是锐角三角形，得， 故，且由锐角条件得， 设外接圆半径为，由正弦定理，如图： 由同弧所对圆心角为圆周角的2倍， ， ， 面积差为：， 令，由，则，即， 所以， 该二次函数的对称轴为：， 所以当时，面积差取得最大值： ， 当时，面积差取到下确界：， 即和面积之差的取值范围为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·湖北武汉·一模）在锐角中，角，，的对边分别为，，．已知，，成等差数列，且，若是外接圆的圆心，则的取值范围为_________________. 【答案】 【分析】由等差中项及正弦定理，结合三角形内角和，推出角大小，将另一条件变形，利用正弦定理得边长，将面积差用外接圆半径及角表示，化为二次函数形式，由角的范围求值域. 【详解】由题意得，， 则由正弦定理得， 因为，所以，则，则， 因为，所以， 则， 因为，所以， 设的外接圆半径为，，则，则， 又因为， 故和面积之差为 ， 因为，所以，则， 故当时，；当时，当时， 故和面积之差的取值范围为 【巩固练习2】（25-26高一下·山东青岛·期中）已知分别为三个内角的对边，，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】借助正弦定理及两角和与差的正弦公式可得，则可将用表示，结合二倍角公式可得，即可结合的范围与对勾函数性质计算即可得解. 【详解】由正弦定理将边化为角可得， 又， 则， 即， 故或，即或（舍去）， 则， 则 ， 由，故，则， 由对勾函数性质可得在上单调递减，在上单调递增， 则， 又时，， 时，， 故. 【巩固练习3】（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，在平面内以线段为斜边作等腰直角（点和点在线段两侧）．记，． (1)证明：； (2)当角在变化时， （ⅰ）求边上高的取值范围； （ⅱ）若，，三点不共线，求正切值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）先由余弦定理求出，再由余弦定理和正弦定理分别得到和，最后相除得到． （2）以为原点，射线为轴正方向建立平面直角坐标系，用表示点的坐标；再利用“以为斜边的等腰直角三角形”的性质，通过中点和垂直旋转求出点的坐标．（ⅰ）边上的高就是点到轴的距离，转化为求的取值范围；（ⅱ）三角形面积公式求，再用向量数量积求，从而得到，最后求一次分式函数的值域． 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 所以． 又因为，由余弦定理得． 由正弦定理得，所以． 因为，所以，从而． （2）以点为原点，射线为轴正方向建立平面直角坐标系，则，． 因为，且，所以点在点的左上方， 故．令，，则． 设为的中点，则． 因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以，且． 又，把逆时针旋转得到向量． 由于点和点在线段两侧，应取，所以． （ⅰ）设边上的高为．由于在轴上， 所以等于点的纵坐标，即． 当时，．因为， 所以．因此． （ⅱ）设．由点的坐标得，． 因为，边上的高为，所以． 又，所以． 另一方面，由向量数量积的坐标运算得， 即． 当时，，此时正切值不存在，故求正切值范围时应排除这一情形． 当时，． 令，则，且． 设，则，所以函数在区间和上均单调递减． 当时，；当时，． 综上，的取值范围为． 【题型14】复合图形中的最值问题 基础知识 公式结论 1常见复合图形：三角形与圆、三角形与平行四边形、三角形与线段交点 2常用转化：利用圆的性质（如直径所对圆周角为直角）、相似三角形、勾股定理 3结合正弦定理、余弦定理和基本不等式 解题思路 1分析复合图形的几何性质找到与三角形相关的等量关系 2利用几何性质将目标线段或面积转化为三角形的边或角的函数 3套用基本不等式或三角函数模型求最值 4验证图形存在性（如圆与直线的位置关系） 典型例题 【例题1】（25-26高一下·广东·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，满足，. (1)求； (2)若为锐角三角形，且外接圆圆心为. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）求取值范围（、分别表示和的面积）. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）利用余弦定理将边转化为有关角的余弦定理的形式即可求解； （2）（ⅰ）利用三角形外接圆圆心为垂直平分线的交点，及向量数量积的几何意义， 结合已知条件，将数量积转化为三角形中边的一次函数关系，利用单调性求出范围； （ⅱ）先根据三角形外接圆圆心角性质，将三角形面积表示为半径和内角的形式， 再结合正弦定理，将面积表示为角的单变量函数的关系，利用函数的单调性求出取值范围. 【详解】（1）解：由题意知，，， 则，所以， 由余弦定理，所以， 又，所以. （2）（ⅰ）解：由，根据向量运算的三角形法则得， ， 由点为三角形外接圆圆心，则点到各边的投影均为三角形各边的中点， 设为中点，则，为在上的投影向量，且， 所以，根据向量数量积的几何意义可得， 同理，， 则，又， 所以. 在锐角三角形中， 由为锐角，则，即， 又，，则，代入得， 又因为，所以解得； 由为锐角，则，即， 又，，则， 代入得，解得，所以. 易知在上单调递减，所以， 即； （ⅱ）设三角形外接圆半径为，由同圆中，同弧所对圆心角等于圆周角的倍， 则，，又， 所以， 由正弦定理，，则， 代入上式可得， 化简得， 令，则， 由为锐角三角形，，则，所以， 又，所以，则，所以. 令，，由开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，又， 因此，即的取值范围为. 【例题2】（25-26高一下·河南南阳·期中）在中，若点P满足，则点P称为的布洛卡点，角为的布洛卡角．已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点P是的布洛卡点． (1)若△ABC为正三角形，求； (2)已知 ①求证：； ②若，，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）在等边三角形中，利用正弦定理在两个小三角形中建立边与角的关系，由边相等推出角相等，解方程得到布洛卡角； （2）①通过正弦定理分别表示出两段线段，利用已知比例关系，结合正弦定理和边长关系，推导出边长平方的等式； ②将已知比例代入，利用余弦定理将余弦值表示为两边乘积的函数，进而得到面积平方关于该乘积的二次函数，结合三角形存在条件确定取值范围，由二次函数最值得出面积最大值. 【详解】（1）为等边三角形． 因为，所以， 所以， 在中， 由正弦定理得，， 在中，由正弦定理得，， 因为为等边三角形，，所以， 又，所以，故． （2）①证明：因为,所以，所以, ，即； 因为,所以，所以 在中，，即． 所以，由正弦定理得：． 因为，所以，即． ②由可得．在中，由余弦定理得，. 因为，所以，所以． 由三角形的面积公式可得：， 所以． 令，则，是关于x的方程的两个根， 所以且，解得． 因为且，所以，解得 又因为，所以． ， 对称轴，所以当时，， 所以．故最大值为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·湖南长沙·期中）如图，已知的内角所对的边分别为，且，动点在的外接圆上，且点和点位于边的两侧，连接，已知．    (1)判断的形状； (2)若，求四边形的面积； (3)求的最大值． 【答案】(1)等腰三角形 (2) (3)． 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，可得，从而可得，即可得该三角形形状； （2）借助余弦定理计算可得，从而可得，再利用面积公式计算即可得解； （3）设，借助余弦定理计算可得 ，，即可由表示出，从而可得的最大值. 【详解】（1）由及正弦定理得， 因为，所以， 所以，即，所以， 所以为等腰三角形； （2）若，则，又， 由余弦定理得，， 由（1）知，则， ， 所以，则， 所以， 所以； （3）设，由（1）知， 则， 由余弦定理得，， ， 所以，即． 又因为， ， 所以，解得， 所以， 所以， 故当时，，则的最大值为． 【巩固练习2】（25-26高一下·江苏常州·期中）若一个平面四边形对边不相交且任意三边都在第四条边所在直线的一侧，则称其为平面凸四边形.容易知道，与之等价的说法为：若一个平面四边形对边不相交且每个内角都小于，则称其为平面凸四边形.图①，②给出了两个非平面凸四边形的例子.如图③，在平面凸四边形中，，设. (1)求和的取值范围； (2)求的取值范围； (3)试用表示的面积，并指出取何值时的面积最大. 【答案】(1)；； (2)； (3)，当时，的面积最大. 【分析】（1）根据为直角三角形，，，可得，再由凸四边形的定义可求得的范围；根据三角形三边关系及余弦定理可求得的取值范围； （2）结合（1）利用余弦定理求解即可； （3）在中，利用正弦和余弦定理，分别求得，，利用三角形的面积公式、三角恒等变换及三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）由题意可知为直角三角形，且，，则， 由凸四边形的定义可知，即，即， 所以； 在中，因为， 由三角形的三边关系可得，即，即； 设，在中，由余弦定理，， 由，可得， 即，解得， 即， （2）在中，由余弦定理，可得， 因为，所以， 即 （3）因为为直角三角形，且，所以， 又因为，所以， 在中，由余弦定理，可得，即， 所以； 由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得， 所以 ， 所以 ， 又因，则当，即时，， 此时，满足题意， 所以，当时，的面积最大. 【巩固练习3】（25-26高一下·江苏南京·月考）如图，有一块矩形铁皮，其中百米，百米（其中，常数）.阴影部分是一个半径为3百米的扇形，为专属儿童活动区域.投资商打算其余部分划出一块矩形区域改造为餐饮区，其边分别落在与上，同时点在弧上.设，矩形的面积为S万平方米. (1)求S关于的函数表达式； (2)当时，求S的最小值，并求出当S取得最小值时，所对应的的值. 【答案】(1)，； (2)的最小值是，当取得最小值时，所对应的的值是或. 【分析】（1）先利用三角函数表示出点到、的距离，进而得到和的长度，推导出关于的函数表达式； （2）先将函数表达式化简，再利用三角函数的相关公式求最值，进而得到对应的的值. 【详解】（1） （1）过作，垂足为E，可得，， 所以，， 即矩形的面积，； （2）由（1）知：矩形的面积， 故 ， 因为，又，则， 所以， 当时，矩形的面积S取得最小值，即， 此时，所以， 解得或， 所以的最小值是，当取得最小值时，所对应的的值是或. 【题型15】实际问题中的最值问题 基础知识 公式结论 1常见场景：测量、航行、几何构造等核心是建立三角形模型 2常用公式：正弦定理、余弦定理、面积公式、基本不等式 3注意实际意义：边长为正、角度在内结果需符合实际场景 解题思路 1根据实际问题画出示意图建立三角形模型 2用正弦/余弦定理将目标表示为边或角的函数 3结合实际限制条件（如距离、角度范围）求最值 4验证结果是否符合实际意义 典型例题 【例题1】（25-26高一下·湖南·期中）为建设美丽乡村，某镇政府拟将一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为桃树林和散养走地鸡，区域为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域为小型鱼塘供休闲垂钓.已知. (1)若，求和的长度； (2)当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？ 【答案】(1)， (2)15°时面积最小，最小值为. 【分析】（1）先根据题干条件得到，利用余弦定理求出，进而求出； （2）设，应用正弦定理及三角形面积公式可得，再应用和角正弦公式、二倍角正余弦及辅助角公式化简分母，最后由正弦型函数的性质求最值. 【详解】（1）在中，， 则，所以， 在中，， 所以. 于是， 在中， ， 在中，，所以. （2）设， 在中，得， 在中，，得， 所以的面积 因为，所以当时面积最小，最小值为. 【例题2】（25-26高一下·上海·期中）如图所示，公路一侧有一块空地，其中 ， ，，规划局设计在中间开挖人工湖，、都在边上，（、不与、重合，在、之间），且. (1)若在距离点处，求的长度； (2)为节省投入资金，要让人工湖的面积尽可能小，设，试确定的值，使的面积最小，并求出最小面积. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先利用直角三角形边角关系，确定角度与边长，再借助余弦定理求出线段长度； （2）先设出角，结合正弦定理表示线段，再利用三角形面积公式列式，通过三角恒等变换化简，最后结合三角函数的取值范围，找到使面积取最小值，并求出最小面积即可. 【详解】（1）在 中， ， ，， 由勾股定理得 ，则 ， 在 中，已知 ，，， 由余弦定理： ，故 . （2）设 ，则 ， 在 中，由正弦定理得： 在 中，， ， 由正弦定理得：， 的面积：， 令 ，则： ， ， 当 ，即 时， 取得最大值 ， 此时 取得最小值：， 所以当 时， 的面积最小，最小面积为 . 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·上海·期中）如图，某大型商场一楼大厅的局部是等腰直角三角形，商场管理部门拟用围栏在其中围出一个三角形区域，供商家开展促销活动．已知（米），分别在上，为的中点，，当． (1)当时，求三角形的周长；（精确到0.01米） (2)用表示三角形的面积，并求的最小值．（精确到0.01平方米） 【答案】(1)40.22米 (2)，．最小值为46.41平方米 【分析】（1）利用正余弦定理解三角形； （2）根据正弦定理表示出进而表示出三角形面积，根据角的范围结合正弦型函数的性质求解. 【详解】（1）因为，所以， 在中，，所以， 在中，， 所以三角形的周长为米； （2）由题意，且， 在三角形中，由正弦定理得，即， 在三角形中，由正弦定理得，即， 则三角形的面积为， 即，又，即， 所以当，即时，取得最小值，为， 则区域面积的最小值为46.41平方米，对应的值为． 【巩固练习2】（25-26高一下·山东枣庄·期中）“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将连接，设中边BD所对的角为A，中边所对的角为C，经测量知，. (1)若，求角C； (2)霍尔顿发现无论多长，是一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值； (3)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析，定值为 (3) 【分析】（1）在中，利用余弦定理即可求出； （2）在中，用余弦定理表示，在中，用余弦定理表示，即可证明； （3）分别表示出和，则，由（2）代入消去角C，利用三角函数求最值. 【详解】（1）由 ，， 在中，由余弦定理得 ， 所以， 又，所以是等边三角形，所以 （2）在中， 由余弦定理得， 在中， 由余弦定理得. 所以为定值； （3），， 则， 由（2）知：， 代入上式： ， 令，， 所以当时，取到最大值. 【巩固练习3】（25-26高一下·北京朝阳·月考）某城市公园计划将园内三角形区域（如图）．建造为多功能区，其中米，米，． (1)求的长度； (2)公园拟在边上设置休息点与不重合，同时将修建为三种不同功能的AI智慧步道，其每米造价分别为0.1万元，0.2万元，0.3万元．记，三段智慧步道的造价总和记为（单位：万元）． ①将表示为的函数； ②若不超过96万元，求的最大值． 【答案】(1)； (2)①，其中；②. 【分析】（1）直接利用余弦定理即可求解； （2）①利用正弦定理分别求出，，从而得到表达式，再写出的表达式，最后求出范围即可；②根据解得，再结合即可得到的最大值. 【详解】（1）在三角形中，由余弦定理得， 代入得到，解得． （2）①因为， 即，， 又因为，则， 在三角形中，由正弦定理可得， 则，， 且， 所以，其中； ②若，，可得， 因为，则，化简得， 即，当，则， 则，解得， 再考虑到，其中，， 故的最大值为． 【题型16】四边形对角线模型最值 基础知识 公式结论 1四边形对角线：设四边形对角线为夹角为面积 2利用余弦定理：在四边形中 3结合基本不等式或由三角形两边之和大于第三边求对角线范围 解题思路 1将四边形分解为两个三角形利用三角形的边和角建立关系 2用余弦定理表示对角线的关系 3套用基本不等式或三角函数模型求对角线的最值 4验证四边形存在性（如三角形两边之和大于第三边） 典型例题 【例题1】（25-26高一下·重庆·期中）如图，在四边形中，，为等边三角形，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先在中用三角形面积公式表示出面积、由余弦定理求出，再代入等边的面积公式得其面积，利用与全等的性质，推出面积为与面积和的一半，将表达式化简为正弦型函数，最后根据三角函数最值条件求出面积的最大值. 【详解】在中，设，则. 由余弦定理知. 中，. 又，为等边三角形. 所以,即 所以可通过判断和全等. 故. 所以当，即时，. 【例题2】（25-26高一下·重庆·期中）在中，已知，的面积满足：. (1)求的值； (2)如图所示，为线段上一点，延长至点，使得，记. （ⅰ）用含的式子分别表示与的面积； （ⅱ）若，求实数的最大值. 【答案】(1) (2)（ⅰ），；（ⅱ） 【分析】（1）由三角形面积公式及向量数量积的运算，化简式子得，进而得到，再用余弦定理或正弦定理求比值即可； （2）（ⅰ）记，面积分别为、，设，在中，用2次余弦定理可得，再由正弦定理，进而得到，根据面积公式得到； （ⅱ）记面积为，则，，再化简求最值即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 即， 得，所以，而， 在中，由余弦定理可知，， 所以，即； （2）（ⅰ）记，面积分别为、，设， 在中，由余弦定理可知： ， ， 即①， 则， 在中，由正弦定理可知：，即②， 由①②可知， ； （ⅱ）记面积为，则， ， 令，则由，得， 而在上单调递增，故， 所以的最大值为，当且仅当，即时等号成立． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·四川绵阳·月考）如图所示，若，，点与分别在直线两侧，且，则的最大值为__________ ． 【答案】 【分析】设，，先利用余弦定理求出，进而同法求出表达式，通过三角恒等变换将其化成正弦型函数，利用正弦函数的性质即可求出的最大值. 【详解】设，，因为，则，， 由余弦定理，可得， 因为，则. 在中，，则. 在中，由余弦定理，， 代入得， ， ， 由，则， 所以当，即时，取最大值， 此时取最大值为. 【巩固练习2】（25-26高一下·四川成都·期中）如图，已知的三边所对的角分别为以为一边作等边，位于边两侧，连结交CB于O点. (1)若，求的值. (2)若，，求： （i）的值; （ii）记，求面积关于的函数表达式，并求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）由C、O、B三点共线的性质得到，解出的值. 从而得到，将此式子整理得到所求； （2）（i）利用向量的数量积公式和余弦定理得到的值；（ii）记，在中，由余弦定理和正弦定理求出，利用正弦函数的图像和性质得到面积的最大值. 【详解】（1）由C、O、B三点共线知，解得. 代入回原式，知， 故， 故，所以，所以. （2）（i）， 又，则； （ii）记， 在中，由余弦定理得 ① ② 将②代入①得 即③， 由正弦定理④， （将③、④代入） ， 当且仅当，即，也就是时取等号. 所以，面积的最大值为. 【巩固练习3】（2026·湖南·模拟预测）如图所示，若，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为______． 【答案】/ 【分析】设，利用余弦定理及三角恒等变换将表示为的函数，再利用正弦函数的性质求出最大值. 【详解】在中，，设，则，， 在中，，则， 由余弦定理得 ， 因，则， 故当，即时，， 所以的最大值为. 课后过关检测 一、多选题 1．（2026·山西朔州·二模）在锐角中，内角所对的边分别是，记的面积为，周长为，重心为，若，，则（    ） A． B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】先由已知等式结合平方差公式和余弦定理求得角；再利用正弦定理结合锐角三角形条件求出边的取值范围，进而分析面积、周长的范围；最后利用重心性质与余弦定理，通过二次函数求最值得到的最小值，逐项判断选项. 【详解】对于A，由，可得，即， 由余弦定理可得， 又为锐角三角形，所以，A正确； 对于B，由正弦定理，可得 ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 则，所以，故， 因为，所以的取值范围为，B错误； 对于C，由余弦定理可得， 因为，所以，即， 所以周长，C正确； 对于D，设的中点为，因为是的重心，所以， 在中，由余弦定理可得， 故当时，取得最小值，此时的最小值为，D正确. 2．（25-26高一下·四川绵阳·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是（ ） A． B．若，则周长的最大值为 C．若为锐角三角形，且，则的取值范围为 D．若的外心为，则 【答案】ABD 【分析】A选项，由正弦定理可得结论；B选项，由余弦定理和基本不等式可得，B正确；C选项，先由正弦定理可得，再求出的范围，可得答案；D选项，利用向量投影的定义和三角形外心的定义计算出. 【详解】A选项，，由正弦定理得， 即，， 因为，所以，故，A正确； B选项，，由余弦定理得， 故，， 因为，当且仅当时，等号成立， 故，解得，， 故的周长最大值为3，B正确； C选项，由正弦定理得，又，， 故， 若为锐角三角形，且，则，， 结合，可得， 故，C错误； D选项，若的外心为，则在上的投影向量为， 又，故，D正确 二、填空题 3．（25-26高一下·广东江门·期中）如图为某公园的绿化示意图，准备在道路的一侧进行绿化，线段长为，，设.为了方便游人散步，现要搭建一条栈道，栈道由线段，和组成，若，栈道的总长为，则的最大值=__________. 【答案】 【分析】在和中，利用余弦定理，求得和，根据题意，得到，令，转化为，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】在中，因为，且， 由余弦定理得， 在中，因为，且， 由余弦定理得， 则， 令，则， 可得， 所以当时，即时，的最大值为. 三、解答题 4．（25-26高一下·山东枣庄·期中）如图，在中，，，且．为线段上的两个动点（在的右侧），且，记． (1)若时，求的周长； (2)若的面积是的面积的倍，求的大小； (3)当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用直角三角形及三角函数计算可得、、，即可得周长； （2）借助面积关系可得，再利用正弦定理计算可得，从而可计算出； （3）利用正弦定理可表示出，再利用面积公式计算可用表示，再利用三角函数性质可得最小值. 【详解】（1）由，得， 又，则，所以， 当时，， 在Rt中，则， 在中，，可得， 的周长为； （2），因为的面积是的面积的倍， 所以，即， 在中，， 由，得， 从而，即，而， 由，得，所以，即； （3）设，由（2）知， 在中，由，得， 所以 =， 当且仅当， 即时，的面积取最小值为. 5．（25-26高一下·广东东莞·期中）在△ABC中，角，，的对边分别为，，．且满足． (1)求角的大小； (2)若的面积，内切圆的半径为，求； (3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦边角关系及三角形内角的性质求； （2）由三角形面积公式得，由等面积法得出，结合余弦定理即可求得边； （3）根据等面积法，可得与的关系，再利用基本不等式求得的最小值，继而可得三角形面积最小值． 【详解】（1）由， 由正弦定理得，而，则， 所以，，则； （2）由题可知，化简得， 由余弦定理知，即， 所以，解得.    （3）因为的面积为 ， 所以. 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以，即， 所以的面积， 当且仅当时，的面积取得最小值，最小值为.    6．（2026·山东威海·二模）在中，角所对的边分别为，且． (1)求； (2)如图，已知为外一点，，，，求平面四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)14 【分析】（1）通过正弦定理将边化为角，结合两角差的正弦公式可得的值，进而可得结果； （2）设，通过余弦定理用表示，将四边形的面积表示为关于的函数，求出函数的最大值即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 所以， 可得， 因为，所以， 因为，所以． （2）设，平面四边形ABCD的面积为S， 在中，由余弦定理得， 所以 ， 因为，所以， 当，即时，平面四边形ABCD面积的最大值为14． 7．（25-26高一下·吉林·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． (1)求角A； (2)若D是线段的中点，且，求； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角； （2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可； （3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解． 【详解】（1）解：由正弦定理可知， ， ， 又，， ， ，， ，； （2）解：由（1）及余弦定理得，即①， 又因为，则， 则， 即， 所以②， 由得， 所以； （3）解：由（1）得，则， 即， 由正弦定理可知，， 所以 ． 因为为锐角三角形，所以，， 则，， 则，即， 则， 故的周长的取值范围为． 8．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知中，角的对边分别是，且． (1)求角的大小； (2)若，的面积，求边的长； (3)如图，作（位于直线异侧），使得四边形满足，，求边的最大值． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理将已知等式变形可得； （2）根据面积公式可得，利用正弦定理可得，即可得结果； （3）设，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，利用三角恒等变换结合正弦函数的值域可得. 【详解】（1）因为 由正弦定理可得，整理可得， 根据余弦定理可得，因为，即. （2）因为，则， 由正弦定理可得，即， 可得，即，所以. （3）设，则，， 在中，由正弦定理可得， 则， 在中，由正弦定理可得， 则 ， 当时，即时，可得的最大值是． 9．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求的值； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． (3)若，当的周长最小时，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）运用正弦定理边角转化，三角函数的辅助角公式，结合三角形内角的范围求解； （2）利用正弦定理和三角恒等变换，把面积的取值范围转化为求角的正切值的取值范围，根据正切函数的单调性进行求解； （3）利用余弦定理用单一变量来表示三角形的周长，结合基本不等式进行求解. 【详解】（1），由正弦定理可得， 因为， 所以代入可得， 即， 因为，所以， 化简可得，即， 解得，因为，所以， 因此，即. （2）由正弦定理可得，即， 所以， ， 因为，所以， 代入可得， 因为为锐角三角形，， 所以，即，解得， 所以，即， 所以， 即的面积的取值范围为． （3）由余弦定理可得， 因为，代入可得，化简可得， 因此 ， 当且仅当，即时等号成立， 因此当的周长最小时，的值为． 10．（25-26高三下·广东揭阳·阶段检测）记的内角的对边分别为．已知，，且为锐角三角形． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由辅助角公式即可求解； （2）由三角形为锐角三角形确定范围，再结合正弦定理得到，由正切函数的性质即可求解. 【详解】（1）由，代入 ， 得 ， 即 得 ，即 ， 因为是三角形内角，所以， 所以 （2）由（1），三角形内角和得：，即， 因为为锐角三角形， 三个内角均小于： ， 由正弦定理，， 得： ， 展开 ， 代入化简得： 因此，则 则， 所以的取值范围为 . 11．（25-26高一下·河北邢台·期中）已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】(1)根据正弦定理，将角度化为边，得到三边关系，再利用余弦定理计算角A的值即可； (2)由(1)可知角A的值，故利用正弦定理边角互化将边转化为角，利用三角函数的性质计算范围； 【详解】（1）解：由正弦定理可知：（为三角形外接圆的半径）， 故，，； 代入， 可得． 因为，所以，， 即，即； 因为，所以． （2）由（1）知，，则， 故； 因为，根据正弦定理可知： ． 在锐角三角形中，由解得， 所以，， ，即的取值范围为． 12．（25-26高一下·河南郑州·期中）已知三内角A，B，C所对边分别是a，b，c．若，且． (1)求角； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）通过正弦定理角化边，再用余弦定理求出角； （2）通过正弦定理边化角，把转化为三角形内角的三角函数，通过三角函数求出最大值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 由余弦定理，又，故， （2）由正弦定理知：，则，， 所以，而， 则 且， 又，当时，的最大值为． 13．（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期中）在中，角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若，，的平分线交边于点，求的长； (3)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理由边转角，再根据两角和的正弦公式，求出，进而求出角的大小； （2）根据条件和余弦定理，求出，再根据三角形面积公式，列出方程，求出边长即可； （3）根据锐角三角形的概念，求出角的范围，再根据正弦定理，求出周长的三角函数表达式，由角的范围判断正弦函数值域，进而求出周长的范围. 【详解】（1）由，可得， 化简得， ， ，解得，即. （2）由得，即， 由，即，解得， 所以，解得， 可知，即， 由，可得， 所以，得，解得. （3）为锐角三角形，，所以，即，解得. 由正弦定理可知，即， 所以， 由，可得，则， 则，则的周长的取值范围为. 14．（25-26高一下·四川巴中·期中）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足. (1)求证：； (2)若，求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和与三角恒等变换证明. （2）根据锐角三角形限制确定角的取值范围，通过正弦定理将转化为关于的三角函数，推导三倍角公式化简后，用单调性定义判断函数单调性，进而求得的取值范围. （3）将三角形面积转化为关于角的三角函数，用单调性定义判断单调性，进而求得面积的取值范围. 【详解】（1）∵ ，由正弦定理（为外接圆半径）， 得，， 代入得，即. ∵ 在中，，∴ ， ∴ 代入上式得， 整理得，即. ∵ 为锐角三角形，∴ ，，∴ ， ∴ 若， 则或 （后者得 ，不符合三角形内角要求，舍去）， ∴ ，得证. （2）为锐角三角形， ∴ ，解得. 由正弦定理，，得. ∵ ，∴ ，，， . ∴ ，，且， ∴ . ∵ ，代入得. 令，∵ ，∴ ，则. 任取， 则. ∵ ，∴ ，又，∴ ， ∴ ，即，∴ 在上单调递增. ∴ 当时，； 当时，， ∴ . （3）三角形面积，由正弦定理，，， ∴ ，又，， ∴ . 代入， ， ∴ . 令，由得，则， ∴ ，， 则. 令，，则， 该二次函数开口向上，对称轴为，故在上单调递增， 当； 当 ∴ ，又，故， 即三角形ABC面积的取值范围为. 15．（25-26高一下·福建莆田·期中）在中，角A，B，C的对边分别为的面积为．已知． (1)若，求的值； (2)若，求的最小值； (3)若分别在边上，且，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理结合三角形面积公式得到，再利用余弦定理求解余弦值即可； （2）利用余弦定理和三角形面积公式并结合换元法得到，再利用辅助角公式并结合正弦函数的有界性列出不等式，求解参数范围，最后求出最小值即可； （3）设，由正弦定理分别表示出，由得出的关系，再根据辅助角公式及正弦函数的最值即可求解． 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得， 因为，所以， 所以由余弦定理得． （2）由三角形面积公式得，且，解得， 由余弦定理得 ， 令，则，， 即，其中， 可得，解得， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． （3）由题意得，而，可得， 又，所以，则，因为，所以为等边三角形，则， 设，则， 在中，， 在中，， ， 由正弦定理得，， 由得，， 所以， 因为，其中， 由得，则，当时取等号， 此时， 所以． 16．（25-26高一下·江苏苏州·期中）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，. (1)求的大小； (2)设的角平分线交于点. ①求面积的取值范围 ②求线段长的取值范围. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）借助数量积公式可得，再利用正弦定理将边化为角后结合两角和的正弦公式计算即可得解； （2）①借助正弦定理可边化为角，再利用面积公式结合三角形内角和关系，可用表示出面积，利用的范围即可得解；②借助等面积法计算可用表示出，再借助①中所得即可得解. 【详解】（1），则， 由正弦定理将边化为角可得， 又， 故， 即，又，则， 故，又，则； （2）①由正弦定理，可得， 则 ， 由，则，故， 则，故； ②由，则， 即，则， 即，由（2）①知， 故，则，故， 故. 17．（25-26高一下·江苏苏州·期中）已知两座平行的高架轨道，（足够长），，分别是两座轨道上的固定检修点，点在线段上，，，，分别为轨道，上的巡检车，两车均在直线的同一侧作业，已知，设，区域为两车的作业协同区，面积记为． (1)若，作业协同区面积，求此时巡检车与检修点的距离； (2)若，求作业协同区的最小值． 【答案】(1)2 (2)当时，取到最小值 【分析】（1）由已知结合正弦定理及三角形面积公式得出的值，即可求解巡检车与检修点的距离； （2）利用正弦定理及三角形面积公式得出，再结合三角恒等变换和正弦函数的性质即可求解最小值． 【详解】（1）因为，则，， 若，则， 在中，由正弦定理， 可得， 在中，由正弦定理， 可得， 则， 由已知得，得，则或， 所以或， 又因为，解得，所以， 所以，即为等边三角形，所以． （2）与（1）同理可得，， 在中，由正弦定理， 可得， 由（1）得，， 则， ， 因为，解得，则， 则， 所以当时，取到最小值． 18．（25-26高一下·江苏·期中）如图，在半径为、圆心角为的扇形的半径上任取一点，过且平行于半径的直线与弧交于点． (1)若为的中点，证明：不是弧的中点； (2)求周长的最大值； (3)作，垂足为，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)证明过程见解析. (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理进行判断；（2）利用平行线性质和正弦定理并设，用三角函数表示各边，得到周长关于的函数；（3）利用三角函数表示出各相关线段长度，进而得到四边形面积关于变量的函数，再利用函数求最值的方法求解最大值. 【详解】（1）证明：已知扇形半径，，，故. 设，则，在中由正弦定理， 代入得. 若为中点，则，得. 若是弧中点，则，此时，矛盾. 因此不是弧的中点. （2）由正弦定理得，周长， 代入得， 化简，， 故，的最大值为（当时取到）. 因此周长最大值为. （3）设，，，故，，.四边形为直角梯形， 由梯形面积公式得， 化简得， 利用三角恒等变换， 由辅助角公式得的最大值为， 因此面积最大值为. 19．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求的大小； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围； (3)若为边上一点（不包含端点），且满足，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换及三角形内角和定理求解即可； （2）求得，利用正弦定理求得，最后利用面积公式求解即可； （3）设，则，，，在、中，利用正弦定理可得出，利用换元法、三角恒等变换及三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 又因为 所以，所以， 所以 （2）因为， 所以， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以，所以，   ，所以. （3）设，则，，， 所以， 在中， 在中，， 作商得 ， 设，因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以 所以. 20．（25-26高一下·江苏泰州·期中）的内角的对边分别为，且. (1)已知. ①若是的角平分线，，求的长； ②若，求面积的最大值. (2)若是边的三等分点（靠近点），，求实数的取值范围. 【答案】(1)① ；② ； (2) 【分析】首先利用正弦定理将题干中的边角关系转化为边的关系式，结合余弦定理求出. （1）①结合角平分线定理、正弦定理以及已知条件求解的长度. ②根据向量关系转化为线段比例，利用向量模长公式结合基本不等式求面积的最大值. （2）根据三等分点的向量关系，结合向量模长公式，通过换元法求解实数的取值范 【详解】（1）， 由正弦定理，可得， 代入得，展开得，整理得. 由余弦定理， ， ① 已知是的角平分线，由角平分线定理得. ，且，，则， 故为等边三角形. 已知，为等边的角平分线、中线和高，故， 代入得，即. 为中点，. ② 当时，，在线段上，且，即. ，， 对等式两边同时平方，得：， 展开得：. 设，，已知，， ，由数量积定义得， 代入得：， 整理得：. 由基本不等式得：，当且仅当时等号成立， ，即， 当时，代入验证得，，等号成立. 的面积， 面积的最大值为. （2）设，，∵ 是边靠近点的三等分点，∴ ， ∴ . ∵ ， ∴ . ∵ ，，且， ∴ ，即. 由余弦定理，∵ ， ∴ ，故. ∵ ，∴ . 令，即，代入得. 设，则. 令，则，代入得. ∵ ，由基本不等式，当且仅当即时取等号， ∴ . 当时，；当时，， ∴ ，故. ∵ ， ∴ ，即. 【点睛】方法归纳：本题综合考查解三角形、向量运算与基本不等式的结合，解题需熟练运用正弦定理、余弦定理进行边角互化，利用向量模长公式转化条件，结合基本不等式求最值，通过换元法求解取值范围. 易错归纳：1. 利用正弦定理求角时易忽略三角形内角范围导致增根； 2. 向量模长计算时易忽略数量积的符号； 3. 求取值范围时易忽略变量的正号限制条件 $专题3 解三角形中的最值与范围问题 总览 题型·解读 【重难点突破】2025-2026学年高一下学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 利用基本不等式求最值 最值范围问题常见处理方法 1、利用基本不等式或常用不等式求最值：化角为边 余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本 不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。 结合余弦定理求周长，面积，中线，角平分线，高线相关最值，对数式子来说适用于和，积，平方和相关 问题 涉及周长，面积，角平分线，中线的最值问题一般通过余弦定理得出等式，再采用常见不等式变形 常见不等式： 边对角型周长、面积最值二级结论：当三角形为等腰三角形时，周长和面积同时取到最大 2、转为三角函数求最值：化边为角 如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边 【题型1】求面积最值 基础知识 公式结论 1面积公式： 2已知角C时：或由余弦定理得 3结合正弦定理转化为三角函数求最值 解题思路 1明确已知条件（角/边）选择合适的面积公式 2利用余弦定理或正弦定理将边的关系转化为可用基本不等式的形式 3套用基本不等式求的最值进而求面积最值 4验证等号成立条件（）是否满足三角形约束 典型例题 【例题 1】（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）的内角的对边分别是，已知． (1)求； (2)若点在边上，为的平分线且长度为1，求； (3)若是边上的一点，且，求的面积的最大值． 【例题2】（25-26高一下·江苏镇江·期中）在四边形中，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三下·陕西商洛·阶段检测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（    ） A．9 B．18 C． D．6 【巩固练习2】（25-26高一下·广东湛江·期中）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且．求： (1)角C及边c的值； (2)的最大值； (3)三角形面积的最大值． 【巩固练习3】（25-26高三下·河南周口·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. (1)求C； (2)若D是边的中点，且，求面积的最大值. 【题型2】 周长相关最值问题 基础知识 公式结论 1周长已知边和角时：或由余弦定理 2基本不等式：代入得可求的范围 3三角形两边之和大于第三边： 解题思路 1利用余弦定理建立与的关系 2用基本不等式将放大为得到关于的不等式 3解不等式得到的最值进而得到周长最值 4结合三角形三边关系验证范围 典型例题 【例题1】（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知的面积为，角、、所对的边分别为、、，且. (1)求； (2)若，，求外接圆半径； (3)若，求周长的最大值. 【例题2】（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）已知中，角所对的边分别为，满足． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最大值； (3)若，为线段上一点，满足，求的面积． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·山东·期中）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. (1)求角及边c的值； (2)求周长的最大值. 【巩固练习2】（25-26高一下·广东东莞·阶段检测）的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求C； (2)若，且的面积为，求，. (3)若，求的周长的最大值. 【巩固练习3】（25-26高一下·江苏扬州·期中）的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求周长的最大值． 【题型3】中线相关最值 基础知识 公式结论 1中线长公式：（为边对应的中线） 2由基本不等式或可求中线的最值 3已知角时代入中线公式转化为的函数 解题思路 1代入中线长公式将问题转化为的最值问题 2结合余弦定理用基本不等式求的最值 3代入中线公式得到中线的最值 4验证三角形存在性（如两边之和大于第三边） 典型例题 【例题1】（2026·天津滨海新区·模拟预测）在中，角所对的边分别为．满足 (1)求角的大小； (2)设，求的值； (3)设，已知是边的中点，求的最大值． 【例题2】（2026·四川·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且为的中点，则的最大值为__________. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三下·福建厦门·月考）已知分别为的内角所对的边，且. (1)求； (2)已知是边的中点，求的最大值. 【巩固练习2】（2026·河南许昌·模拟预测）的内角，，的对边分别为，，.已知，，若是的中点，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 【巩固练习3】（2026·广东肇庆·二模）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求角的值． (2)若的面积为，求线段长度的最小值． 【题型4】角平分线相关最值问题 基础知识 公式结论 1角平分线长公式：（为角对应的角平分线） 2由基本不等式得 3已知角时可由正弦定理转化为三角函数形式 解题思路 1代入角平分线公式利用求最值 2或用正弦定理将转化为三角函数结合三角恒等变换求最值 3注意角的范围（如）确定三角函数的取值范围 4验证等号成立条件（） 典型例题 【例题1】（25-26高一下·安徽宿州·期中）已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为边BC上一点，且AD为的角平分线，若，则最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．6 【例题2】（2026·重庆·模拟预测）已知中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若的角平分线与交于点，且，求的最小值. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·山东枣庄·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足. (1)求角C的大小； (2)若，边上的中线的长为，求的面积； (3)若内角C的角平分线交于D点，且，求的面积的最小值. 【巩固练习2】（25-26高一下·重庆·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)求B； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． (3)若角B的角平分线交AC于D点，求BD长度的最大值． 【巩固练习3】（24-25高一下·江苏南京·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若，D为BC中点，求线段AD长； (3)若该三角形面积为，AD为内角A的角平分线，交BC边于点D，求线段AD长的最大值． 【题型5】与线段相关的最值 基础知识 公式结论 1通用思路：将线段长度用三角形的边或角表示结合基本不等式求最值 2常见转化：利用正弦定理或余弦定理 3基本不等式常用形式： 解题思路 1用正弦/余弦定理将目标线段转化为边或角的函数 2利用基本不等式对边的组合进行放缩 3结合三角形内角和、角的范围确定最值 4验证三角形存在性条件 典型例题 【例题1】（25-26高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知的内角所对的边分别为向量,,且. (1)求角； (2)若,,求的面积； (3)若求的最大值. 【例题2】（25-26高一下·河南信阳·期中）在中，分别为内角的对边，且. (1)求角的大小； (2)若在（1）的条件下，有，求边的最小值. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·浙江温州·期中）已知中，角，，的对边分别为，，，且满足． (1)求角的值． (2)若，求的最大值． 【巩固练习2】（25-26高一下·浙江衢州·期中）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答.①；②；③. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知_________. (1)求角A； (2)若，. （ⅰ）若，求的最大值； （ⅱ）若为锐角三角形，，求实数t的取值范围. 【巩固练习3】（25-26高一下·山东临沂·阶段检测）已知的内角所对的边分别为，向量，且． (1)求角； (2)若，求的面积； (3)若，求的最大值． 模块二 利用三角函数值域函数模型求最值 【题型6】已知一角，另外两角的函数最值 基础知识 公式结论 1三角形内角和：已知角则 2三角函数性质：最大值为（当时） 3最大值为（当时） 解题思路 1利用内角和将两角转化为一个变量（如） 2代入三角函数公式利用和差化积或辅助角公式化简 3结合角的范围（如）求三角函数的最值 4注意三角形为锐角/钝角三角形时的额外限制 典型例题 【例题1】（25-26高一下·重庆·期中）如图，中，角，，的对边分别为，，，，．点在延长线上． (1)若，的角平分线交于点，求线段的长； (2)求的取值范围． 【例题2】（25-26高一下·宁夏·期中）已知锐角三个内角所对的边分别为，且，则的取值范围为________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2026·山东淄博·一模）已知锐角的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足. (1)求角； (2)求的取值范围. 【巩固练习3】（25-26高一下·安徽滁州·阶段检测）已知是锐角三角形，内角的对边分别为，且. (1)求； (2)求的取值范围； (3)若，求边上的中线的取值范围. 【题型7】对角对边型最值 基础知识 公式结论 1正弦定理：已知边和角则 2余弦定理：可转化为关于的不等式 3外接圆半径已知时为定值 解题思路 1用正弦定理将边转化为角的正弦值 2利用三角形内角和化简三角函数表达式 3结合角的范围（如）求最值 4或用余弦定理结合基本不等式求边的最值 典型例题 【例题1】（25-26高三下·青海西宁·开学考试）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，的面积为． (1)求； (2)求a的取值范围． 【例题2】（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三上·安徽六安·期末）已知、、分别为三个内角、、的对边，且. (1)求角； (2)已知，求的取值范围. 【巩固练习2】（25-26高三·全国·二轮复习）在锐角中，，，点是的中点，求的取值范围 【巩固练习3】（25-26高三·全国·二轮复习）在锐角中，已知，且，求周长的取值范围 【题型8】一次比值型最值问题 基础知识 公式结论 1常见形式：利用正弦定理转化为 2和差化积：则比值可化简为 3当时比值取得最大值 解题思路 1用正弦定理将边的比值转化为角的正弦比值 2利用和差化积或辅助角公式化简 3结合角的范围（如）求最值 4注意三角形为锐角/钝角三角形时的额外限制 典型例题 【例题1】（25-26高三上·浙江杭州·期末）在中，角的对边分别为，已知 (1)求证：； (2)若是锐角三角形，求的取值范围． 【例题2】（25-26高三上·广东东莞·期末）已知是锐角三角形，内角、、所对应的边分别为、、.若，则的最小值是____________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026高三上·安徽合肥·专题练习）已知，，分别为锐角三个内角，，的对边，且． (1)求角的大小 (2)求的取值范围． 【巩固练习2】（25-26高二上·广西·月考）在中，角所对应的边分别为，且. (1)求角； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 【巩固练习3】（25-26高三上·河北邢台·期中）在锐角三角形中，内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型9】角对邻边型最值问题 基础知识 公式结论 1已知角和邻边求边的最值：由余弦定理或由正弦定理 2转化为三角函数： 3结合利用的单调性求最值 解题思路 1用正弦定理将边转化为角的函数 2利用三角恒等变换化简表达式 3结合角的范围利用三角函数的单调性求最值 4验证三角形存在性（如） 典型例题 【例题1】（25-26高三上·福建泉州·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 (1)求A； (2)若是锐角三角形，，求面积的取值范围. 【例题2】（24-25高一下·贵州·月考）已知的内角的对边分别为，且 (1)求角； (2)求的取值范围； (3)若是锐角三角形，且，求的取值范围. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三上·广东深圳·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别为，． (1)求角A； (2)若，为锐角三角形，求c的取值范围． 【巩固练习2】（24-25高一下·湖南娄底·期末）在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且边，求面积的取值范围 【巩固练习3】（24-25高一下·山东临沂·期末）已知是锐角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若，求面积的取值范围. 【题型10】锐（钝）角限制的复杂型最值 基础知识 公式结论 1锐角三角形：所有角即对应余弦值 2钝角三角形：有一个角其余角对应钝角的余弦值 3结合正弦定理余弦定理（锐角）或（钝角） 解题思路 1先利用正弦/余弦定理将目标转化为三角函数形式 2根据锐角/钝角条件列出角的范围限制 3结合三角函数的单调性或辅助角公式求最值 4注意多个角的范围交集避免遗漏限制条件 典型例题 【例题1】（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别为. (1)若顶点的坐标为，求的面积； (2)若，求锐角周长的取值范围. 【例题2】（24-25高一下·四川成都·期末）锐角的内角所对应的边分别为，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高一下·福建漳州·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． (1)求A； (2)若D为中点，且，求的周长； (3)若是锐角三角形，求面积的取值范围． 【巩固练习2】（24-25高一下·广东广州·期末）已知是钝角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的周长的取值范围为__________. 【巩固练习3】（24-25高二下·云南临沧·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)若，求a； (2)若为钝角三角形，求面积的取值范围． 模块三 其它最值问题 【题型11】二次比值型最值问题 基础知识 公式结论 1常见形式：利用正弦定理转化为 2三角恒等变换：或用余弦定理转化为边的关系 3结合基本不等式或导数法求最值 解题思路 1用正弦定理将边的二次比值转化为角的正弦平方比值 2利用降幂公式、和差化积化简表达式 3结合角的范围利用三角函数的单调性或基本不等式求最值 4或用余弦定理转化为边的二次式用代数方法求最值 典型例题 【例题1】（25-26高一下·重庆·期中）钝角的内角，，的对边分别为，，，满足，则的取值范围为（    ） A．（0，1） B． C． D． 【例题2】（25-26高一下·山西长治·期中）在中，内角的对边分别为，已知 . (1)求角的值； (2)若为锐角三角形，，求的面积的取值范围； (3)若恒成立，求实数的最小值. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·河南南阳·二模）已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且，. (1)求； (2)求的取值范围. 【巩固练习2】（25-26高一下·山西·期中）定义：设为坐标原点，若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． (1)若向量为函数的伴随向量，求的坐标； (2)若函数为向量的伴随函数，在中，内角的对边分别为，恰好为函数的最大值． （ⅰ）若，的角平分线交于点，，求的最大值； （ⅱ）若，在锐角中，求的范围． 【巩固练习3】（25-26高一下·重庆·阶段检测）在中，角，，所对应的边分别为，，，的面积为． (1)若为锐角三角形，且满足， ①求证：； ②设，求的取值范围； (2)求的最大值． 【题型12】非常规型（复杂）基本不等式求最值 基础知识 公式结论 1常见形式：或含多个边的混合式 2常用基本不等式： 3结合余弦定理消元转化为单变量函数 解题思路 1利用余弦定理消元将问题转化为两个变量的问题 2套用合适的基本不等式进行放缩 3验证等号成立条件（如）是否满足三角形约束 4无法直接用基本不等式时可转化为函数用导数求最值 典型例题 【例题1】（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）的内角，，所对的边分别为，，，其面积为，若点满足，且，则的最大值为________． 【例题2】（25-26高一下·湖南·阶段检测）在中，，，则实数的最小值为____________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·贵州贵阳·模拟预测）中，角，，所对的边分别为，，，若的面积是2，则的最小值是________. 【巩固练习2】（25-26高一下·安徽蚌埠·期中）已知的内角的对边分别为，若，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【巩固练习3】（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）已知的内角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（    ）． A．1 B． C． D．5 【题型13】化为对勾（或二次函数）函数求最值 基础知识 公式结论 1对勾函数标准形式 极小值点 最小值 2单调区间 单调递减 单调递增 3三角形常用变形 由正余弦定理消元后整理成单变量分式结构 凑出经典对勾结构 4隐含限制 边长大于0满足三角形三边关系角的取值范围 解题思路 1依据题干条件用正弦定理或余弦定理统一变量 2消去多余边或角整理成只含单一自变量的表达式 3分离常数配方变形化成标准对勾函数形式 4结合三角形约束条件确定自变量准确取值范围 5对照对勾函数单调性确定最值位置 6代入计算最值检验三角形存在性 典型例题 【例题1】（25-26高一下·山东济宁·期中）已知函数，若将其图象向左平移个单位得到函数的图象.在钝角中，内角的对边分别是，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2026·湖南郴州·模拟预测）在锐角中，角的对边分别为.已知成等差数列，且，若O是外接圆的圆心，则和面积之差的取值范围为________. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·湖北武汉·一模）在锐角中，角，，的对边分别为，，．已知，，成等差数列，且，若是外接圆的圆心，则的取值范围为_________________. 【巩固练习2】（25-26高一下·山东青岛·期中）已知分别为三个内角的对边，，则的取值范围为__________． 【巩固练习3】（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，在平面内以线段为斜边作等腰直角（点和点在线段两侧）．记，． (1)证明：； (2)当角在变化时， （ⅰ）求边上高的取值范围； （ⅱ）若，，三点不共线，求正切值的取值范围． 【题型14】复合图形中的最值问题 基础知识 公式结论 1常见复合图形：三角形与圆、三角形与平行四边形、三角形与线段交点 2常用转化：利用圆的性质（如直径所对圆周角为直角）、相似三角形、勾股定理 3结合正弦定理、余弦定理和基本不等式 解题思路 1分析复合图形的几何性质找到与三角形相关的等量关系 2利用几何性质将目标线段或面积转化为三角形的边或角的函数 3套用基本不等式或三角函数模型求最值 4验证图形存在性（如圆与直线的位置关系） 典型例题 【例题1】（25-26高一下·广东·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，满足，. (1)求； (2)若为锐角三角形，且外接圆圆心为. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）求取值范围（、分别表示和的面积）. 【例题2】（25-26高一下·河南南阳·期中）在中，若点P满足，则点P称为的布洛卡点，角为的布洛卡角．已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点P是的布洛卡点． (1)若△ABC为正三角形，求； (2)已知 ①求证：； ②若，，求面积的最大值． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·湖南长沙·期中）如图，已知的内角所对的边分别为，且，动点在的外接圆上，且点和点位于边的两侧，连接，已知．    (1)判断的形状； (2)若，求四边形的面积； (3)求的最大值． 【巩固练习2】（25-26高一下·江苏常州·期中）若一个平面四边形对边不相交且任意三边都在第四条边所在直线的一侧，则称其为平面凸四边形.容易知道，与之等价的说法为：若一个平面四边形对边不相交且每个内角都小于，则称其为平面凸四边形.图①，②给出了两个非平面凸四边形的例子.如图③，在平面凸四边形中，，设. (1)求和的取值范围； (2)求的取值范围； (3)试用表示的面积，并指出取何值时的面积最大. 【巩固练习3】（25-26高一下·江苏南京·月考）如图，有一块矩形铁皮，其中百米，百米（其中，常数）.阴影部分是一个半径为3百米的扇形，为专属儿童活动区域.投资商打算其余部分划出一块矩形区域改造为餐饮区，其边分别落在与上，同时点在弧上.设，矩形的面积为S万平方米. (1)求S关于的函数表达式； (2)当时，求S的最小值，并求出当S取得最小值时，所对应的的值. 【题型15】实际问题中的最值问题 基础知识 公式结论 1常见场景：测量、航行、几何构造等核心是建立三角形模型 2常用公式：正弦定理、余弦定理、面积公式、基本不等式 3注意实际意义：边长为正、角度在内结果需符合实际场景 解题思路 1根据实际问题画出示意图建立三角形模型 2用正弦/余弦定理将目标表示为边或角的函数 3结合实际限制条件（如距离、角度范围）求最值 4验证结果是否符合实际意义 典型例题 【例题1】（25-26高一下·湖南·期中）为建设美丽乡村，某镇政府拟将一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为桃树林和散养走地鸡，区域为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域为小型鱼塘供休闲垂钓.已知. (1)若，求和的长度； (2)当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？ 【例题2】（25-26高一下·上海·期中）如图所示，公路一侧有一块空地，其中 ， ，，规划局设计在中间开挖人工湖，、都在边上，（、不与、重合，在、之间），且. (1)若在距离点处，求的长度； (2)为节省投入资金，要让人工湖的面积尽可能小，设，试确定的值，使的面积最小，并求出最小面积. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·上海·期中）如图，某大型商场一楼大厅的局部是等腰直角三角形，商场管理部门拟用围栏在其中围出一个三角形区域，供商家开展促销活动．已知（米），分别在上，为的中点，，当． (1)当时，求三角形的周长；（精确到0.01米） (2)用表示三角形的面积，并求的最小值．（精确到0.01平方米） 【巩固练习2】（25-26高一下·山东枣庄·期中）“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将连接，设中边BD所对的角为A，中边所对的角为C，经测量知，. (1)若，求角C； (2)霍尔顿发现无论多长，是一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值； (3)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值. 【巩固练习3】（25-26高一下·北京朝阳·月考）某城市公园计划将园内三角形区域（如图）．建造为多功能区，其中米，米，． (1)求的长度； (2)公园拟在边上设置休息点与不重合，同时将修建为三种不同功能的AI智慧步道，其每米造价分别为0.1万元，0.2万元，0.3万元．记，三段智慧步道的造价总和记为（单位：万元）． ①将表示为的函数； ②若不超过96万元，求的最大值． 【题型16】四边形对角线模型最值 基础知识 公式结论 1四边形对角线：设四边形对角线为夹角为面积 2利用余弦定理：在四边形中 3结合基本不等式或由三角形两边之和大于第三边求对角线范围 解题思路 1将四边形分解为两个三角形利用三角形的边和角建立关系 2用余弦定理表示对角线的关系 3套用基本不等式或三角函数模型求对角线的最值 4验证四边形存在性（如三角形两边之和大于第三边） 典型例题 【例题1】（25-26高一下·重庆·期中）如图，在四边形中，，为等边三角形，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【例题2】（25-26高一下·重庆·期中）在中，已知，的面积满足：. (1)求的值； (2)如图所示，为线段上一点，延长至点，使得，记. （ⅰ）用含的式子分别表示与的面积； （ⅱ）若，求实数的最大值. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·四川绵阳·月考）如图所示，若，，点与分别在直线两侧，且，则的最大值为__________ ． 【巩固练习2】（25-26高一下·四川成都·期中）如图，已知的三边所对的角分别为以为一边作等边，位于边两侧，连结交CB于O点. (1)若，求的值. (2)若，，求： （i）的值; （ii）记，求面积关于的函数表达式，并求的最大值. 【巩固练习3】（2026·湖南·模拟预测）如图所示，若，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为______． 课后过关检测 一、多选题 1．（2026·山西朔州·二模）在锐角中，内角所对的边分别是，记的面积为，周长为，重心为，若，，则（    ） A． B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的最小值为 2．（25-26高一下·四川绵阳·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是（ ） A． B．若，则周长的最大值为 C．若为锐角三角形，且，则的取值范围为 D．若的外心为，则 二、填空题 3．（25-26高一下·广东江门·期中）如图为某公园的绿化示意图，准备在道路的一侧进行绿化，线段长为，，设.为了方便游人散步，现要搭建一条栈道，栈道由线段，和组成，若，栈道的总长为，则的最大值=__________. 三、解答题 4．（25-26高一下·山东枣庄·期中）如图，在中，，，且．为线段上的两个动点（在的右侧），且，记． (1)若时，求的周长； (2)若的面积是的面积的倍，求的大小； (3)当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？ 5．（25-26高一下·广东东莞·期中）在△ABC中，角，，的对边分别为，，．且满足． (1)求角的大小； (2)若的面积，内切圆的半径为，求； (3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 6．（2026·山东威海·二模）在中，角所对的边分别为，且． (1)求； (2)如图，已知为外一点，，，，求平面四边形面积的最大值． 7．（25-26高一下·吉林·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． (1)求角A； (2)若D是线段的中点，且，求； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围． 8．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知中，角的对边分别是，且． (1)求角的大小； (2)若，的面积，求边的长； (3)如图，作（位于直线异侧），使得四边形满足，，求边的最大值． 9．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求的值； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． (3)若，当的周长最小时，求的值． 10．（25-26高三下·广东揭阳·阶段检测）记的内角的对边分别为．已知，，且为锐角三角形． (1)求； (2)求的取值范围． 11．（25-26高一下·河北邢台·期中）已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若，求的取值范围． 12．（25-26高一下·河南郑州·期中）已知三内角A，B，C所对边分别是a，b，c．若，且． (1)求角； (2)求的最大值． 13．（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期中）在中，角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若，，的平分线交边于点，求的长； (3)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 14．（25-26高一下·四川巴中·期中）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足. (1)求证：； (2)若，求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 15．（25-26高一下·福建莆田·期中）在中，角A，B，C的对边分别为的面积为．已知． (1)若，求的值； (2)若，求的最小值； (3)若分别在边上，且，求面积的最小值． 16．（25-26高一下·江苏苏州·期中）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，. (1)求的大小； (2)设的角平分线交于点. ①求面积的取值范围 ②求线段长的取值范围. 17．（25-26高一下·江苏苏州·期中）已知两座平行的高架轨道，（足够长），，分别是两座轨道上的固定检修点，点在线段上，，，，分别为轨道，上的巡检车，两车均在直线的同一侧作业，已知，设，区域为两车的作业协同区，面积记为． (1)若，作业协同区面积，求此时巡检车与检修点的距离； (2)若，求作业协同区的最小值． 18．（25-26高一下·江苏·期中）如图，在半径为、圆心角为的扇形的半径上任取一点，过且平行于半径的直线与弧交于点． (1)若为的中点，证明：不是弧的中点； (2)求周长的最大值； (3)作，垂足为，求四边形面积的最大值． 19．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求的大小； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围； (3)若为边上一点（不包含端点），且满足，求的取值范围. 20．（25-26高一下·江苏泰州·期中）的内角的对边分别为，且. (1)已知. ①若是的角平分线，，求的长； ②若，求面积的最大值. (2)若是边的三等分点（靠近点），，求实数的取值范围. $