21.3.1 矩形（分层题型专练，8夯基题型+6进阶题型+拓展培优）2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦矩形性质与判定，通过“基础理解-性质应用-综合探究”三层设计，实现从概念辨析到复杂问题解决的进阶，培养抽象能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解层|矩形性质（对角线、对称轴）、判定定理（对角线相等的平行四边形）|以选择、填空题为主，结合生活情境（门窗制作）考查概念辨析，强化抽象能力| |性质应用层|添加条件判定矩形、求角度/线段长/面积、简单证明|通过几何计算与推理，衔接直角三角形斜边上中线性质，提升运算能力与几何直观| |综合探究层|性质判定综合、折叠问题、最值问题|结合动态几何（动点）、折叠变换，需综合运用方程思想与转化思想，发展创新意识与模型观念|

第二十一章 四边形 21.3.1 矩形 （分层题型专练） 题型一 对矩形性质的理解 1． 矩形内部对角线存在固定的数量关系，任意一个标准矩形，其两条对角线之间的关系是（    ） A．互相垂直且不等 B．长度相等且互相平分 C．互相垂直且相等 D．互不相交且平行 【答案】B 【详解】解：矩形的两条对角线长度相等且互相平分，对应选项B正确． 2． 日常生活中矩形建筑与物品十分普遍，矩形区别于平行四边形的核心特征是（    ） A．对边互相平行 B．四个内角均为直角 C．对边长度相等 D．对角线互相平分 【答案】B 【分析】根据矩形与平行四边形的性质差异，只需找出矩形有、普通平行四边形没有的核心特征即可． 【详解】解：∵ 平行四边形的基本性质为对边互相平行，对边长度相等，对角线互相平分，这些性质矩形都具有， 因此选项A，C，D不符合要求； ∵ 矩形是特殊的平行四边形，其区别于普通平行四边形的核心特征是四个内角均为直角， ∴普通平行四边形不满足该性质． 3．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对边相等 C．对角相等 D．对角线互相平分 【答案】A 【详解】解：∵平行四边形的性质为：对边相等，对角相等，对角线互相平分. 矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，额外具有四个角为直角，对角线相等的特有性质， ∴选项B，C，D中的性质都是矩形和一般平行四边形共有的，只有选项A的对角线相等是矩形具有而一般平行四边形不具有的性质. 4．矩形的对角线具备的核心性质是__________． 【答案】互相平分、长度相等 【分析】根据矩形对角线的性质得出结论即可． 【详解】解：∵矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，同时具备特有的性质， ∴根据矩形的性质可知，矩形的对角线相等且互相平分． 5．矩形有________条对称轴，通过对边________的直线就是它的对称轴． 【答案】 /两 中点 【分析】根据对称轴定义结合矩形的特征，确定对称轴的数量与位置. 【详解】解：∵若一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则该直线为图形的对称轴， ∴对于矩形，沿经过对边中点的直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合， ∴矩形共有条对称轴，过对边中点的直线即为矩形的对称轴. 题型二 矩形判定定理理解的应用 1．工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，进行判断即可． 【详解】解：由题意，其中的道理是对角线相等的平行四边形为矩形． 故选：D． 2．如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等，为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致.这种检查方法用到的数学依据是（   ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．三个角都是直角的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是矩形 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定和矩形的性质．判断平行四边形为矩形是解题的关键．根据矩形的判定方法和性质即可得出答案． 【详解】解：∵书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等， ∴书架是平行四边形， ∵书架的对角线相等， ∴书架是矩形， ∴书架是四个角都是直角， 这种检查方法用到的数学依据是：对角线相等的平行四边形是矩形， 故选：C． 3．如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是（    ） A．有三个角是直角的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题关键．根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，为此要测量两组对边是否相等，根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形为矩形，所以还要测量它们的两条对角线是否相等； 【详解】解：如图， ∵两组对边的长度分别相等，，， ∴四边形为平行四边形， 又∵测量它们的两条对角线相等，， ∴平行四边形为矩形． 故选择B． 4．如图，用一张矩形纸片折出一个正方形，只需把一个角沿折痕翻折上去，使和边上的重合，则展开铺平后所得的四边形就是一个正方形，判断的依据是______________________． 【答案】有一组邻边相等的矩形是正方形 【分析】首先根据矩形的性质可知、为直角，折叠后可得为直角且，由此可判定四边形是矩形，又因为该矩形的一组邻边与相等，根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”即可判定四边形是正方形． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿折痕翻折，使与边上的重合， ∴，， ∴四边形中， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形． 5．如图1，小明将一个直角尺紧靠平行四边形活动架的一边，调整活动架如图2，调整后的活动架的形状是矩形，判断的依据是_______． 【答案】有一个角是直角的平行四边形是矩形 【分析】根据矩形的判定方法，进行求解即可． 【详解】解：小明将一个直角尺紧靠平行四边形活动架的一边，调整活动架如图2，调整后的活动架的形状是矩形，判断的依据是有一个角是直角的平行四边形是矩形． 题型三 添加一个条件使四边形成为矩形 1．如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题已知四边形是平行四边形，需根据矩形的判定定理，逐一分析每个选项的条件能否推出该平行四边形为矩形． 【详解】解：已知四边形是平行四边形． 选项A：， ∵四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）， 不能够判定为矩形，故A项不符合题意． 选项B：， 仅由，无法推出平行四边形中有一个角为直角或对角线相等，不能判定其为矩形．故B项不符合题意． 选项C：， ∵四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），不能够判定为矩形，故C项不符合题意． 选项D：， ∵四边形是平行四边形，且 ∴平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），故D项符合题意． 2．我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以现在初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”那么要把变成“矩形”，需要增加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判断即可． 【详解】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴当时，变成“矩形”， 故选：A． 3．如图，要使成为矩形，应添加的条件是_____（只填一个）． 【答案】（或，答案不唯一） 【分析】本题主要考查了矩形的知识，熟练掌握矩形的判定定理是解决本题的关键． 【详解】∵有一个角是直角的平行四边形叫做矩形， ∴可以添加条件(或其余三个内角中的一个为)． 又∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴也可以添加条件(答案不唯一)． 故答案为：（或，答案不唯一）． 4．如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连结，，，要使四边形成为矩形，可添加一个条件是_________．(只要写出一个条件即可) 【答案】（或或等） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定，首先判定四边形为平行四边形是解题的关键．先证明四边形为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， 又， ，且， 四边形为平行四边形， 添加， 为矩形； 添加， ， 为矩形； 添加， ， 为矩形． 故答案为：（或或） 题型四 利用矩形的性质求角度 1．如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：A 【点睛】本题考查矩形的性质．熟记相关结论即可． 2．矩形中，对角线相交于点O，如果，那么的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质证得，根据三角形的内角和定理即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理等知识，掌握矩形的性质是解题的关键． 3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，交BD于点E，，则的度数为（    ） A．40° B．35° C．30° D．25° 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可得OA=OD，从而得到∠ADO=55°，再由，即可求解． 【详解】解：在矩形ABCD中，OA=OD， ∴∠ADO=∠DAO， ∵∠AOB=∠ADO+∠DAO，， ∴∠ADO=55°， ∵，即∠AED=90°， ∴∠DAE=35°． 故选：B 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键． 4．点是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则______． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先由矩形的性质得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，进一步证明，即可得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．在矩形中，对角线、相交于点，若，则的度数为______． 【答案】70 【分析】本题考查矩形的性质以及等腰三角形的性质，解题关键是熟练掌握矩形性质和等腰三角形性质是解题的关键． 依据矩形对角线相等且互相平分的性质，得出，确定为等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角，得到，根据三角形内角和，结合已知，通过计算出的度数． 【详解】解：如图： ∵四边形是矩形， ∴． 在中，， 则是等腰三角形， ∴ ． ∵， ∴． ∴． 故答案为：70． 6．如图，矩形的对角线与相交于点，，，则（   ） A．5 B．4 C．3.5 D．3 【答案】B 【分析】利用矩形的性质和含角的直角三角形的性质，先求出对角线的长度，再根据矩形对角线相等且互相平分的性质，求出的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，． ∵，， ∴． ∴． ∴． 题型五 利用矩形的性质求线段长 1．如图，在矩形中，对角线、相交于点O，已知，，则的长为（  ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据矩形的性质得到、及，利用勾股定理求出的长，从而求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， 、、， 在中，由勾股定理得：， ． 2．如图，矩形中，对角线交于O点．若，，则的长为（    ） A．4 B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据矩形中，对角线，交于点，，判定是等边三角形，得到，解答即可． 【详解】解：∵矩形中，对角线，交于点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 3．如图，在矩形中，，，为中点，连接，则的长为_____． 【答案】13 【分析】根据矩形的性质和中点的定义得到，，，，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵E为中点， ∴， ∴． 4．如图，在矩形中，，交于点，，，分别是线段，的中点，则的长为_____． 【答案】 9 【分析】根据矩形的性质和三角形的中位线定理即可得出结果. 【详解】解：∵在矩形中，， ∴， ∵，分别是线段，的中点， ∴. 5．如图，矩形的对角线相交于点，，，求的长度． 【答案】8 【分析】本题考查了矩形的性质和等边三角形性质和判定，先根据矩形，得到，再根据，得到是等边三角形，再求出的值即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， 是等边三角形， ， ． 题型六 矩形的性质与面积问题 1．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为4，则矩形ABCD的面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】因为矩形的对角线互相平分且相等，所以BO=DO=AO=CO，在△ABO和△ADO中，因为底BO=DO，高相同，所以S△ABO=S△ADO，同理可得S△ABO=S△ADO=S△BCO=S△DCO，所以矩形ABCD面积=4S△ABO． 【详解】则由题意可得：BO=DO=AO=CO 则在△ABO和△ADO中， ∵BO=DO，高相同 ∴S△ABO=S△ADO 同理可得S△ABO=S△ADO=S△BCO=S△DCO ∴S矩形ABCD =4S△AOB=4×4=16 故选 D 【点睛】本题考查了矩形，熟练运用矩形的性质是解题的关键． 2．如图，过矩形对角线的交点，且分别交，于、，若，，那么图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质可得，进而可得，利用全等三角形性质得出，从而进一步求解即可. 【详解】解：∵矩形中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图，四边形和四边形都是矩形，点B在边上，若矩形和矩形的面积分别为、，则它们的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】由于矩形的面积与矩形的面积都等于2个的面积，即可得两个矩形的面积关系． 【详解】解：∵，， ∴． 4．如图，长方形的面积为，那么三角形的面积是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质及三角形面积，熟练掌握矩形的性质是解题关键．连接，根据矩形的性质得出，由图可知，利用三角形面积公式即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵长方形的面积为， ∴， 由图可知， ∴，即， 解得：． 故选：A． 5．如图，矩形的对角线，相交于点，过点的直线分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】9 【分析】根据矩形的性质及全等三角形的判定证明，得到，所以可得，即可得到答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ，， ， ， ． 6．如图，过矩形对角线的交点O，且分别交、于E、F，那么阴影部分的面积是矩形的面积的_______．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等转化阴影部分面积，结合矩形对角线分面积的性质求解． 利用矩形对角线互相平分及对边平行可证，则，于是将阴影部分面积转化为的面积；矩形对角线分矩形为四个等积三角形，面积为矩形的，而阴影面积等于面积，故得结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴（对角线互相平分且相等），． ∴． ∴ ∴． ∴阴影部分面积 ∵矩形对角线互相平分，将矩形分为四个面积相等的三角形，则， ∴阴影面积是矩形面积的． 故答案为：． 题型七 利用矩形的性质进行证明 1．已知四边形是矩形，对角线，相交于点，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，熟记相关结论即可求解． 【详解】解：∵矩形的四个角都是直角， ∴； 故A正确，不符合题意； ∵矩形的对角线相等且互相平分， ∴，， ∴； 故B、D正确，不符合题意； C错误，符合题意； 故选：C 2．如图，矩形的对角线，相交于点，以下说法不一定正确的是（      ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，根据矩形的性质逐一判断即可，掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵四边形是矩形， ∴，原选项说法正确，不符合题意； 、∵四边形是矩形， ∴，原选项说法正确，不符合题意； 、∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴，原选项说法正确，不符合题意； 、∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴与不一定相等，原选项说法错误，符合题意； 故选：． 3．如图，在矩形中，点在边上，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先根据矩形的性质得，再证明与全等，由此可证． 【详解】证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．如图，在矩形中，，求证：点是边的中点． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，由矩形的性质可得，，再证明得出，即可得证，熟练掌握矩形的性质是解此题的关键． 【详解】证明：∵四边形为矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点是边的中点． 5．如图，四边形是矩形，对角线，交于点，点，Q分别在边和上，线段经过点，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】题目主要考查矩形的性质及全等三角形的判定和性质，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键． 根据矩形的性质得出与互相平分，，再由全等三角形的判定和性质即可证明． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴与互相平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 6．如图，矩形中，点在上，，且，垂足为．证明：． 【答案】见解析 【分析】利用矩形的性质结合证明≌，由全等三角形的性质可得出结论． 【详解】证明：在矩形中，，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ． 7．如图，在矩形中，与相交于点，若，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，矩形的性质，先证明，，可得，，再证明即可得到全等三角形，再进一步可得结论． 【详解】证明：四边形是矩形， ，， ，， ∵， ， ， ． 题型八 证明四边形是矩形 1．如图，在矩形中，是对角线． (1)实践与操作：利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点，交边于点，交边于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的尺规作图和定义，全等三角形的性质与判定等待，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据矩形的性质证明，由题意可得，则可证明，则． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：四边形是矩形， ， ， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ． 2．如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，且∠QPA＝∠PCB． 求证：四边形ABCD是矩形． 【答案】见解析 【分析】根据垂直的性质可得，利用各角之间的等量关系可得，再由矩形的判定定理即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形． 【点睛】题目主要考查矩形的判定定理及各角之间的等量代换，理解题意，结合图形，熟练运用矩形的判定定理是解题关键． 3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，O为AC的中点，连接BO并延长至D，使OD＝OB，连接AD，CD，求证：四边形ABCD是矩形． 【答案】见解析 【分析】根据O为AC的中点， OD＝OB，可得四边形 是平行四边形，再由∠B＝90°，即可求证． 【详解】证明：如图， ∵O为AC的中点， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 是平行四边形， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，熟练掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形是解题的关键． 4．如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点，． 求证：平行四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合已知角相等推导出对角线相等，再根据“对角线相等的平行四边形是矩形”完成证明． 【详解】证明：∵ 四边形 是平行四边形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∵ 四边形 是平行四边形，且 ， ∴ 平行四边形 是矩形． 5．如图，点在的边上，，．求证：为矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及矩形的判定，解题的关键是利用已知条件证明，进而得到． 利用平行四边形对边相等及邻角互补的性质，结合与，通过证明，得到，再由推出，从而判定平行四边形为矩形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ． 在和中， ， ， 又， ， 为矩形． 题型一 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 1．如图，在中，，为边的中点，连接．若，则的长为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线定理，解题的关键是掌握该定理． 利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半进行求解即可． 【详解】解：∵，为边的中点， ∴， 故选：B． 2．如图，数学老师利用刻度直尺（单位：）测量三角形教具的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，点为的中点，若，则可求得的长为，所应用的数学知识是（    ） A．在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．三角形的中位线等于第三边的一半 D．直角三角形两锐角互余 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据题意即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：，点D为的中点， ∴． ∴所应用的数学知识是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 故选：B． 3．如图，矩形中，是对角线的中点，连接，若，则的长为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质和直角三角形斜边中线定理，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键．利用矩形的性质和直角三角形斜边中线定理来求解． 【详解】∵四边形是矩形， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 4．如图，在中，是斜边上的中线，E，F分别是，的中点，若，则的长为_______． 【答案】 【分析】根据斜边上的中线的性质和三角形的中位线定理，进行求解即可. 【详解】解：为中斜边上的中线，， ， ，分别是，的中点， 为的中位线， ． 5．如图，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形的斜边中线定理，解题的关键是掌握相关知识．由中位线定理可得，点为的中点，根据，可得，即可求解． 【详解】解： 为的中位线，， ，点为的中点， ，， ， ． 6．如图，在中，、分别为、的中点，，，，，则的周长为____． 【答案】14 【分析】根据三角形中位线定理得出，根据直角三角形的性质可得，即可得出答案． 【详解】解：， ， ，分别是，的中点， ，， 的周长为． 题型二 矩形的性质判定综合求角度 1．如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，由角的和差关系求出，再根据等边对等角求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 2．如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的内角为直角是解题的关键． 根据平行四边形对角线相等的性质判定为矩形，利用矩形的角为直角，结合已知角度计算的度数． 【详解】解：∵在中，对角线， ∴四边形是矩形， ． ， ． 故选：A． 3．如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝_______度． 【答案】44 【分析】由矩形的性质可知∠OBC=∠ACB=23°，则可求得∠AOB度数，由直角三角形的性质可得∠DBE的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD，OA=OC，OB=OD， ∴OB=OC， ∴∠ACB=∠OBC=23° ， ∵∠AOB=∠ACB+∠OBC=46°，且BE⊥AC ， ∴∠DBE=44° ． 故答案为：44 【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的性质，利用矩形的对角线相等且平分求得∠OBC的度数是解题的关键． 4．如图，在矩形中，，点在上，且，则________． 【答案】15° 【分析】根据矩形性质得出∠A＝∠BCD＝90°，AD＝BC=BE，根据，得出∠BEA＝30°＝∠EBC，求出∠ECB的度数，即可求出答案． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠BCD＝90°，AD＝BC=BE，AD∥BC， ∵， ∴∠BEA＝30°， ∵AD∥BC， ∴∠EBC＝∠BEA＝30°， ∵=BC， ∴∠ECB＝（180°−∠EBC）＝75°， ∵∠BCD＝90°， ∴90°−75°＝15°， 故答案为：15°． 【点睛】本题考查了矩形性质，三角形的内角和定理，平行线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出∠ABC和∠EBA的度数，题目比较好，是一道综合性比较强的题目． 5．如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为______度．    【答案】60 【分析】想办法求出，利用平行四边形的性质即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故答案为：60． 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题． 6．如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的证明，矩形的判定与性质，三角形内角和定理，通过比值换算，求出角的度数，再通过三角形内角和计算是解题的关键． （1）要证明平行四边形是矩形，证明求得即可． （2）首先根据矩形的性质和得到，，则，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）得：四边形是矩形， ，， ， 在直角三角形中，， ． 题型三 矩形的性质判定综合求线段长 1．如图，，，若，，，连接，则的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，过点D作交延长线于点E，证明出四边形是矩形，得到，，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作交延长线于点E ∵，， ∴四边形是矩形 ∴，， ∴ ∴． 故选：A． 2．如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O作交于E，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】C 【分析】连接，根据矩形的对边相等可得，，根据矩形的对角线互相平分可得，然后判断出垂直平分，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，设，表示出，然后在中，利用勾股定理列出方程求解即可． 本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 在矩形中， ∵，， ∴，，， ∵， ∴垂直平分， ∴， 设,则, 在中，， 即， 解得， 即的长为5． 故选：C． 3．如图，的对角线，相交于点，若，则 ______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，证明是矩形是解题的关键．先证明是矩形，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解： 的对角线，相交于点，若， ， 是矩形， ， ， 故答案为：． 4．如图，在等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，点为延长线上一点，且，点为的中点，连接，若，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．过点H作，推出四边形为矩形，证明，得到，，，再证明，得到，，求得，最后利用勾股定理即可求解. 【详解】解：过点H作， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点为的中点，，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，在中，过点作于点，点在边上，．连接，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，平分，，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的长为 【分析】（1）根据的性质可得，，由此即可求证； （2）根据，在中，可得，根据含角的直角三角形的性质可得的长，根据四边形是矩形，可得，根据角平分线的性质可得，在中，根据含角的直角三角形的性质可得的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵点在边上，点在边上， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴，则， ∴平行四线是矩形． （2）解：∵， ∴，则， 在中，， ∴， ∴，， ∵由（1）可知，四边形是矩形， ∴， ∵，平分， ∴， 已知四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 题型四 矩形的性质判定综合解决面积问题 1．如图，在四边形中，为直角，，，对角线、相交于点O，，，则四边形的面积为（    ） A．60 B．30 C．90 D．96 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定与性质、勾股定理，先证明四边形是矩形，再利用矩形的性质和勾股定理求得即可．证明四边形是矩形是解答的关键． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵为直角， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴，则， ∴四边形的面积为． 故选：A． 2．如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交、于点E、F，连接、，若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．28 B．21 C．14 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，掌握矩形的性质是解题关键．过点作，分别交、于点M、N，由矩形的性质推出，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，过点作，分别交、于点M、N， 则四边形、、、都是矩形， ，，，，， 四边形是矩形， ， ，即， ， 阴影部分的面积为， 故选：C 3．矩形中，，交于M，交于N，在上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是（    ）    A．10 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形是矩形，得到，同理可得，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可证， ∴ ， 故选B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键． 4．如图把一张矩形纸片沿对角线翻折，点的对应点为，与相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题）、矩形的性质，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．由翻折可得，由可得，推出即可求解． 【详解】解：由翻折可得， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选项D不符合题意； 矩形， ， ， ， ， 故选项A不符合题意； 根据现有条件无法证明选项BC； 故选：D． 5．如图，平行四边形和矩形的位置如图所示，点D在上，则平行四边形和矩形的面积的大小关系是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，平行四边形的性质，过点 D 作于点G，则四边形是矩形．可得，再根据矩形和平行四边形的性质可得． 【详解】解：如图，过点 D 作于点G， ∵ 四边形 是矩形， ∴， ． ∴ 四边形是矩形． ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 6．如图，点G在矩形的对角线上，且不与A，C重合，过点G分别作边平行线交两组对边于点E，F和点 M，N，则图中阴影部分，面积之间的关系是________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，掌握矩形的性质与判定是解题的关键．由矩形的性质找出，结合对边互相平行即可证出四边形和四边形都是矩形，再根据矩形的性质可得出三对三角形的面积相等，由此即可得结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴． 又∵， ∴四边形和四边形都是矩形． ， ，即， 故答案为：． 7．如图所示，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的应用，运用已知条件证明与面积相等，则将阴影部分面积转化为求的面积即可，解答本题的关键在于证明两个三角形全等． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， （两直线平行内错角相等）， 在与中， ∴（） ∴ ． 故答案为：． 8．如图，中，对角线，相交于点O，，，．    (1)求证：是正三角形； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，继而可得，再由根据有一个角等于的等腰三角形是等边三角形即可得出结论； （2）由是等边三角形得出，进而可得，由此得出四边形是矩形，再根据利用勾股定理可得的长，最后利用矩形的面积公式即可得． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 又 ， 又， 是等边三角形； （2）解： 是等边三角形； 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， ， 在中，， 则矩形的面积为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定和性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质是解题关键． 题型五 矩形的性质判定与折叠综合 1．如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出值，则即可求得； 【详解】解：由折叠可知： ∵矩形中， ∴ ∴ 故选：B ． 2．如图，将矩形沿折叠，点，的对应点分别为点交于点，已知与的度数之比为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，根据折叠的性质，平行线的性质，推出，再根据三角形的内角和定理求出，即可． 【详解】解：由题意，设，， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．如图，将矩形纸条如图折叠，若，则的度数是________． 【答案】/度 【分析】本题可利用矩形纸条对边平行的性质，结合折叠前后对应角相等的特点，通过平角的定义建立与的数量关系，进而求解的度数． 【详解】解：由图题意可得折痕为， ，令点是延长线上一点， ∵，， ∴， 由折叠的性质可知，， ． ， ， ． 4．如图，将矩形纸片折叠，使与重合，得到折痕．把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，同时得到线段，若，则的长为___________． 【答案】 【分析】由折叠的性质可知：，，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：由折叠的性质可知：，， ∴． 5．如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为，与交于点E，若，，求的长． 【答案】 【分析】设，先根据矩形的性质得出，，，利用证明，再根据全等三角形的性质得出，然后利用勾股定理得到关于的方程求解． 【详解】解：如图，连结， 设， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵将矩形沿对角线所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为，与交于点E， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ， ∴，解得：， ∴的长为． 【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的性质与判定综合（），矩形的性质，勾股定理，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 6．如图，在矩形中，，将其折叠，使边落在对角线上，得到折痕，求点E到点B的距离． 【答案】 【分析】本题考查了折叠问题、勾股定理和矩形的性质；解题中，找准相等的量是正确解答题目的关键．设折叠后与重合，连接，由于是折痕，可得到，设出未知数，在中利用勾股定理列出方程，通过解方程可得答案． 【详解】解：设折叠后与重合，连接，设， ∵为折痕， ∴，， 在中，， ∴中，， ∴， 解得． 故答案为：． 7．如图，将矩形沿直线折叠，使点落在点处，交于点，，．求的长． 【答案】 【分析】根据翻折的性质可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，再根据等角对等边可得，再表示出，然后在中，利用勾股定理列出方程求解即可．本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握翻折前后的两个图形能够完全重合是解题的关键． 【详解】解：如图，由翻折的性质得，， 矩形的边， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 在中，， ， 解得． 8．如图，四边形是一张长方形纸片，将纸片折叠，使点A与点D，点B与点C重合，得到折痕EF后再把纸片展平；在CD上选一点P，沿AP折叠，使点D恰好落在折痕EF上的点M处．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查矩形的性质、垂直平分线的性质、折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 连接，根据对折矩形纸片，为折痕，证得垂直平分，沿折叠，使点D落在矩形内部点M处，证得，进而证得，根据直角三角形的性质，证得即可． 【详解】证明：连接，如图： ∵对折矩形纸片，为折痕， ，， 垂直平分 沿折叠，使点D落在矩形内部点M处， 为等边三角形 ． 题型六 矩形中最值问题 1．如图，中，，D是上一个动点，过点D分别作于点E，于点F，连接，则线段的最小值是（　　） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质及勾股定理的应用，连接，证明四边形是矩形，得出，当时，取最小值，即线段的长最小，计算求出最小值即可． 【详解】解：连接， ，， ， 四边形是矩形， ， 是上一个动点， 当时，取最小值，即线段的长最小， ， ， ， ， 故选：D． 2．如图．在中，，且，点D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，则线段的最小值为（    ） A．4.8 B．5 C．3.6 D．5.4 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，矩形性质的运用是解题的关键；连接，证明四边形是矩形，则，当时，最短，从而最小，利用面积关系求出的最小值即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 当时，最短，从而最小； ∵，， ∴由勾股定理得； ∵当时，， ∴， 即的最小值为，从而的最小值为． 故选：A． 3．如图，在中，，，，P是边上的动点．作于点E，于点F，若M是的中点，则在点P运动过程中，的最小值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．证四边形是矩形，得，再由垂线段最短和三角形面积求出的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 是的中点， ， 根据垂线段最短可知，当时，最短，则也最短， 此时，， ， 即最短时，， 的最小值， 故选：C． 4．在平面直角坐标系中，，，，P为线段上一动点，于点M，于点N，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据题意，得到四边形是矩形，于是，得到的最小值实际是的最小值，根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值实际是的最小值， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 根据垂线段最短，当时，取得最小值， 此时． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，矩形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 5．如图，在中，，．P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为________．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理．连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据直角三角形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，线段的值最小，此时线段的值最小， ∵， ∴， 解得：， 即线段的最小值为． 故答案为： 6．如图，是以为斜边的直角三角形，，，为上一动点，且于，于，则线段长度的最小值是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短．先由矩形的判定定理推知四边形是矩形；连接，则，所以要使，即最短，只需即可；然后根据三角形的等积转换即可求得的值． 【详解】解：连接， 于，于， ； 又， 四边形是矩形， ， 当最小时，也最小， 即当时，最小， ，， ， ， ． 线段长的最小值为； 故答案是：． 7．如图在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，对角线AC，BD交于点O，过点O作BD的垂线交AD于点M，过点M作AC的垂线，垂足为点N，则MO+MN的值是______________． 【答案】 【分析】根据，勾股定理求得，根据矩形的性质可得，根据等面积法即可求解． 【详解】解：∵在矩形ABCD中，AB=3，AD=4， ，， ， ， ， ， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键． 1．如图，为的中位线，点在上，且．若，，则的长为（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知识． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，再根据三角形的中位线定理求出的长，问题即可解答． 【详解】解：，为的中位线， D为 斜边的中点， ， 为的中位线， ， ． 2．如图，中，．以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作射线交于点E．若点F为的中点，连接，则的长是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】由作图过程可知：是的角平分线，利用等腰三角形三线合一的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：由作图过程可知：是的角平分线， ∵． ∴， ∵点F为的中点， ∴． 3．在平行四边形中，对角线，相交于点O，，E，F，G分别是，，的中点．交于点H．下面四个结论：①；②；③；④；其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由等腰三角形“三线合一”得，根据三角形中位线定理可得；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得，即可得；连接，可证四边形是平行四边形，即可得，由三角形面积关系得出，即可得出结论． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是平行四边形， ，，，，，， ， ， 点为中点， ，故①正确； 、、分别是、、的中点， ，， ，， ， ，故②正确； ，， 四边形是平行四边形， ，故③正确； ，， ，， ，即，故④正确； 4．如图，在矩形中，，，点M，N分别是边，上的动点，点M不与A，B重合，且，P是五边形内满足且的点．现给出以下结论： ①； ②点P到边，的距离一定相等； ③点P到边，的距离可能相等； ④点P到边的距离的最大值为1； 其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】过点分别作，，，的垂线，垂足分别为点，，，：结合，，判断结论①正误；可证明，判断结论②正误；结合，可判断结论③正误；结合，可判断结论④正误． 【详解】解：如图所示，过点分别作，，，的垂线，垂足分别为点，，，． ∵四边形为矩形， ∴． ∴，． ∴． ∴点，，共线． 同理可得点，，共线． ∵， ∴四边形为矩形． ∴． 同理可得． ∵，，， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． 结论①正确． 在和中， ，，， ∴． ∴． ∴点到边，的距离一定相等． 结论②正确． ∵， ∴． ∴． ∴点到边，的距离不相等． 结论③错误． ∵ ∴的最大值为． 结论④错误． 综上所述，结论正确的为①②，共2个． 5．如图，在矩形中，，，点是边上一动点，连接，过点作交边于点．将沿翻折得到，点的对应点为，连接，若是以为腰的等腰三角形，则的长为_____． 【答案】3或 【分析】设，则，由折叠性质可得，，利用平角定义及垂直定义推导出，从而可知点关于直线的对称点在直线上，且，进而得到，，分和两种情况，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：设，四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在中，， 由折叠的性质可得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴点关于直线的对称点在直线上，如图， ∴， ∴，，是以为腰的等腰三角形， ∴分两种情况讨论： ①当时，，即，解得，此时； ②当时，， ∴， ∴，在中，， ∵在直线上，在，之间，，，， ∴，整理得，解得，， 当时，与重合，不存在，舍去， ∴，此时， 综上所述，的长为或． 6．如图，在矩形中，，，在和上分别有点，连．点关于的对称点，点关于的对称点，若刚好相邻落在对角线上，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，图形对称的性质，勾股定理解三角形等知识点． 连接，根据矩形的性质，利用勾股定理得到，根据图形对称的性质得到，，设，根据勾股定理解得，得到，设，同理得到，继而根据勾股定理得到． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点关于的对称点为，点关于的对称点为， ∴，，，， ∴，，， 设，则， ∵， ∵， ∴，解得， ∴， 设，则， 在中，， ∵， ∴，解得， ∴， 在中，， ∴． 7．如图，在矩形中，，将沿对角线折叠得到，与边交于点E，再将沿折叠得到，若点恰好落在的边上，则的长为______． 【答案】或 【分析】利用折叠性质挖掘角度和线段的等量关系，并根据点落在不同边上的情况进行分类讨论． 【详解】解：由折叠的性质可知：，， ∴，，，，，， 由题意分情况讨论： ①如图，当点落在边上时： ∵点在上， ∴， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴； ②如图，当点落在边上时： ∵点在上，， ∴， ∵矩形中，， 即， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 由折叠可知，， 在中，，， ∴， ∵点E在上， ∴， 即， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 综上所述，的长为或． 8．在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等四边形”进行研究．定义：有两个相邻的内角是直角，并且只有一组邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角． (1)概念理解 如图1，在6×7的小正方形网格纸中，，，三点均在格点上，请找出所有符合条件的格点，使四边形是邻等四边形，在网格中画出四边形． (2)性质探究 如图2，四边形是邻等四边形，，．求证：平分． (3)拓展应用 如图3，在矩形中，，，是边的中点，在边上找一点，使得四边形是邻等四边形，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3或 【分析】（1）根据新定义分两种情况进行讨论即可；①，结合图形再确定满足的格点；②，结合图形再确定满足或的格点； （2）先证明，得出，再根据，得出，即可得到，即可得出结论； （3）在矩形中，，，E是边的中点，，，，根据题意得出当或时，四边形是邻等四边形，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）证明：∵， ∴， ， ∵， ， ， ∴对角线平分． （3）解：∵在矩形中，，，E是边的中点，，， ∴， 当或时，四边形是邻等四边形， 当时，； 当时，如图，过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，，解得：， ∴， 综上，的长为3或． 9．小济、小源和洋洋在教材上发现一则关于数学折纸活动的材料，材料原文叙述如下： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）： ①对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． ②再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段． 观察所得到的，和，这三个角有什么关系？你能证明吗？ (1)小济猜想：．他的证明思路是：连接，利用轴对称性质得出是等边三角形，，从而证得猜想成立．请根据小济的思路完成下面的填空： 证明：连接， 四边形是矩形， __________． 首次对折纸片时，由轴对称性质知， 垂直平分②_________， ③_________． 再次折叠时，由轴对称性质可知， ④_________，⑤_________， ． 是等边三角形． ， ． ． (2)小源在该折纸活动基础上，进一步探索．如图2，她先对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段．已知，，直接写出线段的长_________． (3)【迁移探究】洋洋将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究（如图3），过程如下： 将正方形纸片按照“问题情境”的方式操作，并延长交于点Q，连接．当点N在上时，，正方形的边长为_________． 【答案】(1)①；②；③；④；⑤． (2) (3) 【分析】（1）因为矩形的四个角都是直角，所以先确定的度数；因为首次对折是使与重合，折痕是的垂直平分线，所以得出垂直平分的线段，进而得到对应线段相等；因为再次折叠是轴对称变换，所以对应边和相等，对应角和相等，结合等边三角形判定定理完成填空． （2）先根据对折的轴对称性质确定相关线段的长度和角度，再利用勾股定理，结合折叠的性质建立关于的等式，求解的长度． （3）设正方形边长为未知数，利用折叠的轴对称性质得到相等的线段和角度，证明三角形全等，再结合勾股定理建立方程，求解正方形的边长． 【详解】（1）证明：连接， 四边形是矩形， ． 首次对折纸片时，由轴对称性质知， 垂直平分， ． 再次折叠时，由轴对称性质可知， ， ， ． 是等边三角形． ， ． ． （2）解：∵， 由折叠的性质知，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得 故线段的长为． （3）解析：设正方形边长为， 由（1）结论得， ∵， ∴． ∴， ∵在中，， ∴​​， 解得或（舍去）． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 四边形 21.3.1 矩形 （分层题型专练） 题型一 对矩形性质的理解 1． 矩形内部对角线存在固定的数量关系，任意一个标准矩形，其两条对角线之间的关系是（    ） A．互相垂直且不等 B．长度相等且互相平分 C．互相垂直且相等 D．互不相交且平行 2． 日常生活中矩形建筑与物品十分普遍，矩形区别于平行四边形的核心特征是（    ） A．对边互相平行 B．四个内角均为直角 C．对边长度相等 D．对角线互相平分 3．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对边相等 C．对角相等 D．对角线互相平分 4．矩形的对角线具备的核心性质是__________． 5．矩形有________条对称轴，通过对边________的直线就是它的对称轴． 题型二 矩形判定定理理解的应用 1．工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 2．如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等，为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致.这种检查方法用到的数学依据是（   ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．三个角都是直角的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是矩形 3．如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是（    ） A．有三个角是直角的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 4．如图，用一张矩形纸片折出一个正方形，只需把一个角沿折痕翻折上去，使和边上的重合，则展开铺平后所得的四边形就是一个正方形，判断的依据是______________________． 5．如图1，小明将一个直角尺紧靠平行四边形活动架的一边，调整活动架如图2，调整后的活动架的形状是矩形，判断的依据是_______． 题型三 添加一个条件使四边形成为矩形 1．如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 2．我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以现在初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”那么要把变成“矩形”，需要增加的条件是（   ） A． B． C． D． 3．如图，要使成为矩形，应添加的条件是_____（只填一个）． 4．如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连结，，，要使四边形成为矩形，可添加一个条件是_________．(只要写出一个条件即可) 故答案为：（或或） 题型四 利用矩形的性质求角度 1．如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（    ）      A． B． C． D． 2．矩形中，对角线相交于点O，如果，那么的度数是（　　）    A． B． C． D． 3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，交BD于点E，，则的度数为（    ） A．40° B．35° C．30° D．25° 4．点是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则______． 5．在矩形中，对角线、相交于点，若，则的度数为______． 6．如图，矩形的对角线与相交于点，，，则（   ） A．5 B．4 C．3.5 D．3 题型五 利用矩形的性质求线段长 1．如图，在矩形中，对角线、相交于点O，已知，，则的长为（  ） A．5 B．6 C．8 D．10 2．如图，矩形中，对角线交于O点．若，，则的长为（    ） A．4 B． C．3 D．5 3．如图，在矩形中，，，为中点，连接，则的长为_____． 4．如图，在矩形中，，交于点，，，分别是线段，的中点，则的长为_____． 5．如图，矩形的对角线相交于点，，，求的长度． 题型六 矩形的性质与面积问题 1．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为4，则矩形ABCD的面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 2．如图，过矩形对角线的交点，且分别交，于、，若，，那么图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图，四边形和四边形都是矩形，点B在边上，若矩形和矩形的面积分别为、，则它们的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 4．如图，长方形的面积为，那么三角形的面积是（    ）． A． B． C． D． 5．如图，矩形的对角线，相交于点，过点的直线分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为__________． 6．如图，过矩形对角线的交点O，且分别交、于E、F，那么阴影部分的面积是矩形的面积的_______．    题型七 利用矩形的性质进行证明 1．已知四边形是矩形，对角线，相交于点，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，矩形的对角线，相交于点，以下说法不一定正确的是（      ）． A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，点在边上，，求证：． 4．如图，在矩形中，，求证：点是边的中点． 5．如图，四边形是矩形，对角线，交于点，点，Q分别在边和上，线段经过点，连接，．求证：． 6．如图，矩形中，点在上，，且，垂足为．证明：． 7．如图，在矩形中，与相交于点，若，求证：． 题型八 证明四边形是矩形 1．如图，在矩形中，是对角线． (1)实践与操作：利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点，交边于点，交边于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)求证：． 2．如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，且∠QPA＝∠PCB． 求证：四边形ABCD是矩形． 3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，O为AC的中点，连接BO并延长至D，使OD＝OB，连接AD，CD，求证：四边形ABCD是矩形． 4．如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点，． 求证：平行四边形是矩形． 5．如图，点在的边上，，．求证：为矩形． 题型一 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 1．如图，在中，，为边的中点，连接．若，则的长为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 2．如图，数学老师利用刻度直尺（单位：）测量三角形教具的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，点为的中点，若，则可求得的长为，所应用的数学知识是（    ） A．在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．三角形的中位线等于第三边的一半 D．直角三角形两锐角互余 3．如图，矩形中，是对角线的中点，连接，若，则的长为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 4．如图，在中，是斜边上的中线，E，F分别是，的中点，若，则的长为_______． 5．如图，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为_____． 6．如图，在中，、分别为、的中点，，，，，则的周长为____． 题型二 矩形的性质判定综合求角度 1．如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 2．如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝_______度． 4．如图，在矩形中，，点在上，且，则________． 5．如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为______度．    6．如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 题型三 矩形的性质判定综合求线段长 1．如图，，，若，，，连接，则的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 2．如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O作交于E，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D． 3．如图，的对角线，相交于点，若，则 ______． 4．如图，在等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，点为延长线上一点，且，点为的中点，连接，若，，则__________． 5．如图，在中，过点作于点，点在边上，．连接，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，平分，，求的长． 题型四 矩形的性质判定综合解决面积问题 1．如图，在四边形中，为直角，，，对角线、相交于点O，，，则四边形的面积为（    ） A．60 B．30 C．90 D．96 2．如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交、于点E、F，连接、，若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．28 B．21 C．14 D．10 3．矩形中，，交于M，交于N，在上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是（    ）    A．10 B．5 C． D． 4．如图把一张矩形纸片沿对角线翻折，点的对应点为，与相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，平行四边形和矩形的位置如图所示，点D在上，则平行四边形和矩形的面积的大小关系是 （   ） A． B． C． D． 6．如图，点G在矩形的对角线上，且不与A，C重合，过点G分别作边平行线交两组对边于点E，F和点 M，N，则图中阴影部分，面积之间的关系是________． 7．如图所示，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为______． 8．如图，中，对角线，相交于点O，，，．    (1)求证：是正三角形； (2)求的面积． 题型五 矩形的性质判定与折叠综合 1．如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，将矩形沿折叠，点，的对应点分别为点交于点，已知与的度数之比为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，将矩形纸条如图折叠，若，则的度数是________． 4．如图，将矩形纸片折叠，使与重合，得到折痕．把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，同时得到线段，若，则的长为___________． 5．如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为，与交于点E，若，，求的长． 6．如图，在矩形中，，将其折叠，使边落在对角线上，得到折痕，求点E到点B的距离． 7．如图，将矩形沿直线折叠，使点落在点处，交于点，，．求的长． 8．如图，四边形是一张长方形纸片，将纸片折叠，使点A与点D，点B与点C重合，得到折痕EF后再把纸片展平；在CD上选一点P，沿AP折叠，使点D恰好落在折痕EF上的点M处．求证：． 题型六 矩形中最值问题 1．如图，中，，D是上一个动点，过点D分别作于点E，于点F，连接，则线段的最小值是（　　） A．5 B． C． D． 2．如图．在中，，且，点D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，则线段的最小值为（    ） A．4.8 B．5 C．3.6 D．5.4 3．如图，在中，，，，P是边上的动点．作于点E，于点F，若M是的中点，则在点P运动过程中，的最小值为（   ）． A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，，，，P为线段上一动点，于点M，于点N，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，．P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为________．    6．如图，是以为斜边的直角三角形，，，为上一动点，且于，于，则线段长度的最小值是______． 7．如图在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，对角线AC，BD交于点O，过点O作BD的垂线交AD于点M，过点M作AC的垂线，垂足为点N，则MO+MN的值是______________． 1．如图，为的中位线，点在上，且．若，，则的长为（    ） A．3 B．6 C． D． 2．如图，中，．以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作射线交于点E．若点F为的中点，连接，则的长是（   ） A． B．4 C． D． 3．在平行四边形中，对角线，相交于点O，，E，F，G分别是，，的中点．交于点H．下面四个结论：①；②；③；④；其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 4．如图，在矩形中，，，点M，N分别是边，上的动点，点M不与A，B重合，且，P是五边形内满足且的点．现给出以下结论： ①； ②点P到边，的距离一定相等； ③点P到边，的距离可能相等； ④点P到边的距离的最大值为1； 其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，在矩形中，，，点是边上一动点，连接，过点作交边于点．将沿翻折得到，点的对应点为，连接，若是以为腰的等腰三角形，则的长为_____． 6．如图，在矩形中，，，在和上分别有点，连．点关于的对称点，点关于的对称点，若刚好相邻落在对角线上，则的长为_____． 7．如图，在矩形中，，将沿对角线折叠得到，与边交于点E，再将沿折叠得到，若点恰好落在的边上，则的长为______． 8．在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等四边形”进行研究．定义：有两个相邻的内角是直角，并且只有一组邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角． (1)概念理解 如图1，在6×7的小正方形网格纸中，，，三点均在格点上，请找出所有符合条件的格点，使四边形是邻等四边形，在网格中画出四边形． (2)性质探究 如图2，四边形是邻等四边形，，．求证：平分． (3)拓展应用 如图3，在矩形中，，，是边的中点，在边上找一点，使得四边形是邻等四边形，请直接写出的长． 9．小济、小源和洋洋在教材上发现一则关于数学折纸活动的材料，材料原文叙述如下： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）： ①对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． ②再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段． 观察所得到的，和，这三个角有什么关系？你能证明吗？ (1)小济猜想：．他的证明思路是：连接，利用轴对称性质得出是等边三角形，，从而证得猜想成立．请根据小济的思路完成下面的填空： 证明：连接， 四边形是矩形， __________． 首次对折纸片时，由轴对称性质知， 垂直平分②_________， ③_________． 再次折叠时，由轴对称性质可知， ④_________，⑤_________， ． 是等边三角形． ， ． ． (2)小源在该折纸活动基础上，进一步探索．如图2，她先对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段．已知，，直接写出线段的长_________． (3)【迁移探究】洋洋将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究（如图3），过程如下： 将正方形纸片按照“问题情境”的方式操作，并延长交于点Q，连接．当点N在上时，，正方形的边长为_________． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $