5.3 平面向量的数量积及其应用讲义—2027届高三数学一轮复习

第三节　平面向量的数量积及其应用 知识清单 1.向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝b，则________＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． 2．投影向量 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到叫做向量a在向量b上的__________，记为________________. 3．平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量________________叫做向量a与b的数量积，记作________． 4．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝________________． 剖析　向量的数量积运算不满足结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，也不满足消去律，即a·b＝a·c⇒ / b＝c. 5．平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝________ 模 |a|＝________ |a|＝________ 夹角 cos θ＝________ cos θ＝________ a⊥b的充要条件 a·b＝0 ____________ |a·b|与a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 剖析　a⊥b⇔a·b＝0是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b. 【常用结论】 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 2．有关向量夹角的两个结论 (1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0. (2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π. 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的夹角的范围是.(　　) (2)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　　) (3)(a·b)·c＝a·(b·c)．(　　) (4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(　　) 2．(人教A版必修二P36练习T2改编)已知a＝(2，3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，则a·(b＋c)＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 3．(人教A版必修二P23习题T11(2))已知|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－3，则|a＋b|＝(　　) A． B． C．23 D．26 4．(人教A版必修二P21例13改编)已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，当(a＋kb)⊥(a－kb)时，则实数k＝________． 考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢” 命题点一　平面向量数量积的运算 例1 (1)(2026·河北多校联考)设A，B为平面直角坐标系xOy内两点，若＝(1，3)，＝(2，2)，则＝(　　) A．16 B．－16 C．4 D．－4 (2)如图，在边长为2的正三角形ABC中，D为BC的中点，，则＝(　　) A．2 B． C．－2 D．－ [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题． (2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解． 　跟踪训练　(1)(衔接·人教A版必修二P22练习T1改编)向量a，b满足|a|＝2，|b|＝4，向量a与b的夹角为，则a·(a＋b)＝(　　) A．0 B．8 C．4＋4 D．4－4 (2)(2026·江淮十校模拟)已知平面向量a＝(2，－2)，b＝(－1，3)，则向量a＋b在向量b上的投影向量为(　　) A． B． C． D． 命题点二　平面向量数量积的应用 考向1　平面向量的模 例2 (链接·2023年新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝＝|2a－b|，则|b|＝________． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　真题探源　(源自人教A版必修二P61T13(2))已知正方形ABCD的边长为1，＝c，则|a＋b＋c|＝(　　) A．0 B．3 C． D．2 学霸笔记：(1)公式法：利用＝及＝＋2；(2)几何法：利用向量的几何意义． 考向2　平面向量的夹角 例3 (2026·通化模拟)已知向量a，b，c，满足a＋b＋c＝0，且|a|＝1，|b|＝＝，则a与c夹角的余弦值为(　　) A．－ B．－ C．－ D． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)定义法：利用＝求解，〈〉∈[0, π]； (2)坐标法：利用＝求解． 　跟踪训练　(2026·深圳模拟)已知平面向量a＝(4，3)，2a－b＝(2，－2)，则a与b夹角的余弦值为________． 考向3　平面向量的垂直 例4 (1)(链接·2024年新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 (2)(链接·2025年全国Ⅱ卷)已知平面向量a＝(x，1)，b＝(x－1，2x)，若a⊥(a－b)，则|a|＝________． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　真题探源　(源自人教A版必修二P60复习参考题T8)已知向量a＝(1，0)，b＝(1，1)．当(a＋λb)⊥a时，λ＝________． 学霸笔记：两个向量垂直的充要条件：⊥⇔＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(已知非零向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2))． 命题点三　平面向量的实际应用 例5 (2025·全国Ⅰ卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速．视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反．图①给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系．已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图②所示(风速的大小和向量的大小相同，单位：m/s)，则该时刻的真风为 (　　) 级数 名称 风速大小(单位：m/s) 2 轻风 1.6～3.3 3 微风 3.4～5.4 4 和风 5.5～7.9 5 劲风 8.0～10.7 ① A．轻风　　B．微风 C．和风　　D．劲风 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：用向量方法解决实际问题的步骤： (1)把实际问题中的相关量用向量表示出来； (2)转化为向量问题的模型，通过向量的运算使问题得以解决； (3)把结果还原为实际问题． 　跟踪训练　(2026·宜昌模拟)某货船执行从A港口到B港口的航行任务，B港口在A港口的正北方向，已知河水的速度为向东2 m/s.若货船在静水中的航速为4 m/s，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为(　　) A．2 m/s B．2 m/s C．4 m/s D．2 m/s 第三节　平面向量的数量积及其应用 必备知识·助学教材 知识清单 1．∠AOB 2．投影向量　＝|a|cos θe 3．|a||b|cos θ　a·b 4．(3)a·c＋b·c 5．x1x2＋y1y2　　 x1x2＋y1y2＝0 自主诊断 1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．解析：a·(b＋c)＝(2，3)·(－3，2)＝－6＋6＝0.故选B. 答案：B 3．解析：|a＋b|＝＝＝＝.故选A. 答案：A 4．解析：由题意知(a＋kb)·(a－kb)＝a2－k2b2＝9－16k2＝0，解得k＝±. 答案：± 考教衔接·活用教材 例1　解析：(1)＝＝(3，5)，＝－＝(－2，－2)，故·＝(－2)×3＋(－2)×5＝－16.故选B. (2) 由题设·＝()·()＝()·()＝··－·＝··－·＝×2×2××2×2×－22－×2×2×(－)＝－4＋1＝－2.故选C. 答案：(1)B　(2)C 跟踪训练　解析：(1)因为|a|＝2，|b|＝4，向量a与b的夹角为，所以a·b＝|a|·|b|cos 〈a，b〉＝2×4×(－)＝－4，所以a·(a＋b)＝a2＋a·b＝4－4＝0.故选A. (2)由向量a＝(2，－2)，b＝(－1，3)，得a＋b＝(1，1)，|b|＝，则(a＋b)·b＝2，所以向量a＋b在向量b方向上的投影向量为·b＝b＝(－)．故选C. 答案：(1)A　(2)C 例2　解析：由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝3，即2a·b＝a2＋b2－3　①.由|a＋b|＝|2a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得3a2－6a·b＝0，结合①得3a2－3(a2＋b2－3)＝0，整理得b2＝3，所以|b|＝. 答案： 真题探源　解析：因为＝，所以|a＋b＋c|＝2|c|.又因为|a|＝|b|＝1，所以|c|＝，所以|a＋b＋c|＝2. 答案：D 例3　解析：由a＋b＋c＝0，得c＝－(a＋b)，则c2＝(a＋b)2，即c2＝a2＋2a·b＋b2，由|a|＝1，|b|＝，|c|＝，得3＝3＋2a·b，则a·b＝0，故c·a＝－(a＋b)·a＝－a2－a·b＝－1，则a与c夹角的余弦值为cos 〈a，c〉＝＝＝－.故选C. 答案：C 跟踪训练　解析：由于b＝2a－(2，－2)＝(6，8)，cos 〈a，b〉＝＝＝，故a与b夹角的余弦值为. 答案： 例4　解析：(1)因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以b2－4a·b＝0即4＋x2－4x＝0，故x＝2. (2)a－b＝(1，1－2x)，因为a⊥(a－b)，则a·(a－b)＝0，则x＋1－2x＝0，解得x＝1.则a＝(1，1)，则|a|＝. 答案：(1)D　(2) 真题探源　解析：(a＋λb)⊥a⇒(a＋λb)·a＝(1＋λ，λ)·(1，0)＝1＋λ＝0，所以λ＝－1. 答案：－1 例5　解析：设真风风速为v1，船行风风速为v2，视风风速为v， 依题意得v＝(－3，－1)，v2＝(－1，－3)，且v＝v1＋v2， ∴v1＝v－v2＝(－3，－1)－(－1，－3)＝(－2，2)． 因此|v1|＝＝2<3.3， ∴该时刻的真风为轻风．故选A. 答案：A 跟踪训练　 解析：设船在静水中的速度为v1，水流速度为v2，船实际航行速度为v，则|v1|＝4，|v2|＝2，且v＝v1＋v2，设θ＝〈v2，v1〉，由船需要准确到达正北方向的B点，得v⊥v2，则v·v2＝(v1＋v2)·v2＝＝4×2cos θ＋22＝0，解得cos θ＝－，而0≤θ≤π，于是θ＝，|v|＝＝＝2，所以该船完成此段航行的实际速度为2 m/s.故选B. 答案：B 学科网（北京）股份有限公司 $