21.3.3 正方形（分层题型专练，7夯基题型+10进阶题型+拓展培优）2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 以“性质理解-技能应用-综合拓展”为分层逻辑，覆盖正方形性质、判定及综合应用，通过对比辨析、阶梯计算、复杂情境问题培养抽象能力、运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|正方形性质辨析、简单判定条件|通过与矩形、菱形性质对比题（如性质异同选择）强化概念理解，培养抽象能力| |技能应用|角度/线段/面积计算、基础证明|结合图形的阶梯式计算题（如由边长求对角线到中点模型求线段），提升运算能力与几何直观| |综合拓展|折叠/动点/最值问题、跨知识点证明|复杂情境题（如折叠后角度计算、动点形成平行四边形），发展推理能力与创新意识|

第二十一章 四边形 21.3.3 正方形 （分层题型专练） 题型一 对正方形性质的理解 1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（  ） A．对角相等 B．对角线相等 C．邻边互相垂直 D．对角线互相垂直 2．正方形具有而矩形不具有的性质是（   ） A．对角相等 B．四角相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 3．下列性质中正方形具有而菱形没有的是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．一条对角线平分一组对角 4．正方形的性质∶ ①边∶_______都相等且_______； ②角：四个角都是_______； ③对角线：两条对角线互相_______且_______，并且每一条对角线平分_______； ④正方形既是_______图形，又是_______图形，正方形有_______对称轴． 题型二 利用正方形的性质求角度 1．如图，正方形的对角线相交于点O，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，点是正方形的对角线上一点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，四边形是正方形，是等边三角形，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是___________． 5．如图，在正方形中，F是对角线上一点，连接，延长交于点E．若，求的度数． 题型三 利用正方形的性质求线段长 1．若正方形的边长为3，则它的对角线长为（   ） A． B． C． D． 2．正方形一条对角线长为，则周长为（    ） A．4 B． C．8 D． 3．正方形的对角线长度为2，则其边长为（   ） A．2 B． C．1 D． 4．如图所示，在正方形中，E，F分别是的中点，若，则的长是________． 5．如图，四边形是正方形，，是对角线上一点，过点作于点于点，若，求的长． 6．如图，在正方形ABCD中，，E是AD的中点，点A关于BE的对称点为F，则DF的长为______． 7．如图，正方形中，是上的一点，连接，过点作，垂足为点，延长交于点，连接．若正方形边长是5，，求的长． 题型四 利用正方形的性质求面积 1．正方形的一条对角线长为4，则该正方形的面积是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 2．如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积和为（    ） A．313 B．225 C．169 D．144 3．如图,分别以三边为边向外作三个正方形,其面积分别用,,表示,已知,,则的值为（    ）． A． B． C． D． 4．如图，和以为边的正方形，已知，，，求正方形的面积．    5．如图，正方形的顶点C在直线a上，且直线a于M，直线a于N． (1)求证： (2)若点B，D到a的距离分别是1，2，求正方形的面积． 题型五 利用正方形的性质进行证明 1．如图：正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，以为边，向外作正方形，对角线，交于点．求证：与互补． 3．如图，四边形ACMF、BCNE 是两个正方形．求证：AN＝BM．      4．如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），，且．求证：四边形ABCD是正方形． 5．如图，在正方形中，是上一点，连接，以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，连接，求证：． 题型六 添加一个条件使得四边形是正方形 1．如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ）． A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，对角线，相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（    ）    A． B． C． D．平分 3．如图，由菱形通过添加一个合适的条件得到正方形．你所添加的一个条件是________．    4．如图，在中，对角线，请你添加一个条件，使得四边形是正方形，你添加的条件是______．（答案不唯一，写出一个即可） 5．如图，在中，对角线相交于点O，，不增添辅助线的情况下，添加一个条件，使得四边形为正方形，你添加的是______．（写出一个即可） 题型七 证明四边形是正方形 1．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，且为的平分线，求证：平行四边形为正方形．    2．如图，图中每个小正方形的边长均为1，四边形的四个顶点都在格点（小正方形顶点）上．判断四边形的形状，并说明理由． 3．如图，已知四边形和均是正方形，点在上，延长到点，使，连接，，，．求证：    (1)； (2)四边形是正方形． 4．如图，在和中，，，，为边上一点． (1)求证： (2)若点是的中点，求证：四边形是正方形． 题型一 对特殊平行四边形的判定定理理解 1．下列命题中，不正确的是（   ） A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线相等的矩形是正方形 D．对角线相等的菱形是正方形 2．下列命题是真命题的是（   ） A．有一组对边平行的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形 D．有一组邻边相等的四边形是菱形 3．下列说法中，正确的是（   ）． A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 4．下列命题中正确的是（   ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形或等腰梯形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 5．如图，四边形是平行四边形，下列说法不正确的是（   ） A．当时，四边形是矩形 B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是正方形 题型二 正方形的性质与判定综合求角度 1．将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，，，则的度数是_______°． 3．如图，在矩形中，．若点P满足，且，则__________．    4．如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 题型三 正方形的判定与性质综合求线段长 1．如图，在正方形中，点在对角线上，分别为垂足，连结，若，则（　　） A． B． C． D． 2．如图，点E是正方形对角线上一点，过E作交于F，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在正方形中．若以为底边向其形外作等腰直角，连接，则的长为______． 4．如图，中，已知，于，，，把、分别以、为对称轴翻折变换，点的对称点为，，延长、相交于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）求的长． 5．如图，在矩形中，点E，F分别在，上，连接，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求矩形的周长． 题型四 正方形的判定与性质综合求面积 1．如图，在五边形中，，，，，连结，．若，则的面积为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 2．如图，正方形的周长为，顺次连接正方形各边中点、、、，得到四边形的面积等于__________．    3．我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，成为中国古代数学成就的标志之一、如图，若弦图中四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则中间小正方形的面积为___．（用含的代数式表示） 4．如图，，平分，直角三角板的直角顶点P在射线上移动，两直角分别与相交于点C、D． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 5．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O． (1)求证：四边形ADCE是矩形． (2)若∠AOE=90°，AE=2时，四边形AECD是什么四边形，并求ABCE的面积． 题型五 中点四边形 1．如图，菱形的两条对角线相交于O，若，顺次连接菱形各边中点所围成的四边形的面积是（   ） A．10 B．12 C．20 D．24 2．学校矩形操场的四条边中点各立一个篮球架，现在用绳子把四个篮球架连起来，平面示意图如图所示．则绳子围成的四边形的形状一定是（    ） A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．对角线相等的四边形 3．如图，点，，，分别为四边形的四条边，，，的中点，若，则四边形的周长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．4.5 4．顺次连接任意一个四边形各边的中点所得的四边形叫做四边形的中点四边形，矩形的中点四边形是___________． 5．如图，已知第1个矩形的面积为，依次连接第1个矩形各边中点得到1个菱形，再依次连接菱形各边中点得到第2个矩形，按此方法继续下去，则第个矩形的面积为________． 6．如图：顺次连接矩形A1B1C1D1四边的中点得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点得四边形A3B3C3D3，…，按此规律得到四边形AnBnCnDn．若矩形A1B1C1D1的面积为8，那么四边形AnBnCnDn的面积为______． 题型六 折叠问题 1．如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 2．如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为．若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 3．已知正方形，点E、F、M、N、G、H是正方形边上的点，点P是正方形内一点．如图（1），将正方形沿过P点的线段折叠，使点E落在上点E′，如图（2），展开后沿过P点的线段折叠，使点G落在上点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再一次折叠纸片，使点B落在上的点H处，折痕为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，是射线上一点，将沿折叠，得到，连接．