2.3 函数的奇偶性、周期性 讲义-2027届高三数学一轮复习

2.3 函数的奇偶性、周期性 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有－x∈D,且f(－x)＝f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有－x∈D,且f(－x)＝－f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 2.周期性 (1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x＋T∈D,且f(x＋T)＝f(x),那么函数y＝f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 常用的结论 1.如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义,则一定有f(0)＝0;如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)＝f(|x|). 2.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. 3.函数周期性的三个常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x: (1)若f(x＋a)＝－f(x),则T＝2a(a>0). (2)若f(x＋a)＝,则T＝2a(a>0). (3)若f(x＋a)＝－,则T＝2a(a>0). 考点一　函数奇偶性的判断 考点二　利用奇偶性求解析式 考点三　利用奇偶性求参 考点四　利用单调性与奇偶性解不等式 考点五　由周期性求函数的解析式 考点六　由函数的周期性求函数值 考点一　函数奇偶性的判断 1．（25-26高三上·江西上饶·期中）（多选）下列函数是以为周期的偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A，先推出其奇偶性，再举反例推出其周期不是即可判断；对于B，先推出其奇偶性，再结合的最小正周期即可推出的最小正周期，进而即可判断；对于C，D，先推出其奇偶性，推出其周期即可判断． 【详解】对于A，由的定义域为，关于原点对称， 令，则，所以为偶函数， 又，， 所以，故函数的周期不是，故A错误； 对于B，由的定义域为，关于原点对称， 令，由，所以为偶函数， 又函数的最小正周期为， 且函数的图象是将函数的轴下方图象翻折到轴上方， 故周期变成函数的周期的一半，故的最小正周期为，即以为周期，故B正确； 对于C，由的定义域为，关于原点对称， 令，由，所以为偶函数， 又函数的最小正周期为，即以为周期，故C正确； 对于D，由的定义域为，关于原点对称， 令，由，所以为偶函数， 又函数的最小正周期为， 则，故的最小正周期为，即以为周期，故D正确． 故选：BCD． 2．（25-26高二下·湖北·期中）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数定义判断出函数为偶函数，排除B选项，再通过对变形设，求导得出单调性，进而分析时的情况，排除C，D选项. 【详解】∵，且定义域为， ∴为偶函数，故排除B选项，又因为， ，则恒成立， ∴在上单调递增，当时，， ∴当时，，且单调递增，故排除选项C、D. 3．（25-26高三上·全国·课堂例题）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)． 【答案】(1)奇函数 (2)偶函数 【分析】（1）由函数奇偶性的判定方法和步骤计算分析即可； （2）先由诱导公式化简函数解析式，再由函数奇偶性的判定方法和步骤计算分析即可. 【详解】（1）函数定义域为关于原点对称，且， ∴函数是奇函数． （2）函数定义域为关于原点对称，又， ， ∴函数是偶函数． 4．（25-26高三·全国·一轮复习）判断下列各函数是否具有奇偶性 (1) (2) (3) (4)； (5) (6) 【答案】(1)奇函数 (2)非奇非偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)奇函数 (5)即是奇函数也是偶函数 (6)非奇非偶函数 【分析】根据奇偶性的定义判断即可. 【详解】（1）的定义域为，它关于原点对称． ，故为奇函数； （2）的定义域为不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数； （3）因为，所以，即函数的定义域为， 不关于原点对称，故既不是奇函数也不是偶函数； （4）由，得，且， 所以的定义域为，关于原点对称， 所以．又， 所以是奇函数； （5）对于函数，因为，所以， 其定义域为，关于原点对称．因为对定义域内的每一个， 都有，所以，， 所以既是奇函数又是偶函数； （6）因为，所以，所以的定义域为， 不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数． 故答案为：①奇函数；②非奇非偶函数；③非奇非偶函数；④奇函数；⑤即是奇函数也是偶函数；⑥非奇非偶函数 考点二　利用奇偶性求解析式 5．（25-26高三上·安徽安庆·月考）已知是定义在上的奇函数，当时，，则____. 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性计算即可. 【详解】. 6．（25-26高三下·河南新乡·月考）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质,计算可得. 【详解】由题意，当时，，， 又函数是定义在R上的奇函数，所以. 7．（25-26高三上·河北张家口·月考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合奇函数的定义运算求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，当时，， 当时，则， 所以. 故选：C. 8．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知为上的偶函数，为上的奇函数，且，其中． (1)求函数和的解析式； 【答案】(1)， 【分析】（1）根据函数奇偶性得到方程组，求出两函数解析式； 【详解】（1）由题意知，则， 因为为上的偶函数，为上的奇函数， 所以，联立， 解得，． 9．（24-25高二下·天津·月考）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断当时函数的单调性，并证明； (3)解不等式． 【答案】(1) (2)递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质和建立等量关系即可得解； （2）利用定义法判定单调性； （3）根据奇偶性和单调性求解不等式. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 又所以，所以， 显然，是奇函数， 综上 （2）在上单调递增； 证明：任取，且， 所以， 则 ， 所以，所以在上单调递增； （3）由题可知在上单调递增且为奇函数， 由得， 所以，解得或， 所以不等式的解集为 考点三　利用奇偶性求参 10．（山东威海市2026届高三第二模拟考试数学试卷）已知函数为偶函数，则________． 【答案】1 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称，先确定参数，再验证该参数下． 【详解】因为函数有意义，则． 若，则，此时定义域为，不关于原点对称，不符合偶函数定义，故． 当时，临界点为和，定义域为或． 因为为偶函数，所以定义域关于原点对称，故两个临界点互为相反数，即，解得． 当时，定义域为． 对任意，有. 所以． 11．（2026·湖北·模拟预测）若为奇函数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或1 【答案】C 【详解】， ， 为奇函数，， ，， ， ，对于任意的恒成立， ，，故选项C正确. 12．（2026·辽宁抚顺·二模）已知是定义在上的奇函数，且当时，，若在上恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性以及二次函数的单调性求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以由在上恒成立，可得在上恒成立. 若，即，则在上单调递增，则，得. 若，即，则，化简得，得. 若，即，则在上单调递减，则，得. 综上所述，a的取值范围为. 13．（2026·山西吕梁·三模）已知函数为奇函数，则（   ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】C 【分析】利用诱导公式结合奇函数的定义求解即可. 【详解】因为是奇函数， 所以所以 验证：当时，,满足奇函数的定义. 14．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知函数为奇函数，则（   ） A．-2 B．0 C．-3 D．-1 【答案】C 【分析】由奇函数的定义求解 【详解】若，则， 所以， 所以，，. 考点四　利用单调性与奇偶性解不等式 15．（25-26高三上·湖南长沙·期中）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数单调性与奇偶性计算即可得. 【详解】由已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 则函数在上单调递增， 又，所以， 即当时，，当或时，， 所以不等式的解集为. 16．（25-26高二下·山东济宁·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知函数为奇函数，且在定义域内单调递增，根据单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】因为函数的定义域为， 且，可知函数为奇函数， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 可知函数在定义域内单调递增， 若，则， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 17．（2026·贵州贵阳·二模）已知是定义在上的偶函数，且对任意，总有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由条件判断在上单调递减，结合偶函数的性质可得在上单调递增，从而，利用函数单调性得，求解该不等式即得. 【详解】因对任意，总有，可知在上单调递减， 又因是定义在上的偶函数，故在上单调递增， 故， 两边取平方得，即，解得或， 故不等式的解集为. 18．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数奇偶性与单调性，再解不等式. 【详解】由已知得，当时，， 所以，当时，同理有，可知是奇函数． 又当时，，所以在上单调递增， 从而可得在上单调递增． 不等式即， 所以有，解得． 19．（湖南长沙市衡阳市第八中学等校2026届高三下学期5月学情自测数学试卷）已知函数是定义域为的偶函数，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数与在上单调递增，所以在上单调递增． 又因函数是定义域为的偶函数，且， 所以由或， 所以原不等式的解集为． 考点五　由周期性求函数的解析式 20．（2026·上海静安·二模）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______． 【答案】 【详解】当时，， ， 又定义在R上的偶函数，且最小正周期为2， ， ． 21．（25-26高三上·甘肃·期中）定义在上的函数，满足，若当时，，则当时，______. 【答案】 【分析】当时，则，根据条件及时的解析式，代入计算，即可得答案. 【详解】当时，则， 因为，所以， 又当时，， 所以. 故答案为：. 22．（25-26高三上·甘肃兰州·月考）已知函数． (1)若是以2为周期的奇函数，且当时，有，求函数的解析式． (2)若，求的取值范围； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由，得，利用周期性与奇偶性可得，代入即得答案； （2）求出的解析式以及定义域，再根据对数函数的单调性解不等式即可求解. 【详解】（1）设 ，则 ，， 由周期性得：， 再由奇函数性质得：， 当时，有，且， 所以，. （2）代入得：， 即 ， 即， 得：， 解得：. 23．（25-26高三上·江苏苏州·期中）设是定义在上的函数，对任意，均有，当时，，则当，时，______． 【答案】 【分析】由题可得的周期为4，求出时的的解析式，利用函数周期性求得答案. 【详解】由，得， 所以，即函数是周期为4的周期函数. 当时，， ，又， 所以， 当，时，则， ， 又， . 故答案为：. 考点六　由函数的周期性求函数值 24．（25-26高三上·广西来宾·阶段检测）已知奇函数的周期为8，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数周期性和奇偶性即可求解. 【详解】因为的周期为8，所以， 又为奇函数，所以，则， 所以. 无法确定. 25．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知，．当时，，则______． 【答案】 【分析】根据周期性，将转化成在内的值，代入解析式进行计算． 【详解】因为，用替换，可得：，故周期为6， 因为， 故， 因为当时，，故； 故． 26．（2026·安徽芜湖·二模）已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，则__________. 【答案】0 【分析】由题设可得，，，进而得到，进而代值求解即可. 【详解】由是定义在上的奇函数，得， 由为偶函数，得， 则，即， 则， 由，可得，即. 27．（2026·江西·三模）设是定义在上的奇函数，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据题意得，则利用周期性和奇函数性质求值. 【详解】由于， 所以是以4为周期的周期函数， 则. 28．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（   ） A． B．1 C．3 D．7 【答案】C 【分析】首先根据偶函数的定义结合已知条件求得函数的周期，最后借助函数周期性求解函数值即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以.又因为， 所以，所以，所以的周期为. 因为时，，所以 1．（25-26高三下·天津·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由取值情况判断B；由时函数值情况判断C；由的值判断D；分析函数性质判断A. 【详解】对于B，函数的定义域为R，而给定图象对应函数中，B不是； 对于C，函数，当时，，此时图象在下方，C不是； 对于D，函数，，其图象过点，D不是； 对于A，函数，定义域为， ，函数为奇函数，图象关于原点对称， 当时，；当时，，A可能是. 2．（25-26高三上·北京·期中）下列函数中，在上递增的偶函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：为奇函数，故A错误； 对于B： 为奇函数，故B错误； 对于C：为偶函数，但是函数在上单调递减，故C错误； 对于D：为偶函数，且上单调递增，故D正确. 3．（2026·河北·三模）已知函数是奇函数，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】已知是奇函数，根据奇函数定义有， 当时，，则， 所以. 4．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）函数，若满足恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数奇偶性与单调性转化不等式 【详解】由题， ，因为 ， 所以 ，即在R上单调递增， ， 所以为奇函数， 不等式 可转化为 ， 所以. 5．（2026·河南·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，（m为常数），则（   ） A．4 B．7 C． D．8 【答案】C 【详解】由已知得，则， 所以当时，， 所以，故． 6．（25-26高三上·山西·阶段检测）已知函数为偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故． 7．（25-26高二下·浙江·期中）已知是定义在上且周期为的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵ 是定义在上且周期为的函数，∴ . ∵ 是偶函数，∴ . ∵ 当时，，∴ ，即. 8．（2026·福建南平·二模）已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，，则（    ） A．-2 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据函数的周期性和奇偶性即可求解. 【详解】已知是定义在上且周期为的奇函数，所以有， 令，得， 由于是奇函数，有，所以，即，解得， 当时，，由于，所以， 因此，故B正确. 9．（2026·河北邯郸·二模）（多选）已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（   ） A． B．在上单调递减 C．的值域为 D．的解集为 【答案】ACD 【分析】利用奇函数定义求出判断A；由指数函数单调性确定单调性判断B；求出值域判断C；利用性质求出解集判断D. 【详解】A选项，因为为奇函数，且定义域为，所以，代入解得：， 验证：当时，，，即，所以A选项正确； B选项，由A选项解析得：，即， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 则在上单调递增，所以B选项错误； C选项，令，则，，因为，所以，， ，则：，的值域为，所以C选项正确； D选项，因为，所以，又因为是奇函数，所以， 原不等式变形为：，由B选项解析得：在上单调递增， 所以需满足，解得：，所以D选项正确. 10．（25-26高三下·河北沧州·月考）（多选）已知定义在上的偶函数满足当时，，则（    ） A．曲线过定点 B．若，则 C．若，则有且仅有4个零点 D．若，则 【答案】BCD 【分析】由于，故其所过点必含变量，根据对称性，分析可判断A的正误；根据偶函数的定义及条件，可得的解析式，整理变形，可判断B的正误；当时，求出的零点，分析各段的正负，结合偶函数的性质，分析可判断C的正误；根据的单调性及对数的运算性质，分析比较，即可判断D的正误. 【详解】对于A，注意到，故其所过点必含变量，对称性可得同理，故A错误； 对于B，时，，时， 故，故B正确； 对于C，当时，，令，解得或， 注意到当时，，当时，， 当时，由于指数函数增长速度远高于多项式函数，故， 于是有且仅有2个正零点， 由奇偶性知有且仅有4个零点，故C正确； 对于D，当时，，显然其在时单调递增， 且， 所以， 于是，故D正确. 11．（25-26高三上·江西景德镇·期末）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则是奇函数 B．若，则的图象关于点对称 C．若，则的值域为 D．若，则不等式的解集为 【答案】AD 【分析】对于函数的奇偶性，需要判断的关系；对于函数的对称性，可通过分析函数的性质来判断；对于函数的值域，可根据函数的单调性来求解；对于不等式的求解，可利用函数的性质进行转化； 【详解】对于A，当时，的定义域为， 因为，所以是奇函数，A正确； 对于B，当时，，其定义域为，， 因为，所以函数关于点对称，B错误； 对于C，当时，的定义域为，因为，所以， 则，那么，所以，即的值域为，C错误； 对于D，当时，，其定义域为，由B可知， 不等式可化为， 即，对求导可得， 所以在上单调递减.因为，所以，解得， 即不等式的解集为，D正确； 故选：AD. 12．（25-26高三下·云南楚雄·月考）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则____________． 【答案】 【分析】根据奇偶性和周期性求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为是定义在上的奇函数，所以， 所以，所以， 所以4），故是周期为4的周期函数， 所以， 又因为，所以． 13．（25-26高三上·河南·开学考试）已知函数满足，当时，，且，则当时，不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】首先确定函数的周期，再利用周期，求和的解析式，再解不等式. 【详解】由知，函数是周期函数，周期为4， ，得， 所以当时，， 设， , 则，得，即， 当， ， 则，得，即， 综上可知不等式的解集为. 故答案为： 14．（2026·吉林长春·二模）已知函数，若，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，利用函数性质求的范围即可. 【详解】已知函数，则， 是奇函数， 是增函数，是增函数， 是增函数， 因为 ， ，即， 是单调递增函数， ，解得． 所以的取值范围是. 15．（25-26高二下·浙江温州·期中）已知函数，则使不等式成立的实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由函数解析式知函数的图象关于直线对称，易得函数在上是减函数，在上为增函数，利用对称性和单调性解不等式即可. 【详解】函数定义域为， ， ， 关于直线对称， 当时，函数在上递增，在上递增， 所以在上递减， 又关于对称，所以在上递增. 由得，即， 等价于，解得. 16．（25-26高三上·安徽安庆·月考）已知是定义在上的奇函数，当时，，则______． 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性求函数值． 【详解】． 17．（25-26高三上·贵州毕节·月考）设函数是定义在上的偶函数，且当时，. (1)求的值； (2)求的解析式； (3)若函数，求函数的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用偶函数的定义求解； （2）利用偶函数的定义求函数解析式； （3）分情况讨论对称轴与区间的位置关系求最值. 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数， 且当时，， 则； （2）设，则，所以， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以，则时，， 所以； （3）当时，， 所以，对称轴为， 当时，； 当时，即时，； 当时，即时，； 综上所述，. 18．（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知函数. (1)用定义证明函数在上是增函数； (2)解不等式. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）利用作差法证明函数在 上单调递增； （2）由偶函数性质将不等式转化为绝对值不等式，平方后可解得解集. 【详解】（1）任取，设， ， 又，，所以， 故，即， 函数在上是增函数. （2）因为，所以为偶函数， 则由，可得， 即，即，解得. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 函数的奇偶性、周期性 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有－x∈D,且f(－x)＝f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有－x∈D,且f(－x)＝－f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 2.周期性 (1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x＋T∈D,且f(x＋T)＝f(x),那么函数y＝f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 常用的结论 1.如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义,则一定有f(0)＝0;如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)＝f(|x|). 2.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. 3.函数周期性的三个常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x: (1)若f(x＋a)＝－f(x),则T＝2a(a>0). (2)若f(x＋a)＝,则T＝2a(a>0). (3)若f(x＋a)＝－,则T＝2a(a>0). 考点一　函数奇偶性的判断 考点二　利用奇偶性求解析式 考点三　利用奇偶性求参 考点四　利用单调性与奇偶性解不等式 考点五　由周期性求函数的解析式 考点六　由函数的周期性求函数值 考点一　函数奇偶性的判断 1．（25-26高三上·江西上饶·期中）（多选）下列函数是以为周期的偶函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·湖北·期中）函数的图象大致为（   ） A．B． C． D． 3．（25-26高三上·全国·课堂例题）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)． 4．（25-26高三·全国·一轮复习）判断下列各函数是否具有奇偶性 (1) (2) (3) (4)； (5) (6) 考点二　利用奇偶性求解析式 5．（25-26高三上·安徽安庆·月考）已知是定义在上的奇函数，当时，，则____. 6．（25-26高三下·河南新乡·月考）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·河北张家口·月考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知为上的偶函数，为上的奇函数，且，其中． (1)求函数和的解析式； 9．（24-25高二下·天津·月考）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断当时函数的单调性，并证明； (3)解不等式． 考点三　利用奇偶性求参 10．（山东威海市2026届高三第二模拟考试数学试卷）已知函数为偶函数，则________． 11．（2026·湖北·模拟预测）若为奇函数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或1 12．（2026·辽宁抚顺·二模）已知是定义在上的奇函数，且当时，，若在上恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．（2026·山西吕梁·三模）已知函数为奇函数，则（   ） A．2 B．1 C．0 D．-1 14．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知函数为奇函数，则（   ） A．-2 B．0 C．-3 D．-1 考点四　利用单调性与奇偶性解不等式 15．（25-26高三上·湖南长沙·期中）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高二下·山东济宁·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．（2026·贵州贵阳·二模）已知是定义在上的偶函数，且对任意，总有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 18．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（湖南长沙市衡阳市第八中学等校2026届高三下学期5月学情自测数学试卷）已知函数是定义域为的偶函数，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 考点五　由周期性求函数的解析式 20．（2026·上海静安·二模）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______． 21．（25-26高三上·甘肃·期中）定义在上的函数，满足，若当时，，则当时，______. 22．（25-26高三上·甘肃兰州·月考）已知函数． (1)若是以2为周期的奇函数，且当时，有，求函数的解析式． (2)若，求的取值范围； 23．（25-26高三上·江苏苏州·期中）设是定义在上的函数，对任意，均有，当时，，则当，时，______． 考点六　由函数的周期性求函数值 24．（25-26高三上·广西来宾·阶段检测）已知奇函数的周期为8，则（   ） A． B． C． D． 25．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知，．当时，，则______． 26．（2026·安徽芜湖·二模）已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，则__________. 27．（2026·江西·三模）设是定义在上的奇函数，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 28．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（   ） A． B．1 C．3 D．7 1．（25-26高三下·天津·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·北京·期中）下列函数中，在上递增的偶函数是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·河北·三模）已知函数是奇函数，则（    ） A．3 B． C．1 D． 4．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）函数，若满足恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·河南·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，（m为常数），则（   ） A．4 B．7 C． D．8 6．（25-26高三上·山西·阶段检测）已知函数为偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·浙江·期中）已知是定义在上且周期为的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·福建南平·二模）已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，，则（    ） A．-2 B． C． D．2 9．（2026·河北邯郸·二模）（多选）已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（   ） A． B．在上单调递减 C．的值域为 D．的解集为 10．（25-26高三下·河北沧州·月考）（多选）已知定义在上的偶函数满足当时，，则（    ） A．曲线过定点 B．若，则 C．若，则有且仅有4个零点 D．若，则 11．（25-26高三上·江西景德镇·期末）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则是奇函数 B．若，则的图象关于点对称 C．若，则的值域为 D．若，则不等式的解集为 12．（25-26高三下·云南楚雄·月考）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则____________． 13．（25-26高三上·河南·开学考试）已知函数满足，当时，，且，则当时，不等式的解集为__________. 14．（2026·吉林长春·二模）已知函数，若，则的取值范围是___________． 15．（25-26高二下·浙江温州·期中）已知函数，则使不等式成立的实数的取值范围是__________. 16．（25-26高三上·安徽安庆·月考）已知是定义在上的奇函数，当时，，则______． 17．（25-26高三上·贵州毕节·月考）设函数是定义在上的偶函数，且当时，. (1)求的值； (2)求的解析式； (3)若函数，求函数的最小值. 18．（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知函数. (1)用定义证明函数在上是增函数； (2)解不等式. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $