21.3.2 第1课时 菱形的性质-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（人教版·新教材）

21.3.2 第1课时 知识储备 1.菱形的定义：有一组 相等的平行四边 形叫作菱形」 2.菱形的性质：（1)菱形的四条边都 (2)菱形的对角线 ,且每一条 X 对角线平分 ;(3)菱形是 图形，对称轴是 3.菱形的面积与两条对角线的关系：菱形的面积 等于 01基础练 必备知识梳理一 知识点一 菱形的性质 1.关于菱形的性质，以下说法不正确的是( A.四条边相等 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.是轴对称图形 2.如图，在菱形ABCD中，AB=12,∠B=60°， 则AC的长为 ( ) A.6 B.8 C.10 D.12 R 第2题图 第3题图 3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交 于点O,点E为CD的中点，若菱形的周长是 48,则OE为 ( ) A.4 B.6 C.8 D.12 4.如图，E是菱形ABCD的对角线BD上一点， 过点E作EF⊥BC于点F.若EF=6,则点E 到边AB的距离为 D 第4题图 第5题图 57 八年级数学·下册 菱形 菱形的性质 5.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 对角线的交点O的坐标是(0,0)，点C的坐 标是（一2,0），且BC=√5，则点D的坐标是 6.如图，在菱形ABCD中，点E,F分别在边BC 和CD上，∠AEB=∠AFD. 求证：CE=CF. 知识点二菱形的面积 7.【新情境·中国结】中国结寓意团圆美满，以 独特的东方神韵体现中国人民的智慧和文化 底蕴.如图，这是小陶家的一个菱形中国结装 饰.若测得BD=8cm,AC=6cm,则该菱形 的面积为 cm-. 8.【教材P73例3变式】如图，四边形ABCD是菱 形，对角线AC,BD相交于点O,且∠ACD= 30°，BD=4,求菱形ABCD的面积. 02综合练 身关锭能力捉升一 9.如图，在菱形ABCD中，∠C=108°，AD的垂 直平分线交对角线BD于点P,垂足为E,连 接AP,则∠APB等于 () A.50° B.72 C.70° D.809 第9题图 第10题图 10.如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B 在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为(3,4)， 则顶点A的坐标为 () A.（-4,2) B.(-√3,4) C.(-2,4) D.(-4,3) 11.如图，在菱形ABCD中，CD =5,BD=8,AE⊥BC于点 E,则AE的长是 12.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于 点O,点E是CD的中点，连接OE,过点C 作CF∥BD交OE的延长线于点F,连接DF. (1)求证：△ODE≌△FCE: (2)试判断四边形ODFC的形状，并写出证 明过程 13.【教材P74练习T3变式】如图，在菱形AB CD中，AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F, 连接EF, (1)求证：AE=AF; (2)若∠B=60°，EF=4,求△AEF的面积. 03素养练 》李种击米培直一 14.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB =60°，E为AB的中点，F是AC上一动点， 则EF+BF的最小值为 助学助教优质高效58△ADF与R△CBE中，AB-CE:R△ADF≌R△CBE(H).DF=BE 4.C5.46.27.60°128.证明：.四边形ABCD是矩形，.BD=AC,DC∥ AB.CE∥BD,·∴.四边形DBEC是平行四边形.∴.BD=EC.∴.AC=EC..∴.∠E= CAE.9.C10.25°11.D12.2.413.(1)证明：四边形ABCD是矩形，∴∠D =90°，DC∥AB..∠BAN=∠AMD.,BN⊥AM,∴.∠BNA=90°=∠D..'AM= AB,.△ABN≌△MAD.(2)4√5一814.(1)证明：四边形ABCD是矩形，∴.AD =BC=4,∠D=90°.，E为AD的中点，.AE=ED=2.由折叠的性质，得∠EGF ∠D=90,∠GEF=∠DEF=2∠DEG,EG=ED,∴∠EGB=90°=∠A,EG=AE 又BE=BE,·R△EGB≌R△EAB(H).·∠GEB=∠AEB=?∠AEG. ∠BEF=∠GEB+∠GEF=2(∠DBG+∠AEG)=90,即BE⊥EF.(2)解：由 (1)知△EGB≌△EAB,.BG=AB=3..四边形ABCD是矩形，..CD=AB=3,∴. FC=CD一DF=3一DF,BF=BG十FG=3十DF.在Rt△BCF中，由勾股定理，得 FC+BC-BF,即(3-DF)+4=(3+DF).解得DF= 3 微专题七 1.D2.24 第2课时矩形的判定 知识储备 1.直角2.相等3.三 基础练综合练素养练 1.D2.证明：.四边形ABCD是平行四边形，.AD=BC,AD∥BC..E是边AB 的中点，AE=BE.又：EC=ED,△AED≌△BEC.∴∠A=∠B.AD∥BC, ∠A十∠B=180°..∠A=∠B=90°..□ABCD是矩形.3.C4.对角线相等的平 行四边形是矩形5.证明：.AD∥BC,∠BAD=∠BCD,.∠BAD+∠ABC ∠BCD+∠ABC=180°..AB∥CD.又AD∥BC,∴.四边形ABCD是平行四边形. OC=号AC,OB=2BD.:OB=OC,.AC=BD.口ABCD是矩形. 6.∠A=901 (答案不唯-)7.证明：”AB=AC,AE⊥BC,∴∠AEC=90°，∠CAE= 2∠BAC AD平分∠FAC,.∠DAC= 2∠FAC.·∠DAE=∠CAE+∠DAC= 2（∠BAC +∠FACO=号X180=90.又CD⊥AD.∴∠ADC=90.·∠AEC=∠EAD ∠ADC=90°..四边形AECD是矩形.8.A9.B10.1511.证明：(1)四边形 ABCD为平行四边形，.AB∥CD..∠ABE=∠FCE..E为BC的中点，.BE= CE=BC.:∠AEB=∠FEC,·△ABE≌△FCE(ASA).AB=CF.又AB∥ CF,∴.四边形ABFC为平行四边形.(2)由(1)知四边形ABFC为平行四边形，. AE=EF=2AF.·∠AEC=2∠ABC,∠AEC=∠ABC+∠EAB,·∠ABC= ∠EAB.∴AE=BE.由(1)知BE=7BC.又AE=2AF,.BC=AF..平行四边形 ABFC为矩形.12.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，∴.AB=CD,AB∥CD, OB=OD,OA=OC.∴.∠ABE=∠CDF..点E,F分别为OB,OD的中点，∴.BE 2OB,DF=2OD.∴BE=DE.又AB=CD,∠ABE=∠CDPF,∴△ABE2△CDF; (2)解：当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形.理由如下：，AC=2OA,AC=2AB, ·AB=OA..E是OB的中点，.AG⊥OB.∴.∠OEG=90°.同理可证CF⊥OD,. EG∥CF.由(1)知△ABE≌△CDF,∴.AE=CF.又AE=EG,.EG=CF..EGL CF.∴.四边形EGCF是平行四边形.，∠OEG=90°，.□EGCF是矩形 21.3.2菱形 第1课时菱形的性质 知识储备 1.邻边2.（1)相等(2)互相垂直平分 一组对角(3)轴对称对角线所在的直 线3.两条对角线乘积的一半 基础练综合练素养练 1.B2.D3.B4.65.(0,-1)6.证明：：四边形ABCD是菱形.AB=AD= BC=DC,∠B=∠D.又∠AEB=∠AFD,∴.△ABE≌△ADF(AAS).∴.BE=DF.. BC=DC,.BC-BE=DC一DF,即CE=CF.7.248.解：，四边形ABCD是菱 形，BD=4,∴.OA=OC=号AC,OB=OD=BD=2,ACLBD..:在Rt△OCD中， ∠OCD=30°，.CD=2OD=4.∴.OC=CD-OD=/42-22=23..∴.AC=2OC =43.S装形m=号AC·BD=?X43X4=83.9.B10.C11.4.8 12.(1)证明：.点E是CD的中点，.CE=DE.又CF∥BD,.∠ODE=∠FCE.又 ∠DEO=∠CEF,∴.△ODE≌△FCE;(2)解：四边形ODFC为矩形，证明如下： △ODE≌△FCE,.OE=FE.又CE=DE,∴.四边形ODFC为平行四边形.又四边形 ABCD为菱形，.AC⊥BD,即∠DOC=90°..平行四边形ODFC为矩形.13.证 明：(1)，四边形ABCD是菱形，.AB=AD,∠B=∠D.又AEBC于点E,AF⊥ CD于点F,.∠AEB=∠AFD=90°.∴.△ABE≌△ADF..AE=AF;(2).四边 形ABCD是菱形，..AD∥BC..∴.∠BAD=180°-∠B=120°.又∠AEB=90°，∠B= 60°，∴.∠BAE=30°.由(1)知△ABE≌△ADF,.∠BAE=∠DAF=30°.∴.∠EAF =120°-30°-30°=60°.∴.△AEF是等边三角形.∴.EF=AE=AF=4.过点A作 AH⊥EF于H,则FH= 2EF=2,∠AHF=90.AH=√4-2=2V3.∴SAs EF·AH=号×4X23=4V5.14.5 .1 第2课时菱形的判定 知识储备 1.相等2.垂直3.相等 基础练综合练素养练 1.A2.证明：DE∥AC,DF∥AB,.四边形AEDF为平行四边形，∠FAD= ∠EDA..'AD是∠BAC的平分线，∴.∠EAD=∠FAD...∠EDA=∠EAD.∴.AE =ED..平行四边形AEDF是菱形.3.C4.AD∥BC(答案不唯一)5.证明： 四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC..,∠EAC=∠ACB,∠AEF=∠EFC.又 O是AC的中点，.OA=OC..△AOE≌△COF..AE=CF.又AE∥CF,∴.四边形 AECF是平行四边形.又AC⊥EF,∴.□AECF是菱形.6.菱形四条边相等的四 边形是菱形7.证明：BD平分∠ABC,.∴.∠ABD=∠CBD.又∠A=∠C,BD= BD,∴.△ABD≌△CBD.∴.AB=BC,AD=CD.又AB=AD,∴.AB=BC=CD=AD ∴.四边形ABCD是菱形.8.①③⑤9.C10.(1)证明：.DE∥BC,EC∥AB,∴. 四边形DBCE是平行四边形..EC=DB.在Rt△ABC中，CD为边AB上的中线，∴. AD=DB=CD..EC=AD..四边形ADCE是平行四边形.又AD=CD,.平行四 边形ADCE是菱形.(2)18√311.(1)证明：，AE平分∠CAB,EF⊥AB,∠ECA =90°，∴.EF=EC,∠1=∠2，∠1十∠CEA=90°，∠2+∠AEF=90°.∴·∠CEA ∠AEF.又CD⊥AB,EF⊥AB,..CD∥EF.∴.∠CGE=∠AEF.,.∠CGE=/CEA. .CE=CG..CG=CE=EF.又.EF∥CG,.四边形CGFE是平行四边形.又，CG =EC,∴.□CGFE是菱形；(2)在Rt△ABC中，BC=10-8=6.设CE=EF= x,则BE=6-x.CE=FE,AE=AE,.Rt△ACE≌Rt△AFE.∴.AC=AF=8.. BF=AB一AF=10-8=2.在Rt△BEF中，BE=EF+BF,∴.(6-x)=x2+2 解得x=弩“菱形的边长是 21.3.3正方形 第1课时正方形的性质 知识储备 1.邻边直角2.(1)直角(2)相等(3)相等且互相垂直平分一组对角 基础练综合练素养练 1.A2.C3.C4.45.456.(1)证明：，四边形ABCD是正方形，.AB= BC,∠ABE=∠C=90°.又BE=CF,.△ABE≌△BCF;(2)解：已证△ABE≌ △BCF,∴.∠BAE=∠CBF.,四边形ABCD为正方形，∴.∠ABE=90°.∴.∠ABOH ∠CBF=90°..∠ABO+∠BAE=90°.∴.∠AOB=90°.7.解：，四边形ABCD是 正方形，.AD=AB=4√2，AC=BD,OA=OC,OB=OD,∠DOE=90°..BD= /AB+AD=/(42)2+(42)2=8..AC=8.OD=OB=4..OA=OC=4. AE=CF=2,∴.OA-AE=OC-CF,即OE=OF=4-2=2.又OB=OD,∴.四边形 BEDF是平行四边形.又EF⊥BD,∴.四边形BEDF为菱形，DE=√OD+OE= /4十2=2W5..∴.四边形BEDF的周长为4DE=85. 第2课时正方形的判定 知识储备 1.直角2.相等3.相等4.互相垂直 基础练综合练素养练 1.D2.D3.∠BAD=90°（答案不唯一）4.有一组邻边相等的矩形是正方形 5.正方6.证明：CE∥BD,DE∥AC,.四边形CODE是平行四边形.正方形 ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠DOC=90°，OD=2BD,OC=2AC,AC =BD.,.□CODE是矩形，OD=OC.,.矩形CODE是正方形.7.证明：.BF∥CE CF∥BE,.四边形BECF是平行四边形.，四边形ABCD是矩形，.∠ABC ∠BCD=90°，·BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,∴∠EBC=2∠ABC=45°， ∠ECB=2∠BCD=45.∠EBC-∠ECB,∠BEC=90.EB=EC.又口BECF □BECF是菱形..∠BEC=90°，.菱形BECF是正方形.8.证明：菱形ABCD .OA=OC,OB=OD,AC⊥BD.BE=DF,∴.OB-BE=OD-DF,即OE=OF.又 OA=OC,.四边形AECF是平行四边形.又AC⊥EF,.□AECF是菱形..OA