21.3.2 菱形（分层题型专练，8夯基题型+5进阶题型+拓展培优）2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 以“分层题型专练”为主线，通过基础辨析、性质应用到综合探究的三阶设计，系统巩固菱形性质与判定，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|菱形性质辨析、判定条件添加|题型一用选择题对比菱形与平行四边形性质，强化抽象能力；题型二通过条件补充，夯实判定基础| |提升层|性质应用（角度、线段、面积计算）|结合千斤顶原理图（题型三）等实际情境，培养数学眼光；题型四、五融合勾股定理，提升运算能力| |综合层|证明、折叠与最值问题|题型六尺规作图与证明结合，发展推理意识；折叠（题型四）、最值（题型五）问题渗透空间观念，体现数学思维深度|

第二十一章 四边形 21.3.2 菱形 （分层题型专练） 题型一 对菱形性质的理解 1．如果一个四边形是菱形，则这个四边形不一定具有的性质是（   ） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．轴对称图形 2． 菱形是特殊的平行四边形，拥有区别于普通图形的专属性质，下列关于菱形结构特点的描述，正确的是（    ） A．所有内角大小相等 B．四条边长度完全相等 C．对角线长度互相相等 D．对角线互相垂直但不平分 3．菱形一定具有而矩形不一定具有的性质是（     ） A．邻边相等 B．对角相等 C．对边平行且相等 D．对角线互相平分 4．下列关系中，是菱形具有的性质但不是平行四边形具有的性质是（    ） A．对角线互相垂直 B．两组对边分别平行 C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等 题型二 添加一个条件使四边形成为菱形 1．添加下列一个条件，能使成为菱形的是（    ） A． B． C． D． 2．要使成为菱形，则可添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 3．如图，要使是菱形，需添加的条件是________． 4．如图，在四边形中，，于点O．请添加一个条件：_______，使四边形为菱形． 题型三 利用菱形的性质求角度 1．如图，在菱形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上，若，则的度数为_________度． 5．如图，是菱形的对角线，点在上，过点作交边于点，如果，那么的度数为___________． 题型四 利用菱形的性质求线段长 1．如图，菱形的周长是16，，则对角线的长是（   ） A．16 B．10 C．8 D．4 2．如图，菱形的对角线、的长分别为6和8，则这个菱形的边长是（    ） A．5 B．10 C．20 D．40 3．菱形的边长为3，则菱形的周长为（   ） A．3 B．12 C．6 D．9 4．如图，在菱形中，，分别是，的中点，如果，那么菱形的周长为_________． 5．如图，菱形的对角线与交于点O，，，则________． 6．如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，BE⊥AD，垂足为E．当菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6时，求BE的长． 题型五 利用菱形的性质求面积 1．如图，某公园计划建造一个菱形的郁金香花坛，若菱形花坛的两条对角线、的长分别为6米和10米，则菱形花坛的面积为（    ） A．60平方米 B．50平方米 C．40平方米 D．30平方米 2．如图所示，在菱形中，对角线，相交于点，若，，则菱形的面积为（   ） A．12 B．15 C．20 D．24 3．如图，菱形的两条对角线要交于点，若，则菱形的面积为（    ） A．32 B．12 C．16 D．20 4．菱形的两条对角线长分别为6，8，则这个菱形的面积为___________． 5．如图，在菱形中，已知，交于点，且，则菱形的面积用含，的式子表示为_____． 6．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，∠BAD＝60°，菱形ABCD的周长为24． (1)求对角线BD的长； (2)求菱形ABCD的面积． 题型六 证明四边形是菱形 1．如图，在中，．请用尺规作图法，在外求作一点，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 2．如图，四边形是矩形，，交的延长线于点，，交的延长线于点，连接． 求证：四边形是菱形． 3．如图，在中，的平分线交边于点E，F是边上一点，．求证：四边形是菱形． 4．如图，在平行四边形中，点，分别在，上，与相交于点，，，连接．求证：四边形是菱形． 题型七 利用菱形的性质进行证明 1．如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作，交的延长线于点．求证：四边形是平行四边形． 2．如图，在菱形中，过点分别作于点，于点，连接． 求证：． 3．如图，在菱形中，于点E，于点F．求证：． 4．如图，在菱形中，、分别为边和上的点，且．连接、交于点．求证：． 5．如图，在菱形中，对角线和相交于点．    (1)实践与操作：过点作交的延长线于点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)猜想与证明：试猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想． 题型八 菱形的性质与尺规作图 1．如图，按以下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点；（3）分别以点为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接，，． 若，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 3．如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交、于点、：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（）连接、、．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；③分别以点和点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的度数是____________． 6．如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则______°． 7．（1）如图，请用尺规在的边，，上分别取点，，使得四边形为菱形；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的菱形中，若，，求的度数． 8．如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝70°． （1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数． 题型一 菱形的性质与判定综合求角度 1．如图，在中，与交于点，点为中点，若，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，四边形中，，，连接，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则_____． 4．如图，四边形和四边形都是菱形，点E，F在上已知，，求： (1)的度数． (2)的度数． 题型二 菱形的性质与判定综合求线段长 1．如图，在中，，若，则的周长为（   ） A．12 B．24 C．30 D．36 2．如图，矩形的对角线，相交于点，，，若，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，用尺规作的平分线，交于点G，若，，则的长为（   ） A．10 B．20 C． D． 4．如图，在中，，，是边上的中线，以为邻边作平行四边形．若，则AC的长为（   ） A． B．5 C．6 D． 5．如图，在中，于点，于点，若，，则的长为（    ）    A．2 B． C．3 D． 6．如图，四边形为平行四边形，且平分，作，垂足为．若， ，则______． 7．如图，在四边形中，，，对角线，相交于点O，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 8．如图，平行四边形的对角线相交于点，过点作，过点作，与交于点，． (1)求证：是菱形； (2)若，求的长． 题型三 菱形的性质与判定综合求面积 1．菱形两条对角线、长分别是6和8，则菱形的面积为（    ） A．48 B．96 C．24 D．25 2．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，BF∥AC，CF∥BD，若四边形BECF面积为1，则矩形ABCD的面积为（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．如图，小华剪了两条宽为的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为，则它们重叠部分的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 4．如图，的对角线相交于点交的延长线于点．若，则的面积是______． 5．如图，方格纸中有一个四边形（A，B，C，D均为格点）若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该四边形的面积为_____．    6．如图，在矩形中，点在边上，将沿折叠，使点落在边上的点处，过点作，交于点，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由. (2)若，，求四边形的面积． 7．在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)判断四边形是哪种特殊四边形； (3)在（2）的条件下，若，，求四边形的面积． 8．如图，四边形是平行四边形． (1)用直尺和圆规作的平分线交于点E，在上截取，连接，求证：四边形为菱形； (2)与相交于O，若，，求四边形的面积． 9．如图，在矩形中，对角线交于点，分别过点作，的平行线交于点，连接交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 题型四 折叠问题 1．如图，在边长为2的菱形中，，点M是边的中点，点N是边上一点，沿所在的直线翻折得到，使点A的对应点落在对角线上，则的长度是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，在矩形纸片中，，，点分别是矩形的边上的动点，将该纸片沿直线折叠．使点落在矩形边上，对应点记为点，点落在处，连接与交于点．则当点与点重合时，的值为（    ） A．2 B． C． D． 3．如图，在菱形中，，连接，将菱形沿过点的直线折叠，使得点的对应点恰好落在上，折痕交于点，延长交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4． 如图，在菱形中，点E、F分别在边、上，将沿翻折后，点B的对应点G恰好落在边上，如果，，，那么的长为______． 5．将矩形纸片按如图所示的方式折叠，点B和点D都与点O重合，得到菱形．若，则菱形的边长为_____． 6．如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为________． 7．如图，先将一张长方形的纸沿虚线对折，再对折，然后按图中虚线剪下，将剪下的纸①展开，就得到的图形是____________形． 8．如图，在中，，将翻折，点恰好落在边上的点，折痕分别交边和边于点和，使四边形是菱形．当以A、D、C为顶点的三角形是直角三角形时，菱形的边长是____________． 题型五 最值问题 1． 如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一动点（不与点，重合），于点，于点，若，，则的最小值为（） A． B． C． D． 2．如图，菱形中，，，点E为的中点，点P为对角线上的任意一点，连接，，则的最小值为 _____． 3．如图，在菱形中，点P是对角线上一点，Q是中点，若菱形周长是16，，则的最小值为______． 4．如图，在边长为5的菱形中，对角线交于点O，，E，F分别是的中点，P是上的动点，则的最小值为______． 5．如图，在菱形中，，对角线，点为边上一动点（不与点重合），平分交于点，过点作于点，连接，点为的中点，连接，则的最小值为___________． 6．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，．点，分别是，边上的动点，则的最小值为_____． 1．如图，菱形的对角线相交于点，于点，若，菱形的面积为，则的长度为（    ） A．4 B． C． D．8 2．如图，菱形的对角线，相交于点O，，，点E是对角线延长线上一点，且，连接，分别以点D和点E为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，交于点Q，交于点P，则的长为（    ） A．6 B．16 C． D．25 3．如图，菱形盒子底部有一面平面镜，从点处射入一道平行于的光线，入射光线经过镜面反射后恰好经过点（法线与平面镜垂直，反射角等于入射角），若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．我国古代数学家刘徽将勾股形分割成一个正方形和两对全等的三角形（如图①）．现对该图形改编如下：如图②，在中，，、分别平分，点D、E分别在、上，连接、，四边形是菱形，延长交于点F，若，则菱形的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．如图，在菱形的外侧，作等边三角形，若，则______． 6．如图，在菱形中，，点E是边的中点，点P是对角线上的动点，连接、，则的最小值为___________． 7．如图，为菱形的对角线上的一个定点，为边上的一个动点，的垂直平分线分别交于点．若的长的最小值为6，则的长为__________． 8．如图，在菱形中，，点是边上一动点，作射线，点关于射线的对称点为点，直线与射线交于点，连接，当的周长最大值时，则的长为____． 9．如图，在平行四边形中，，垂足为点，，垂足为点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 10．如图1，在菱形中，，，点E是边上一动点，F是边上一动点，且，连接、． (1)求证：； (2)如图2，试仅用一把无刻度的直尺，在边上作点G，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 四边形 21.3.2 菱形 （分层题型专练） 题型一 对菱形性质的理解 1．如果一个四边形是菱形，则这个四边形不一定具有的性质是（   ） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．轴对称图形 【答案】C 【分析】根据菱形的性质逐一判断选项，即可找出正确答案． 【详解】解：菱形的性质为：四条边都相等，对角线互相垂直平分，菱形是轴对称图形，仅特殊菱形（正方形）的对角线相等． A 菱形四边一定相等，不符合题目要求； B 菱形对角线一定互相垂直，不符合题目要求； C 菱形对角线不一定相等，符合题目要求； D 菱形一定是轴对称图形，不符合题目要求． 2． 菱形是特殊的平行四边形，拥有区别于普通图形的专属性质，下列关于菱形结构特点的描述，正确的是（    ） A．所有内角大小相等 B．四条边长度完全相等 C．对角线长度互相相等 D．对角线互相垂直但不平分 【答案】B 【分析】根据菱形的性质逐一判断选项即可得到答案． 【详解】菱形邻角和为，并非所有内角大小相等，仅特殊菱形正方形满足所有内角相等，故A错误； 菱形的四条边长度完全相等，故B正确； 菱形对角线长度不一定相等，只有特殊的菱形正方形对角线才相等，故C错误； 菱形对角线互相垂直平分，故D错误． 3．菱形一定具有而矩形不一定具有的性质是（     ） A．邻边相等 B．对角相等 C．对边平行且相等 D．对角线互相平分 【答案】A 【详解】解：A．邻边相等的平行四边形为菱形，故符合题意； B．菱形和矩形都具有对角线相等的性质，故不符合题意； C．平行四边形的对边平行且相等，由于菱形和矩形都是特殊的平行四边形，都具有对边平行且相等的性质，故不符合题意； D．平行四边形的对角线互相平分，由于菱形和矩形都是特殊的平行四边形，都具有对角线互相平分的性质，故不符合题意． 4．下列关系中，是菱形具有的性质但不是平行四边形具有的性质是（    ） A．对角线互相垂直 B．两组对边分别平行 C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等 【答案】A 【详解】解：对角线互相垂直、两组对边分别平行、对角线互相平分、两组对角分别相等的四条性质中，对角线互相垂直是菱形具有但平行四边形不具有，其余三条性质是菱形和平行四边形都具有的. 题型二 添加一个条件使四边形成为菱形 1．添加下列一个条件，能使成为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、添加，对边相等，不能使成为菱形； B、添加，对角线相等，能使成矩形，不能使成为菱形； C、添加，有一个内角是直角，能使成矩形，不能使成为菱形； D、添加，邻边相等，能使成为菱形． 2．要使成为菱形，则可添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定．熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 根据菱形的判定对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：如图， 当，则为菱形，故A符合要求； 当，则不一定为菱形，故B不符合要求； 当，则不一定为菱形，故C不符合要求； 当，则不一定为菱形，故D不符合要求； 故选：A． 3．如图，要使是菱形，需添加的条件是________． 【答案】或 【分析】本题考查了菱形的判定，一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得出答案． 【详解】解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形， 那么可添加的条件是：或． 故答案为∶ 或 4．如图，在四边形中，，于点O．请添加一个条件：_______，使四边形为菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了菱形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此只需要添加条件使得四边形是平行四边形即可． 【详解】解：添加条件，证明如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 题型三 利用菱形的性质求角度 1．如图，在菱形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的性质，利用菱形的四条边相等及对边平行，再结合等腰三角形的性质来求解角度即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 2．如图，在菱形中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形性质求角度，涉及菱形邻角互补、菱形对角线平分对角等知识，先由菱形邻角互补求出，再由菱形对角线平分对角求解即可得到答案．熟记菱形性质是解决问题的关键． 【详解】解：在菱形中，，则， 是菱形一条对角线， 平分，则， 故选：D． 3．如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角线平分对角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，平分， ∴， 故选：A ． 4．如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上，若，则的度数为_________度． 【答案】64 【分析】根据菱形的性质可以求得和，再应用三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵BD是菱形ABCD的一条对角线，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：64． 【点睛】本题考查菱形的性质和三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题关键． 5．如图，是菱形的对角线，点在上，过点作交边于点，如果，那么的度数为___________． 【答案】 【分析】根据菱形的每一条对角线平分一组对角，可求得，然后根据两直线平行同位角相等，据此即可解答． 【详解】解：∵是菱形的对角线，， ∴， ∵， ∴． 题型四 利用菱形的性质求线段长 1．如图，菱形的周长是16，，则对角线的长是（   ） A．16 B．10 C．8 D．4 【答案】D 【详解】解：由菱形各边都相等，当菱形的周长是16时， 菱形边长为4， ∵，， ∴为等边三角形， 则． 2．如图，菱形的对角线、的长分别为6和8，则这个菱形的边长是（    ） A．5 B．10 C．20 D．40 【答案】A 【分析】先根据菱形的性质得出，，再根据勾股定理得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴． 根据勾股定理，得， 所以这个菱形的边长为5． 3．菱形的边长为3，则菱形的周长为（   ） A．3 B．12 C．6 D．9 【答案】B 【分析】利用菱形四条边相等的性质，计算菱形周长即可得到答案． 【详解】解：∵菱形的四条边长度相等，菱形的边长为3， ∴菱形的周长为 ． 4．如图，在菱形中，，分别是，的中点，如果，那么菱形的周长为_________． 【答案】 【分析】先由三角形中位线的性质得到菱形边长，再由菱形性质求周长即可． 【详解】解：在中，，分别是，的中点，则是的中位线， ， 菱形的周长为． 5．如图，菱形的对角线与交于点O，，，则________． 【答案】 【分析】由菱形的性质可得、、，再根据可得，即；再运用勾股定理可得，进而求得即可． 【详解】解：∵菱形的对角线与交于点O ∴,， ∵ ∴，则 ∴ ∴． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用菱形的性质是解答本题的关键． 6．如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，BE⊥AD，垂足为E．当菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6时，求BE的长． 【答案】 【分析】先求出菱形的面积和边长，再求高BE即可． 【详解】解：∵菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，AC＝8，BD＝6， ∴∠AOB=90°，AO＝4，BO＝3， ， 菱形的面积为， ∴， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，解题关键根据菱形对角线互相垂直求出边长和面积，利用等积法求出高． 题型五 利用菱形的性质求面积 1．如图，某公园计划建造一个菱形的郁金香花坛，若菱形花坛的两条对角线、的长分别为6米和10米，则菱形花坛的面积为（    ） A．60平方米 B．50平方米 C．40平方米 D．30平方米 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，熟知菱形的面积等于对角线长乘积的一半是解题的关键．根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半计算即可． 【详解】解：∵菱形花坛的两条对角线的长分别为6米和10米， ∴菱形花坛的面积为（平方米）， 故选：D． 2．如图所示，在菱形中，对角线，相交于点，若，，则菱形的面积为（   ） A．12 B．15 C．20 D．24 【答案】D 【分析】本题主要考查了求菱形的面积，菱形的面积等于其对角线乘积的一半，据此求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，对角线，相交于点，若，， ∴， 故选：D． 3．如图，菱形的两条对角线要交于点，若，则菱形的面积为（    ） A．32 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线，交于点，，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟知菱形面积计算公式是解题的关键． 4．菱形的两条对角线长分别为6，8，则这个菱形的面积为___________． 【答案】24 【分析】菱形的面积等于对角线乘积的一半，代入已知对角线长度计算即可得到结果． 【详解】解： 菱形的两条对角线长分别为和， 菱形的面积 ． 5．如图，在菱形中，已知，交于点，且，则菱形的面积用含，的式子表示为_____． 【答案】 【详解】解：由题意，菱形的面积. 6．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，∠BAD＝60°，菱形ABCD的周长为24． (1)求对角线BD的长； (2)求菱形ABCD的面积． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）由菱形的性质知AB=AD，又∠BAD＝60°，可知是等边三角形，推出，即可求解； （2）由菱形的对角线互相垂直且平分，求出OB，利用勾股定理由出AO，进而求出AC，根据菱形面积为对角线乘积的一半，即可求解． 【详解】（1）解：菱形ABCD的周长为24， ， 又∠BAD＝60°， 是等边三角形， ， 故对角线BD的长为6； （2）解：由菱形的性质可知，对角线AC与BD互相垂直且平分， ，， 又 ， ， ， 菱形ABCD的面积， 故菱形ABCD的面积是． 【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的面积公式，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 题型六 证明四边形是菱形 1．如图，在中，．请用尺规作图法，在外求作一点，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见详解 【分析】分别以为圆心，为半径画弧，两弧相交于点，则，所以四边形是菱形． 【详解】解：如图所示， ∵分别以为圆心，为半径画弧，两弧相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，即点是所求作的点． 【点睛】本题主要考查菱形的判定、等腰三角形的判定，掌握菱形的判定条件“四条边都相等的四边形是菱形”是解题的关键． 2．如图，四边形是矩形，，交的延长线于点，，交的延长线于点，连接． 求证：四边形是菱形． 【答案】见详解 【分析】本题考查菱形的判定，矩形的性质，平行四边形的判定与性质．根据题意先证四边形是平行四边形，再由即可． 【详解】证明：四边形是矩形 , 四边形，四边形都是平行四边形 四边形是平行四边形 四边形是菱形． 3．如图，在中，的平分线交边于点E，F是边上一点，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】先证明四边形是平行四边形，接着根据角平分线的定义和平行线的性质证明，得到，据此可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 4．如图，在平行四边形中，点，分别在，上，与相交于点，，，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】证明见解析 【详解】证明：平行四边形中，，， 即， 又， ， 四边形是平行四边形， ，即， 四边形是菱形．  题型七 利用菱形的性质进行证明 1．如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作，交的延长线于点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，即， ∵ ∴四边形是平行四边形． 2．如图，在菱形中，过点分别作于点，于点，连接． 求证：． 【答案】见解析 【分析】利用菱形的性质，证明即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∵在与中 ∴， ∴， ∴． 3．如图，在菱形中，于点E，于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了菱形的性质，全等三角形的性质和判定，首先得到，然后得到，证明出，得到，进而证明即可． 【详解】证明：四边形是菱形， ∴，     ∵于点E，于点F， ， ∵， ∴，     ∴， ∴， ∴． 4．如图，在菱形中，、分别为边和上的点，且．连接、交于点．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】先证△DAF≌△DCE，再证△AEG≌△CFG，最后证△DGE≌△DGF，根据全等三角形的性质即可得到∠DGE＝∠DGF． 【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴DA＝DC＝AB＝BC， ∵AE＝CF， ∴DE＝DF 在△DAF和△DCE中， ， ∴△DAF≌△DCE（SAS）， ∴∠EAG＝∠FCG， 在△AEG和△CFG中， ， ∴△AEG≌△CFG（AAS）， ∴EG＝FG， 在△DGE和△DGF中， ， ∴△DGE≌△DGF（SSS）， ∴∠DGE＝∠DGF． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 5．如图，在菱形中，对角线和相交于点．    (1)实践与操作：过点作交的延长线于点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)猜想与证明：试猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）以点为圆心，为半径，画弧交的延长线于点，连接，再根据菱形的性质，平行四边形的判定，即可； （2）根据菱形的性质，得，；根据，，即可． 【详解】（1）如下如：即为所求， 以点为圆心，为半径，画弧交的延长线于点，连接， 证明： ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴．    （2）∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是上的中线， ∴． 【点睛】本题考查菱形、平行四边形和直角三角形的知识，解题的关键是掌握菱形的性质，直角三角形的中线，平行四边形的判定和性质． 题型八 菱形的性质与尺规作图 1．如图，按以下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点；（3）分别以点为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，可证明四边形是菱形，由等边对等角可得，由菱形的对角相等可得，据此求出的度数即可得到答案． 【详解】解；由作图方法可得， ∴四边形是菱形，， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 2．如图，小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接，，． 若，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质是解题的关键； 根据作图可得四边形是菱形，根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：由作图可知，， 四边形是菱形， ，． 故选：B． 3．如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图、菱形的判定与性质，由作图可知：，根据四条边都相等的四边形是菱形，可知四边形是菱形，根据菱形的对角相等可得：． 【详解】解：由作图可知：， 四边形是菱形， ． 故选：B． 4．按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交、于点、：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（）连接、、．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作线段，菱形的性质与判定，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得 ∴四边形是菱形，则， 又∵， ∴ 故选：D． 5．按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；③分别以点和点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的度数是____________． 【答案】70 【分析】本题考查了作线段，菱形的性质与判定，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴四边形是菱形，则， 又∵， ， 故答案为70． 6．如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则______°． 【答案】25 【分析】根据作图，得到，得到菱形，根据菱形的性质解得即可． 本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据作图，得到， 故四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：25． 7．（1）如图，请用尺规在的边，，上分别取点，，使得四边形为菱形；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的菱形中，若，，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）35° 【分析】（1）作∠ABC的平分线交AC于点E，再作BE的垂直平分线交AB于点F，交BC于点D，四边形BDEF即为所求． （2）根据菱形的性质和三角形的内角和定理解答即可． 【详解】解（1）：如图，作∠ABC的平分线交AC于点E，再作BE的垂直平分线交AB于点F，交BC于点D，则四边形BDEF即为所求的菱形， 理由：∵BE平分∠ABC， ∴∠EBF=∠EBD， ∵DF垂直平分BE， ∴BF=EF，BD=DE， ∴∠EBF=∠BEF， ∴∠EBD=∠BEF， ∴， 同理， ∴四边形BDEF是平行四边形， ∵BE⊥DF， ∴四边形BDEF是菱形； （2）∵∠A=80°，∠C=30°， ∴∠ABC=180°-80°-30°=70°， ∵四边形BDEF是菱形， ∴∠FED=∠ABC=70°，∠BEF=∠BED， ∴∠BED=35°． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质以及作图一复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 8．如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝70°． （1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数． 【答案】（1）见解析；（2）30° 【分析】（1）根据题意分别以A、B为圆心，大于 AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可； （2）由题意根据∠DBF=∠ABD-∠ABF进行计算即可得出答案. 【详解】解：（1）如图所示，直线EF即为所求； （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=70°，DC//AB，∠A=∠C． ∴∠ABC=140°，∠ABC+∠C=180°， ∴∠C=∠A=40°， ∵EF垂直平分线线段AB， ∴AF=FB， ∴∠A=∠FBA=40°， ∴∠DBF=∠ABD－∠FBE=30°． 【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 题型一 菱形的性质与判定综合求角度 1．如图，在中，与交于点，点为中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，等角对等边等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 根据等角对等边和中点的概念得到，然后求出，证明出是菱形，然后利用菱形的性质求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵点为中点 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是菱形， ∴ 故选：D． 2．如图，四边形中，，，连接，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形是菱形，得到，再求出即可得到答案． 【详解】解：∵四边形中，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，熟知菱形的性质与判定条件是解题的关键． 3．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则_____． 【答案】/62度 【分析】首先证明出四边形是菱形，然后根据菱形的性质求解． 【详解】解：∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴四边形是菱形 ∴平分和 ∴． 4．如图，四边形和四边形都是菱形，点E，F在上已知，，求： (1)的度数． (2)的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据菱形的性质得出，再由等边对等角及三角形内角和定理求解即可； （2）连接，根据菱形的对角线互相平分得出，，结合图形求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）连接，如图所示： ∵四边形和四边形都是菱形，，， ∴，， ∴． 【点睛】题目主要考查菱形的性质及等边对等角，三角形内角和定理等，理解题意，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 题型二 菱形的性质与判定综合求线段长 1．如图，在中，，若，则的周长为（   ） A．12 B．24 C．30 D．36 【答案】B 【分析】可证明是菱形，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴是菱形， ∴， ∴的周长． 2．如图，矩形的对角线，相交于点，，，若，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，以及菱形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 由四边形为矩形，得到对角线互相平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形为菱形，根据的长求出的长，即可确定出其周长． 【详解】解：四边形为矩形， ，，且， ， ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形， ， 则四边形的周长为． 故选：B ． 3．如图，在中，用尺规作的平分线，交于点G，若，，则的长为（   ） A．10 B．20 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图-基本作图，也考查了平行线的性质、平行四边形的性质和菱形的判定与性质．利用基本作图得到平分，，再证明得到，连接，交于点O，如图，接着证明四边形为菱形，所以，，，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】解：由作图痕迹得到平分，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接，交于点O，如图， ∵， 而， ∴四边形为菱形， ∴，，， 在中，， ∴． 故选：C． 4．如图，在中，，，是边上的中线，以为邻边作平行四边形．若，则AC的长为（   ） A． B．5 C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半，含角的直角三角形的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半，可得，证明平行四边形是菱形，继而求出，即可解答． 【详解】∵是边上的中线 ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形． ∴． ∴， ∴． 故选C． 5．如图，在中，于点，于点，若，，则的长为（    ）    A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】首先判定四边形是菱形，利用面积求出，利用勾股定理求出，再次利用面积可得结果． 【详解】解：在中，， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查菱形的判定和性质，关键是根据面积法得到的长． 6．如图，四边形为平行四边形，且平分，作，垂足为．若， ，则______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理，等角对等边等等，先证明四边形是菱形，得出，根据， ，得出，根据勾股定理得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．如图，在四边形中，，，对角线，相交于点O，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键； （1）先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答． 【详解】（1）证明： ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ，，， ， 在中，， ， ， ， ． 8．如图，平行四边形的对角线相交于点，过点作，过点作，与交于点，． (1)求证：是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的判定结合已知证得四边形是矩形，再利用的性质和菱形的判定可得结论； （2）根据（1）的结论得到，再利用菱形的性质，含角的直角三角形的性质和勾股定理求解． 【详解】（1）证明：∵，， 四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∴是菱形； （2）解：由（1）可知，四边形是矩形， ∴． ∵四边形是菱形， ∴． ∵在中，， ∴． 由勾股定理知：， ∴， 解得， ∴． 【点晴】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，含角的直角三角形的性质和勾股定理．理解相关知识是解答关键． 题型三 菱形的性质与判定综合求面积 1．菱形两条对角线、长分别是6和8，则菱形的面积为（    ） A．48 B．96 C．24 D．25 【答案】C 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：菱形的对角线，， 菱形的面积． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半． 2．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，BF∥AC，CF∥BD，若四边形BECF面积为1，则矩形ABCD的面积为（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】先证得四边形BECF是菱形，得到△BEC的面积为，再利用矩形的性质即可求解． 【详解】解：∵BF∥AC，CF∥BD， ∴四边形BECF是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AE=CE，BE=DE，AC=BD， ∴AE=BE=EC， ∴四边形BECF是菱形； ∴S△BEC=S△BFC=S四边形BECF=， ∵四边形ABCD是矩形， ∴矩形ABCD的面积为4×=2， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质，熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质是解决问题的关键． 3．如图，小华剪了两条宽为的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为，则它们重叠部分的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】此题考查菱形的判定与性质及勾股定理，解题关键在于掌握判定定理和作辅助线首先过点作于点，于点，由题意可得四边形是平行四边形，继而求得的长，判定四边形是菱形，则可求得答案 【详解】解：过点作于点，于点， 根据题意得：，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∵在中，，即 ∴， 同理：， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴ 故选： 4．如图，的对角线相交于点交的延长线于点．若，则的面积是______． 【答案】120 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理．证明，推出，判断出是菱形，利用勾股定理求得，利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是菱形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积是， 故答案为：120． 5．如图，方格纸中有一个四边形（A，B，C，D均为格点）若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该四边形的面积为_____．    【答案】12 【分析】先证明四边形是菱形，再由图可知菱形的两对角线分别为6、4，根据菱形的面积计算公式可求解． 【详解】由网格图可知， 即四边形是菱形， 由图可得，菱形的两对角线长分别为6、4，则该菱形的面积为． 故答案为：12． 【点睛】主要考查菱形的面积公式：对角线的积的一半，还考查了学生的读图能力． 6．如图，在矩形中，点在边上，将沿折叠，使点落在边上的点处，过点作，交于点，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由. (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析； (2)． 【分析】（）四边形是菱形．根据题意和翻折的性质，可以得到，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立； （）根据题意和勾股定理，可以求得的长，进而求得和的值，从而可以得到四边形的面积； 本题考查了翻折变化、菱形的性质和判定、矩形的性质，勾股定理，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 由题意可知，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵矩形中，， ，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴四边形的面积． 7．在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)判断四边形是哪种特殊四边形； (3)在（2）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)菱形 (3) 【分析】本题考查菱形，全等三角形，直角三角形的知识，解题的关键是掌握菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，即可． （1）根据平行线的性质，则，根据全等三角形的判定和性质，则，即可； （2）根据题意，，再根据，平行四边形的判定和性质，则四边形是平行四边形，再根据直角三角形的性质，菱形的判定和性质，即可； （3）连接，根据，，则四边形是平行四边形，根据菱形的面积公式，即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵是的中点， ∴， ∵ ∴（ASA）； ∴． （2）解：由（1）得， ∵是的中点， ∴， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是直角三角形，是的中点， ∴， ∴平行四边形是菱形． （3）∵连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． 8．如图，四边形是平行四边形． (1)用直尺和圆规作的平分线交于点E，在上截取，连接，求证：四边形为菱形； (2)与相交于O，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可；再结合等腰三角形的判定与性质，平行四边形的性质证明即可； （2）根据四边形为菱形， 可得，，，再在中，可得，问题随之得解． 【详解】（1）作图如下： 证明：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证明：， ∵根据作图可知：， ∴， ∴四边形为菱形； （2）∵四边形为菱形，，， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∴菱形的面积为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，角平分线的尺规作图等知识，掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． 9．如图，在矩形中，对角线交于点，分别过点作，的平行线交于点，连接交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由矩形的性质得，即可得出结论； （2）先由矩形性质，得，再判定是等边三角形，得，再由菱形的性质得,，然后由勾股定理长，即可求得长，最后由菱形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明： ∵ ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）知：四边形是菱形， ∴， ∴在中，由勾股定理，得 ， ∴， ∴ ， 答：菱形的面积为． 【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定，勾股定理，熟练掌握矩形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定是解题的关键． 题型四 折叠问题 1．如图，在边长为2的菱形中，，点M是边的中点，点N是边上一点，沿所在的直线翻折得到，使点A的对应点落在对角线上，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，相交于点O，设与相交于点求出 ，证明与重合，即可求出的长度． 【详解】解：如图，连接， 相交于点O，设与相交于点 ∵沿所在的直线翻折得到，使点A的对应点落在对角线上， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点M是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴与重合， ∴． 2．如图所示，在矩形纸片中，，，点分别是矩形的边上的动点，将该纸片沿直线折叠．使点落在矩形边上，对应点记为点，点落在处，连接与交于点．则当点与点重合时，的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由四边形是矩形，得，由翻折的性质可知，，即知，从而，四边形是平行四边形，又，故四边形是菱形；当，重合时，设，根据勾股定理和菱形的性质即可得到结论． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 由翻折的性质可知，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， 当，重合时，如图： 设， 在中， ， ， ，即， ，，， ， ， ． 3．如图，在菱形中，，连接，将菱形沿过点的直线折叠，使得点的对应点恰好落在上，折痕交于点，延长交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，三角形外角的性质，掌握菱形的性质，折叠的性质是关键． 根据菱形的性质得到，根据折叠得到，则，由三角形的外角的性质得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵是对角线， ∴， ∴， ∵将菱形沿过点的直线折叠，使得点的对应点恰好落在上， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C ． 4．如图，在菱形中，点E、F分别在边、上，将沿翻折后，点B的对应点G恰好落在边上，如果，，，那么的长为______． 【答案】 【分析】作交的延长线于点H，由得，由四边形是菱形，得，则四边形是平行四边形，所以，由折叠得，则，所以，由勾股定理得，求得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点H，则， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 5．将矩形纸片按如图所示的方式折叠，点B和点D都与点O重合，得到菱形．若，则菱形的边长为_____． 【答案】/ 【分析】根据折叠的性质，推出为含30度角的直角三角形，设，得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：∵矩形，菱形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 设， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴，即菱形的边长为． 6．如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为________． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 连接，由菱形的性质及，得到为等边三角形，为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，，，进而求出，由折叠的性质得到，再利用三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形，，， ∴， ∵垂直平分， ∴平分， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴． 故答案为：． 7．如图，先将一张长方形的纸沿虚线对折，再对折，然后按图中虚线剪下，将剪下的纸①展开，就得到的图形是____________形． 【答案】菱 【分析】此题考查了利用对称设计图案以及菱形的判定．根据题意知，对折实际上就是对称，对折两次的话，剪下应有4条边，并且这4条边还相等，据此可得到四边形为菱形． 【详解】解：由题意知，对折实际上就是对称，对折2次的话，剪下应有4条边，并且这4条边还相等，只有菱形满足这一条件． 故答案为：菱． 8．如图，在中，，将翻折，点恰好落在边上的点，折痕分别交边和边于点和，使四边形是菱形．当以A、D、C为顶点的三角形是直角三角形时，菱形的边长是____________． 【答案】或 【分析】本题考查折叠的性质，菱形的性质，直角三角形的性质等，注意分情况讨论是解题的关键． 连接交于点O，由菱形的性质可得，分三种情况：，，，画出图形，利用菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理分别求解即可． 【详解】解：连接交于点O， 四边形是菱形， ， ， 当以A、D、C为顶点的三角形是直角三角形时，分三种情况： 当时，如图， ， ， ， 又四边形是菱形， ，， 是等边三角形， ， 在中，， ， ，，， ， ， ， 解得， 菱形的边长； 当时，如图， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ，即， 解得， ， 在中，， ， ， ， 解得，负值舍去， 当时，点D与点B重合，此种情况不存在， 综上可知，菱形的边长是或． 故答案为：或． 题型五 最值问题 1．如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一动点（不与点，重合），于点，于点，若，，则的最小值为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质得，，，所以，由勾股定理求出，连接，可证四边形是矩形，则，当时，的值最小，即的值最小，再根据等面积法求高即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 在中，， 如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，的值最小，即的值最小，如图， ∴， ∴， ∴的最小值为． 2．如图，菱形中，，，点E为的中点，点P为对角线上的任意一点，连接，，则的最小值为 _____． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称-最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等知识点，确定P点的位置是解答本题的关键．找出B点关于的对称点D，连接交于P，则就是最小值，求出即可． 【详解】解：∵菱形中，，， ∴，， ∴是等边三角形， 连接交于P，连接， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，则， ∴， 即就是的最小值， ∵是等边三角形，点E为的中点， ∵，(等腰三角形三线合一的性质)． 在中，， ∴的最小值为． 故答案为：． 3．如图，在菱形中，点P是对角线上一点，Q是中点，若菱形周长是16，，则的最小值为______． 【答案】2 【分析】点和点是定点，点在直线上一动点，是轴对称最值问题，连接，由菱形的对称性可知，点和点关于对称，连接，即为所求． 【详解】解：如图，由菱形的对称轴可知，点和点关于对称，连接， ∴， ∴即为所求的最小值． 连接， ，四边形是菱形， ∴，，， 是等边三角形， 点为的中点， ， 菱形的周长为16， ， ∵在中，， ， ， ， ∴的最小值为． 4．如图，在边长为5的菱形中，对角线交于点O，，E，F分别是的中点，P是上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可知点与点关于对称，作点关于的对称点，则在上，连接，根据两点之间线段最短可知的长度即为的最小值，连接，利用三角形中位线定理和勾股定理求出的长度即可 . 【详解】解:四边形是菱形，边长为5， ，，， 在中，， 作点关于的对称点，连接交于点，此时最小，最小值为的长度， 点与点关于对称，， 点在上，且， 是的中点， ， ， ， 连接， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∴， 在中，， 的最小值为. 5．如图，在菱形中，，对角线，点为边上一动点（不与点重合），平分交于点，过点作于点，连接，点为的中点，连接，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】连接交于点O，延长交于点N，连接，根据菱形的性质以及勾股定理可得，证明，可得，从而得到为的中位线，进而得到当最小时，最小，当时，最小，此时点N与点O重合，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点O，延长交于点N，连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴当最小时，最小， 当时，最小，此时点N与点O重合， 即的最小值为15， ∴的最小为． 6．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，．点，分别是，边上的动点，则的最小值为_____． 【答案】4.8 【分析】如图，连接，过点D作于点H，交于，根据菱形的性质得垂直平分，则，，当N与H重合，M与重合时，最小值为，由勾股定理求出，再根据，即可求出． 【详解】解：如图，连接，过点D作于点H，交于， ∵在菱形中，对角线与相交于点，， ∴垂直平分，， ∴， ∴， 当N与H重合，M与重合时，最小值为， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为4.8． 1．如图，菱形的对角线相交于点，于点，若，菱形的面积为，则的长度为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【分析】先由菱形性质得到对角线相互垂直平分，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，再由菱形面积公式列式求出，最后在中由勾股定理求解即可． 【详解】解：在菱形中，，，， ，， 在中，，则， 菱形的面积为， ，即，解得， 在中，，则由勾股定理可得． 2．如图，菱形的对角线，相交于点O，，，点E是对角线延长线上一点，且，连接，分别以点D和点E为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，交于点Q，交于点P，则的长为（    ） A．6 B．16 C． D．25 【答案】C 【分析】连接，由题意易得，，设，则有，然后根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， 设，则有， 由作图可知：垂直平分， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：． 3．如图，菱形盒子底部有一面平面镜，从点处射入一道平行于的光线，入射光线经过镜面反射后恰好经过点（法线与平面镜垂直，反射角等于入射角），若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的性质可得，，即得，又可得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ， ∵法线垂直于，反射角等于入射角， ， ∵， ． 4．我国古代数学家刘徽将勾股形分割成一个正方形和两对全等的三角形（如图①）．现对该图形改编如下：如图②，在中，，、分别平分，点D、E分别在、上，连接、，四边形是菱形，延长交于点F，若，则菱形的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据菱形的性质得出，，证明，过点作，根据角平分线的性质定理得出，即可求出菱形的面积． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵，即， ∴，即． 过点作， ∵平分，， ∴， ∴菱形的面积． 5．如图，在菱形的外侧，作等边三角形，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质及等腰三角形的判定与性质．首先根据菱形和等边三角形的性质求出，然后由等腰三角形的性质求出，进而求解即可． 【详解】解： 四边形是菱形， ， ，，． 是等边三角形， ，， ， ，，，， ， ． 6．如图，在菱形中，，点E是边的中点，点P是对角线上的动点，连接、，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】如图，连接PB，BE，，交于点，证明，，即当点与点重合时，的值最小，最小值为的长，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接PB，BE，，BE交于点， 点与点关于菱形的对角线对称， ， ，即当点与点重合时，的值最小，最小值为的长． 在菱形中，，，， ∴， 是等边三角形． 是的中点， ． ， ， ， 的最小值为． 7．如图，为菱形的对角线上的一个定点，为边上的一个动点，的垂直平分线分别交于点．若的长的最小值为6，则的长为__________． 【答案】12 【分析】由菱形的性质以及垂线段最短，先得，，如图：连接，过点P作，则，，则，再根据含30度直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵为菱形的对角线上的一个定点，，的长的最小值为6， ∴，， 如图：连接，过点P作，则，， ∴， ∴， ∴． 8．如图，在菱形中，，点是边上一动点，作射线，点关于射线的对称点为点，直线与射线交于点，连接，当的周长最大值时，则的长为____． 【答案】 【分析】如图，连接，设与的交点为，由点关于射线的对称点为点，证明，，证明是等边三角形，可得，当重合时，最大，最大，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，设与的交点为， ∵菱形，， ∴，， ∵， ∵点关于射线的对称点为点， ∴，，，而， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴当重合时，最大，最大，如图， 此时：， ∴，． 9．如图，在平行四边形中，，垂足为点，，垂足为点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，证明，得到，可知平行四边形是菱形； （2）根据平行四边形的性质得到，根据垂线的定义得到，求出四边形内角和，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 在四边形中，内角和为， ∴ ． 10．如图1，在菱形中，，，点E是边上一动点，F是边上一动点，且，连接、． (1)求证：； (2)如图2，试仅用一把无刻度的直尺，在边上作点G，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，根据菱形的性质得到，，进而证明和均为等边三角形，得到，，证明，即可得到； （2）连接、交于点O，连接并延长，交边于点G即可． 【详解】（1）求证：连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，， ∴和均为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ； （2）解：如图所示，点即为所求： 证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $