21 第30课时 正方形的判定-【宝典训练】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂（人教版·新教材）

数学·八年级·下册(R) 第30课时 正方形的判定 新课标1.经历正方形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想及探究图形判定的一般思路； 2.掌握正方形的判定定理 新课学 图形 正方形的判定方法 几何语言 判定1：有一组邻边 的 是正方形 2 ∴.四边形ABCD是正方形. 判定2：有一个角是 的 是正方形 ∴.四边形ABCD是正方形 核心讲) 练 核心考点了正方形的证明（判定1） 1.例已知在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=2.如图，四边形ABCD是矩形，则只需补充条 90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是 件： (用字母表示只添加一个条件) 正方形，那么这个条件可以是 ( 就可以判定四边形ABCD为正 A.∠D=90° B.AB=CD 方形 C.AD-BC D.BC=CD 核考点2正方形的证明（判定2） 3.例【RJ八下P77改编】如图，E,F,M,N分4.如图，E,F,G,H分别是正方形ABCD各边的 别是正方形ABCD四条边上的点，且AE= 中点.四边形EFGH是什么四边形？为什么？ BF=CM=DN.求证：四边形EFMN是正 方形 ●>36● 第二十一章 四边形 ● 过关检测 圆基础训练 5.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与6.如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、 BD相交于点O,请添加条件 ,使得 BC的中点，E、F分别是边BM、CM的中点， 菱形ABCD为正方形.（只能添加一个条件） 当AB:AD= 时，四边形MENF是正 方形 能力训练 7.如图，在四边形AECF中，AE⊥EC,AF⊥FC.CE,CF分别是△ABC的内、外角平分线. (1)求证：四边形AECF是矩形； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由. 拓展训练 8.如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D,BD=2,DC=3,求AD的长.小萍同学灵活运用 轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路，探究并解答下列问题. (1)分别以AB,AC所在直线为对称轴，画出与△ABD,△ACD对称的图形；D点的对称点分别 为E,F,延长EB,FC相交于点G,求证：四边形AEGF是正方形； (2)设AD=x,利用勾股定理，求出x的值为· ●>37●第28课时菱形的判定 新课学习 相等平行四边形口ABCD,且AB=BC 垂直平行四边形口ABCD,且AC⊥BD 相等四边形AB=BC=CD=AD 核心讲练 1.证明：，四边形ABCD是平行四边形，·∠B=∠D CE⊥AB,CF⊥AD,∴.∠CEB=∠CFD=90°， BE=DF,∴△BEC≌△DFC(ASA), .CB=CD,,四边形ABCD是平行四边形， .□ABCD是菱形. 2.证明：，AB=5,AO=4,BO=3,∴.AB2=AO+BO .△OAB是直角三角形.∴.AC⊥BD 又四边形ABCD为平行四边形， .四边形ABCD为菱形. 3.解：四边形ABCD为菱形.理由是： 由翻折得△ABC≌△DBC.∴.AC=CD,AB=BD, .△ABC为等腰三角形，∴.AB=AC, ..AC=CD=AB=BD, .四边形ABDC为菱形 过关检测 4.证明：，AE∥BF,.∠ADB=∠CBD, 又.BD平分∠ABF,.∠ABD=∠CBD, .∠ABD=∠ADB,∴.AB=AD, 同理AB=BC,.AD=BC, .四边形ABCD是平行四边形， 又，AB=AD,.四边形ABCD是菱形 5.(1)菱形 证明：(2)如答图，连接BD, 由题意得AB∥CD,AD∥BC ∴，四边形ABCD是平行四边形； 过点D分别作AB,BC边上的高为DE, DF.则DE=DF(两纸条相同，纸条宽度 相同)， 答图 :平行四边形ABCD中，S△ABD=SADBC, 即ABX DE=BCX DF,∴.AB=BC, .平行四边形ABCD为菱形. 6.(1)证明：AD是BC边上的中线，.BD=CD, 点E是AD的中点，AE=ED, ,'AF∥BC,.∠AFE=∠EBD,且∠FEA=∠BED, ∴.△AEF≌△DEB(AAS),∴.AF=BD, ∴.AF=DC,又AF∥BC,.四边形ADCF为平行四边形； (2)解：当∠BAC=90°时，四边形ADCF是菱形.理由如下： ∠BAC=90°，AD是BC边上的中线， .AD=BD=CD,.四边形ADCF为平行四边形， .四边形ADCF是菱形. 第29课时正方形的性质 新课学习 相等直角平行四边形 (2)相等相等相等且互相垂直平分对角 AB-BC-CD-AD ∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90° AC=BD且AC与BD互相垂直平分 核心讲练 1.(1)241(2)88 2.2√2484 3.证明：.∠FAB+∠BAE=90°，∠DAE+∠BAE=90°， 参考杏案 .∠FAB=∠DAE,.AB=AD,∠ABF=∠ADE, ∴.△AFB≌△AED,∴.DE=BF 4.证明：四边形ABCD为正方形 ∴.AB=AD,∠BAD=90°， BE⊥AP,DF⊥AP,∴∠BEA=∠AFD=90°， :∠BAE+∠FAD=90°，∠FAD+∠ADF=90°， .∠BAE=∠ADF,∴.△ABE≌△DAF(AAS), .'BE=AF,..EF=AE-AF=AE-BE. 过关检测 5.A6.A 7.(1)证明：，四边形ABCD是正方形， .AO=BO,AO⊥BO,∠BAO=∠CBO=45°， .∠AOE+∠BOE=90°， ,∠AOC1=90°，.∠AOB+∠BOC1=90°， ∴.∠AOE=∠BOF,.△AOE≌△BOF(ASA); (2)解：△AOE≌△BOF,∴.SAoE=SA0F, ∴四边形BEOF的面积=S△Bo=正方形ABCD面积的 8.证明：(1)四边形ABCD为正方形，∠BAD=90°， :点E为DF中点，AE=EF=DE=之DP, ∴.∠EAD=∠EDA; (2)四边形ABCD是正方形， ∴AB=CD,∠BAD=∠ADC=90°， ,∠EAD=∠EDA,∠BAE=∠BAD-∠EAD, ∠CDE=∠ADC-∠EDA,∴.∠BAE=∠CDE, ,AE=DE,AB=CO,.△AEB≌△DEC(SAS) (3)75 9.D 第30课时正方形的判定 新课学习 相等矩形矩形ABCD,且AB=BC 直角菱形菱形ABCD,且∠A=90° 核心讲练 1.D 2.AB=AD 3.证明：.'AE=BF=CM=DN,.AN=DM=CF=BE, :∠A=∠B=∠C=∠D=90°， '.△AEN≌△DNM≌△CMF≌△BFE(SAS) ∴.EF=EN=NM=MF,∠ENA=∠DMN, .四边形EFMN是菱形， :∠ENA=∠DMN,∠DMN+∠DNM=90°， ∴.∠ENA+∠DNM=90°..∠ENM=90. .四边形EFMN是正方形. 4.解：四边形EFGH是正方形，理由如下： 连接AC、BD交于O,设AC交FG于M,如答图： E,F,G,H分别是正方形ABCD各 H 边的中点， A .EH是△ABD中位线，EF是△ABC 中位线，FG是ABCD中位线，HG是 △ACD中位线， :.EH//BD,EH-BD,FG//BD, 答图 FG=BD,HG/AC,HG=号AC, EF/AC,EF=号AC,∴EH/IFG,EH=FG, ∴四边形EFGH是平行四边形， :BD=AC,EH=号BD=号AC=HG, 11 数学八年级下册(RJ) .四边形EFGH是菱形， ,BD⊥AC,.EF⊥FG, .四边形EFGH是正方形， 过关检测 5.AC=BD6.1:2 7.(1)证明：，'CE,CF分别是△ABC的内外角平分线， ∠ACE+∠ACF=Z×180=90, AE⊥CE,AF⊥CF, .∠AEC=∠AFC=90°，∴.四边形AECF是矩形： (2)解：当△ABC满足∠ACB=90°时，四边形AECF是正方 形，理由是：“∠ACE=号∠ACB=45,∠AEC=90°， .∠EAC=45°=∠ACE,∴.AE=CE, .四边形AECF是矩形，.四边形AECF是正方形. 8.(1)证明：由题意可得：△ABD≌△ABE,△ACD≌△ACF, .∠DAB=∠EAB,∠DAC=∠FAC, 又∠BAC=45°， ∴∠EAF=2∠BAD+2∠DAC=2∠BAC=90°， 又AD⊥BC,∠ADB=∠ADC=90°， ∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°， .四边形AEGF是矩形.又，AE=AD,AF=AD, .AE=AF,.矩形AEGF是正方形. (2)6 微专题5中点四边形 核心讲练 1.(1)平行四边形(2)菱形(3)矩形(4)正方形 2.解：四边形EFGH是菱形.证明如下： :点E,H是中点，∴EHL号BD, 同理FGL合BD,∴CHLFG,. .四边形EFGH是平行四边形， 又：点E,F是中点，∴EF=分AC, 又，AC=BD,∴.EH=EF,.□EFGH是菱形 3.证明：点H,G是中点，HGL2AC, 同理EFLTAC,∴HGLEF, .四边形EFGH是平行四边形， 又点G,F是中点，GF∥DB, .GF∥DB,HG∥AC,∠COD=90°， ∴.四边形MONG是矩形，.∠HGF=90°， ∴.四边形EFGH是矩形， 4.正方 过关检测 5.c6.824x() 8.解：(1)当矩形的长AD=2AB时，四边形PEMF为矩形； 证明如下：，四边形ABCD是矩形， ∴.AD=BC,AB=CD,∠A=∠D=90°， .AD=2AB,M是AD的中点，∴.AB=AM=DM=CD, ∴.△ABM和△DCM是等腰直角三角形，且BM=CM, ∴∠AMB=∠DMC=45°，∴.∠BMC=90°， PE⊥CM,PF⊥BM,∠PFM=∠PEM=90°， .四边形PEMF为矩形； (2)当点P运动到BC的中点时，矩形PEMF变为正方形； 证明如下：.P为BC的中点，PF∥MC, .F为MB的中点，.PF为△BCM的中位线， ·PF=2CM=令BM=MF, ∴矩形PEMF为正方形. 第31课时特殊的平行四边形习题课 新课学习 (1)直角(2)相等 (1)有一个角是直角(2)对角线相等 (3)有三个角是直角 (1)相等(2)互相垂直 (1)一组邻边相等(2)对角线互相垂直(3)四条边相等 (1)相等(2)直角(3)相等且互相垂直 (1)一组邻边相等(2)有一个角是直角 核心讲练 1.422√32.6022√3823 3.(1)证明：在矩形ABCD中AC=BD,OC=2AC, OD-BD,:.0C=OD, ,DE∥AC,CE∥BD,∴.四边形OCED是平行四边形， ∴.四边形OCED是菱形. (2)24 过关检测 4.B5.①②⑤ 6.证明：在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点， .AD∥BC,AO=CO, ∴.∠OAM=∠OCN,∠OMA=∠ONC, .△AOM≌△CON(AAS),.AM=CN, ∴.四边形ANCM为平行四边形. 2号 7.解：(1)当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP, 即：t=8-t,解得t=4, ∴当t=4时，四边形ABQP是矩形； (2)设t秒后，四边形AQCP是菱形，当AQ=CQ时， 即√4+平=8-t时，四边形AQCP为菱形， 解得t=3,∴当t=3时，四边形AQCP是菱形； (3)当t=3时，CQ=5,则周长为4CQ=20(cm), 面积为4×8-2×号×3×4=20(cm2)。 微专题6平行四边形中的最值问题 核心讲练 1.B2.√33.2√5米4.35.√13 过关检测 6.107.258.99.22 10.证明：(1)，四边形ABCD是矩形， .AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD, :将△ADE,△CBF分别沿DE,BF翻折，点A,点C都恰 好落在点O处，.△ADE≌△ODE,△CFB2△OFB, ·∠ADE=∠ODE=号∠ADB, ∠CBF=∠OBF=z∠CBD,∠EDO=∠FBO: (2).∠EDO=∠FBO,.DE∥BF, 四边形ABCD是矩形，.AB∥CD,AD=BC,∠A=90°， DE∥BF,AB∥CD,.四边形DEBF是平行四边形， 又.△ADE△≌△ODE,.∠A=∠DOE=90°， .EF⊥BD,∴.四边形DEBF是菱形. (3)23 12