专题04 矩形、菱形、正方形的性质与判定的应用【期末复习重难点培优专题十六大题型集训+真题演练】-2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦矩形、菱形、正方形性质与判定的综合应用，通过16类高频易错题型讲练（精讲+精练）及真题实战，构建从性质应用到动态问题的系统化解题体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |重点题型分类讲练|16题型（含折叠、角度/线段/面积计算、动点、最值等）|折叠问题用轴对称性质，斜边中线定理直接应用，动态问题结合函数思想与分类讨论|从矩形、菱形到正方形的性质与判定递进，衔接折叠、对称等图形变换，形成“性质-判定-综合应用”逻辑链| |优选真题实战演练|52题（基础夯实+拓展拔尖）|结合真题强化模型识别（如阴影面积对称模型、线段最值将军饮马模型）|覆盖期末高频考点，从基础计算到综合证明，提升空间观念与应用意识|

2025-2026学年人教版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题04 矩形、菱形、正方形的性质与判定的应用『期末复习重难点专题培优』 【16个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共52题】 2 题型一 矩形与折叠问题 2 题型二 斜边的中线等于斜边的一半 2 题型三 根据矩形的性质与判定求角度 3 题型四 根据矩形的性质与判定求线段长 3 题型五 根据矩形的性质与判定求面积 4 题型六 根据菱形的性质与判定求角度 4 题型七 根据菱形的性质与判定求线段长 5 题型八 根据菱形的性质与判定求面积 6 题型九 正方形折叠问题 6 题型十 根据正方形的性质与判定求角度 7 题型十一 根据正方形的性质与判定求线段长 8 题型十二 根据正方形的性质与判定求面积 8 题型十三 根据正方形的性质与判定证明 9 题型十四 利用(特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 10 题型十五 (特殊)平行四边形的动点问题 11 题型十六 四边形中的线段最值问题 12 优选真题 实战演练 12 【基础夯实 能力提升】 12 【拓展拔尖 冲刺满分】 16 题型一 矩形与折叠问题 【精讲】（24-25八年级下·云南曲靖·期中）如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．求的长． 【精练】（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，折叠矩形纸片，使点D落在点B处，再打开，折痕为，若，，连接，则的长是_____． 题型二 斜边的中线等于斜边的一半 【精讲】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（   ） A．逐渐变小 B．先变小再变大 C．先变小后再不变 D．始终不变 【精练】（24-25八年级下·重庆长寿·期中）如图，在中，，分别是边，的中点，是延长线上一点，且．若，则的长为___________． 题型三 根据矩形的性质与判定求角度 【精讲】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，直线平分，且平移恰好到．下列结论中：①平分；②；③平分；④．一定正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【精练】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型四 根据矩形的性质与判定求线段长 【精讲】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，矩形中，，，点是的中点，垂直平分且分别交的延长线于点，则___________． 【精练】（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，在中，，，点P为斜边上一动点，过点P作交于点E，作交于点F，连接，则线段的最小值为______． 题型五 根据矩形的性质与判定求面积 【精讲】（24-25八年级下·广西玉林·期中）如图，点是矩形的对角线上一点，过作，分别交于点，连接，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A．10 B．12 C．18 D．24 【精练】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是______． 题型六 根据菱形的性质与判定求角度 【精讲】（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在矩形中，连接，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作直线分别交于点，连接若，则的大小为_____． 【精练】（24-25八年级下·山东烟台·期中）按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交、于点B、D；③分别以点B和点D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；④连接、、．若，则的度数是______． 题型七 根据菱形的性质与判定求线段长 【精讲】（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，中，，，分别以点和点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则的长为（    ） A．5 B． C．6 D． 【精练】（24-25八年级下·上海·期中）矩形纸片中，，，点在边所在的直线上，且，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕与射线、分别交于点、，则线段的长度为______． 题型八 根据菱形的性质与判定求面积 【精讲】（2026·云南玉溪·一模）如图，已知线段，分别以点，为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，，连接，，，，则四边形的面积为____________． 【精练】（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）如图，点E是矩形的边上一动点（不与B，C重合），以，为一组邻边作平行四边形，已知，． （1）平行四边形的面积为__________； （2）连接，当最小时四边形的周长为________． 题型九 正方形折叠问题 【精讲】（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，将正方形顶点A折叠至边上的点E，折痕为．若，，则的长是________． 【精练】（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F． (1)求证：； (2)若，，则的长是______． 题型十 根据正方形的性质与判定求角度 【精讲】（24-25八年级下·上海·月考）如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【精练】（2025 八年级下·全国·专题练习）如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为________． 题型十一 根据正方形的性质与判定求线段长 【精讲】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，长方形的长与宽比值为，将点B沿折叠与点G重合，将点C沿折叠与点H重合，则长方形的长与宽的比值为（    ） A．2 B． C． D．3 【精练】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，矩形纸片的长与宽比值为，将纸片沿、折叠，使得点B的对应点F在线段上，点C的对应点H在线段上，则的值为__________． 题型十二 根据正方形的性质与判定求面积 【精讲】（24-25八年级下·山西朔州·期中）如图，在菱形中，，点E在上．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B．3 C． D． 【精练】（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，在矩形中，，，平分，平分，，，则四边形的面积为________． 题型十三 根据正方形的性质与判定证明 【精讲】（24-25八年级下·山东烟台·期中）如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交的延长线于点F，以，为邻边作矩形，连接． 求证： (1)矩形是正方形． (2)． (3)． 【精练】（24-25八年级下·河北雄安·期中）如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，，求的长度； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，求出的度数． 题型十四 利用(特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 【精讲】（23-24八年级下·陕西西安·开学考试）如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 【精练】（24-25八年级下·浙江温州·开学考试）如图，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，，已知菱形的面积为，则图中阴影部分的面积和为___________．（用含的代数式表示） 题型十五 (特殊)平行四边形的动点问题 【精讲】（24-25八年级下·青海西宁·期中）已知，如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，，点D是的中点，动点P在射线上以每秒1个单位长度的速度运动．设动点P的运动时间为t秒，当________时，以P、O、D、B为顶点的四边形为平行四边形． 【精练】（24-25八年级下·山东聊城·期中）如图，在矩形中，，．点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，两点同时出发，当点到达点时停止，求经过多长时间，四边形为矩形？ 题型十六 四边形中的线段最值问题 【精讲】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）已知菱形的边长为2，且，M是对角线上一动点，的最小值为______． 【精练】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图在矩形中，，，点E是边的中点，点F是矩形左侧的一个动点，且，连接，线段的最大长度_____________． 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式对折，使点落在上的点处，折痕为，点落在点处，交于点．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，若，则的周长为（   ） A．12 B．24 C．30 D．36 4．（24-25八年级下·上海·期末）如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点A落在处，点B恰好落在边CD上的点处，如果四边形的面积为6，那么的面积是_________． 5．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，，为边的中点，为矩形外一动点．且，则线段的最大值为 ________ ． 6．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图（1），点F从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，点F运动时，的面积随时间的变化关系图象如图（2），则菱形的面积为________．      （1）                   （2） 7．（24-25八年级下·甘肃定西·期末）如图，正方形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的面积是______． 8．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图1，在矩形纸片中，，，折叠纸片使B点落在边上的点E处，折痕为．过点E作交于F，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)当点E在边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动． ①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形的边长； ②若限定P、Q分别在边、上移动，试求出菱形的面积最大值． 9．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形的面积． 10．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点A，B，C的坐标分别是，，，若经过一次平移后得到，点A，B，C的对应点分别为点，已知点的坐标为根据以上条件，请解决下列问题： (1)请画出平移后的； (2)四边形______平行四边形填“是”或“不是”； (3)在平移过程中，边扫过的面积为______． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（24-25八年级下·山东济宁·期末）长方形中，，将其沿折叠，点A，B分别落到点与点处，恰好点C在上，且，则线段的长度为（   ） A． B．4 C．5 D． 2．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，在中，，，，D为上一动点（不与点A重合），为等边三角形，过D点作的垂线，F为垂线上任意一点，G为的中点且始终有，则线段长的最小值是（   ） A． B．6 C． D．9 3．（24-25八年级下·河南周口·期末）如图，在四边形中，，，，，E，F是边上的两个动点，，连接．若，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C． D．6 4．（24-25八年级下·云南玉溪·期末）如图，某同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则________． 5．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，是边长为1的等边三角形，取边中点，作，，得到四边形，它的周长记作；取中点，作．，得到四边形，它的周长记作，…，照此规律作下去，则_____． 6．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在正方形中，，点在边上，且，将沿折叠至处，延长交于点，连接，，有下列结论： ； ； ； ．其中正确结论的个数是______． 7．（23-24八年级下·福建宁德·期末）如图，在四边形中，，，，则的度数是_______°． 8．（23-24八年级下·新疆阿克苏·期末）如图，正方形的边长为1，以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，如此下去． 第2个正方形的边长为______； 第3个正方形的边长为______； 第n个正方形的边长为______． 9．（24-25八年级下·福建厦门·期末）已知，在正方形中，是一个等边三角形，点P在射线上运动且与直线上的两动点M，（点M在N点左侧）构成等边三角形 (1)如图1，当点M与A点重合时，求证：平分； (2)当点P在直线下方时． ①如图2，试说明：为定值； ②如图3，若的中点为F点，连接，．试探究与的数量关系． 10．（24-25八年级下·山东威海·期末）数学研究小组发现，求线段最值问题的解决策略：对两条线段作某种变换（平移、轴对称、旋转等），最终转化为“两点之间线段最短问题”去解决． (1)如图1，已知菱形，，，点E是边中点，点F是对角线边上的动点．连接，，则的最小值为________； (2)如图2，已知矩形，，．点E是上的点，且，点F，G是上的动点，且，连接．则的最小值为________； (3)如图3，已知正方形，，E是上的动点，F是上的动点，且．连接，，求的最小值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题04 矩形、菱形、正方形的性质与判定的应用『期末复习重难点专题培优』 【16个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共52题】 1 题型一 矩形与折叠问题 1 题型二 斜边的中线等于斜边的一半 3 题型三 根据矩形的性质与判定求角度 4 题型四 根据矩形的性质与判定求线段长 6 题型五 根据矩形的性质与判定求面积 8 题型六 根据菱形的性质与判定求角度 10 题型七 根据菱形的性质与判定求线段长 11 题型八 根据菱形的性质与判定求面积 14 题型九 正方形折叠问题 16 题型十 根据正方形的性质与判定求角度 19 题型十一 根据正方形的性质与判定求线段长 22 题型十二 根据正方形的性质与判定求面积 24 题型十三 根据正方形的性质与判定证明 26 题型十四 利用(特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 30 题型十五 (特殊)平行四边形的动点问题 34 题型十六 四边形中的线段最值问题 36 优选真题 实战演练 38 【基础夯实 能力提升】 38 【拓展拔尖 冲刺满分】 50 题型一 矩形与折叠问题 【精讲】（24-25八年级下·云南曲靖·期中）如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．求的长． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可得，，，推出，由折叠知，推出，得到，设，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在矩形中，，， ，，， ， 由折叠知，， ， ， 设，则， 则在中，，即， 解得， 即． 【精练】（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，折叠矩形纸片，使点D落在点B处，再打开，折痕为，若，，连接，则的长是_____． 【答案】5.8 【分析】根据折叠的性质可得 ，设 ，则 ，在中利用勾股定理建立关于 x的方程求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 由折叠的性质得， 设 ，则 ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 即的长是5.8． 题型二 斜边的中线等于斜边的一半 【精讲】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（   ） A．逐渐变小 B．先变小再变大 C．先变小后再不变 D．始终不变 【答案】D 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，即可得出答案． 【详解】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，    理由是：连接，设 ∵，P为中点， ∴， 即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化； 【精练】（24-25八年级下·重庆长寿·期中）如图，在中，，分别是边，的中点，是延长线上一点，且．若，则的长为___________． 【答案】6 【分析】先得到是的中位线，即可求解，再根据是斜边上的中线求解即可． 【详解】解：∵D，E分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴ ∵，点E是边的中点， ∴． 题型三 根据矩形的性质与判定求角度 【精讲】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，直线平分，且平移恰好到．下列结论中：①平分；②；③平分；④．一定正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，矩形的判定和性质，角平分线的计算，根据题意得到，，可判定①正确；根据平行四边形，矩形的判定方法得到四边形是矩形，由此可判定②③④，由此即可求解． 【详解】解：∵，即， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故①正确； ∵平移到， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴，故②正确； ∵四边形是矩形， ∴，，故④正确， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵平分，即， ∴， ∴平分，故③正确； 综上所述，正确的有4个， 故选：D ． 【精练】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的内角为直角是解题的关键． 根据平行四边形对角线相等的性质判定为矩形，利用矩形的角为直角，结合已知角度计算的度数． 【详解】解：∵在中，对角线， ∴四边形是矩形， ． ， ． 故选：A． 题型四 根据矩形的性质与判定求线段长 【精讲】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，矩形中，，，点是的中点，垂直平分且分别交的延长线于点，则___________． 【答案】3 【分析】作，交的延长线于点H，连接，则，先说明四边形是矩形，可得，再根据中点的定义得，结合线段垂直平分线的性质得，然后根据勾股定理得，求出解即可． 【详解】解：过点G作，交的延长线于点H，连接，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ∵点E是的中点， ∴， ． ∵垂直平分， ∴． 根据勾股定理，得， 即， 解得． 【精练】（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，在中，，，点P为斜边上一动点，过点P作交于点E，作交于点F，连接，则线段的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，可证明四边形是矩形，得到，则当时，最小，则最小，利用勾股定理求出的长，再利用等面积法求出的最小值即可． 【详解】解：如图所示，连接， ， ∴ ， 四边形是矩形， ， 当最小时，也最小， 即当时，最小，此时也最小， ∵， ， ∵当时满足， 的最小值为． 线段的最小值为． 题型五 根据矩形的性质与判定求面积 【精讲】（24-25八年级下·广西玉林·期中）如图，点是矩形的对角线上一点，过作，分别交于点，连接，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A．10 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【分析】过点作构造矩形，利用矩形对角线平分所在矩形面积的性质，证明两个阴影三角形面积相等，算出单个阴影三角形面积进而求得阴影总面积． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 则四边形、四边形、四边形、四边形为矩形，， ，，，，， ， ， ，， ， ． 【精练】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】18 【分析】作于M，交于N；则得四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，由矩形的对角线平分矩形的面积，得，由此即可求解． 【详解】解：如图，作于M，交于N， 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴. 题型六 根据菱形的性质与判定求角度 【精讲】（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在矩形中，连接，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作直线分别交于点，连接若，则的大小为_____． 【答案】/66度 【分析】设与交于点，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，结合矩形的性质可得出四边形为菱形，再进一步可得答案． 【详解】解：设与交于点， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ，，，． 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， 四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【精练】（24-25八年级下·山东烟台·期中）按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交、于点B、D；③分别以点B和点D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；④连接、、．若，则的度数是______． 【答案】/72度 【分析】根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴四边形是菱形， 则， 又∵， ． 题型七 根据菱形的性质与判定求线段长 【精讲】（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，中，，，分别以点和点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则的长为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】先由作图得，结合，可推出四边形是菱形，根据菱形的性质得，，则，再由勾股定理分别求出、即可． 【详解】解：如图，连接交于点， 由作图得， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【精练】（24-25八年级下·上海·期中）矩形纸片中，，，点在边所在的直线上，且，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕与射线、分别交于点、，则线段的长度为______． 【答案】或 【分析】先利用勾股定理求出的长度，再根据折叠的性质证明四边形是菱形，在中用勾股定理求出菱形的边长，最后利用菱形的面积公式（对角线乘积的一半）求出折痕的长度，同时分点在线段上和点在延长线上两种情况讨论． 【详解】解：如图，点在线段上时，连接、， ∵四边形是矩形， ，，，．， ∴， 在中， ． 由折叠的性质得：垂直平分，，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，即菱形边长． 菱形面积，即， 解得． 情况2：如图，点在的延长线上，连接、， ∵四边形是矩形， ，，，．， ∴， 在中，． 由折叠的性质得：垂直平分，，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 设，则， 在中，由勾股定理得， ， ，即菱形边长． 菱形面积， 即， 解得． 综上，线段的长度为或． 题型八 根据菱形的性质与判定求面积 【精讲】（2026·云南玉溪·一模）如图，已知线段，分别以点，为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，，连接，，，，则四边形的面积为____________． 【答案】 【分析】连接，根据作图可知，再根据菱形的性质可得，，，再由勾股定理求出，，再根据菱形的性质求面积即可． 【详解】解：如图：连接， 根据作图可知，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴四边形的面积为． 【精练】（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）如图，点E是矩形的边上一动点（不与B，C重合），以，为一组邻边作平行四边形，已知，． （1）平行四边形的面积为__________； （2）连接，当最小时四边形的周长为________． 【答案】 12 【分析】（1）首先由矩形得到，，，然后求出，然后根据平行四边形的性质求解； （2）如图，连接交于点G，得到，当时，取得最小值，此时取得最小值，如图，得到四边形是菱形，利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形 ∴，， ∴ ∴平行四边形的面积； （2）如图，连接交于点G， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴当时，取得最小值，此时取得最小值，如图， ∴四边形是菱形 ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∴菱形的周长为． 题型九 正方形折叠问题 【精讲】（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，将正方形顶点A折叠至边上的点E，折痕为．若，，则的长是________． 【答案】 【分析】连接，，过点F作于点M，根据折叠得出，，证明，得出，求出，设，则，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案． 【详解】解：连接，，过点F作于点M，如图所示： 则， ∵四边形为正方形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 根据折叠可得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ， ∵， ∴， 解得：， 即． 【精练】（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F． (1)求证：； (2)若，，则的长是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，结合正方形的性质和折叠的性质证明，即可解题； （2）设，则，结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴， 设，则， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 题型十 根据正方形的性质与判定求角度 【精讲】（24-25八年级下·上海·月考）如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）通过证明和全等得到、，结合推出，进而证得； （2）利用菱形性质、全等三角形判定与性质，结合等腰三角形三线合一、矩形及正方形的判定，推导得出． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，． 在和中， ， ∴（）， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，． 在和中， ， ∴（）， ∴． 又∵， ∴， ∴是等腰三角形． 过点作于，交于， ∴（等腰三角形三线合一）． ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵是菱形对角线， ∴， 又∵，， ∴（）， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴菱形是正方形， ∴． 【精练】（2025 八年级下·全国·专题练习）如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠，正方形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，是解题的关键，先求出的度数，折叠，推出四边形是正方形，进而得到，根据三角形的外角的性质，折叠的性质和平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：在矩形中，，． 沿折叠，点C恰好落在边上的点处，， 四边形是正方形， ． 由三角形的外角性质，得． 由翻折的性质，得，． 故答案为：． 题型十一 根据正方形的性质与判定求线段长 【精讲】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，长方形的长与宽比值为，将点B沿折叠与点G重合，将点C沿折叠与点H重合，则长方形的长与宽的比值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】设，则，根据折叠性质得出四边形为正方形，求出和的长，再根据第二次折叠求出，进而得出的长，最后计算长方形的长宽比． 【详解】解：设， 长方形的长与宽比值为， ， 由折叠可知， ，，， ， 四边形为正方形， ，， ∵长方形 ∴ ∴， ∴点共线， ∴， 同理可得，三点共线， 由折叠可得，， ∴ 长与宽的比值为． 【精练】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，矩形纸片的长与宽比值为，将纸片沿、折叠，使得点B的对应点F在线段上，点C的对应点H在线段上，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质、正方形的判定与性质、折叠的性质、全等三角形的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 设，根据矩形长宽比得出，利用折叠性质判定四边形为正方形，从而求出和的长，再根据折叠性质判定四边形为正方形，求出和的长，代入计算即可． 【详解】解：设 ， 矩形的长与宽比值为， ， 由折叠的性质知，， 、、， 四边形是矩形 ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， 、， ， 由折叠的性质可知：， 、、， ， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形， ， 点在线段上， ， ． 题型十二 根据正方形的性质与判定求面积 【精讲】（24-25八年级下·山西朔州·期中）如图，在菱形中，，点E在上．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先证明四边形为正方形，得出，根据勾股定理求出，根据求出结果即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ． 【精练】（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，在矩形中，，，平分，平分，，，则四边形的面积为________． 【答案】8 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质；根据，可推出四边形是平行四边形，再由矩形的性质和角平分线的定义推出，从而可说明平行四边形是正方形，再利用勾股定理结合正方形面积公式即可求解． 【详解】解：， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 平分，平分， ， ， 平行四边形是正方形． ∵，， ∴， ∴，即四边形的面积为8， 故答案为：8． 题型十三 根据正方形的性质与判定证明 【精讲】（24-25八年级下·山东烟台·期中）如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交的延长线于点F，以，为邻边作矩形，连接． 求证： (1)矩形是正方形． (2)． (3)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）过点作、，利用正方形对角线平分内角，证明四边形是正方形，得到．利用同角的余角相等，证明，结合和两个直角，用证明．由全等得，又因为是矩形，邻边相等的矩形是正方形，所以是正方形． （2）由正方形得；由已证的正方形得．利用，同时减去公共角，得到．根据判定，． （3）由（2）的全等，得对应角相等，即．利用正方形对角线性质得，因此．，所以． 【详解】（1）证明：过点E作于点M，作于点N，设、交于点H， ∵四边形是正方形，是对角线，， ∴，， ∴四边形是矩形且，， ∴、都是等腰直角三角形即， ∴矩形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴则， ∵， ∴则， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴四边形是正方形 （2）∵四边形是正方形 ∴即且， ∵四边形是正方形， ∴即且， ∴， 在和中 ； ∴； （3）∵四边形是正方形是对角线， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴． 【精练】（24-25八年级下·河北雄安·期中）如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，，求的长度； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，求出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）作于于，证明，可得，则矩形是正方形； （2）根据，，可得重合，根据正方形的性质即可求解； （3）①当与的夹角为时，点在边上，，再求出，最后由三角形内角和定理得：；②当与的夹角为时，点在的延长线上，，根据三角形内角和定理可得． 【详解】（1）证明：如图1，作于P，于Q， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴矩形是正方形； （2）解：如图2，在正方形中，， 在中，， ∵， ∴， ∴点F与C重合，此时是等腰直角三角形， ∴四边形是正方形， ∴； （3）解：①当与的夹角为时，如图3，则，， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； ②当与的夹角为时，如图4，则， ∵，， ∴， 综上所述，的度数为或． 题型十四 利用(特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 【精讲】（23-24八年级下·陕西西安·开学考试）如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形面积的计算，作出三角形的高，并表示出三角形与长方形的面积是解题的关键．过点作，垂足为，由图形可知，既是的高，也是的高，设，，根据三角形的面积公式可得，，接着可得，即可得出阴影部分占长方形面积的比例． 【详解】如图所示，过点作，垂足为， 设，， 则， ， ，， ， ， ， ，即阴影部分面积是长方形面积的． 故选：C． 【精练】（24-25八年级下·浙江温州·开学考试）如图，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，，已知菱形的面积为，则图中阴影部分的面积和为___________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】连接、交于点，设交于点，交于点，连接，由、分别是、的中点，得，，得出四边形是平行四边形，再利用四边形是菱形，可得，，，利用证明，再利用证明，从而得出，根据菱形的面积为，进而得出，运用平行四边形面积可得，，最后根据即可求得答案． 【详解】解：如图，连接、交于点，设交于点，交于点，连接， 四边形是矩形， ，，， 、分别是、的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，，， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 点是的中点， ， 在和中，， ， ， ， ，，， 点是矩形的中心，即、、三点在同一条直线上， ， ， ， 在和中，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 同理，四边形是平行四边形， ， ， 同理可得，， ， 菱形的面积为， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 题型十五 (特殊)平行四边形的动点问题 【精讲】（24-25八年级下·青海西宁·期中）已知，如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，，点D是的中点，动点P在射线上以每秒1个单位长度的速度运动．设动点P的运动时间为t秒，当________时，以P、O、D、B为顶点的四边形为平行四边形． 【答案】5或15 【分析】根据点的坐标得出相关线段的长度，利用矩形的性质得出相等线段，最后利用平行四边形的判定和性质列出方程求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴,， 当时，以P、O、D、B为顶点的四边形为平行四边形， ∴， 解得或． 【精练】（24-25八年级下·山东聊城·期中）如图，在矩形中，，．点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，两点同时出发，当点到达点时停止，求经过多长时间，四边形为矩形？ 【答案】当经过的时间为秒或4秒或秒或12秒时，四边形是矩形 【分析】根据矩形的判定条件：有一个角是直角的平行四边形是矩形，已知，，故只要使得，四边形即为矩形，分类讨论点Q的不同情况，用含t的式子表示，列方程求解即可． 【详解】解：四边形是矩形，， ， 当时，四边形是矩形，设运动的时间为秒， 点在边上以每秒的速度从点向点运动，到达点时停止， 点的运动时间为：（秒）， 又点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动， 点从点到点的运动时间为：（秒）， 有以下四种情况： ①当时，此时点从点向点运动，，， 又当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当秒时，四边形是矩形； ②当时，此时点从点向点运动，， 又当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当秒时，四边形是矩形； ③当时，此时点从点向点运动，， 又当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当秒时，四边形是矩形； ④当时，此时点从点向点运动，， 又当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当秒时，四边形是矩形， 综上所述：当经过的时间为秒或4秒或秒或12秒时，四边形是矩形． 题型十六 四边形中的线段最值问题 【精讲】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）已知菱形的边长为2，且，M是对角线上一动点，的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，交于点，如图，过点作的垂线，垂足为，连接，求得，，推出，当共线时，最小，然后用勾股定理算得即可． 【详解】解：连接，交于点，如图，过点作的垂线，垂足为，连接， ∵菱形的边长为2， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是对角线上一动点，，， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴当共线时，最小，最小值为， 此时， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【精练】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图在矩形中，，，点E是边的中点，点F是矩形左侧的一个动点，且，连接，线段的最大长度_____________． 【答案】 【分析】使用勾股定理计算出，由“三角形的两边之和大于第三边”可知，，因此当，，三点共线时，最大． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在直角中，， ∵， ∴当，，三点共线时，取得最大值． 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式对折，使点落在上的点处，折痕为，点落在点处，交于点．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理． 先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可． 【详解】解：在中，， 由折叠可得，， 又∵是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得：， 故选：A． 2．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求证四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用三角形面积求得最短时的长，然后即可求出的最小值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∵于E，于F， ∴四边形是矩形， ∴，与互相平分， ∵M是的中点， ∴M为的中点， ∴， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即时，最短，同样也最短， ∴当时，， ∴最短时，， ∴当最短时，． 3．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，若，则的周长为（   ） A．12 B．24 C．30 D．36 【答案】B 【分析】可证明是菱形，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴是菱形， ∴， ∴的周长． 4．（24-25八年级下·上海·期末）如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点A落在处，点B恰好落在边CD上的点处，如果四边形的面积为6，那么的面积是_________． 【答案】 【分析】本题考查翻折的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 连接，则，过点F作于点H，易证，进而得到、，设，则，根据四边形的面积为6，列方程得到关于的表达式，在中，利用勾股定理求出的值，最后利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：连接，则，过点F作于点H， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 、， 设，则， 四边形的面积为6， ， 即， 解得， ， ， 由翻折的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 的面积为：． 5．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，，为边的中点，为矩形外一动点．且，则线段的最大值为 ________ ． 【答案】 【分析】连接，取的中点，连结，，通过矩形的性质结合勾股定理求出，再运用中位线定理求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，最后根据三角形的三边关系得三点共线时最大即可求解． 【详解】如图，连接，取的中点，连接，， ∵矩形中，，，， ∴，， ∴根据勾股定理，， ∵为的中点，为的中点， ∴， ∵， ∴， 由三角形的三边关系得三点共线时最大， 此时． 6．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图（1），点F从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，点F运动时，的面积随时间的变化关系图象如图（2），则菱形的面积为________．      （1）                   （2） 【答案】 【分析】本题主要考查了四边形的动点问题，菱形的性质，勾股定理等知识，设点A到的距离为h，根据动点函数图像求出h， 过点D作交的延长线与点E，则， 利用勾股定理求出，由菱形的性质得出，利用勾股定理求出，最后计算菱形的面积即可． 【详解】解：设点A到的距离为h， 由点F的运动轨迹和速度可知，，且， 解得：， 过点D作交的延长线与点E， 则， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴， 故答案为： 7．（24-25八年级下·甘肃定西·期末）如图，正方形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的面积是______． 【答案】25 【分析】本题考查正方形的判定与性质． 根据正方形的对角线互相垂直平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利进而可得到四边形为正方形，即可求出其面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ，， ， ， ∴， ， ∴四边形为平行四边形， ，， ∴四边形为正方形， ． 故答案为：25 8．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图1，在矩形纸片中，，，折叠纸片使B点落在边上的点E处，折痕为．过点E作交于F，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)当点E在边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动． ①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形的边长； ②若限定P、Q分别在边、上移动，试求出菱形的面积最大值． 【答案】(1)见解析 (2) ；36 【分析】（1）由折叠的性质得出，，，由平行线的性质得出，证出，得出，因此，即可得出结论； （2）①根据矩形的性质和勾股定理求得的长，在中求得，即可求得菱形的边长；②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形为正方形，，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边上的E处，折痕为， ∴点B与点E关于对称， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （2）①∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点B与点E关于对称， ∴， 在中， ， ∴， 在中，，， ∴，解得： ， ∴菱形的边长为； ②当点Q与点C重合时，点E离点A最近， 由①知，此时，， 那么， 当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形为正方形，如图， 则， 那么， ∴菱形的面积范围为，即最大值为36． 9．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)96 【分析】（1）根据平行四边形的性质可证，根据垂直平分线的性质可证，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据对角线互相平分的四边形是菱形可证结论成立； （2）根据菱形的性质可知，设、，根据勾股定理可得，利用完全平方公式可以求出，根据菱形的面积公式求出结果即可． 【详解】（1）证明：是的垂直平分线， ，； ∵四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， （）， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ， ∵四边形的周长是40， ∴， 设、， 则有，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 整理可得：， ∴． 10．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点A，B，C的坐标分别是，，，若经过一次平移后得到，点A，B，C的对应点分别为点，已知点的坐标为根据以上条件，请解决下列问题： (1)请画出平移后的； (2)四边形______平行四边形填“是”或“不是”； (3)在平移过程中，边扫过的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)是 (3)16 【分析】本题考查了作图-平移变换，勾股定理，矩形的判定和性质，正确地作出图形是解题的关键． （1）根据平移的性质画出图形即可； （2）根据勾股定理求得，，于是得到结论； （3）根据勾股定理和矩形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：，，，， ，， 四边形是平行四边形， 故答案为：是； （3）解：由题意知，边扫过的四边形是矩形， ，， 边扫过的面积为， 故答案为： 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（24-25八年级下·山东济宁·期末）长方形中，，将其沿折叠，点A，B分别落到点与点处，恰好点C在上，且，则线段的长度为（   ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】先证明，得到，，设，则，得到，从而得到，解答即可． 本题考查了矩形，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握折叠的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵矩形，， ∴，， 根据折叠的性质，得，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，在中，，，，D为上一动点（不与点A重合），为等边三角形，过D点作的垂线，F为垂线上任意一点，G为的中点且始终有，则线段长的最小值是（   ） A． B．6 C． D．9 【答案】B 【分析】连接，，设、交于点H，斜边上的中线得到，易得垂直平分线段，三线合一，得到，进而得到点G在射线上，过B作交射线于，垂线段最短，得到当G与重合时，取得最小值，最小值为线段的长，证明，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，，设、交于点H， ∵，G为的中点， ∴． ∵为等边三角形， ∴，， ∴垂直平分线段， ∴， ∴， ∴点G在射线上， 过B作交射线于， 则当G与重合时，取得最小值，最小值为线段的长， ∵，，， ∴， ∴， 即的最小值为6． 3．（24-25八年级下·河南周口·期末）如图，在四边形中，，，，，E，F是边上的两个动点，，连接．若，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C． D．6 【答案】A 【分析】题目主要考查矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 根据矩形的判定得出四边形为矩形，确定，，，连接，再由全等三角形的判定和性质得出，，最后根据三角形三边关系即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， 连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为4， 故选：A． 4．（24-25八年级下·云南玉溪·期末）如图，某同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则________． 【答案】66 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：由作图可得， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，是边长为1的等边三角形，取边中点，作，，得到四边形，它的周长记作；取中点，作．，得到四边形，它的周长记作，…，照此规律作下去，则_____． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形的中位线的性质，菱形的性质和判定，找出周长的规律是解题的关键；根据三角形的中位线求解，找规律可得，据此规律可求解． 【详解】解：∵是边长为1的等边三角形， ∴， ∵E是边中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 同理：以此方法得到的四边形都为菱形，且边长为前一个菱形边长的， 即，，……，， ∴． 故答案为：． 6．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在正方形中，，点在边上，且，将沿折叠至处，延长交于点，连接，，有下列结论： ； ； ； ．其中正确结论的个数是______． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，根据翻折变换的性质和正方形的性质可证，从而判定；在直角中，根据勾股定理可证，从而判断；求出，然后通过折叠性质即可判断；求得，从而得出，从而判断，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵将沿折叠至处， ∴，， 又∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴，故正确； ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理，得， 解得， ∴，， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 由折叠性质可得， ∴， ∴，故正确； ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴，故错误， 综上正确，共个， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·福建宁德·期末）如图，在四边形中，，，，则的度数是_______°． 【答案】 【分析】如图，作，于，连接，证明四边形是正方形，则，，证明是等边三角形，则，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，作，于，连接， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·新疆阿克苏·期末）如图，正方形的边长为1，以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，如此下去． 第2个正方形的边长为______； 第3个正方形的边长为______； 第n个正方形的边长为______． 【答案】； 2； 【详解】解：由题意可知， 第1个正方形的边长∶， 第2个正方形的边长∶，即， 第3个正方形的边长∶ ，即， 第4个正方形的边长∶ ，即， ……， 则第n个正方形的边长∶． 9．（24-25八年级下·福建厦门·期末）已知，在正方形中，是一个等边三角形，点P在射线上运动且与直线上的两动点M，（点M在N点左侧）构成等边三角形 (1)如图1，当点M与A点重合时，求证：平分； (2)当点P在直线下方时． ①如图2，试说明：为定值； ②如图3，若的中点为F点，连接，．试探究与的数量关系． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；② 【分析】根据正方形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，得到，求得，根据角平分线的定义得到平分； 假设射线与直线的交点为Q点， ①根据题意得到，，，求得，得到； ②由①得：根据等边三角形的性质得到，求得，由点F为中点，求得，得到，根据三角形的面积公式得到，推出，于是得到结论． 【详解】（1）证明：在正方形中， ， 、是等边三角形， ， ， ， ， 平分． （2）解：设射线与直线的交点为Q点， ①由题可得：，，， ， ∴， ∴，是定值， ∵， ∴； ∴； ； ； 是定值． ② 理由：由①得： 在等边中，， ， 点F为中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 10．（24-25八年级下·山东威海·期末）数学研究小组发现，求线段最值问题的解决策略：对两条线段作某种变换（平移、轴对称、旋转等），最终转化为“两点之间线段最短问题”去解决． (1)如图1，已知菱形，，，点E是边中点，点F是对角线边上的动点．连接，，则的最小值为________； (2)如图2，已知矩形，，．点E是上的点，且，点F，G是上的动点，且，连接．则的最小值为________； (3)如图3，已知正方形，，E是上的动点，F是上的动点，且．连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）取中点记作点，连接，，，记与的交点为点，连接，，先根据三角形的中位线性质和菱形性质证明点是点E关于的对称点，则，当点F运动到点时，的最小值，即的长， 证明为等边三角形和为等腰三角形，利用等边三角形的性质和勾股定理求解即可求解； （2）在上取点H，使得，连接，证明四边形是平行四边形，得到，在延长线上取点，使得，连接，则，进而利用两点之间线段最短得到的最小值为，然后利用勾股定理求得即可求解； （3）在下方，过C作，且，连接，，证明得到，由，当A、F、P共线时取等号，可得的最小值为的长；过P作于H，延长线于Q，由等腰直角三角形的判定与性质求得，再证明四边形是矩形，得到，，在中利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）解：取中点记作点，连接，，， 记与的交点为点，连接，， ∵点E，点分别是，边中点， ∴，，， 在菱形中，，, ∴，， ∴点是点E关于的对称点， ∴， ∴当点F运动到点时，的最小值，即的长， 在菱形中，，， ∴，则为等边三角形， ∴， ∴，则为等腰三角形， ∵点是边中点， ∴，，即， 又，， ∴，则， 在中，， 又∵，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， 在上取点H，使得，连接，则 ∴四边形是平行四边形， ∴， 在延长线上取点，使得，连接，则， ∴，当H、F、共线时取等号， ∴的最小值为， ∵，． ∴中，，， ∴， ∴的最小值为； （3）解：在下方，过C作，且，连接，， ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴，， ∴，又， ∴， ∴， ∴，当A、F、P共线时取等号， ∴的最小值为的长； 过P作于H，延长线于Q，则， 在中，，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $