2.11 函数与方程的综合应用讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦函数与方程综合应用高考核心考点，涵盖零点分布、复合函数零点等题型，按“考向预测-核心梳理-题型突破-训练巩固”逻辑架构知识体系，通过考点梳理明确数形结合等思想方法，结合真题例题与跟踪训练，帮助学生系统突破含参讨论、实根分析等难点。 讲义采用“题型细分+分层训练”创新策略，如二次函数零点分布例题中，引导学生结合函数图象与符号推理分析参数范围，培养数学思维与几何直观。设置30分钟限时训练及不同层次跟踪练习，确保高效突破高频考点，助力学生提升综合分析与分类探究能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第二章 函 数 §2.11　函数与方程的综合应用 【高考考向预测】 近三年高考函数与方程综合应用考查频次较高，题型涵盖选择填空与解答题，侧重借助函数图象研究方程根的分布、零点个数、参数取值范围，常融合各类基本函数、不等式联合考查；预测2027 年依旧保持高频考查，命题偏向含参零点讨论、复合型方程实根问题，强化数形结合与等价转化思想，注重与导数、最值问题深度结合，侧重考查综合分析与分类探究能力。 【核心梳理●明考点】 重点解读　函数与方程的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质，结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等，题目难度较大，一般出现在压轴题位置. 题型一　由零点分布求值(范围) 命题点1　二次函数的零点分布 例1　(多选)已知函数f(x)=x2+(m-3)x+m的两个零点分别为x1，x2，且x1<x2，则下列结论正确的是(　　) A.当x1>0且x2>0时，0<m<1 B.当x1<1且x2>1时，m<1 C.当-2<x1<0且0<x2<4时，m<- D.当x1<2且x2>4时，m<- 命题点2　其他函数的零点分布 例2　(2025·成都模拟)函数f(x)=|2x-3|-8sin πx(x∈R)的所有零点之和为(　　) A.9 B.10 C.11 D.12 【跟踪训练】1　(1)设方程x2-2ax-a=0的两实根满足x1<x2<1，则实数a的取值范围为(　　) A. B.∪(0，1) C.(-∞，-1)∪ D. (2)已知函数f(x)=x|2x-a|.若存在实数m，使得f(x)=m在区间[1，2]上有两个不等实数根，则实数a的取值范围为(　　) A.(2，4) B.(4，8) C.(2，8) D.(2，4)∪(4，8) 题型二　复合函数的零点 命题点1　复合函数的零点个数判定 例3　(2026·广州模拟)函数f(x)=则函数y=f(f(x))的零点个数为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 命题点2　根据复合函数零点求参数 例4　(多选)(2025·亳州模拟)已知函数f(x)=若函数g(x)=3[f(x)]2-(m+3)f(x)+m有5个不同的零点，则实数m的值可能是(　　) A.-5 B.-6 C.-7 D.-8 【跟踪训练】2　(1)(2025·毕节模拟)已知函数f(x)=则函数y=[f(x)]2-5f(x)+6的零点个数为(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 (2)已知函数f(x)为定义在(0，+∞)上的单调函数，且f(f(x)-log2x-2x)=3，若函数g(x)=f(x)-a在(1，2)内有唯一零点，则实数a的取值范围是　　　　　　.  【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共20分) 1.若方程x2-3ax+2a2=0的一个根小于1，另一个根大于1，则实数a的取值范围是(　　) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，5) D. 2.已知方程2x2-4mx-3=0的两根为α，β，且α∈(1，2)，β∈(-1，0)，则实数m的取值范围是(　　) A. B.(-∞，-1) C.(1，+∞) D. 3.(2026·六安模拟)已知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且f(x)在(0，+∞)上是单调函数，若f=3，则f(x)的零点为(　　) A.2 B.1 C.4 D.6 4.(2025·白银模拟)已知函数f(x)=记函数g(x)=[f(x)]2-2f(x)-3的n个零点为xi(i=1，2，…，n)，则x1+x2+…+xn等于(　　) A. B.5 C.3 D. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 5.(2025·贵阳模拟)关于x的方程ax2+2x-1=0至少有一个正实根，则实数a的值可以是(　　) A.0 B.-1 C.1 D.-2 6.(2025·汕头模拟)已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)=若关于x的方程[f(x)]2+a·f(x)+b=0(a，b∈R)有且只有7个不同的实数根，则实数a的值可能是(　　) A.-3 B.- C.-2 D.- 三、填空题(每小题5分，共10分) 7.(2026·乌鲁木齐期中)已知函数f(x)=4x-a·2x+3(a∈R)在区间(0，2)上有两个零点，则实数a的取值范围为　　　　　　.  8.(2026·漳州模拟)已知函数f(x)=则方程f(f(x))=的解有　　　　个.  第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 函 数 §2.11　函数与方程的综合应用 【高考考向预测】 近三年高考函数与方程综合应用考查频次较高，题型涵盖选择填空与解答题，侧重借助函数图象研究方程根的分布、零点个数、参数取值范围，常融合各类基本函数、不等式联合考查；预测2027 年依旧保持高频考查，命题偏向含参零点讨论、复合型方程实根问题，强化数形结合与等价转化思想，注重与导数、最值问题深度结合，侧重考查综合分析与分类探究能力。 【核心梳理●明考点】 重点解读　函数与方程的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质，结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等，题目难度较大，一般出现在压轴题位置. 题型一　由零点分布求值(范围) 命题点1　二次函数的零点分布 例1　(多选)已知函数f(x)=x2+(m-3)x+m的两个零点分别为x1，x2，且x1<x2，则下列结论正确的是(　　) A.当x1>0且x2>0时，0<m<1 B.当x1<1且x2>1时，m<1 C.当-2<x1<0且0<x2<4时，m<- D.当x1<2且x2>4时，m<- 【答案】ABD 【解析】对于A，由题意得解得0<m<1，A正确； 对于B，f(1)=2m-2<0，解得m<1，B正确； 对于C，解得-<m<0，C错误； 对于D，解得m<-，D正确. 命题点2　其他函数的零点分布 例2　(2025·成都模拟)函数f(x)=|2x-3|-8sin πx(x∈R)的所有零点之和为(　　) A.9 B.10 C.11 D.12 【答案】D 【解析】函数f(x)=|2x-3|-8sin πx(x∈R)的零点即为|2x-3|=8sin πx的解， 即为g(x)=|2x-3|与h(x)=8sin πx图象交点的横坐标， 因为h=-8，故直线x=为h(x)=8sin πx图象的对称轴， 而直线x=也是g(x)=|2x-3|图象的对称轴， 又h(x)=8sin πx的最小正周期为=2， 在同一平面直角坐标系中画出g(x)，h(x)的图象(如图所示)， 因为h=8>2=g，h=8>6=g，h=8<10=g， 故g(x)=|2x-3|与h(x)=8sin πx的图象在直线x=的右侧有且仅有4个不同的交点， 故g(x)=|2x-3|与h(x)=8sin πx图象所有不同交点的横坐标之和为4×3=12， 即函数f(x)的所有零点之和为12. 【思维升华】对于二次函数零点分布的研究一般从以下几个方面入手 (1)开口方向； (2)对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系； (3)判别式，决定函数与x轴的交点个数； (4)区间端点值. 【跟踪训练】1　(1)设方程x2-2ax-a=0的两实根满足x1<x2<1，则实数a的取值范围为(　　) A. B.∪(0，1) C.(-∞，-1)∪ D. 【答案】C 【解析】设f(x)=x2-2ax-a，则其图象的对称轴方程为x=a， 由x1<x2<1可得 解得a<-1或0<a<. (2)已知函数f(x)=x|2x-a|.若存在实数m，使得f(x)=m在区间[1，2]上有两个不等实数根，则实数a的取值范围为(　　) A.(2，4) B.(4，8) C.(2，8) D.(2，4)∪(4，8) 【答案】D 【解析】函数f(x)=x|2x-a|= 二次函数y=2x2-ax与y=-2x2+ax图象的对称轴均为直线x=， 当a≤0时，函数f(x)=2x2-ax在[1，2]上单调递增，此时不满足题意，则a>0， 作出函数f(x)的图象，如图， 由图可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 因为存在实数m，使得f(x)=m在区间[1，2]上有两个不等实数根， 所以函数f(x)在区间[1，2]上不单调， 所以∈(1，2)或∈(1，2)， 故实数a的取值范围为(2，4)∪(4，8). 题型二　复合函数的零点 命题点1　复合函数的零点个数判定 例3　(2026·广州模拟)函数f(x)=则函数y=f(f(x))的零点个数为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【解析】设f(x)=t，则f(t)=0， 当t≤0时，t2+t-2=0，解得t=-2或t=1(舍去)，则t=-2； 当t>0时，-1+ln t=0，解得t=e. 画出函数y=f(x)，y=-2，y=e的大致图象，如图所示， 由图象可知，y=f(x)与y=-2有3个交点，y=f(x)与y=e有2个交点， 所以函数y=f(f(x))的零点个数为5. 命题点2　根据复合函数零点求参数 例4　(多选)(2025·亳州模拟)已知函数f(x)=若函数g(x)=3[f(x)]2-(m+3)f(x)+m有5个不同的零点，则实数m的值可能是(　　) A.-5 B.-6 C.-7 D.-8 【答案】CD 【解析】令g(x)=3[f(x)]2-(m+3)f(x)+m=0， 即[f(x)-1][3f(x)-m]=0， 解得f(x)=1或f(x)=， 如图，画出函数f(x)的图象， 当f(x)=1时，直线y=1与y=f(x)的图象有4个交点， 所以直线y=与y=f(x)的图象只能有1个交点，则<-2，得m<-6， 结合选项可知，m的值可能是-7或-8. 【思维升华】对于复合函数y=f(g(x))的零点个数问题，求解思路如下： (1)确定内层函数u=g(x)和外层函数y=f(u)； (2)确定外层函数y=f(u)的零点u=ui(i=1，2，3，…，n)； (3)确定直线u=ui(i=1，2，3，…，n)与内层函数u=g(x)图象的交点个数分别为a1，a2，a3，…，an，则函数y=f(g(x))的零点个数为a1+a2+a3+…+an. 【跟踪训练】2　(1)(2025·毕节模拟)已知函数f(x)=则函数y=[f(x)]2-5f(x)+6的零点个数为(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】C 【解析】由题意，令[f(x)]2-5f(x)+6=0， 解得f(x)=2或f(x)=3，作出y=f(x)的大致图象， 如图，由图可知，直线y=2与y=f(x)的图象有3个交点，直线y=3与y=f(x)的图象有4个交点，所以原方程有7个解， 即函数y=[f(x)]2-5f(x)+6有7个零点. (2)已知函数f(x)为定义在(0，+∞)上的单调函数，且f(f(x)-log2x-2x)=3，若函数g(x)=f(x)-a在(1，2)内有唯一零点，则实数a的取值范围是　　　　　　.  【答案】(3，6) 【解析】因为f(x)为单调函数， ∴存在唯一实数t，使f(t)=3， 令t=f(x)-log2x-2x，∴f(x)=log2x+2x+t， 又f(t)=log2t+3t=3，∴t=1， ∴f(x)=log2x+2x+1， ∴g(x)=log2x+2x+1-a在(1，2)内有唯一零点， 又g(x)在(1，2)上单调递增， ∴则∴3<a<6， 故实数a的取值范围是(3，6). 【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共20分) 1.若方程x2-3ax+2a2=0的一个根小于1，另一个根大于1，则实数a的取值范围是(　　) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，5) D. 【答案】D 【解析】令f(x)=x2-3ax+2a2，∵方程x2-3ax+2a2=0的一个根小于1，另一个根大于1， ∴f(1)=12-3a+2a2<0，解得<a<1， ∴实数a的取值范围是. 2.已知方程2x2-4mx-3=0的两根为α，β，且α∈(1，2)，β∈(-1，0)，则实数m的取值范围是(　　) A. B.(-∞，-1) C.(1，+∞) D. 【答案】D 【解析】令f(x)=2x2-4mx-3， 由题意f(0)=-3<0， 则得解得<m<， 故实数m的取值范围是. 3.(2026·六安模拟)已知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且f(x)在(0，+∞)上是单调函数，若f=3，则f(x)的零点为(　　) A.2 B.1 C.4 D.6 【答案】B 【解析】因为f(x)在(0，+∞)上单调，令t=f(x)+(t>0)，则f(x)=t-，且f(t)=3， 从而t-=3，解得t=4(负值舍去)， 所以f(x)=4-(x>0)， 由f(x)=0得x=1，所以f(x)的零点为1. 4.(2025·白银模拟)已知函数f(x)=记函数g(x)=[f(x)]2-2f(x)-3的n个零点为xi(i=1，2，…，n)，则x1+x2+…+xn等于(　　) A. B.5 C.3 D. 【答案】A 【解析】令t=f(x)，h(t)=t2-2t-3=(t-3)(t+1)， 令h(t)=0，得t=-1或t=3，所以f(x)=-1或f(x)=3， 因为f(x)=所以当x≤0时，由x2+2=3，得x=-1； 当x>0时，由log2x=-1，得x=，由log2x=3，得x=8， 所以函数g(x)=[f(x)]2-2f(x)-3共有3个零点，分别为x1=-1，x2=，x3=8， 所以x1+x2+x3=. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 5.(2025·贵阳模拟)关于x的方程ax2+2x-1=0至少有一个正实根，则实数a的值可以是(　　) A.0 B.-1 C.1 D.-2 【答案】ABC 【解析】当a=0时，方程为2x-1=0，解得x=，方程有一个正实根； 当a≠0时，方程ax2+2x-1=0的根不为0. ①当方程ax2+2x-1=0有一个正实根和一个负实根时，解得a>0. ②当方程ax2+2x-1=0有两个正实根时，解得-1≤a<0. 综上，a的取值范围为[-1，+∞)， 结合选项可知，实数a的值可以是-1，0，1. 6.(2025·汕头模拟)已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)=若关于x的方程[f(x)]2+a·f(x)+b=0(a，b∈R)有且只有7个不同的实数根，则实数a的值可能是(　　) A.-3 B.- C.-2 D.- 【答案】BD 【解析】由题可画出函数f(x)的大致图象如图所示， ∵关于x的方程[f(x)]2+a·f(x)+b=0(a，b∈R)有且只有7个不同的实数根， 设t=f(x)，则t≥，结合函数图象， 可知方程t2+at+b=0必有两个根t1，t2， 且t1=1，t2∈，∴t1+t2=-a∈， 则-2<a<-， 即实数a的取值范围是. 结合选项可知，B，D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 7.(2026·乌鲁木齐期中)已知函数f(x)=4x-a·2x+3(a∈R)在区间(0，2)上有两个零点，则实数a的取值范围为　　　　　　.  【答案】(2，4) 【解析】令t=2x，因为x∈(0，2)，所以t∈(1，4)， 则方程t2-at+3=0在(1，4)内有2个根， 即a=t+在(1，4)内有2个解， 即直线y=a与函数g(t)=t+的图象在(1，4)内有2个交点， 由对勾函数的性质可知，g(t)=t+在(1，)上单调递减，在(，4)上单调递增， 又因为g(1)=4，g()=2，g(4)=， 所以2<a<4， 故实数a的取值范围为(2，4). 8.(2026·漳州模拟)已知函数f(x)=则方程f(f(x))=的解有　　　　个.  【答案】4 【解析】函数f(x)的图象如图所示. 设t=f(x)，则方程f(f(x))=即f(t)=，由图象可知，y=与y=f(x)的图象有3个交点， 横坐标分别为t1，t2，t3(t1<t2<t3)，其中t1<0，0<t2<1，1<t3<2， 方程f(f(x))=的解的个数转化为方程f(x)=t1，f(x)=t2，f(x)=t3的解的个数之和， 由图象可知，y=t1与y=f(x)的图象有1个交点，y=t2与y=f(x)的图象有3个交点， y=t3与y=f(x)的图象没有交点， 所以方程f(f(x))=的解的个数为1+3=4. 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $