2.5指数式与对数式的运算讲义-2027届高三数学一轮复习

第五节　指数式与对数式的运算 必备知识·助学教材　清单式排查 彰显一个“准” 知识清单 1.根式 (1)一般地，如果xn＝a，那么________叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)式子叫做________，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)()n＝________， 当n为奇数时， ＝________， 当n为偶数时， ＝|a|＝ 2．分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂： a＝________(a＞0，m，n∈N*，n＞1). (2)正数的负分数指数幂： a－＝________＝(a>0，m，n∈N*，n>1). (3)0的正分数指数幂等于________，0的负分数指数幂________． 3．指数幂的运算性质 (1)aras＝________(a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝________(a＞0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝________(a＞0，b>0，r∈Q). 4．对数的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作________，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 5．对数的性质、运算性质与换底公式 (1)对数的性质 ①alogaN＝________(a>0，且a≠1，N>0). ②logaab＝________(a>0，且a≠1，b∈R). (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝________；②loga＝________；③logaMn＝________(n∈R). (3)换底公式 logab＝________(a>0，且a≠1；b>0；c>0且c≠1) 【常用结论】 换底公式的两个重要结论 (1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1). (2)logambn＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0). 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) ＝－4.(　　) (2)(－1)＝(－1)＝.(　　) (3)log2x2＝2log2x.(　　) (4)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　) 2．(多选)(人教A版必修一P109习题T1改编)下列各式运算正确的是(　　) A．＝100 B．＝－0.1 C．＝π－4 D．＝x－y 3．(人教A版必修一P109习题T2(1))设a>0，则下列运算中正确的是(　　) A．aa＝a B．a÷a＝a C．aa－＝0 D．(a)4＝a 4．(人教A版必修一P126练习T1(2)改编)(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 2＝________． 命题点一　指数式的化简与求值 　考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢” 例1 计算与化简： (1)计算： －()0＋0.64×(－)－4. (2)化简：(a>0，b>0). (3)已知a－a－＝，求a＋a－. [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)首先将根式、分数指数幂统一化为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数． 　跟踪训练　(1)化简4a·b－÷(－a－b)的结果为(　　) A．－ B．－ C．－ D．－6ab (2)计算：()－－[(－3)2]＋(×)6＝________． 命题点二　对数式的运算 例2 计算下列各式： (1)lg 40·lg 250＋(lg )2. (2)log23·log34＋(lg 5)2＋lg 5·lg 20＋lg 16－2log23. [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运对数算性质化简合并． (2)将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质、换底公式，转化为同底数对数的真数的积、商、幂的运算． 　跟踪训练　(1)(2026·蚌埠模拟)计算：(log98＋log92)×log43＝________． (2)已知a>1，且－＝－，则a＝________. 命题点三　指数式与对数式的综合应用 例3 (1)若实数a，b满足3a＝4b＝36，则＋＝(　　) A．－2 B．2 C．－1 D．1 (2)(2026·孝感模拟)若logab＋logba＝，ab＝ba，则ab＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：对于将指数恒等式ax＝by＝cz作为已知条件，求函数f(x，y，z)的值的问题，通常设ax＝by＝cz＝k(k>0)，则x＝logak，y＝logbk，z＝logck，将x，y，z的值代入函数f(x，y，z)求解． 　跟踪训练　已知6a—2b—k，若－＝2，则k＝(　　) A． B．3 C．6 D．9 命题点四　指数式与对数式的实际应用 例4 (链接·2025年北京卷)在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间T＝klog2N(单位：小时)，其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(单位：小时)(　　) A．2 B．4 C．20 D．40 [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　真题探源　(源自人教A版必修一P126例5)尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M. 2021年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍(精确到1)? 学霸笔记：先弄清题目条件与所求之间的关系，再运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求． 提示：请完成课时作业10 第五节　指数式与对数式的运算 必备知识·助学教材 知识清单 1．(1)x　(2)根式　(3)a　a 2．(1)　(3)0　没有意义 3．(1)ar＋s　(2)ars　(3)arbr 4．x＝logaN 5．(1)①N　②b　(2)①logaM＋logaN　②logaM－logaN　 自主诊断 1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．解析：＝100，故A正确；＝－0.1，故B正确；＝4－π，故C不正确；＝x－y或y－x，故D不正确． 答案：AB 3．解析：∵a>0，∴，故A错误；，故B错误；＝a0＝1，故C错误；4＝a，故D正确． 答案：D 4．解析：(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 2＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝1. 答案：1 考教衔接·活用教材 例1　解析：-4＝－4－1＋0.8×4＝－1.8. (2)原式＝＝ab-1. (3)因为2＝a＋a-1＋2＝2＋4＝5＋4＝9.又因为>0，所以＝3. 跟踪训练　解析：(1)原式 .故选C. 解析：(2)原式＝＝4－27＋54＝31. 答案：(1)C　 答案：(2)31 例2　解析：(1)lg 40·lg 250＋2＝(lg 4＋1)(3－lg 4)＋(lg 2－lg 5)2 ＝(2lg 2＋1)(3－2lg 2)＋(2lg 2－1)2 ＝－4(lg 2)2＋4lg 2＋3＋4(lg 2)2－4lg 2＋1＝4. (2)log23·log34＋(lg 5)2＋lg 5·lg 20＋ ＝＋(lg 5)2＋lg 5·lg (2×10)＋lg 24－3 ＝＋(lg 5)2＋lg 5·(lg 2＋lg 10)＋×4×lg 2－3 ＝2＋(lg 5)2＋lg 5lg 2＋lg 5＋2lg 2－3 ＝－1＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋2lg 2 ＝－1＋2lg 5＋2lg 2＝－1＋2＝1. 跟踪训练　解析：(1)(log98＋log92)×log43＝log916×log43＝ ×log43＝log34×log43＝＝1. (2)由log2a＝－，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0⇒log2a＝－1或log2a＝6，又a>1，所以log2a＝6＝log226，故a＝26＝64. 答案：(1)1　(2)64 例3　解析：(1)因为3a＝4b＝36，则a＝log336，b＝log436，所以＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝1.故选D. (2)显然a>0且a≠1，b>0且b≠1，设t＝logba，代入logab＋logba＝，可得t＋，即3t2－10t＋3＝0，解得t＝3或t＝.若t＝3，则logba＝3，即a＝b3，又因为ab＝ba，所以b3b＝ba，则a＝3b＝b3，解得b＝，所以ab＝9；若t＝，则logba＝，即a＝.又因为ab＝ba.所以，解得b＝3，故a＝，故ab＝9.故选D. 答案：(1)D　 答案：(2)D 跟踪训练　解析：由题知a＝log6k，b＝log2k，所以＝logk6，＝logk2，故＝logk6－logk2＝logk3＝2，解得k＝.故选A. 答案：A 例4　解析：设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间分别为T1，T2，T3，由题意，T1＝klog2106＝6klog210，T2＝klog2(1.024×109)＝klog2(210×106)＝k(10＋6log210)，T3＝klog2(4.096×109)＝＝k(12＋6log210)，因为T2－T1＝k(10＋6log210)－6klog210＝10k＝20，所以k＝2，所以T3－T2＝k(12＋6log210)－k(10＋6log210)＝2k＝4，所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加4小时．故选B. 答案：B 真题探源　解析：设里氏9.0级地震释放的能量为E1，里氏8.0级地震释放的能量为E2，则由已知可得lg E1＝4.8＋1.5×9＝18.3，lg E2＝4.8＋1.5×8＝16.8， ∴E1＝1018.3，E2＝1016.8，则≈10×3.162≈32， ∴里氏9.0级地震释放的能量约为里氏8.0级地震释放的能量的32倍． 学科网（北京）股份有限公司 $