当为直角三角形时，的度数为________． 6．如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为的正方形纸片，沿着边上一点E与点A的连线折叠，点是点B的对应点，延长交DC于点G，，则的长为______． 7．如图，在正方形的边上取一点，连接，将沿翻折，点恰好与对角线上的点重合，连接，若，则的面积是________． 8．如图，正方形中，是边上的一点，将沿折叠，使点落在点处，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求证：为的中点． 题型七 利用对称性求面积 1．如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 3．如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 4．如图，边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，此时阴影部分的面积为________cm2 5．如图，将5个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点是正方形的中心，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为_____． 题型八 动点问题 1．如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点的运动时间为（单位：），下列结论正确的是（    ） A．当时，四边形为矩形 B．当时，四边形为平行四边形 C．当时，或 D．当时，或 2．如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 3．如图，四边形中，AD//BC，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为，则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（    ） A． B．3 C．3或 D．或 4．如图在矩形中，，，为的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，若点运动的时间为秒，则当的面积为时，值为________．    5．如图，在长方形中，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当点的运动速度是______时，与全等．    题型九 最值问题 1．如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是，上的动点，M，N分别是，的中点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 2．如图，已知正方形的边长为4，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是（    ） A．5 B．10 C．12 D．14 4．如图，在矩形中，，，点E为中点，P、Q为边上两个动点，且，当四边形周长最小时，的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，已知正方形的对角线交于O，G是的中点，线段（点在点的左边）在直线上运动，连结，若，则的最小值是______． 6．如图，∠AOB＝30°，OB＝4，点P为射线OA上任意一点，连接PB．以PO、PB为邻边作平行四边形POQB，连接PQ，则线段PQ的最小值为_____． 7．如图，在长方形中，是的中点，是上任意一点．若，，则的最小值为________，最大值为________． 题型十 正方形的判定与性质综合证明 1．已知，如图，在正方形中，点分别在上，且．求证：四边形是正方形． 2．如图，在菱形中，对角线、交于点．过作平行线，过作平行线，两平行线交于点．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若四边形为正方形时，请直接判断四边形的形状． 3．如图，中，对角线、交于点，在上截取． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求证：平分． 4．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且，求证：． 5．如图,在正方形中,､､､分别是各边上的点,且． 求证:（1）; （2）四边形是正方形． 1．如图，四边形为菱形，，两点的坐标分别是、，点，在坐标轴上，点在上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，，是正方形的边的三等分点，是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是（   ）． A． B． C． D． 3．如图，在正方形中，为边上一点，连接．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与相交于；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点（在上方），作射线；④以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，连接与边相交于点，连接．若，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在正方形纸片中，对角线、交于点，折叠正方形纸片．使落在上，恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交，于点、，连接，有下列结论：①；②；③四边形是菱形；④．其中正确结论的序号是（    ） A．②④ B．①③④ C．①③ D．①④ 5．如图，等边三角形的三个顶点都在边长为1的正方形的边上．对于这样的等边三角形，给出以下结论： ①等边三角形有无数个； ②等边三角形的周长的最小值为3； ③等边三角形的面积的最大值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6．如图，在正方形中，分别以A，D为圆心，以的长为半径作弧，两弧交于点E，连接，，则________． 7．如图，分别为四边形各边的中点，当四边形满足条件_________时，四边形是菱形；当四边形满足条件________时，四边形是矩形．（请填上你认为正确的一个条件即可） 8．如图，在四边形中，，，，、分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过_________秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 9．如图，中，外角的平分线交于点A，过点A分别作直线的垂线，B，D为垂足． (1)求的度数； (2)①求证：四边形是正方形； ②若，求的值． 10．已知：如图，在四边形中，，，，，，点从出发，以的速度向点运动，点从出发，以的速度向运动，其中一动点到达端点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为． (1)经过多少时间，四边形是平行四边形？ (2)在运动过程中，需经过多长时间才能使？ 11．如图，已知，在外分别作正方形和正方形，连接，． (1)判断线段和的关系，并说明理由； (2)如图，依次连接，，，当时，四边形的面积是____． (3)若，以为边作正方形，过点作的垂线交于点，交于点．请根据以下提示完成勾股定理的证明，即证明． 提示：，，又，从而得，同理，． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 四边形 21.3.3 正方形 （分层题型专练） 题型一 对正方形性质的理解 1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（  ） A．对角相等 B．对角线相等 C．邻边互相垂直 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】对比正方形和矩形的性质，逐一分析选项，即可得到答案． 【详解】解：由于对角相等、对角线相等、邻边互相垂直均为矩形的性质， ∵正方形是特殊的矩形，正方形也具有这些性质， ∴选项不符合题意， ∵正方形的对角线互相垂直，矩形只有是正方形时对角线才互相垂直，普通矩形对角线不互相垂直， ∴对角线互相垂直是正方形具有而矩形不一定具有的性质， ∴选项符合题意． 2．正方形具有而矩形不具有的性质是（   ） A．对角相等 B．四角相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 【答案】C 【分析】本题考查正方形与矩形的性质，对比两种图形的性质，找出正方形具有而矩形不具有的性质即可判断． 【详解】∵正方形的性质为对角相等，四角相等，对角线互相垂直平分且相等， 矩形的性质为对角相等，四角相等，对角线互相平分且相等，对角线不互相垂直， ∴正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直， 故选C． 3．下列性质中正方形具有而菱形没有的是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．一条对角线平分一组对角 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，根据正方形和菱形的性质解题即可． 【详解】解：A、菱形和正方形的对角线都互相平分，不符合题意； B、正方形的对角线都相等，菱形的对角线不一定相等，符合题意； C、正方形与菱形的对角线都互相垂直，不符合题意； D、菱形和正方形的一条对角线都平分一组对角，不符合题意； 故选：B． 4．正方形的性质∶ ①边∶_______都相等且_______； ②角：四个角都是_______； ③对角线：两条对角线互相_______且_______，并且每一条对角线平分_______； ④正方形既是_______图形，又是_______图形，正方形有_______对称轴． 【答案】 四条边 对边平行 直角 垂直平分 相等 一组对角 中心对称 轴对称 四条 【解析】略 题型二 利用正方形的性质求角度 1．如图，正方形的对角线相交于点O，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四边形为正方形，得到，平分，即可求出． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，平分， ∴． 2．如图，点是正方形的对角线上一点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握正方形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．根据正方形性质得，在中，，根据三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】解：四边形为正方形， ， 在中，， ． 故选：． 3．如图，四边形是正方形，是等边三角形，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质．先根据正方形的性质得到，，再根据等边三角形的性质得到，，所以，，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算的度数，进而可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D 4．在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是___________． 【答案】22.5°/22.5度 【分析】由AB=AE，在正方形中可知∠BAC=45°，进而求出∠ABE，又知∠ABE+∠EBC=90°，故能求出∠EBC． 【详解】解：∵正方形ABCD中，E是对角线AC上一点， ∴∠BAC=45°， ∵AB=AE， ∴∠ABE=∠AEB=67.5°， ∵∠ABE+∠EBC=90°， ∴∠EBC=22.5°， 故答案为：22.5°． 【点睛】本题主要考查了正方形的对角线平分对角的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是正确求出∠ABE的度数． 5．如图，在正方形中，F是对角线上一点，连接，延长交于点E．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，根据题意得到，证明，求出，再由三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：四边形是正方形，是对角线上一点， ． 又， ． ． ． 题型三 利用正方形的性质求线段长 1．若正方形的边长为3，则它的对角线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的四边相等，每个角都是直角以及勾股定理求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为3， ∴它的对角线长为． 2．正方形一条对角线长为，则周长为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】利用正方形四角为直角的性质，结合勾股定理求出边长，再计算周长即可得到结果． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵正方形的四个内角都是直角，对角线长为， ∴根据勾股定理得， 整理得， ∵边长为正数， ∴， ∴正方形的周长为． 3．正方形的对角线长度为2，则其边长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理和正方形的性质，灵活运用所学知识点是解题关键． 根据正方形对角线的长度和正方形的边长相等，利用勾股定理可求出边长，即可求出答案． 【详解】解：设正方形的边长为x， ∵正方形的对角线为2， ∴由勾股定理得：， 解得：（负值舍去）， 故选：D． 4．如图所示，在正方形中，E，F分别是的中点，若，则的长是________． 【答案】10 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理；连接，由三角形中位线定理得；再由正方形的性质即可求得的长． 【详解】解：如图，连接， ∵E，F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴； ∵四边形是正方形， ∴． 故答案为：10． 5．如图，四边形是正方形，，是对角线上一点，过点作于点于点，若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据四边形是正方形，，证明四边形是矩形，四边形是矩形，得，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图，延长，交于点． 四边形是正方形， ． ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ． ， ， ． 6．如图，在正方形ABCD中，，E是AD的中点，点A关于BE的对称点为F，则DF的长为______． 【答案】 【分析】连接AF，交BE于点G，首先求出，再运用勾股定理求DF即可． 【详解】解：连接AF，交BE于点G， 由题意可知，， 在中，由勾股定理可得 ， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴为直角三角形， 由勾股定理可得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方的性质以及对称的性质，解题的关键是正确理解对称的性质，作出辅助线，运用勾股定理求解． 7．如图，正方形中，是上的一点，连接，过点作，垂足为点，延长交于点，连接．若正方形边长是5，，求的长． 【答案】 【分析】先证明，得到，于是，利用勾股定理解答即可． 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形，正方形边长是5， ∴， ∵， ∴ 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型四 利用正方形的性质求面积 1．正方形的一条对角线长为4，则该正方形的面积是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】正方形是特殊的菱形，可利用菱形面积等于对角线乘积一半的公式计算，正方形对角线长度相等，代入已知对角线长度即可求解． 【详解】解：∵正方形是特殊的菱形，且正方形的对角线长度相等，该正方形一条对角线长为4， ∴该正方形另一条对角线长也为， 根据菱形面积公式，得该正方形面积 ． 2．如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积和为（    ） A．313 B．225 C．169 D．144 【答案】B 【分析】利用勾股定理，结合正方形面积公式求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴． ∵正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形和正方形的面积和为． 3．如图,分别以三边为边向外作三个正方形,其面积分别用,,表示,已知,,则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理及正方形面积公式．根据题意是直角三角形和三个四边形均是正方形,利用勾股定理公式及正方形面积公式即可得出答案． 【详解】解:∵分别以三边为边向外作三个正方形, ∴根据勾股定理得:, 又∵,, ∴,,, ∴, ∴, 故选:C． 4．如图，和以为边的正方形，已知，，，求正方形的面积．    【答案】正方形的面积是 【分析】根据勾股定理求得的长，然后根据正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：，，， ． 四边形是正方形， 正方形的面积是． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 5．如图，正方形的顶点C在直线a上，且直线a于M，直线a于N． (1)求证： (2)若点B，D到a的距离分别是1，2，求正方形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形的性质可得，从而得到，再由直线，直线a，可得，从而得到，可证明，即可求证； （2）根据题意可得，，从而得到，再由勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵直线，直线a， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点B，D到a的距离分别是1，2， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的面积． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 题型五 利用正方形的性质进行证明 1．如图：正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，正方形的对角线互相垂直平分且相等，正方形的一条对角线平分正方形的一组对角，据此可得答案． 【详解】解：∵正方形的对角线与相交于点O， ∴，，， ∴， ∴说法不正确的只有D选项， 故选：D． 2．如图，在中，，以为边，向外作正方形，对角线，交于点．求证：与互补． 【答案】见解析 【分析】根据正方形的对角线互相垂直得到，再根据四边形的内角和是求解即可． 【详解】证明：由四边形的内角和为360°可得四边形的内角和为， 四边形是正方形， ， ， ， 与互补． 【点睛】本题考查正方形的性质、四边形的内角和问题，熟知正方形的对角线互相垂直以及四边形的内角和为是解答的关键． 3．如图，四边形ACMF、BCNE 是两个正方形．求证：AN＝BM．      【答案】见解析 【分析】根据正方形的性质可证得 ，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ACMF和四边形CBEN都是正方形， ∴AC＝CM， NC ＝BC，∠ACM＝∠BCN＝90°，∠MCN＝∠NCM ∠ACN＝∠BCM ， ∴ ∴AN＝BM 【点睛】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定定理． 4．如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），，且．求证：四边形ABCD是正方形． 【答案】证明见解析． 【分析】可作于点，由可得，进一步可得，从而可得，再根据四边形ABCD是矩形即可得到结论． 【详解】证明：如图，作于点， ∵四边形是矩形，∴，∴， ∴，，∠ABC=90° ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴ ∴矩形是正方形． 【点睛】本题考查了正方形的性质，熟记正方形的性质是解题的关键． 5．如图，在正方形中，是上一点，连接，以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关知识是解决问题的关键．先利用正方形性质证明，得到，从而完成证明． 【详解】证明： 在正方形中，，， 由作法可知，， 在和中， ， ∴ ， ∴， 题型六 添加一个条件使得四边形是正方形 1．如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】掌握正方形的判定条件是解题的关键． 有一组邻边相等的矩形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形． 【详解】解：在矩形中， 当时不能判定四边形是正方形，故A不符合题意； 当时，四边形是正方形，故B符合题意； 当时不能判定四边形是正方形，故C不符合题意； 当时不能判定四边形是正方形，故D不符合题意． 2．如图，在菱形中，对角线，相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（    ）    A． B． C． D．平分 【答案】A 【分析】根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件． 【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等． 即或． 故选：A 【点睛】本题比较容易，考查特殊四边形的判定，解题的关键是根据菱形的性质及正方形的判定解答． 3．如图，由菱形通过添加一个合适的条件得到正方形．你所添加的一个条件是________．    【答案】有一个内角为90度或对角线相等，答案不唯一 【分析】根据菱形的判定即可求解． 【详解】解：有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形， 故答案为：有一个内角为90度或对角线相等，答案不唯一． 【点睛】本题考查了正方形的判定,熟练掌握正方形的判定是解题的关键． 4．如图，在中，对角线，请你添加一个条件，使得四边形是正方形，你添加的条件是______．（答案不唯一，写出一个即可） 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，根据正方形的性质即可解答． 【详解】解：在中，若对角线，则为矩形， 要使它为正方形，则一组邻边相等即可， 故答案为：． 5．如图，在中，对角线相交于点O，，不增添辅助线的情况下，添加一个条件，使得四边形为正方形，你添加的是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了正方形的判定的应用，根据题意得四边形是菱形，再添加即可判断四边形为正方形． 【详解】解：在中，对角线相交于点O，， 所以，四边形是菱形， 添加，则四边形为正方形． 故答案为：（答案不唯一） 题型七 证明四边形是正方形 1．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，且为的平分线，求证：平行四边形为正方形．    【答案】详见解析 【分析】先证明，则平行四边形为矩形，再证明，即可得到结论． 【详解】证明：四边形为平行四边行， ，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 平行四边形为矩形， 为的平分线， ， ∴， ， ∴平行四边形为正方形 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、矩形的判定、正方形的判定、等角对等边等知识，熟练掌握正方形的判定是解题的关键． 2．如图，图中每个小正方形的边长均为1，四边形的四个顶点都在格点（小正方形顶点）上．判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】正方形，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，菱形与正方形的判定，掌握先通过勾股定理计算边长判断菱形，再用勾股定理逆定理判断直角，从而确定正方形是解题的关键． 连接对角线，用勾股定理计算四边形各边长度，先判断四边相等为菱形，再通过勾股定理逆定理判断有一个角为直角，从而确定四边形为正方形． 【详解】解：四边形是正方形． 理由：如图，连接． 由勾股定理，得，， ∴四边形是菱形． ， 是直角三角形，且， ∴四边形是正方形． 3．如图，已知四边形和均是正方形，点在上，延长到点，使，连接，，，．求证：    (1)； (2)四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用正方形的性质结合全等三角形的判定方法证明可证明结论； （2）由全的性质可得，同理可证得，再利用正方形的判定方法得出答案． 【详解】（1）解：证明：四边形和都是正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：， ． ， 同理可得：， ， 四边形是正方形． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定等知识，得出：是解题关键． 4．如图，在和中，，，，为边上一点． (1)求证： (2)若点是的中点，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质： （1）只需要证明，即可证明； （2）根据直角三角形的性质得到，再由三线合一定理得到，再证明，即可证明四边形是正方形． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）证明：中，D是中点的，， ， 又， ， 四边形是菱形． 又， 四边形是正方形． 题型一 对特殊平行四边形的判定定理理解 1．下列命题中，不正确的是（   ） A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线相等的矩形是正方形 D．对角线相等的菱形是正方形 【答案】C 【详解】A、根据菱形判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A选项命题正确； B、根据矩形判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，故B选项命题正确； C、矩形的对角线本来就相等，仅对角线相等无法判定它是正方形，故C选项命题不正确； D、菱形的对角线互相垂直平分，若对角线再相等，则满足正方形的判定条件，所以对角线相等的菱形是正方形，故D选项命题正确． 综上，不正确的是C． 2．下列命题是真命题的是（   ） A．有一组对边平行的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形 D．有一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】C 【分析】本题考查特殊四边形的判定，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理逐一判断选项，即可得到正确结论. 【详解】解：∵ 只有两组对边分别平行的四边形才是平行四边形，有一组对边平行的四边形可能是梯形， ∴ A是假命题； ∵ 有一个角是直角的平行四边形才是矩形，有一个角是直角的四边形可以是直角梯形， ∴ B是假命题； ∵ 对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是矩形又是菱形的四边形是正方形， ∴ 对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形，C是真命题； ∵ 有一组邻边相等的平行四边形才是菱形，有一组邻边相等的四边形不一定是菱形， ∴ D是假命题； 3．下列说法中，正确的是（   ）． A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【分析】根据特殊四边形的判定逐一辨别即可． 【详解】A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故A选项错误，不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，故B选项正确，符合题意； C、对角线相等且互相垂直平分的四边形才是正方形，故C选项错误，不符合题意； D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D选项错误，不符合题意． 4．下列命题中正确的是（   ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形或等腰梯形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形及特殊四边形的判定定理，逐一判断各选项即可得到正确命题. 【详解】解：∵ 对角线互相平分的四边形是平行四边形，这是平行四边形的判定定理， ∴ A正确； ∵ 只有对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，仅对角线互相垂直无法判定， ∴ B错误； ∵ 存在对角线相等的不规则四边形，既不是矩形也不是等腰梯形， ∴ C错误； ∵ 只有对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅垂直相等无法判定， ∴ D错误， 综上，正确答案为A. 5．如图，四边形是平行四边形，下列说法不正确的是（   ） A．当时，四边形是矩形 B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是正方形 【答案】D 【分析】根据矩形，菱形，及正方形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：对于A，因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以选项A正确，不符合题意； 对于B，因为对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以选项B正确，不符合题意； 对于C，因为有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以选项C正确，不符合题意； 对于D，当时，四边形是菱形，不能判断为正方形，所以选项D错误，符合题意． 题型二 正方形的性质与判定综合求角度 1．将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠，正方形的判定与性质．熟练掌握矩形与折叠，正方形的判定与性质是解题的关键． 由矩形与折叠的性质可证四边形是正方形，，由折叠的性质可知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由矩形与折叠的性质可知，，， ∴四边形是正方形，， 由折叠的性质可知，， ∴， 故选：B． 2．如图，在四边形中，，，，则的度数是_______°． 【答案】 【分析】如图，作，于，连接，证明四边形是正方形，则，，证明是等边三角形，则，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，作，于，连接， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握正方形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 3．如图，在矩形中，．若点P满足，且，则__________．    【答案】 【分析】本题考查正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形与正方形是解题的关键．过点P作交延长线于M，交延长线于N，过点P作于Q，交于E，证明四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，现证明，从而证明四边形为正方形，利用正方形的性质即可得出结论． 【详解】解：过点P作交延长线于M，交延长线于N，过点P作于Q，交于E，如图，    ∵矩形 ∴，，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ ， ∴四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ 在与 ∴ ∴，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， ∴． 故答案为：． 4．如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 【答案】(1)，，理由见解析 (2) 【分析】（）证明，得，，进而可得，即得到，即可求证； （）过点作于，交的延长线于，可得四边形是矩形，再证明，得，利用三角形面积得，即得，即可得四边形是正方形，即可求解； 本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：，，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：如图，过点作于，交的延长线于， ∵， 则， ∴四边形是矩形， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由（）知， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． 题型三 正方形的判定与性质综合求线段长 1．如图，在正方形中，点在对角线上，分别为垂足，连结，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质即可得到四边形是矩形，四边形是正方形，再利用矩形和正方形的性质得到和 ，进而得到，从而得到的长度． 【详解】解：延长于交于点， ∵在正方形中， ∴，，， ∴， ∴， ∵为垂足， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 2．如图，点E是正方形对角线上一点，过E作交于F，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点E作于点H，证明四边形是正方形，可得，在中，由勾股定理可得，进而可求得正方形的边长，再根据勾股定理可求解． 【详解】解：过点E作EH⊥BC于点H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ， ， ∴， ， ， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的判定及性质，勾股定理的应用，熟练掌握正方形的判定及性质，正确作出辅助线利用勾股定理是解题的关键． 3．如图，在正方形中．若以为底边向其形外作等腰直角，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】过点作 的延长线于点，连接，根据题意求得，进而勾股定理即可求得 【详解】如图，过点作 的延长线于点，过作于， 是等腰直角三角形， ，， 四边形是正方形， ，， 四边形是矩形， ， ， 四边形是正方形， ， 在中， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，勾股定理，构造直角三角形利用勾股定理求解是解题的关键． 4．如图，中，已知，于，，，把、分别以、为对称轴翻折变换，点的对称点为，，延长、相交于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）求的长． 【答案】（1）见解析（2）6 【分析】（1）先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF＝90°；再根据对称的性质得到AE＝AF，从而说明四边形AEGF是正方形； （2）利用勾股定理，建立关于x的方程模型（x−2）2＋（x−3）2＝52，求出AD＝x＝6． 【详解】（1）证明：由对折的性质可得，△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF， ∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC， ∵∠BAC＝45°， ∴∠EAF＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°， ∴四边形AEGF为矩形， ∵AE＝AD，AF＝AD， ∴AE＝AF， ∴矩形AEGF是正方形； （2）解：根据对称的性质可得：BE＝BD＝2，CF＝CD＝3， 设AD＝x，则正方形AEGF的边长是x， 则BG＝EG−BE＝x−2，CG＝FG−CF＝x−3， 在Rt△BCG中，根据勾股定理可得：（x−2）2＋（x−3）2＝52， 解得：x＝6或−1（舍去）． ∴AD＝6． 【点睛】本题考查了对折的性质，全等三角形和勾股定理，以及正方形的判定，解本题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：翻折前后图形的对应边或对应角相等；有四个角是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形． 5．如图，在矩形中，点E，F分别在，上，连接，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求矩形的周长． 【答案】(1)四边形是正方形，理由见解析 (2)14 【分析】此题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质. （1）首先根据题意证明出四边形是矩形，然后由得到四边形是正方形； （2）根据矩形和正方形的性质求解即可． 【详解】（1）∵四边形是矩形 ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形 ∴平行四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形； （2）∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴矩形的周长． 题型四 正方形的判定与性质综合求面积 1．如图，在五边形中，，，，，连结，．若，则的面积为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】A 【分析】此题考查了正方形的性质和判定，解题的关键是证明出四边形是正方形． 延长，交于点F，首先证明出四边形是正方形，得到，，求出，，然后利用的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，延长，交于点F， ∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴， ∵，， ∴， ∴的面积 ． 故选：A． 2．如图，正方形的周长为，顺次连接正方形各边中点、、、，得到四边形的面积等于__________．    【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的中位线的判定及性质的运用，勾股定理的运用，解答时利用三角形的中位线的性质求解是关键．连接，，根据三角形的中位线的性质，可以得出四边形为正方形，勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】解：连接，，    ∵点、、、是正方形各边的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵，，， ∴， ∴四边形是正方形 ∵正方形的周长为，， ∴， 在中，由勾股定理，得，， ∴ ∴四边形的面积 ． 故答案为：． 3．我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，成为中国古代数学成就的标志之一、如图，若弦图中四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则中间小正方形的面积为___．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据题意得出这个大四边形是菱形，再结合，得这个大四边形是正方形，再结合面积之间的关系进行列式，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵弦图中四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为， ∴， ∴， 依题意，这个大四边形的四边相等，则是菱形， ∵， 结合有一个角是度的菱形是正方形，即这个大四边形是正方形， ∴大正方形的面积为，四个直角三角形的面积是， ∴中间小正方形的面积为． 故答案为：． 4．如图，，平分，直角三角板的直角顶点P在射线上移动，两直角分别与相交于点C、D． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）过P分别作于E，于F，根据角平分线的性质，可得，可证得，即可； （2）先证得四边形是正方形，根据，从而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：过P分别作于E，于F， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，正方形的判定和性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 5．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O． (1)求证：四边形ADCE是矩形． (2)若∠AOE=90°，AE=2时，四边形AECD是什么四边形，并求ABCE的面积． 【答案】(1)见解析 (2)正方形， 【分析】（1）先根据三线合一定理得到∠ADC=90°，，再证明四边形ADCE是平行四边形，由∠ADC=90°，即可证明平行四边形ADCE是矩形； （2）根据对角线互相垂直的矩形是正方形即可证明四边形AECD是正方形，再由进行求解即可． 【详解】（1）解：∵在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，， 又∵四边形ABDE是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵∠ADC=90°， ∴平行四边形ADCE是矩形； （2）解：∵四边形ADCE是矩形，∠AOE=90°，即AC⊥DE， ∴四边形ADCE是正方形， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，正方形的性质与判定，三线合一定理，熟知相关特殊四边形的性质与判定条件是解题的关键． 题型五 中点四边形 1．如图，菱形的两条对角线相交于O，若，顺次连接菱形各边中点所围成的四边形的面积是（   ） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，中点四边形，三角形的中位线定理，矩形的判定与性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 根据三角形的中位线定理可证明四边形为矩形，，，再由矩形面积公式即可求解． 【详解】解：如图， ∵点分别为菱形各边的中点， ∴， 同理 ∴平行且等于， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴ 四边形为矩形， ∴四边形面积为， 故选：B． 2．学校矩形操场的四条边中点各立一个篮球架，现在用绳子把四个篮球架连起来，平面示意图如图所示．则绳子围成的四边形的形状一定是（    ） A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．对角线相等的四边形 【答案】A 【分析】根据三角形中位线，菱形的判定解答即可； 【详解】解：连接， 因为矩形操场的四条边中点各立一个篮球架， ，， 故， 故四边形是菱形； 3．如图，点，，，分别为四边形的四条边，，，的中点，若，则四边形的周长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．4.5 【答案】B 【分析】本题考查了中点四边形，根据点，，，分别为四边形的四条边，，，的中点，得出，是，的中位线，同理分别是的中位线，故四边形的周长为，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： 在中，点，分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中，点，分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理得分别是的中位线， ∴， ∴四边形的周长为， 故选：B． 4．顺次连接任意一个四边形各边的中点所得的四边形叫做四边形的中点四边形，矩形的中点四边形是___________． 【答案】 菱形 【分析】利用三角形中位线定理可得中点四边形对边平行且等于原矩形对角线的一半，结合矩形对角线相等的性质，可得中点四边形邻边相等，根据平行四边形和菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：设矩形，，，，分别是，，，的中点，连接，， 根据三角形中位线定理，可得：，，，，， ，， 四边形是平行四边形， 矩形的对角线相等， ， ， ， 平行四边形是菱形． 5．如图，已知第1个矩形的面积为，依次连接第1个矩形各边中点得到1个菱形，再依次连接菱形各边中点得到第2个矩形，按此方法继续下去，则第个矩形的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形、菱形的性质．中点四边形的性质，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．第二个矩形的面积为第一个矩形面积的，第三个矩形的面积为第一个矩形面积的，依此类推，第n个矩形的面积为第一个矩形面积的． 【详解】解：如图， 由轴对称的性质可得： 第一个菱形的面积为：， 第二个矩形的面积为第一个矩形面积的； 第三个矩形的面积是第一个矩形面积的； … 故第n个矩形的面积为第一个矩形面积的． ∴第n个矩形的面积为． 故答案为． 6．如图：顺次连接矩形A1B1C1D1四边的中点得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点得四边形A3B3C3D3，…，按此规律得到四边形AnBnCnDn．若矩形A1B1C1D1的面积为8，那么四边形AnBnCnDn的面积为______． 【答案】 【分析】根据矩形A1B1C1D1面积、四边形A2B2C2D2的面积、四边形A3B3C3D3的面积，即可发现新四边形与原四边形的面积的一半，找到规律即可解题． 【详解】解：顺次连接矩形A1B1C1D1四边的中点得到四边形A2B2C2D2，则四边形A2B2C2D2的面积为矩形A1B1C1D1面积的一半， 顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点得四边形A3B3C3D3，则四边形A3B3C3D3的面积为四边形A2B2C2D2面积的一半， 故新四边形与原四边形的面积的一半， 则四边形AnBnCnDn面积为矩形A1B1C1D1面积的， ∴四边形AnBnCnDn面积=×8=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了学生找规律的能力，本题中找到连接矩形、菱形中点则形成新四边形的面积为原四边形面积的一半是解题的关键． 题型六 折叠问题 1．如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、折叠的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 根据正方形的性质得到，由折叠的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，同理，得到四边形是正方形，根据正方形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，， ， ， 同理， ∴四边形是正方形， ∴． 故选B． 2．如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为．若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查翻折变换——折叠问题，正方形的性质，勾股定理．由折叠的性质以及正方形的性质可得，，设，则，在中，利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵正方形的边长为， ∴，， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即． 故选：C． 3．已知正方形，点E、F、M、N、G、H是正方形边上的点，点P是正方形内一点．如图（1），将正方形沿过P点的线段折叠，使点E落在上点E′，如图（2），展开后沿过P点的线段折叠，使点G落在上点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，根据折叠的性质可得：，，然后根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算可得：，再根据正方形的性质可得，从而利用平行线的性质可得，即可解答． 【详解】解：由折叠得：，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：A． 4．如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再一次折叠纸片，使点B落在上的点H处，折痕为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质．由翻折的性质得到，垂直平分，证明是等边三角形，得到，可得，结合计算出，从而可得． 【详解】解：由翻折的性质可知：，垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：A． 5．如图，在中，，，是射线上一点，将沿折叠，得到，连接．当为直角三角形时，的度数为________． 【答案】或或 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是分类讨论．分两种情况：当时，当时，根据折叠的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定与性质求解即可． 【详解】解：当时， ， ， 由折叠可得：，， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形， ； 当时， ，， ， 由折叠可知，，， ， 点、、共线， ， 综上所述，的度数为或． 当时， ∵， ∴， ∴， 由折叠可得，； 故答案为：或或． 6．如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为的正方形纸片，沿着边上一点E与点A的连线折叠，点是点B的对应点，延长交DC于点G，，则的长为______． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，结合全等的知识找出题中的线段之间的关系是本题的解题关键．根据翻折的性质可知和全等，则，连接，可证，则， ，在中，设，根据勾股定理列出方程，可求出的值，从而求出． 【详解】解：根据翻折的性质可知和全等，， 连接，如图所示， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，设，则， ， 根据勾股定理列出方程，， 即, 解得：， ∴，． 故答案为：8． 7．如图，在正方形的边上取一点，连接，将沿翻折，点恰好与对角线上的点重合，连接，若，则的面积是________． 【答案】/ 【分析】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识．由折叠可得，，且，可得，即可求对角线的长，则可求面积． 【详解】解：如图，连接交于， 为正方形， ，，，，． 沿翻折， ，，，， ， ， ， ， ， ． ． 故答案为：． 8．如图，正方形中，是边上的一点，将沿折叠，使点落在点处，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求证：为的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质等．借助进而通过中位线的判定可以快速证明结论． （1）根据题意易得和，然后由即可证明结论； （2）由（1）的结论，得，,由，得，进而可得，得，，即可证明结论． 【详解】（1）证明：根据翻折的性质，，， 又，，， ，， 在和中，， ． （2）证明：如图，连接，交于点． 由（1）知， ，, 又， ， ， ， ， 点为中点． 题型七 利用对称性求面积 1．如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据旋转的性质，可得，结合正方形的性质证明，则两个正方形重叠部分的面积等于，即正方形面积的四分之一，已知正方形的边长，可据此求出重叠部分的面积． 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 根据旋转的性质，， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 则两个正方形重叠部分的面积． 2．如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，连接，，由正方形的性质可得，证明可得，进而可求解． 【详解】解：连接，， 由题意知：四边形，四边形都是正方形， ，，，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：B． 3．如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，正方形环的面积计算是解题的关键．连接，根据题意，得阴影部分的面积是，解答即可． 【详解】解：连接， 由正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3， 根据题意，得阴影部分的面积是， 故选：A． 4．如图，边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，此时阴影部分的面积为________cm2 【答案】13.5// 【分析】将边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，可得阴影部分是矩形，且可求阴影部分的长和宽，则面积能求出． 【详解】∵将边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形， ∴由平移的性质可得阴影部分是矩形， ∵根据题意得：阴影部分的宽为6-3=3（cm），长为6-1.5=4.5（cm）， ∴S阴影部分=3×4.5=13.5 （cm2）， 故答案为13.5cm2． 【点睛】本题考查正方形的性质，平移的性质，关键是理解图形变化的所表达的意义． 5．如图，将5个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点是正方形的中心，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为_____． 【答案】 【分析】如图，连接，，证明出，得到，推出每一个阴影部分的面积等于正方形的，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接，， 由正方形的性质得，，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴每一个阴影部分的面积等于正方形的， ∴正方形重叠的部分（阴影部分）面积和． 题型八 动点问题 1．如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点的运动时间为（单位：），下列结论正确的是（    ） A．当时，四边形为矩形 B．当时，四边形为平行四边形 C．当时，或 D．当时，或 【答案】D 【分析】对于选项A、B，分别计算当与时相应线段的长度结合平行四边形的判定方法判断即可；对于C、D选项，作，垂足分别为E、F，如图，证明，得出，进而得出关于t的方程，解方程判定即可． 【详解】解：当时，，cm，， ∴， ∴四边形不为矩形，故选项A结论错误； 当时，，，cm， ∴， ∴四边形不为平行四边形，故选项B结论错误； 当时，作，垂足分别为E、F，如图， ∵， ∴， ∴四边形，都是矩形， ∴，， ∴当时，，， ∴， ∵， ∴， 解得：或，故选项C错误、选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、善于动中取静是解题的关键． 2．如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的判定，利用分类讨论的思想解决问题是关键．由题意可得，分两种情况讨论：当点在上时；当点在延长线上时，表示出，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求解即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， ， 当点在上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：； 当点在延长线上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：， 综上可知，以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为或秒， 故选：C 3．如图，四边形中，AD//BC，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为，则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（    ） A． B．3 C．3或 D．或 【答案】D 【分析】当3t≤3时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得3-3t=t；当3t＞3时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得3t-3=t；解方程即可． 【详解】当3t≤3时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 得3-3t=t， 解得t=； 当3t＞3时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 得3t-3=t， 解得t=， 故选D． 【点睛】本题考查了动点问题，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理，灵活选择判定方法，合理分类是解题的关键． 4．如图在矩形中，，，为的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，若点运动的时间为秒，则当的面积为时，值为________．    【答案】6或11/11或6 【分析】分在上、在上两种情况，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：①当在上时， 的面积等于， ， 解得：； ②当在上时， 的面积等于， ， ， 解得：； 综上所述，的值为6或11， 故答案为：6或11． 【点睛】本题考查了矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握矩形的性质，分情况讨论是解题的关键． 5．如图，在长方形中，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当点的运动速度是______时，与全等．    【答案】或/3或2 【分析】根据题意设运动时间为，点的速度为，根据全等三角形的判定方法，分类讨论：①当时，，；②当时，，；根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：长方形中，，，点在线段上以的速度由点向点运动，设运动时间为，点的速度为， ∴点从点到点的时间为， ∴，，， ①当时，，， ∴，解得，， ∴， ∴，即点的速度为； ②当时，，， ∴，解得，， ∴， ∴，即点的速度为； 综上所述，当点的运动速度是为或时，与全等， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查动点与几何图形，三角形全等的判定和性质的综合，理解动点的运动规律，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 题型九 最值问题 1．如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是，上的动点，M，N分别是，的中点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先证明出是的中位线，得出，然后由正方形的性质和勾股定理得到，证明出当最大时，最大，此时最大，进而得到当点和点重合时，最大，即的长度，最后代入求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ，分别是，的中点， 是的中位线， ， 四边形是正方形，， ， 当最大时，最大，此时最大， 点是上的动点， 当点和点重合时，最大，即的长度， 此时， ， 的最大值为． 故选B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 2．如图，已知正方形的边长为4，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线对称，连接交于点，即为所求，在中利用勾股定理即可求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴点B与D关于直线对称， 连接交于点，连接， 则， ， 当B、N、M三点共线时，取得最小值， 则即为所求的点， 则的长即为的最小值， ∵四边形是正方形， ∴是线段的垂直平分线， 又， 在中，， 故的最小值是5． 故选：C． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，根据点B与点D关于直线对称，可知的长即为的最小值是解答此题的关键． 3．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是（    ） A．5 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】由正方形性质的得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小． ∵四边形ABCD是正方形， ∴B、D关于AC对称， ∴PB=PD， ∴PB+PE=PD+PE=DE． ∵BE=2，AE=3BE， ∴AE=6，AB=8， ∴AD=8， ∴DE==10， 故PB+PE的最小值是10． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，解此题通常是利用两点之间，线段最短的性质得出． 4．如图，在矩形中，，，点E为中点，P、Q为边上两个动点，且，当四边形周长最小时，的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】四边形周长等于,其中为定值，即求最小值，，作F关于BC的对称点,当共线时最小，此时的P位置即为所求． 【详解】解：如图：四边形周长等于, 作使 则， 作F关于BC的对称点,连接，交于点 四边形周长=，其中为定值， 当共线时最小，即四边形周长最小 四边形是矩形，， 则 ，    故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，将军饮马，线段和最小值问题，相似三角形的性质与判定，正确的作出辅助线，转化未知线段为已知线段的长是解题的关键． 5．如图，已知正方形的对角线交于O，G是的中点，线段（点在点的左边）在直线上运动，连结，若，则的最小值是______． 【答案】 【分析】取的中点，则与关于对称，过点作，，交于点，连接，则四边形是平行四边形，，根据轴对称的性质可以得出，利用三角形三边关系可以得出，根据两点间的距离最短进一步得出，在中，根据勾股定理即可解此题． 本题主要考查了正方形的性质、勾股定理以及利用平移和对称求最值问题，关键在于通过平移和对称将所求线段和转化为两点之间的距离． 【详解】，解：四边形是正方形，， ， ， 是的中点， ， 取的中点，则与关于对称， ， 过点作，，交于点，连接， 四边形是平行四边形， ，， 在中，， 又点是上的动线段， ， 当点在一条直线上时，取最小值， ， , 在中，，，根据勾股定理， 最小值为， 故答案为：． 6．如图，∠AOB＝30°，OB＝4，点P为射线OA上任意一点，连接PB．以PO、PB为邻边作平行四边形POQB，连接PQ，则线段PQ的最小值为_____． 【答案】2 【分析】当PQ⊥OA时，PQ最短，利用平行四边形的性质和菱形的判定和性质解答即可． 【详解】解：∵四边形PBQO是平行四边形， ∴PH=HQ，OH=HB， 当PQ⊥OA时，PQ最短， ∵∠AOB=30°，OB=4， ∴OH=2， ∴PH=1, ∴PQ=2PH=2， 故答案为：2． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是利用平行四边形的性质和菱形的判定和性质解答． 7．如图，在长方形中，是的中点，是上任意一点．若，，则的最小值为________，最大值为________． 【答案】 / 【分析】本题主要考查线段的和差，线段最短，最长的计算方法，掌握两点之间线段最短，勾股定理的运用是解题的关键． 根据题意，当时，线段的值最小；当点与点（或点）重合时，线段的值最大，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴当的值最小时，的值最小； 当的值最大时，的值最大； ∴①如图所示，当时，的值最小， ∵四边形是长方形，点是的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最小值为：， 故答案为：； ②如图所示，当点与点（或点）重合时，线段的值最大， ∵四边形是长方形， ∴，，且， ∴， ∴， ∴的最大值为：， 故答案为：． 题型十 正方形的判定与性质综合证明 1．已知，如图，在正方形中，点分别在上，且．求证：四边形是正方形． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，先由正方形的性质得到，再证明，进而证明得到，，进一步证明，同理可证明，由此即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，， ∵， ∴， 同理可证明， ∴四边形是正方形． 2．如图，在菱形中，对角线、交于点．过作平行线，过作平行线，两平行线交于点．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若四边形为正方形时，请直接判断四边形的形状． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形是正方形，理由见解析 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形对角线互相垂直得到，即可证明平行四边形是矩形； （2）同理可证四边形是平行四边形，再根据正方形对角线互相垂直平分且相等得到，平行四边形是正方形． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形，对角线、交于点 ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：四边形是正方形，理由如下： 同理可证四边形是平行四边形， ∵四边形是正方形，对角线、交于点， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴矩形是正方形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，正方形的判定，菱形的性质等等，熟知平行四边形，矩形，菱形，正方形等特殊平行四边形的性质和判定定理是解题的关键． 3．如图，中，对角线、交于点，在上截取． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，进而证明，由此即可证明四边形是矩形； （2）先证明四边形是正方形，得到，即可证明四边形是菱形，则由菱形的性质可得平分． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形，； ∴四边形是矩形； （2）证明：∵四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴平分． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的判定，菱形的性质与判定，平行四边形的性质，熟知特殊平行四边形的判定定理是解题的关键． 4．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据正方形的性质，得AB=BC，∠ABE=∠BCF=90˚，利用SAS证明△ABE≌△BCF便可得结论． 【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90˚， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴AE=BF． 【点睛】本题考查正方形的性质全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 5．如图,在正方形中,､､､分别是各边上的点,且． 求证:（1）; （2）四边形是正方形． 【答案】（1）见解析;（2）见解析 【分析】（1）在正方形中,由可得:,即可求证; （2）由（1）可用同样的方法证得,,可得到,然后证明,即可求证． 【详解】（1）证明:∵四边形为正方形, ∴,． 又∵, ∴． ∴ （2）由（1）得,, 同理,,, ∴,, ∵, ∴, ∴, ∴, ∴四边形为正方形． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质和判定,三角全等的判断和性质,熟练掌握并会灵活应用相应知识点是解题的关键． 1．如图，四边形为菱形，，两点的坐标分别是、，点，在坐标轴上，点在上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作点关于直线的对称点，连接交的延长线于点，连接，连接交于点，根据勾股定理可求得的长，再利用菱形的面积可求得的长，再次根据勾股定理求解即可． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交的延长线于点，连接，连接交于点， 则， ，， ， 当点与点重合时，的值最小， 四边形为菱形，、， ，， ，， ， ， ， 解得， ， ． 2．如图，，是正方形的边的三等分点，是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据正方形的性质设，并用勾股定理求出的值，再根据，是正方形的边的三等分点，求出的值，然后在上取一点，且，连接、，连接，且与交于点，当三点共线，有最小值，即有最小值，即与重合，再过点分别作交于点，交于点，接着运用等面积法求出的值，结合勾股定理求出的值，最后求出的值，进行比较即可． 【详解】∵正方形，为对角线， ∴，，， ∴与关于对称， 设 ∵在中，，， ∴根据勾股定理，， ∵，是正方形的边的三等分点， ∴，， 在上取一点，且，连接、、，连接，且与交于点， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线，有最小值，即有最小值，即与重合， 如图，过点分别作交于点，交于点， ∵，，， ∴， ∵， 又∵ ， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴根据勾股定理，， ∴， ∴． 3．如图，在正方形中，为边上一点，连接．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与相交于；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点（在上方），作射线；④以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，连接与边相交于点，连接．若，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以点为原点建立平面直角坐标系，由作图可知 ，，可证，根据全等三角形的性质可以求出点的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式，根据解析式求出点的坐标，利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式即可求出的长度． 【详解】解：四边形是正方形， ， ，， ， 由作图可知，， 如下图所示，以点为原点建立平面直角坐标系， 则有点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， 过点作轴， 在和中，， ， ，， ， 点的坐标为， 设的解析式是， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时，可得：， 点的坐标是， ， 点的坐标是， ． 4．如图，在正方形纸片中，对角线、交于点，折叠正方形纸片．使落在上，恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交，于点、，连接，有下列结论：①；②；③四边形是菱形；④．其中正确结论的序号是（    ） A．②④ B．①③④ C．①③ D．①④ 【答案】B 【分析】①由四边形是正方形，可得，又由折叠的性质，可求得的度数；②由，可得；③由折叠的性质与平行线的性质，得是等腰三角形，即可证得，证得四边形是菱形；④由等腰直角三角形的性质，即可得． 【详解】解：∵四边形是正方形， ，，， 由折叠的性质可得：， ∴，故①正确． ∵由折叠的性质可得：，，， ∴， ， ， ， ∴，故②错误． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是菱形，故③正确． ∴， ，，， ∴是等腰直角三角形， ， ∵， ∴是等腰直角三角形， ， ，故④正确． 故正确的是①③④． 5．如图，等边三角形的三个顶点都在边长为1的正方形的边上．对于这样的等边三角形，给出以下结论： ①等边三角形有无数个； ②等边三角形的周长的最小值为3； ③等边三角形的面积的最大值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】如图所示，连接正方形对角交于点O，以点O为圆心，以为半径画圆，则点D，E，F，G在圆O上，连接，并延长，交圆O于点M，N，P，结合等腰三角形、正方形的性质得到当点M，N，P在圆上运动时，对应的在正方形内部运动，可判定①；如图所示，过点作，则 ，得到 ，结合周长计算可判定②；根据题意，当最大时，等边三角形的面积最大，如图所示，当三角形一个顶点与正方形的一个顶点重合时，由勾股定理得到的值，结合面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接正方形对角交于点O，以点O为圆心，以为半径画圆，则点D，E，F，G在圆O上，连接，并延长，交圆O于点M，N，P， ∵是等边三角形， ∴ ， ∴ ，即是等边三角形， ∴当点M，N，P在圆上运动时，对应的在正方形内部运动， ∴等边三角形有无数个，故①正确； 如图所示，过点作，则 ， ∴四边形是矩形， ∴ ， ∵ ，且等边三角形的周长 ， ∴最小值为1， ∴等边三角形的周长的最小值为3，故②正确； 如图所示，过点作，， ∴ ， ∴， 当最大时，等边三角形的面积最大， 如图所示，当三角形一个顶点与正方形的一个顶点重合时， ∴ ， 又 ， ∴， ∴， 设，则 ， 在中，， 在中， ， ∵， ∴， ∴ ， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 根据上述计算可知， ， ∴的最大值为， ∴ ，故③错误； 综上所述，正确的有①②， 故选：A ． 6．如图，在正方形中，分别以A，D为圆心，以的长为半径作弧，两弧交于点E，连接，，则________． 【答案】/75度 【分析】连接，由正方形的性质得出，，证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，进而得出，然后由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵是正方形， ∴，， ∵分别以A，D为圆心，以的长为半径作弧，两弧交于点E， ∴， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴． 7．如图，分别为四边形各边的中点，当四边形满足条件_________时，四边形是菱形；当四边形满足条件________时，四边形是矩形．（请填上你认为正确的一个条件即可） 【答案】 【分析】连接，利用三角形的中位线定理，先证明四边形为平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形为菱形，有一个角是直角的平行四边形为矩形，即可得出答案． 【详解】解：连接， ∵分别为四边形各边的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 当时，四边形为菱形， ∵， ∴当时，四边形为菱形， 当，即时，四边形为矩形， ∵， ∴当时，四边形为矩形． 8．如图，在四边形中，，，，、分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过_________秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】或 【分析】根据平行四边形的性质可知当直线将四边形截出一个平行四边形时，或，设运动时间为，可得，，根据或列方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为， ∵， ∴当直线将四边形截出一个平行四边形时，或， ∵、的速度分别为和， ∴，， ∵，， ∴当时，， 解得：， 当时，， 解得：． 综上所述：经过或秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 9．如图，中，外角的平分线交于点A，过点A分别作直线的垂线，B，D为垂足． (1)求的度数； (2)①求证：四边形是正方形； ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①见解析；②128 【分析】（1）先推导出，然后根据角平分线的定义得到，结合三角形内角和定理，即可解答； （2）①过点A作于G，推导出，得到四边形为矩形，然后根据角平分线性质定理推导出，即可证得结论； ②由①得四边形为正方形，推导出，得到，同理可得，再根据勾股定理，得到，化简得，然后展开式子，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴， ， ∴， ∴； （2）①证明：过点A作于G， 则， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∵外角平分线交于点A， ∴， ∴， ∴四边形为正方形 ②解：如图 由①得四边形为正方形 ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ， ∵， ∴， 化简，得， ∴． 10．已知：如图，在四边形中，，，，，，点从出发，以的速度向点运动，点从出发，以的速度向运动，其中一动点到达端点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为． (1)经过多少时间，四边形是平行四边形？ (2)在运动过程中，需经过多长时间才能使？ 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由四边形是平行四边形可得，设运动时间为，可得，再解方程即可； （2）证明四边形是矩形，再结合运动速度表示出，根据勾股定理列式，，同理表达，结合进行列方程，再解方程，即可作答． 【详解】（1）解：由四边形是平行四边形可得，设运动时间为， ∴， 解得：； 即经过，四边形是平行四边形； （2）解： 过点作，过点作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点从出发，以的速度向点运动，点从出发，以的速度向运动，且，， ∴， ∴， ∴， 同理证明四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 依题意，，运动停止时间为， ∵， ∴在运动过程中，需经过或才能使． 11．如图，已知，在外分别作正方形和正方形，连接，． (1)判断线段和的关系，并说明理由； (2)如图，依次连接，，，当时，四边形的面积是____． (3)若，以为边作正方形，过点作的垂线交于点，交于点．请根据以下提示完成勾股定理的证明，即证明． 提示：，，又，从而得，同理，． 【答案】(1)，，理由见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】（）由正方形性质可得，，，然后证明，所以，，又，，则有，然后通过三角形内角和定理得出； （）连接，，，设与交于点，由（）得：，，则有，然后代入即可求解； （）由四边形和为正方形，则，，，证明，所以，根据两条平行线之间的距离处处相等，，，然后通过即可求证． 【详解】（1）解：，，理由如下， ∵四边形和为正方形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，，，设与交于点， 由（）得：，， ∴， ∴ ， ∴四边形的面积为， 故答案为：； （3）证明：∵四边形和为正方形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴ 根据两条平行线之间的距离处处相等，，， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $