2.4 函数的周期性和对称性讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦函数周期性与对称性高考核心考点，整合奇偶性、单调性等关联知识，按“考向预测-双基自测-核心梳理-题型突破-限时训练”逻辑架构，通过考点精析、结论总结、真题示例等环节，帮助学生构建知识网络，突破抽象函数性质转化难点。 资料以高考高频命题点为导向，创新采用“性质互推+图像特征”教学策略，如通过周期性结论推导训练逻辑思维，设计分层练习（基础判断到综合解答）培养数学应用意识，助力学生高效掌握数形结合方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供系统支持。

第二章 函 数 §2.4　函数的周期性和对称性 【高考考向预测】 近三年高考函数周期性与对称性考查频次偏高，多在选择填空压轴位置出现，常结合奇偶性、单调性综合命题，重点考查周期推导、对称关系转化以及利用性质求值与分析图像特征；预测2027 年仍会维持高频考查态势，命题偏向多性质融合设问，侧重抽象函数周期与对称关系式互推，强化利用性质求解函数值、判断区间解析式等题型，着重考查逻辑转化与数形结合解题能力。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数f(x)的一个周期.(　 　) (2)若函数y=f(x)是奇函数，则函数y=f(x-1)的图象关于点(1，0)对称. (　 　) (3)函数y=ln(-x)与y=ln x的图象关于x轴对称. (　 　) (4)若函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x)，则f(x)的图象关于直线x=2对称. (　 　) 【答案】（1）√（2）√（3）×（4）√ 2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，当x∈[-1，1]时，f(x)=x2+1，则f(2 026.5)等于(　　) A. B. C.2 D.1 【答案】B 【解析】由f(x+2)=f(x)可知，函数f(x)的周期为2，当x∈[-1，1]时，f(x)=x2+1， ∴f(2 026.5)=f=f=+1=. 3.下列函数与y=ex关于直线x=1对称的是(　　) A.y=ex-1 B.y=e1-x C.y=e2-x D.y=ln x 【答案】C 【解析】记f(x)=ex，则关于直线x=1对称的是f(2-x)=e2-x，即y=e2-x. 4.已知函数y=f(x)的图象经过点P(1，-2)，则函数y=-f(-x)的图象必过点　　　　.  【答案】(-1，2) 【解析】y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称，y=f(x)的图象经过点P(1，-2)， 则函数y=-f(-x)的图象必过点(-1，2). 【核心梳理●明考点】 1.函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 2.奇函数、偶函数的对称性 (1)若函数y=f(x)满足f(a-x)=f(a+x)，则函数的图象关于直线x=a对称； (2)若函数y=f(x)满足f(a-x)=-f(a+x)，则函数的图象关于点(a，0)对称. (3)若f(x+a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x=a；若f(x+a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(a，0). 3.两个函数图象的对称 (1)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称； (2)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称； (3)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称. 1.熟记函数周期性的三个常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x+a)=-f(x)，则T=2|a|； (2)若f(x+a)=，则T=2|a|； (3)若f(x+a)=-，则T=2|a|. 2.熟记对称性与周期性之间的三个常用结论 (1)若函数f(x)的图象关于两条不同直线x=a和x=b对称，则函数f(x)的周期为T=2|a-b|； (2)若函数f(x)的图象关于两个不同点(a，0)和点(b，0)对称，则函数f(x)的周期为T=2|a-b|； (3)若函数f(x)的图象关于直线x=a和点(b，0)对称，则函数f(x)的周期为T=4|a-b|. 【题型突破●明方向】 题型一　函数的周期性 例1　(1)(2025·成都模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+3)=f(x-1)，且当x∈(-2，0)时，f(x)=log2(x+3)，则f(2 025)-f(2 028)等于(　　) A.1 B.-1 C.1-log23 D.-1-log23 【答案】B 【解析】根据题意，函数f(x)满足f(x+3)=f(x-1)，则f(x)=f(x+4)，即f(x)是周期为4的周期函数， 又2 025=506×4+1，2 028=507×4， 所以f(2 025)=f(1)，f(2 028)=f(0)，又由函数f(x)为定义在R上的奇函数， 则f(0)=0，f(1)=-f(-1)=-log2(-1+3)=-1， 所以f(2 025)-f(2 028)=-1. (2)(2026·长沙模拟)设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)=ax2+2.则f等于(　　) A. B. C.- D.- 【答案】B 【解析】方法一　f(x+1)为奇函数，故f(-x+1)=-f(x+1)， 又f(x+2)为偶函数，故f(-x+2)=f(x+2)， 在f(-x+2)=f(x+2)中，用x-1代替x得f(-x+3)=f(x+1)， 结合f(-x+1)=-f(x+1)得f(-x+1)=-f(-x+3)， 即f(x)=-f(x+2)，又f(x+2)=-f(x+4)， 故f(x)=f(x+4)，所以f(x)的一个周期为4， 又当x∈[1，2]时，f(x)=ax2+2，且f(-x+1)=-f(x+1)， 则f(1)=-f(1)，则f(1)=0，则a+2=0， 所以a=-2， 则当x∈[1，2]时，f(x)=-2x2+2， 故f=f=f =-f=-=. 方法二　因为f(x+1)为奇函数，所以f(x)的图象关于点(1，0)对称， 因为f(x+2)为偶函数，所以f(x)的图象关于直线x=2对称， 设f(x)的周期为T，则=2-1=1，所以T=4， 又f(x)的图象关于点(1，0)对称， 所以f(1)=0，解得a=-2， 所以当x∈[1，2]时，f(x)=-2x2+2， 所以f=f=f =-f=. 【思维升华】(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期. (2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题. 【跟踪训练】1　(多选)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-3)=-f(x)，当x∈[0，3]时，f(x)=x2-3x，则下列结论正确的是(　　) A.f(x+6)=f(x) B.当x∈[-6，-3]时，f(x)=x2-3x-6 C.f(2 023)+f(2 025)=f(2 024) D.函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x= 【答案】ACD 【解析】因为f(x-3)=-f(x)，所以f(x)=-f(x+3)，则f(x-3)=f(x+3)，所以f(x+6)=f(x)，故A正确； 当x∈[0，3]时，f(x)=x2-3x，则当x∈[-6，-3]时，x+6∈[0，3]，f(x)=f(x+6)=(x+6)2-3(x+6)=x2+9x+18，故B不正确； 由f(x+6)=f(x)，得函数f(x)的一个周期为6，得f(2 023)=f(1+337×6)=f(1)=-2，f(2 025)=f(3+337×6)=f(3)=0，f(2 024)=f(2+337×6)=f(2)=-2，所以f(2 023)+f(2 025)=f(2 024)，故C正确； 由A选项知，f(x)=-f(x+3)，又f(x)=-f(-x)，则f(x+3)=f(-x)，所以函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x=，故D正确. 题型二　函数的对称性 命题点1　自对称中的轴对称 例2　(多选)(2025·延边模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对∀x∈R都有f(2-x)=f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)=x2，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)的最大值是1，最小值是0 B.当3≤x≤4时，f(x)=-(x-4)2 C.函数f(x)的图象关于直线x=1对称 D.f(x)在区间(3，5)上单调递增 【答案】BCD 【解析】因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)， 又对∀x∈R都有f(2-x)=f(x)，所以f(x)的图象关于直线x=1对称，故C正确； 因为f(2-x)=f(x)=-f(-x)，即f(2+x)=-f(x)，所以f(4+x)=f(x)， 所以f(x)是周期为4的周期函数， 又当x∈[0，1]时，f(x)=x2单调递增，所以f(x)在[-1，0]上单调递增， 则f(x)在[-1，1]上单调递增，由f(x)的图象关于直线x=1对称， 得f(x)在[1，3]上单调递减，所以f(x)在[-1，3]上的最大值是f(1)=1，最小值是f(-1)=-f(1)=-1，故A错误； 当3≤x≤4时，0≤4-x≤1，则f(x)=-f(-x)=-f(4-x)=-(4-x)2，故B正确； 由f(x)在[-1，1]上单调递增，且周期为4，则f(x)在区间(3，5)上单调递增，故D正确. 命题点2　自对称中的中心对称 例3　(多选)下列说法中，正确的是(　　) A.奇函数f(x)满足对∀x∈R都有f(x-4)-f(x)=0，则函数f(x)的图象关于点(4，0)对称 B.函数f(x)=的图象关于点(2，2)中心对称 C.函数f(x)=ln的图象关于点(1，0)对称 D.函数f(x)满足f(x-1)为奇函数，则函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称 【答案】AC 【解析】对于A，因为f(x-4)-f(x)=0，所以f(x)的一个周期为4，又f(x)为奇函数， 所以f(x)的图象关于点(0，0)对称，因为周期为4，所以f(x)的图象也关于点(4，0)对称，A正确； 对于B，f(x)===2-，其图象可以由y=-的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，且y=-的图象关于原点对称，故f(x)=的图象关于点(-2，2)中心对称，B错误； 对于C，因为f(2-x)=ln=ln=ln=-ln=-f(x)， 所以函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，C正确； 对于D，因为f(x-1)为奇函数， 所以f(x-1)=-f(-x-1)， 所以f(x)=-f(-x-2)，所以函数f(x)的图象关于点(-1，0)中心对称，D错误. 命题点3　互对称问题 例4　已知函数y=f(x)是定义域为R的函数，则函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象(　　) A.关于直线x=1对称 B.关于直线x=3对称 C.关于直线y=3对称 D.关于点(3，0)对称 【答案】A 【解析】设P(x0，y0)为y=f(x+2)图象上任意一点，则y0=f(x0+2)=f(4-(2-x0))， 所以点Q(2-x0，y0)在函数y=f(4-x)的图象上， 而点P(x0，y0)与点Q(2-x0，y0)关于直线x=1对称， 所以函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象关于直线x=1对称. 【思维升华】(1)函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称⇔f(x)=f(2a-x)⇔f(a-x)=f(a+x)； 若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线x=对称. (2)函数y=f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=2b⇔2b-f(x)=f(2a-x)；若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点成中心对称. 【跟踪训练】2　(1)(多选)(2026·茂名模拟)已知函数f(x)=sin x-，则(　　) A.f(x)的一个周期为π B.f(x)的一个周期为2π C.y=f(x)的图象关于点(π，0)对称 D.y=f(x)的图象关于直线x=对称 【答案】BCD 【解析】对于A，因为f(π+x)=-f(x)≠f(x)，所以π不是f(x)的一个周期，A错误； 对于B，因为f(2π+x)=f(x)，所以2π是f(x)的一个周期，B正确； 对于C，可知f(x)=sin x-的定义域为， 因为f(2π-x)=sin(2π-x)-=-sin x+=-f(x)， 所以f(x)的图象关于点(π，0)对称，故C正确； 对于D，因为f(π-x)=sin(π-x)-=sin x-=f(x)， 所以直线x=是f(x)图象的一条对称轴，故D正确. (2)(多选)已知函数y=f(x+1)-2为定义在R上的奇函数，又函数g(x)=，且f(x)与g(x)的函数图象恰好有2 026个不同的交点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，P2 026(x2 026，y2 026)，则下列叙述中正确的是(　　) A.f(x)的图象关于点(2，2)对称 B.g(x)的图象关于点(1，2)对称 C.x1+x2+…+x2 026=2 026 D.y1+y2+…+y2 026=2 026 【答案】BC 【解析】函数y=f(x+1)-2为定义在R上的奇函数，则有f(-x+1)-2=-f(x+1)+2， 即f(-x+1)+f(x+1)=4， 又=1，=2，所以函数y=f(x)的图象关于点(1，2)对称，无法判断是否关于点(2，2)对称，A选项错误； 函数g(x)==2+，结合反比例函数的性质和函数图象的平移可知，g(x)的函数图象也关于点(1，2)对称，B选项正确； f(x)与g(x)的函数图象的交点关于点(1，2)对称，不妨设x1<x2<…<x2 026， 则有x1+x2 026=x2+x2 025=…=x1 013+x1 014=2， y1+y2 026=y2+y2 025=…=y1 013+y1 014=4， 所以x1+x2+…+x2 026=2 026，C选项正确； y1+y2+…+y2 026=4 052，D选项错误. 抽象函数的性质的综合应用 函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题.函数的奇偶性、对称性和周期性三者之间知二可求一，解题中常常需要函数性质之间的相互转化，以及整体代换思想、赋值法等.另外函数的性质还常和导数一起考查，由复合函数的求导法则可知，在函数有意义的前提下，奇函数的导函数为偶函数，偶函数的导函数为奇函数等一些常用结论可快捷解题. 典例　(1)(多选)(2025·菏泽模拟)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，且∀x∈R，都有f=f，定义在R上的函数f'(x)为f(x)的导函数，则以下结论一定正确的是(　　) A.4为f(x)的一个周期 B.f(x)为偶函数 C.f'(x)为偶函数 D.f'=-f' 【答案】ACD 【解析】由f=f，可得函数f(x)的图象关于直线x=1对称，又函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，所以f(x)是以4为周期的周期函数，A正确； 由函数f(x)的对称性可知，f(-x)=-f(x+4)，又周期为4，所以f(x+4)=f(x)， 所以f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数，B错误； 因为f(-x)=-f(x)，两边求导可得-f'(-x)=-f'(x)，即f'(-x)=f'(x)，所以f'(x)为偶函数，故C正确； 因为f(x+1)=f(1-x)， 则f'(x+1)=-f'(1-x)，令x=-， 则f'=-f'，故D正确. (2)(多选)(2025·徐州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=-f(x)，且当x∈[0，2]时，f(x)=log2(x+1)，则下列结论正确的是(　　) A.f(3)=1 B.函数f(x)的图象关于直线x=4对称 C.函数f(x)在[-6，-2]上单调递减 D.若m∈(0，1)，则关于x的方程f(x)-m=0在[0，6]上的所有根之和为4 【答案】ACD 【解析】f(x)是奇函数，则f(-x)=-f(x)，又f(x)满足f(x+4)=-f(x)， 所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，所以f(x)是周期函数，它的一个周期是8. 对于A，由f(x+4)=-f(x)得f(3)=-f(-1)=f(1)=log2(1+1)=1，A正确； 对于B，因为f(x)+f(8-x)=f(x)+f(-x)=0，所以f(x)的图象关于点(4，0)中心对称，B错误； 对于C，因为f(x+4)=-f(x)=f(-x)，所以f(x)的图象关于直线x=2对称，且当x∈[0，2]时，f(x)=log2(x+1)，则根据f(x)的性质画出函数f(x)的部分图象如图， 由图可知，函数f(x)在[-6，-2]上单调递减，C正确； 对于D，在区间[0，6]上，y=f(x)与y=m，m∈(0，1)的图象有两个交点，所以关于x的方程f(x)-m=0有两个不相等的实根x1，x2，且两实根关于直线x=2对称，所以x1+x2=4，D正确. 【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共20分) 1.函数y=-ex与y=e-x的图象(　　) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称 【答案】C 【解析】根据两函数图象即可判断出其图象关于原点对称. 2.(2025·全国Ⅰ卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5-2x，则f等于(　　) A.- B.- C. D. 【答案】A 【解析】由题意知f(x)=f(-x)，f(x+2)=f(x)对一切x∈R成立， 于是f=f=f=5-2×=-. 3.(2025·泰州模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(4-x)，且f(x)在[-2，2]上单调递增.设a=f，b=f，c=f(-13)，则(　　) A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a 【答案】D 【解析】定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(4-x)， 则f(x)的图象的一条对称轴是直线x=2， 所以f(x)=f(4-x)=-f(-x)， 则f(x+4)=-f(x)， 则f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，所以f(x)的一个周期是8， 所以b=f=f，c=f(-13)=f(3)=f(1)， 因为f(x)在[-2，2]上单调递增， 所以b=f<c=f(1)<a=f. 4.(2025·沧州期末)定义在R上的奇函数f(x+1)与函数g(x-1)的图象关于直线x=1对称，则下列结论错误的是(　　) A.函数f(x)与g(x)的图象关于直线x=1对称 B.函数f(x)的图象关于点(1，0)对称 C.函数g(x-1)的图象关于点(2，0)对称 D.函数g(x)的图象关于点(2，0)对称 【答案】D 【解析】函数f(x+1)的图象向右平移一个单位长度得到函数f(x)的图象，函数g(x-1)的图象向左平移一个单位长度得到函数g(x)的图象，且函数f(x+1)与g(x-1)的图象关于直线x=1对称，所以函数f(x)与g(x)的图象关于直线x=1对称，故A正确； 因为f(x+1)是奇函数，即f(x+1)的图象关于点(0，0)对称，所以f(x)的图象关于点(1，0)对称，故B正确； 由函数f(x+1)与g(x-1)的图象关于直线x=1对称，且f(x+1)的图象关于点(0，0)对称知，函数g(x-1)的图象关于点(2，0)对称，所以函数g(x)的图象关于点(1，0)对称，故C正确，D错误. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 5.(2026·武汉模拟)已知函数f(x)=2sin x-2cos x，下列说法中正确的是(　　) A.f(x)是周期函数 B.f(x)在上单调递增 C.函数f(x)为偶函数 D.函数f(x)的图象关于点对称 【答案】ABD 【解析】对于A，因为f(x+2π)=2sin(x+2π)-2cos(x+2π)=2sin x-2cos x=f(x)， 所以f(x)是周期函数，故A正确； 对于B，因为y=sin x在上单调递增，y=cos x在上单调递减， 且y=2x在上单调递增，可知y=2sin x在上单调递增，y=2cos x在上单调递减，所以f(x)=2sin x-2cos x在上单调递增，故B正确； 对于C，f=-=0，f=-≠0，即f≠f， 所以函数f(x)不是偶函数，C错误； 对于D，因为f=-=2cos x-2sin x=-f(x)， 所以函数f(x)的图象关于点对称，故D正确. 6.(2025·汕头模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x+2)=-f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=tanx，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)的图象关于直线x=1对称 B.f= C.f(x)在区间[2 023，2 025]上单调递增 D.当x∈[0，20]时，方程f(x)=的所有解的和为90 【答案】ACD 【解析】由f(x+2)=-f(x)=f(-x)知，f(x)的图象关于直线x=1对称，A正确； 所以f=f=tan=，B错误； 奇函数f(x)在[0，1]上单调递增，且f(0)=0，所以f(x)在[-1，1]上单调递增， 由f(x+4)=-f(x+2)=f(x)知，f(x)是周期为4的周期函数， 又2 023=4×506-1，2 025=4×506+1，所以f(x)在区间[2 023，2 025]上单调递增，C正确； 画出函数f(x)的图象(图略)，方程f(x)=在[0，4]上有两根，且两根关于直线x=1对称，所以两根和为2，故f(x)=在[0，20]上所有根的和为2×(1+5+9+13+17)=90，D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 7.(2026·淮南模拟)函数f(x)=(x2+2x)(x2+ax+b)的图象关于直线x=1对称，则a+b=　　　.  【答案】2 【解析】因为函数f(x)=(x2+2x)(x2+ax+b)的图象关于直线x=1对称，所以f(1+x)=f(1-x)， 所以 即解得 经检验，符合题意，所以a+b=2. 8.(2025·八省联考)已知曲线C：y=x3-，两条直线l1，l2均过坐标原点O，l1和C交于M，N两点，l2和C交于P，Q两点.若△OPM的面积为，则△MNQ的面积为　　　　.  【答案】2 【解析】因为函数y=x3-为奇函数，所以曲线C的图象关于原点对称，又两条直线l1和l2均过坐标原点O，则P，Q关于原点对称，M，N关于原点对称，则四边形PNQM为平行四边形.又S△OPM=，则S△MNQ=2. 四、解答题(共26分) 9.(12分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且y=f(x)的图象关于直线x=2对称. (1)证明：f(x)是周期函数；(6分) (2)若当x∈[-2，2]时，f(x)=-x2+1，求当x∈[2，6]时，f(x)的解析式.(6分) (1)【证明】因为函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称，所以f(x+2)=f(2-x)， 即有f(-x)=f(x+4)， 又函数f(x)是定义在R上的偶函数， 有f(-x)=f(x)， 所以f(x+4)=f(-x)=f(x)， 即f(x)是周期为4的周期函数. (2)【解析】当x∈[-2，2]时，f(x)=-x2+1， 又f(x)是周期为4的周期函数， 当x∈[2，6]时，x-4∈[-2，2]， 所以f(x)=f(x-4)=-(x-4)2+1， 所以f(x)=-(x-4)2+1=-x2+8x-15，x∈[2，6]. 10.(链接教材，人教A版必修第一册P87习题3.2 T13)(14分)函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数. (1)若f(x)=x3-3x2，求此函数图象的对称中心；(9分) (2)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论.(5分) 【解析】(1)设函数f(x)=x3-3x2的图象的对称中心为点P(a，b)，g(x)=f(x+a)-b， 则g(x)为奇函数，故g(-x)=-g(x)， 故f(-x+a)-b=-f(x+a)+b， 即f(-x+a)+f(x+a)=2b， 即[(-x+a)3-3(-x+a)2]+[(x+a)3-3(x+a)2]=2b. 整理得(3a-3)x2+a3-3a2-b=0， 故解得 所以函数f(x)=x3-3x2的图象的对称中心为(1，-2). (2)推论：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称的充要条件是函数y=f(x+a)为偶函数. [每小题6分，共12分] 11.(多选)(2025·漳州模拟)已知定义在R上的函数f(x)不恒等于0，f(π)=0，且对任意的x，y∈R，都有f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(x-y)，则(　　) A.f(0)=1 B.f(x)是偶函数 C.f(x)的图象关于点(π，0)中心对称 D.2π是f(x)的一个周期 【答案】ABC 【解析】根据题意，f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(x-y)， 对于A，令y=x，可得f(2x)+f(2x)=2f(2x)f(0)，解得f(0)=1，即A正确； 对于B，令y=-x可得f(2x)+f(-2x)=2f(0)f(2x)=2f(2x)，所以f(2x)=f(-2x)， 即可得对任意的x∈R满足f(x)=f(-x)，即f(x)是偶函数，所以B正确； 对于C，令x=π-y，可得f(2π-2y)+f(2y)=2f(π)f(π-2y)=0， 即f(x)满足f(2π-x)+f(x)=0，因此可得f(x)的图象关于点(π，0)中心对称，即C正确； 对于D，假设2π是f(x)的一个周期，则f(2π)=f(0)=1，又f(2π-x)+f(x)=0，令x=0，得f(2π)+f(0)=0，即f(2π)=-f(0)=-1≠f(0)，故2π不是f(x)的一个周期，即D错误. 12.(多选)(2025·福州模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(2+x)+g(-x)=1，则(　　) A.f(x)的图象关于点(2，2)对称 B.f(x)是以8为周期的周期函数 C.g(x+8)=g(x) D.f(4k-2)=2 025 【答案】BC 【解析】对于A，由题意f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)，且g(0)=0， 又f(2+x)+g(-x)=1，即f(2+x)-g(x)=1， ① 用-x替换f(2+x)+g(-x)=1中的x，得f(2-x)+g(x)=1， ② 由①+②得f(2+x)+f(2-x)=2，所以f(x)的图象关于点(2，1)对称，故A错误； 对于B，由f(2+x)+f(2-x)=2，可得f(4+x)+f(-x)=2，即f(4+x)=2-f(-x)=2-f(x)， 所以f(8+x)=2-f(4+x)=2-[2-f(x)]=f(x)， 所以f(x)是以8为周期的周期函数，故B正确； 对于C，由①可得g(x)=f(2+x)-1，则g(x+8)=f(2+x+8)-1=f(2+x)-1=g(x)， 所以g(x+8)=g(x)，故C正确； 对于D，因为f(4+x)+f(-x)=2，f(x)为偶函数，所以f(4+x)+f(x)=2， 令x=2，则有f(6)+f(2)=2， 令x=10，则有f(14)+f(10)=2， 令x=18，则有f(22)+f(18)=2， …… 令x=8 090，则有f(8 094)+f(8 090)=2， 所以f(4k-2)=f(2)+f(6)+f(10)+f(14)+f(18)+f(22)+…+f(8 090)+f(8 094) ==2×1 012=2 024，故D错误. 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 函 数 §2.4　函数的周期性和对称性 【高考考向预测】 近三年高考函数周期性与对称性考查频次偏高，多在选择填空压轴位置出现，常结合奇偶性、单调性综合命题，重点考查周期推导、对称关系转化以及利用性质求值与分析图像特征；预测2027 年仍会维持高频考查态势，命题偏向多性质融合设问，侧重抽象函数周期与对称关系式互推，强化利用性质求解函数值、判断区间解析式等题型，着重考查逻辑转化与数形结合解题能力。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数f(x)的一个周期.(　 　) (2)若函数y=f(x)是奇函数，则函数y=f(x-1)的图象关于点(1，0)对称. (　 　) (3)函数y=ln(-x)与y=ln x的图象关于x轴对称. (　 　) (4)若函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x)，则f(x)的图象关于直线x=2对称. (　 　) 2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，当x∈[-1，1]时，f(x)=x2+1，则f(2 026.5)等于(　　) A. B. C.2 D.1 3.下列函数与y=ex关于直线x=1对称的是(　　) A.y=ex-1 B.y=e1-x C.y=e2-x D.y=ln x 4.已知函数y=f(x)的图象经过点P(1，-2)，则函数y=-f(-x)的图象必过点　　　　.  【核心梳理●明考点】 1.函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 2.奇函数、偶函数的对称性 (1)若函数y=f(x)满足f(a-x)=f(a+x)，则函数的图象关于直线x=a对称； (2)若函数y=f(x)满足f(a-x)=-f(a+x)，则函数的图象关于点(a，0)对称. (3)若f(x+a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x=a；若f(x+a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(a，0). 3.两个函数图象的对称 (1)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称； (2)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称； (3)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称. 1.熟记函数周期性的三个常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x+a)=-f(x)，则T=2|a|； (2)若f(x+a)=，则T=2|a|； (3)若f(x+a)=-，则T=2|a|. 2.熟记对称性与周期性之间的三个常用结论 (1)若函数f(x)的图象关于两条不同直线x=a和x=b对称，则函数f(x)的周期为T=2|a-b|； (2)若函数f(x)的图象关于两个不同点(a，0)和点(b，0)对称，则函数f(x)的周期为T=2|a-b|； (3)若函数f(x)的图象关于直线x=a和点(b，0)对称，则函数f(x)的周期为T=4|a-b|. 【题型突破●明方向】 题型一　函数的周期性 例1　(1)(2025·成都模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+3)=f(x-1)，且当x∈(-2，0)时，f(x)=log2(x+3)，则f(2 025)-f(2 028)等于(　　) A.1 B.-1 C.1-log23 D.-1-log23 (2)(2026·长沙模拟)设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)=ax2+2.则f等于(　　) A. B. C.- D.- 【跟踪训练】1　(多选)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-3)=-f(x)，当x∈[0，3]时，f(x)=x2-3x，则下列结论正确的是(　　) A.f(x+6)=f(x) B.当x∈[-6，-3]时，f(x)=x2-3x-6 C.f(2 023)+f(2 025)=f(2 024) D.函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x= 题型二　函数的对称性 命题点1　自对称中的轴对称 例2　(多选)(2025·延边模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对∀x∈R都有f(2-x)=f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)=x2，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)的最大值是1，最小值是0 B.当3≤x≤4时，f(x)=-(x-4)2 C.函数f(x)的图象关于直线x=1对称 D.f(x)在区间(3，5)上单调递增 命题点2　自对称中的中心对称 例3　(多选)下列说法中，正确的是(　　) A.奇函数f(x)满足对∀x∈R都有f(x-4)-f(x)=0，则函数f(x)的图象关于点(4，0)对称 B.函数f(x)=的图象关于点(2，2)中心对称 C.函数f(x)=ln的图象关于点(1，0)对称 D.函数f(x)满足f(x-1)为奇函数，则函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称 命题点3　互对称问题 例4　已知函数y=f(x)是定义域为R的函数，则函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象(　　) A.关于直线x=1对称 B.关于直线x=3对称 C.关于直线y=3对称 D.关于点(3，0)对称 【跟踪训练】2　(1)(多选)(2026·茂名模拟)已知函数f(x)=sin x-，则(　　) A.f(x)的一个周期为π B.f(x)的一个周期为2π C.y=f(x)的图象关于点(π，0)对称 D.y=f(x)的图象关于直线x=对称 (2)(多选)已知函数y=f(x+1)-2为定义在R上的奇函数，又函数g(x)=，且f(x)与g(x)的函数图象恰好有2 026个不同的交点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，P2 026(x2 026，y2 026)，则下列叙述中正确的是(　　) A.f(x)的图象关于点(2，2)对称 B.g(x)的图象关于点(1，2)对称 C.x1+x2+…+x2 026=2 026 D.y1+y2+…+y2 026=2 026 抽象函数的性质的综合应用 函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题.函数的奇偶性、对称性和周期性三者之间知二可求一，解题中常常需要函数性质之间的相互转化，以及整体代换思想、赋值法等.另外函数的性质还常和导数一起考查，由复合函数的求导法则可知，在函数有意义的前提下，奇函数的导函数为偶函数，偶函数的导函数为奇函数等一些常用结论可快捷解题. 典例　(1)(多选)(2025·菏泽模拟)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，且∀x∈R，都有f=f，定义在R上的函数f'(x)为f(x)的导函数，则以下结论一定正确的是(　　) A.4为f(x)的一个周期 B.f(x)为偶函数 C.f'(x)为偶函数 D.f'=-f' (2)(多选)(2025·徐州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=-f(x)，且当x∈[0，2]时，f(x)=log2(x+1)，则下列结论正确的是(　　) A.f(3)=1 B.函数f(x)的图象关于直线x=4对称 C.函数f(x)在[-6，-2]上单调递减 D.若m∈(0，1)，则关于x的方程f(x)-m=0在[0，6]上的所有根之和为4 【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共20分) 1.函数y=-ex与y=e-x的图象(　　) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称 2.(2025·全国Ⅰ卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5-2x，则f等于(　　) A.- B.- C. D. 3.(2025·泰州模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(4-x)，且f(x)在[-2，2]上单调递增.设a=f，b=f，c=f(-13)，则(　　) A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a 4.(2025·沧州期末)定义在R上的奇函数f(x+1)与函数g(x-1)的图象关于直线x=1对称，则下列结论错误的是(　　) A.函数f(x)与g(x)的图象关于直线x=1对称 B.函数f(x)的图象关于点(1，0)对称 C.函数g(x-1)的图象关于点(2，0)对称 D.函数g(x)的图象关于点(2，0)对称 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 5.(2026·武汉模拟)已知函数f(x)=2sin x-2cos x，下列说法中正确的是(　　) A.f(x)是周期函数 B.f(x)在上单调递增 C.函数f(x)为偶函数 D.函数f(x)的图象关于点对称 6.(2025·汕头模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x+2)=-f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=tanx，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)的图象关于直线x=1对称 B.f= C.f(x)在区间[2 023，2 025]上单调递增 D.当x∈[0，20]时，方程f(x)=的所有解的和为90 三、填空题(每小题5分，共10分) 7.(2026·淮南模拟)函数f(x)=(x2+2x)(x2+ax+b)的图象关于直线x=1对称，则a+b=　　　.  8.(2025·八省联考)已知曲线C：y=x3-，两条直线l1，l2均过坐标原点O，l1和C交于M，N两点，l2和C交于P，Q两点.若△OPM的面积为，则△MNQ的面积为　　　　.  四、解答题(共26分) 9.(12分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且y=f(x)的图象关于直线x=2对称. (1)证明：f(x)是周期函数；(6分) (2)若当x∈[-2，2]时，f(x)=-x2+1，求当x∈[2，6]时，f(x)的解析式.(6分) 10.(链接教材，人教A版必修第一册P87习题3.2 T13)(14分)函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数. (1)若f(x)=x3-3x2，求此函数图象的对称中心；(9分) (2)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论.(5分) [每小题6分，共12分] 11.(多选)(2025·漳州模拟)已知定义在R上的函数f(x)不恒等于0，f(π)=0，且对任意的x，y∈R，都有f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(x-y)，则(　　) A.f(0)=1 B.f(x)是偶函数 C.f(x)的图象关于点(π，0)中心对称 D.2π是f(x)的一个周期 12.(多选)(2025·福州模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(2+x)+g(-x)=1，则(　　) A.f(x)的图象关于点(2，2)对称 B.f(x)是以8为周期的周期函数 C.g(x+8)=g(x) D.f(4k-2)=2 025 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $