3.3 单调性的应用 讲义-2027届高三数学一轮复习

第3节 单调性的应用 ⊙课标要求 1.会根据函数的单调性求参数的范围. 2.会利用函数的单调性解不等式、比较函数值的大小 提能点一 利用单调性比较大小 圆1(1)已知函数f(x)=sinx,x∈R,则f(晋)，f(1),f(-晋)的大小关系为() A.f(-)>f(1)>f(晋) B.f(1)>f(-号)>f(晋) C.f()>f1)>f(-) D.f(-)>(号)>f(1) (2)已知a=品，=品，c=c,则下列大小关系正确的是() A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b 听课记录」 金规律方法 利用导数比较大小，其关键是判断已知（或构造后）函数的单调性，利用其单调性比较大小 练1(1)设0<x<1,已知a=x十袁十1，b=e,c=sinx十1，则() A.c>b>a B.b>c>a C.a>b>c D.a>c>b (2)若函数y=∫(x)满足y(x)>-∫(x)在R上恒成立，且a>b,则() A.af (b)>bf (a) B.af (a)>bf (b) C.af (a)<bf (b) D.af (b)<bf (a) 提能点二 利用单调性解不等式 例2(1)已知函数f(x)=2nx+是一x,则不等式f(2x-1)<f(1-x)的解集为（) A.(0,) B.(号，1) C.(克，1) D.(克，) (2)(2026·山东齐鲁名校大联考)已知y=ef(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，∫(x)+P(x) >0,则满足e-f(2x一3)>f(x-1)的x的取值范围是」 听课记录 命规律方法 利用函数的单调性解不等式的关键 (1)会构造函数，能根据所给不等式的特征，结合已知函数的特征，合理地构造新函数； (2)会判断函数的性质，即利用奇、偶函数的定义判断函数的奇偶性，利用导数判断函数的单调性； (3)会转化，利用函数的单调性，得出参数所满足的不等式（组），通过解不等式（组），得到参数的取值范 围 练2(1)已知函数f(x)=ex-e-x-2x+2,则不等式f(2x+4)≥2的解集是( A.{x|x>-2 B.{x|x≥-2} C.{x|x<-2 D.x|x≤-2 (2)设函数f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=e-cosx,则不等式f(2x-1)+f(x-2)>0的解集为 () A.(-∞，1) B.(-∞，青) C.(青，+∞) D.(1,+∞) 提能点三 利用单调性求参数范围 圆3已知函数f(x)=x2+2alnx-2x(a∈R)· (1)若函数f(x)在区间(1,2)内单调递增，则a的取值范围为」 (2)若函数f(x)在区间(1,2)内存在单调递减区间，则a的取值范围为 (3)若函数f(x)在区间(1,2)内不具有单调性，则a的取值范围为 听课记录」 金规律方法 根据函数单调性求参数的方法 (1)f(x)为增（减）函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f(x)≥0(f(x)≤0)，且在(a,b)内 的任一非空子区间上，P(x)不恒为零； (2)函数在区间(a,b)内存在单调区间，实际上就是(x)>0(或f(x)<0)在该区间内存在解集；若函 数y=f(x)在区间(a,b)内不单调，则转化为P(x)=0在(a,b)内有解（需验证解的两侧导数是否异 号)； (3)若已知∫(x)在区间D上的单调性，则当区间D端点处含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令D是 其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围. 练3〔一题多解](2023·新高考Ⅱ卷6题)已知函数f(x)=a-lnx在区间(1,2)上单调递增，则实数a 的最小值为( A.e2 B.e C.e-1 D.e-2 第3节单调性的应用 (时间：60分钟，满分：90分) [备注：单选、填空题5分，多选题6分] A级基础达标 1.(2026·江西宜春模拟)“函数y=m-sinx在R上是增函数”是“a>0”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.己知函数f(x)=lnx一ax在区间[1,3]上单调递减，则实数a的取值范围为() A.a>1 B.a≥1 c.a>≥清 D.a>清 3.(2026·四川泸州模拟)已知函数f(x)=e十x,则满足∫(x)>f(2x-1)的x的取值范围是() A.(-∞，-1) B.(-o∞，1) C.(-1,+∞) D.(1,十o) 4.函数f(x)=e-ex+sinx,则不等式f(x)>0的解集是() A.(0,+∞) B.(-∞，0) C.(0,元) D.(-元，0) 5.(2026·浙江金华模拟)已知函数f(x)=3x+2cosx.若a=∫(35)，b=f(2),c=f(1g27)，则a,b,c 的大小关系是() A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a 6.〔多选】(2026·广东茂名模拟)若∫(x)=-青x3+x2+2十1是区间(m-1,m十4)上的单调函数，则实 数m的值可以是() A.-4 B.-3 C.3 D.4 7.关于x的不等式发-lnx>0的解集是 8.已知函数f(x)=号+受+a十1存在三个单调区间，则实数a的取值范围是 9.已知函数f(x)=x3+2x,若f(2a2)+f(a-1)≤0，则实数a的取值范围为 10.(13分)已知函数f)=nx-吉m2-2x(a≠0). (1)若f(x)在[1,4]上单调递减，求实数a的取值范围： (2)若f(x)在[1,4上存在单调递减区间，求实数a的取值范围， B级综合应用 11.(2026·四川成都调研)已知函数f(x)=e-ex-2x十1，则不等式f(2x-3)+f(x)>2的解集为 () A.(-o,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,+∞) 12.〔多选]已知函数∫(x)=x2-e,则下列结论正确的是() Aff(0))=是 B.f(x)为减函数 C.f(1og23)<f(2) D.曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=(2-e)x-1 13.定义在R上的奇函数f(x)的导函数满足f(x)<f(x),且f(x)=∫(x十4)，若f(2027)=-e,则不 等式∫(x)<e*的解集为 14.(15分)已知函数f(x)=alnx-ax-3. (1)求∫(x)的单调区间； (2)若y=∫(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)=x3 十2·f(x)+号)在区间(k,3)内不具有单调性，求实数m的取值范围 第3节　单调性的应用 课标要求 1.会根据函数的单调性求参数的范围. 2.会利用函数的单调性解不等式、比较函数值的大小. 利用单调性比较大小 （1）已知函数f（x）＝xsin x，x∈R，则f（ ），f（1），f（ －）的大小关系为（　A　） A.f（ －）＞f（1）＞f（ ） B.f（1）＞f（ －）＞f（ ） C.f（ ）＞f（1）＞f（ －） D.f（ －）＞f（ ）＞f（1） 解析： 由题知f（－x）＝（－x）·sin（－x）＝xsin x＝f（x），则函数f（x）是偶函数，故f（ －）＝f（ ）.又当x∈（ 0，）时，f'（x）＝sin x＋xcos x＞0，所以函数f（x）在（ 0，）上单调递增，所以f（ ）＜f（1）＜f（ ），即f（ －）＞f（1）＞f（ ）.　 （2）已知a＝，b＝，c＝e，则下列大小关系正确的是（　C　） A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.c＜b＜a D.c＜a＜b 解析：由题，c＝.令f（x）＝（x≥e），则f'（x）＝，因为x≥e，所以f'（x）≥0，所以f（x）＝在[e，＋∞）上单调递增，又a＝f（4），b＝f（3），c＝f（e），e＜3＜4，故c＜b＜a.故选C. 规律方法 　　利用导数比较大小，其关键是判断已知（或构造后）函数的单调性，利用其单调性比较大小. 练1 （1）设0＜x＜1，已知a＝x＋＋1，b＝ex，c＝sin x＋1，则（　C　） A.c＞b＞a B.b＞c＞a C.a＞b＞c D.a＞c＞b 解析： 设f（x）＝x＋＋1－ex（0＜x＜1），则f'（x）＝1－－ex，当0＜x＜1时，1－－ex＜0，所以f（x）在（0，1）内单调递减，所以f（x）＞f（1）＝3－e＞0，所以x＋＋1＞ex，即a＞b；设g（x）＝ex－sin x－1（0＜x＜1），则g'（x）＝ex－cos x，当0＜x＜1时，ex＞1，0＜cos x＜1，所以g'（x）＞0，g（x）在（0，1）内单调递增，所以g（x）＞g（0）＝0，所以ex＞sin x＋1，即b＞c.综上可知a＞b＞c. （2）若函数y＝f（x）满足xf'（x）＞－f（x）在R上恒成立，且a＞b，则（　B　） A.af（b）＞bf（a） B.af（a）＞bf（b） C.af（a）＜bf（b） D.af（b）＜bf（a） 解析：由xf'（x）＞－f（x），设g（x）＝xf（x），则g'（x）＝xf'（x）＋f（x）＞0，所以g（x）在R上是增函数，又a＞b，所以g（a）＞g（b），即af（a）＞bf（b），故选B. 利用单调性解不等式 （1）已知函数f（x）＝2ln x＋－x，则不等式f（2x－1）＜f（1－x）的解集为（　B　） A.（ 0，） B.（ ，1） C.（ ，1） D.（ ，） 解析： 由题意可知f（x）的定义域为（0，＋∞）.因为f'（x）＝－－1＝－（ －1）2≤0恒成立，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减.由f（2x－1）＜f（1－x），可得解得＜x＜1，即原不等式的解集为（ ，1）. （2）（2026·山东齐鲁名校大联考）已知y＝exf（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f（x）＋f'（x）＞0，则满足ex－2f（2x－3）＞f（x－1）的x的取值范围是　（ －∞，）∪（2，＋∞）　. 解析：设g（x）＝exf（x），则g'（x）＝ex（f（x）＋f'（x））.由当x＞0时，f（x）＋f'（x）＞0，得ex（f（x）＋f'（x））＞0，即g'（x）＞0，故g（x）在区间（0，＋∞）上单调递增.又ex－2f（2x－3）＞f（x－1），所以e2x－3f（2x－3）＞ex－1f（x－1），即g（2x－3）＞g（x－1），因为g（x）为R上的偶函数，所以g（｜2x－3｜）＞g（｜x－1｜），即｜2x－3｜＞｜x－1｜，即（2x－3）2＞（x－1）2，所以（3x－4）（x－2）＞0，解得x＞2或x＜. 规律方法 利用函数的单调性解不等式的关键 （1）会构造函数，能根据所给不等式的特征，结合已知函数的特征，合理地构造新函数； （2）会判断函数的性质，即利用奇、偶函数的定义判断函数的奇偶性，利用导数判断函数的单调性； （3）会转化，利用函数的单调性，得出参数所满足的不等式（组），通过解不等式（组），得到参数的取值范围. 练2 （1）已知函数f（x）＝ex－e－x－2x＋2，则不等式f（2x＋4）≥2的解集是（　B　） A.{x｜x＞－2} B.{x｜x≥－2} C.{x｜x＜－2} D.{x｜x≤－2} （2）设函数f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝ex－cos x，则不等式f（2x－1）＋f（x－2）＞0的解集为（　D　） A.（－∞，1） B.（ －∞，） C.（ ，＋∞） D.（1，＋∞） 解析：（1）由f'（x）＝ex＋e－x－2≥2－2＝0，当且仅当ex＝e－x，即x＝0时，等号成立，所以f（x）单调递增，且f（0）＝2，由f（2x＋4）≥2，得2x＋4≥0，解得x≥－2. （2）根据题意，当x≥0时，f（x）＝ex－cos x，此时有f'（x）＝ex＋sin x＞0，则f（x）在[0，＋∞）上单调递增，又f（x）为R上的奇函数，故f（x）在R上为增函数.f（2x－1）＋f（x－2）＞0⇒f（2x－1）＞－f（x－2）⇒f（2x－1）＞f（2－x）⇒2x－1＞2－x，解得x＞1，即不等式的解集为（1，＋∞）. 利用单调性求参数范围 已知函数f（x）＝x2＋2aln x－2x（a∈R）. （1）若函数f（x）在区间（1，2）内单调递增，则a的取值范围为　　［，＋∞）　　； 解析： ∵f（x）＝x2＋2aln x－2x，则f'（x）＝x＋－2，若函数f（x）在区间（1，2）内单调递增，等价于对∀x∈（1，2），f'（x）＝x＋－2≥0恒成立，可得x2－2x≥－2a对∀x∈（1，2）恒成立，构造函数g（x）＝x2－2x，可知g（x）开口向上，对称轴为直线x＝1，∴g（x）＞g（1）＝－1，故－1≥－2a，解得a≥，则a的取值范围为［，＋∞）. （2）若函数f（x）在区间（1，2）内存在单调递减区间，则a的取值范围为　　（－∞，）　　； 解析：由（1）可得f'（x）＝x＋－2，若函数f（x）在区间（1，2）内存在单调递减区间，等价于∃x∈（1，2），使得f'（x）＝x＋－2＜0成立，可得∃x∈（1，2），使得x2－2x＜－2a成立，构造函数φ（x）＝x2－2x，可知φ（x）开口向上，对称轴为直线x＝1，∴φ（x）＞φ（1）＝－1，故－1＜－2a，解得a＜，则a的取值范围为（－∞，）. （3）若函数f（x）在区间（1，2）内不具有单调性，则a的取值范围为　　（0，）　　. 解析：由（1）可得f'（x）＝x＋－2，若函数f（x）在区间（1，2）内不具有单调性，等价于∃x∈（1，2），使得f'（x）＝x＋－2＝0，可得∃x∈（1，2），使得x2－2x＝－2a成立，构造函数h（x）＝x2－2x，可知h（x）开口向上，对称轴为直线x＝1，∴h（x）＞h（1）＝－1，h（x）＜h（2）＝0，故－1＜－2a＜0，解得0＜a＜，则a的取值范围为（0，）. 规律方法 根据函数单调性求参数的方法 （1）f（x）为增（减）函数的充要条件是对任意的x∈（a，b）都有f'（x）≥0（f'（x）≤0），且在（a，b）内的任一非空子区间上，f'（x）不恒为零； （2）函数在区间（a，b）内存在单调区间，实际上就是f'（x）＞0（或f'（x）＜0）在该区间内存在解集；若函数y＝f（x）在区间（a，b）内不单调，则转化为f'（x）＝0在（a，b）内有解（需验证解的两侧导数是否异号）； （3）若已知f（x）在区间D上的单调性，则当区间D端点处含有参数时，可先求出f（x）的单调区间，令D是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围. 练3 〔一题多解〕（2023·新高考Ⅱ卷6题）已知函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2）上单调递增，则实数a的最小值为（　　） A.e2 B.e C.e－1 D.e－2 解析：C　法一　由题意，得f'（x）＝aex－，∴f'（x）＝aex－≥0在区间（1，2）上恒成立，即a≥在区间（1，2）上恒成立.设函数g（x）＝，x∈（1，2），则g'（x）＝－＜0，∴函数g（x）在区间（1，2）单调递减.∴∀x∈（1，2），g（x）＜g（1）＝＝e－1.∴a≥e－1，∴a的最小值为e－1.故选C. 法二　∵函数f（x）＝aex－ln x，∴f'（x）＝aex－.∵函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2）单调递增，∴f'（x）≥0在（1，2）恒成立，即aex－≥0在（1，2）恒成立，易知a＞0，则0＜≤xex在（1，2）恒成立.设g（x）＝xex，则g'（x）＝（x＋1）ex.当x∈（1，2）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，∴在（1，2）上，g（x）＞g（1）＝e，∴≤e，即a≥＝e－1，故选C. （时间：60分钟，满分：90分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.（2026·江西宜春模拟）“函数y＝ax－sin x在R上是增函数”是“a＞0”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　因为函数y＝ax－sin x是增函数，所以y'＝a－cos x≥0恒成立，即a≥cos x恒成立，所以a≥1＞0，反之a＞0时，函数的导数不一定大于0.故“函数y＝ax－sin x在R上是增函数”是“a＞0”的充分不必要条件.故选A. 2.已知函数f（x）＝ln x－ax在区间[1，3]上单调递减，则实数a的取值范围为（　　） A.a＞1 B.a≥1 C.a≥ D.a＞ 解析：B　因为f（x）＝ln x－ax，所以f'（x）＝－a，因为f（x）在区间[1，3]上单调递减，所以f'（x）≤0，－a≤0，即a≥在[1，3]上恒成立，因为y＝在[1，3]上单调递减，所以ymax＝1，故a≥1. 3.（2026·四川泸州模拟）已知函数f（x）＝ex＋x，则满足f（x）＞f（2x－1）的x的取值范围是（　　） A.（－∞，－1） B.（－∞，1） C.（－1，＋∞） D.（1，＋∞） 解析：B　∵f（x）＝ex＋x，∴f'（x）＝ex＋1＞0，∴f（x）在R上为增函数，由f（x）＞f（2x－1）得，x＞2x－1，解得x＜1，故x的取值范围是（－∞，1），故选B. 4.函数f（x）＝ex－e－x＋sin x，则不等式f（x）＞0的解集是（　　） A.（0，＋∞） B.（－∞，0） C.（0，π） D.（－π，0） 解析：A　对函数f（x）求导得f'（x）＝ex＋e－x＋cos x，因为ex＋≥2，当且仅当x＝0时等号成立，－1≤cos x≤1，所以f'（x）＞0，所以f（x）在R上是增函数，又因为f（0）＝e0－e－0＋sin 0＝0，所以f（x）＞0的解集为（0，＋∞）. 5.（2026·浙江金华模拟）已知函数f（x）＝3x＋2cos x.若a＝f（），b＝f（2），c＝f（log27），则a，b，c的大小关系是（　　） A.a＜b＜c B.c＜b＜a C.b＜a＜c D.b＜c＜a 解析：D　由题意，得f'（x）＝3－2sin x.因为－1≤sin x≤1，所以f'（x）＞0恒成立，所以f（x）是增函数.因为＞1，所以＞3.又log24＜log27＜log28，即2＜log27＜3，所以2＜log27＜，所以f（2）＜f（log27）＜f（），即b＜c＜a. 6.〔多选〕（2026·广东茂名模拟）若f（x）＝－x3＋x2＋2x＋1是区间（m－1，m＋4）上的单调函数，则实数m的值可以是（　　） A.－4 B.－3 C.3 D.4 解析：CD　由题意，知f'（x）＝－x2＋x＋2＝－（x－2）（x＋1），令f'（x）＞0，解得－1＜x＜2，令f'（x）＜0，解得x＜－1或x＞2，所以f（x）在（－1，2）上单调递增，在（－∞，－1），（2，＋∞）上单调递减，若函数f（x）＝－x3＋x2＋2x＋1在区间（m－1，m＋4）上单调，则m＋4≤－1或m－1≥2或解得m≤－5或m≥3或m∈⌀，即m≤－5或m≥3.故选C、D. 7.关于x的不等式－ln x＞0的解集是　　（0，e）　　. 解析：令f（x）＝－ln x，则f（x）的定义域为（0，＋∞），由f'（x）＝－－＜0，知f（x）＝－ln x在（0，＋∞）上单调递减，又f（e）＝0，所以不等式f（x）＞0的解集是（0，e），即原不等式的解集为（0，e）. 8.已知函数f（x）＝＋＋ax＋1存在三个单调区间，则实数a的取值范围是　　（－∞，0）∪（4，＋∞）　　. 解析：由函数f（x）＝＋＋ax＋1，可得f'（x）＝x2＋ax＋a，由函数f（x）存在三个单调区间，可得f'（x）＝0有两个不相等的实数根，则满足Δ＝a2－4a＞0，解得a＜0或a＞4，即实数a的取值范围是（－∞，0）∪（4，＋∞）. 9.已知函数f（x）＝x3＋2x，若f（2a2）＋f（a－1）≤0，则实数a的取值范围为　　. 解析：函数f（x）＝x3＋2x的定义域为R，f（－x）＝（－x）3＋2（－x）＝－f（x），故函数f（x）是奇函数.又f'（x）＝3x2＋2＞0恒成立，所以函数f（x）在R上单调递增，不等式f（2a2）＋f（a－1）≤0⇔f（2a2）≤－f（a－1），即f（2a2）≤f（－a＋1），于是2a2≤－a＋1，即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤，所以实数a的取值范围为. 10.（13分）已知函数f（x）＝ln x－ax2－2x（a≠0）. （1）若f（x）在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围； （2）若f（x）在[1，4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围. 解：（1）因为f（x）在[1，4]上单调递减，所以当x∈[1，4]时，f'（x）＝－ax－2≤0恒成立， 即a≥－恒成立. 设G（x）＝－，x∈[1，4]，所以a≥G（x）max， 而G（x）＝（－1）2－1，因为x∈[1，4]，所以∈，所以G（x）max＝－（此时x＝4）， 所以a≥－，又因为a≠0，所以实数a的取值范围是∪（0，＋∞）. （2）因为f（x）在[1，4]上存在单调递减区间，则f'（x）＜0在[1，4]上有解， 所以当x∈[1，4]时，a＞－有解，又当x∈[1，4]时，（－）min＝－1（此时x＝1）， 所以a＞－1，又因为a≠0，所以实数a的取值范围是（－1，0）∪（0，＋∞）. 11.（2026·四川成都调研）已知函数f（x）＝ex－e－x－2x＋1，则不等式f（2x－3）＋f（x）＞2的解集为（　　） A.（－∞，－1） B.（－1，0） C.（0，1） D.（1，＋∞） 解析：D　令g（x）＝f（x）－1＝ex－e－x－2x，定义域为R，且g（－x）＝e－x－ex＋2x＝－g（x），所以g（x）为奇函数，f（2x－3）＋f（x）＞2变形为f（2x－3）－1＞1－f（x），即g（2x－3）＞－g（x）＝g（－x），又g'（x）＝ex＋e－x－2≥2－2＝0，当且仅当ex＝e－x，即x＝0时，等号成立，所以g（x）在R上单调递增，所以2x－3＞－x，解得x＞1，所以所求不等式的解集为（1，＋∞）. 12.〔多选〕已知函数f（x）＝x2－ex，则下列结论正确的是（　　） A.f（f（0））＝ B.f（x）为减函数 C.f（log23）＜f（2） D.曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝（2－e）x－1 解析：ABD　因为f（x）＝x2－ex，所以f（0）＝02－e0＝－1，则f（f（0））＝f（－1）＝（－1）2－e－1＝1－＝，故A正确；因为f'（x）＝2x－ex，设g（x）＝f'（x）＝2x－ex，则g'（x）＝2－ex，由g'（x）＝2－ex＝0得x＝ln 2，当x∈（－∞，ln 2）时，g'（x）＞0，f'（x）单调递增，当x∈（ln 2，＋∞）时，g'（x）＜0，f'（x）单调递减，所以f'（x）max＝f'（ln 2）＝2ln 2－2＜0，所以f'（x）＜0恒成立，所以f（x）为减函数，故B正确；因为log23＜log24＝2，函数f（x）是减函数，所以f（log23）＞f（2），故C错误；由f'（1）＝2－e，f（1）＝1－e，则y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y－（1－e）＝（2－e）（x－1），即y＝（2－e）x－1，故D正确. 13.定义在R上的奇函数f（x）的导函数满足f'（x）＜f（x），且f（x）＝f（x＋4），若f（2 027）＝－e，则不等式f（x）＜ex的解集为　{0}∪（1，＋∞）　. 解析：因为f（x）＝f（x＋4），所以f（x）的周期为4.因为f（2 027）＝－e，所以f（2 027）＝f（507×4－1）＝f（－1）＝－e.因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（1）＝－f（－1）＝e.①当x≠0时，令g（x）＝，则g'（x）＝.因为f'（x）＜f（x），所以g'（x）＜0，即g（x）单调递减.又g（1）＝＝1，g（x）＜1＝g（1），所以x＞1，所以不等式f（x）＜ex的解集为（1，＋∞）.②当x＝0时，f（0）＝0＜e0＝1，所以当x＝0时，不等式成立.综上所述，x∈{0}∪（1，＋∞）. 14.（15分）已知函数f（x）＝aln x－ax－3. （1）求f（x）的单调区间； （2）若y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）＝x3＋x2·（f'（x）＋）在区间（t，3）内不具有单调性，求实数m的取值范围. 解：（1）f（x）的定义域为（0，＋∞），且f'（x）＝，当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，＋∞）；当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（1，＋∞），单调递减区间为（0，1）； 当a＝0时，f（x）为常数函数，无单调区间. （2）由（1）及题意得f'（2）＝－＝1，即a＝－2，∴f（x）＝－2ln x＋2x－3，f'（x）＝（x＞0）. ∴g（x）＝x3＋（＋2）x2－2x， ∴g'（x）＝3x2＋（m＋4）x－2. ∵g（x）在区间（t，3）内不具有单调性，即g'（x）在区间（t，3）内有变号零点. 由于g'（0）＝－2，∴当g'（t）＜0时，即3t2＋（m＋4）t－2＜0对任意的t∈[1，2]恒成立，由于g'（0）＜0，故只要g'（1）＜0且g'（2）＜0，即m＜－5且m＜－9，即m＜－9，又g'（3）＞0，即m＞－，∴－＜m＜－9.即实数m的取值范围是（－，－9） 学科网（北京）股份有限公司 $