广东肇庆市第六中学2025-2026学年第二学期5月期中检测数学试题

**基本信息** 该试卷聚焦高二数学核心知识，通过导数应用、概率计算、二项式定理等题型，综合考查数学思维与应用能力，解答题设计如概率递推模型（食堂选择）、导数综合证明，体现知识迁移与逻辑推理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|导数计算、条件概率、二项式有理项|基础巩固，考查数学抽象| |多选题|3题|函数极值、排列组合|能力提升，体现批判性思维| |填空题|3题|概率计算、二次函数性质|知识应用，培养数据意识| |解答题|5题|概率递推、导数零点、二项式展开|创新应用，如食堂选择模型构建，发展数学建模与逻辑推理|

肇庆市第六中学2025-2026学年第二学期高二级期中检测 数学 命题人：欧国成 审核人：王翠英 一、单选题 1．下列导数式子正确的是 A． B． C． D． 2．某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，80%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑冰，则该同学也爱好滑雪的概率为（   ） A．0.8 B．0.5 C．0.6 D．0.3 3．二项式展开式中有理项的项数是（    ） A．1项 B．2项 C．3项 D．4项 4．已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于的描述正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B．当时取得最大值 C．在区间上单调递增 D．当时取得极小值 5．已知函数在处有极值10，则（    ） A． B．0 C．或0 D．或6 6．有5名护士到某医院实习，该医院将这5名护士分到心内科、心外科、骨科这三个科室，每个科室至少分1人，且每人只去一个科室，则不同的分配方案种数为（   ） A．120 B．150 C．300 D．360 7．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若，，则（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是函数定义域内的极小值点. B．的单调减区间是. C．在定义域内无最小值，无最大值. D．. 11．把数2，4，6，8，10，12按任意顺序排一列，构成数列：，，，，，，则（    ） A．满足，，与，，分别成等差数列的排法种数为8 B．满足，且的排法种数为20 C．满足的排法种数为48 D．满足的排法种数为360 三、填空题 12．某知识过关题库中有，，三种难度的题目，数量分别为100，200，300.已知小明做对，，型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为__________ 13．定义域为的二次函数满足：①为奇函数；②对任意的，，若，都有．写出一个满足条件的函数_____． 14．已知为常数，若存在使不等式成立，则的最小整数值为_____． 四、解答题 15．袋中装有4个红球，5个白球，从中不放回地任取两次，每次取一球. (1)求在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率. (2)求第二次才取到红球的概率. 16．已知 . (1)若展开式的二项式系数和为128，求 的值； (2)当 时，二项式的展开式中 的系数为，常数项为，若，则求的值； (3)当 时，求二项式的展开式中系数最大的项. 17．设函数， (1)求曲线y=在点（0，）处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值与最小值； (3)若函数在有三个不同的零点，求的取值范围． 18．小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐.学校食堂有、两家餐厅，已知他第一天选择食堂的概率为，而前一天选择了食堂后一天继续选择食堂的概率为，前一天选择食堂后继续选择食堂的概率为，如此往复. (1)求该同学第二天中午选择食堂就餐的概率： (2)记该同学第天选择食堂就餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②当时，恒成立，求取值范围. 19．已知，，是自然对数的底数. (1)求函数的单调区间； (2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； (3)当时，若满足，求证：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 《肇庆市第六中学2025-2026学年第二学期高二级期中检测数学》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C D A B A D AC ACD 题号 11 20 答案 BC B 1．D 【详解】根据导数的运算法则，可得，所以A不正确；，所以B不正确； 由，所以C 不正确；由是正确的，故选D． 2．B 【详解】记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件， 则， 所以， 所以. 3．C 【分析】根据展开式的通项结合有理项的定义分析求解. 【详解】二项式展开式的通项公式， 由，且，，得或或， 所以有理项的项数为3． 故选：C. 4．D 【分析】根据导数图象与函数图象的关系可得答案. 【详解】由图可知，时，，为增函数； 时，，为减函数；当时，有极大值，不一定为最大值； 时，，为增函数；当时，有极小值，不一定为最小值； 时，，为减函数； 综上可得只有D正确. 故选：D 5．A 【分析】根据数在处有极小值10，可得，求出参数的值，然后再验证，得到答案. 【详解】由函数有. 函数在处有极小值10. 所以，即 解得: 或 当时， 令得或，得 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 显然满足函数在处有极小值10. 当时， 所以函数在上单调递增,不满足函数在处有极小值10. 所以 故选：A 【点睛】关键点睛：解题关键在于，根据函数的极小点和对应的极值求参数，注意这种试题根据条件需要借助函数单调性进行检验，是易错题，属于中档题. 6．B 【详解】解：先将5名护士分成3组，每组至少1人，分组方式有；， 则不同的分配方案种数为． 7．A 【详解】依题意， 在上恒成立， 即在上恒成立. 设，因在上单调递减， 故在上的最大值为，故. 故选：A 8．D 【详解】[方法一]：构造函数 因为当 故，故，所以； 设， ，所以在单调递增， 故，所以， 所以，所以，故选D [方法二]：不等式放缩 因为当， 取得：，故 ，其中，且 当时，，及 此时， 故，故 所以，所以，故选D [方法三]：泰勒展开 设，则，， ，计算得，故选D. [方法四]：构造函数 因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以， 故选：D． [方法五]：【最优解】不等式放缩 因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以． 故选：D． 9．AC 【详解】令，可得，A正确； 令，可得， 故，B错误； 取，可得， 故，C正确； 由， 两边求导数，可得， 取可得，D错误. 10．ACD 【详解】对于A，定义域为，，令可得， 当时，，为减函数；当时，，为增函数； 所以是函数的极小值点，A正确； 对于B，由A可知当时，，为减函数，所以的单调减区间是和，B不正确； 对于C，由前面分析，的单调减区间是和，增区间为，极小值为e， 当时，，当时，，当时，， 简图如下，由图可知，在定义域内无最小值，也无最大值，C正确， 对于D，由题可得，由于增区间为，所以，故，即D正确. 11．BC 【详解】A选项，6个数中分别选3个构成等差数列，有以下2种组合： 与，与， 对每组的两个等差数列，每个等差数列自身有2种排列方式，奇偶项也可交换， 则共有种，故A错误； B选项，任取三个数作为，则满足的排列只有1种， 而余下三个数作为，满足的排列也只有1种， 则满足，且的排法种数为种，故B正确； C选项，由于任取两数之差均不小于2，若满足， 则只能是，对于， 先全排列，再内部各自排列，共有种，C选项正确； D选项，类似B选项，先任取两个数作为，则满足的排列只有1种， 再任取两个数作为，满足的排列只有1种，最后两个数作为， 满足的排列只有1种，共有种，故D选项错误； 故选：BC. 12． 【详解】设小明选1道类试题为事件，小明选1道类试题为事件， 小明选1道类试题为事件， 设小明答对试题为事件， 则， 而，，， 由全概率公式得： . 13． （仅有二次项且二次项系数为正即可） 【详解】对二次函数 ，， 因为为奇函数，所以，即，得； 又可得在上单调递增，因为，所以，即； 因此满足条件的函数只要形如 即可，比如. 14．4 【详解】当时，由，得， 即存在使不等式成立， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 所以函数在上单调递增， 又，， 则存在，使得，即， 当时，，即； 当时，，即， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 则，于是， 所以的最小整数解为4. 15．【详解】（1）若第一次取出红球，此时袋中有3个红球，5个白球， 则第二次取出红球的概率为. （2）用表示第次取到红球， 则第二次才取到红球的概率为. 16．【详解】（1）依题意有，解得. （2）当 时二项式为，由二项式定理通项公式得， 令，得，所以， 令，得，所以， 又，解得（舍去）或或， 所以或 （3）当 时二项式为， 由二项式定理通项公式得， 设第r项系数最大，则，即，故， 所以二项式的展开式中系数最大的项为. 17．【详解】（1）代入得到，即切点坐标（0，1） 由，得 ．                                               - 所以曲线y=在点（0，）处的切线方程为. （2）由，得 ． 令，得，解得或 与在区间上的情况如下： -4 -3 1 6 ↗ 10 ↘ ↗ 91 所以在区间上，当x=10时，最大值为91； 当x=1时，最小值为． （3）若在有三个不同的零点，可得y=的图象与直线y=-b有3个交点 由（2）可知： -3 1 ↗ 10 ↘ ↗ 又当；当 所以时，函数在有三个不同的零点． 18．【详解】（1）设为“第1天选择食堂”，为“第2天选择食堂”，则为“第1天不选择食堂”， 根据题意，，，， 由全概率公式得：. （2）①设为“第天选择食堂”，则，， 根据题意，， 由全概率公式得：， 因此，因为， 所以是以为首，为公比的等比数列. ②由①可得， 当为大于1的奇数时， 当为正偶数时， 因此，当时，，所以. 19．【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，恒有，则函数在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 即函数在上单调递减，在上单调递增； 所以当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）方程，即，当时，方程不成立，则； 令，依题意，方程有两个不等实根，即直线与的图象有两个交点， 求导得，当或时，，当时，， 所以函数在，上单调递减，在上单调递增， 而当时，，当时，，且当时，取得极小值， 作出函数，的大致图象，如图，    观察图象，当时，直线与函数的图象有两个交点， 所以的取值范围为； （3）当时，，求导得， 由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增； 由，且，得， 令函数，， 求导得， 则函数在上单调递增，有，于是， 而，因此，即， 又，， 函数在上单调递增，所以， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $