精品解析：广东省深圳市光明区深圳实验学校光明部2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

深圳实验学校光明部2025-2026学年度第二学期期中考试 高二数学 时间：120分钟 满分：150分 命题人：周 良 审题人：王 鹏 第一卷 一、单选题（每题4分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式化简集合,即可根据元素与集合的关系求解. 【详解】由可得， 结合，由于,故 故 2. 已知点在函数的图象上，则的最小值为（    ） A. B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为点在函数的图象上，则有， ， 当且仅当，即时等号成立. 则的最小值为. 3. 有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（ ） A. 81 B. 64 C. 27 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】利用分步计数原理，每封信独立选择信箱，将各步的方法数相乘得到总方法数。 【详解】每封信都有3种选择，所以将4封不同的信投入3个不同的信箱，共有种方法． 故选：A. 4. 一批零件共有个，其中有个不合格随机抽取个零件进行检测，恰好有件不合格的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】从个零件中随机抽取个，总的抽取方法数为组合数， 要求恰好件不合格，即从个不合格零件中抽1个， 从个合格零件中抽个，符合条件的方法数为， 故​恰好件不合格的概率为. 5. 已知变量，的统计数据如下，若与的回归直线方程为，则（ ） 2.8 3.3 5.0 6.7 7.2 2.6 4.0 5.1 5.4 A. 2.5 B. 2.7 C. 2.9 D. 3.1 【答案】C 【解析】 【分析】先求出样本中心点坐标，代入回归直线方程，解方程即可. 【详解】由题意，可得，， 所以样本点的中心坐标为， 代入回归直线方程，可得， 解方程得. 6. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 【答案】D 【解析】 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】. 7. 随机变量，则等于（    ） A. 16 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】因为随机变量，所以期望 ， 再根据期望的线性性质：有， 代入得： . 8. 第十五届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日至17日在广东珠海举办，此次航展上，作为我国新一代中型隐身多用途战斗机的歼－35A首次公开亮相，并在进行飞行表演时飞出了“马赫环”，假设歼－35A在某次飞行过程中，飞行速度（单位：马赫）服从正态分布，且飞出“马赫环”的概率与飞行速度满足以下关系：当时，概率为0.9；当时，概率为0.5；当时，概率为0.1.若歼－35A在一次飞行过程中飞出了“马赫环”，则它飞行速度不低于1.2马赫的概率约为（若，则）（ ） A. 0.2856 B. 0.1428 C. 0.1587 D. 0.5 【答案】A 【解析】 【分析】设歼－35A飞出“马赫环”为事件A，飞行速度不低于1.2马赫为事件，结合正态分布的概率计算，利用全概率及贝叶斯公式进行求解． 【详解】由于飞行速度（单位：马赫）服从正态分布，得， 则， ，. 设歼－35A飞出“马赫环”为事件A，飞行速度不低于1.2马赫为事件， 则，， 所以. 故选：A. 二、多选题（每题6分） 9. 下列结论正确的是（   ） A. 若随机变量，则 B. 某次考试中有三道题，小黄同学做对每道题的概率均为，则他做对的题数的期望为2 C. 若，，且，则C，D相互独立 D. ，，，则的值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过二项分布方差计算公式与方差的性质，条件概率，全概率公式求解. 【详解】，，选项错误； 设小黄同学做对的题目数量为，则，期望为，选项正确； 根据条件概率公式，由，得， 所以，则C，D相互独立，选项正确； 由全概率公式，即， 解得，选项正确. 10. 如图是根据一组观测数据得到海拔千米的大气压强散点图，根据一元线性回归模型得到经验回归方程为，决定系数为；根据非线性回归模型得到经验回归方程为，决定系数为，则下列说法正确的是（ ） A. 由散点图可知，大气压强与海拔高度负相关 B. 由方程可知，海拔每升高1千米，大气压强必定降低kPa C. 由方程可知，当时，则预测值 D. 对比两个回归模型，结合实际情况，方程的预报效果更好 【答案】AD 【解析】 【分析】根据散点图即可得出A项；根据回归方程的含义可判断B项；根据回归方程计算出预测值，可判断C项；根据实际大气压强不能为负，可判断D项. 【详解】对于A，由图象知，海拔高度越高，大气压强越低， 所以大气压强与海拔高度负相关，故A正确； 对于B，经验回归方程得到的数据为估计值，而非精确值，故B错误； 对于C，当时，，所以预测值为24.5，故C错误； 对于D，随着海拔高度的增加，大气压强越来越小，但不可能为负数， 因此方程的预报效果更好，故D正确． 11. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表.数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.下列结论正确的是（ ） A. 第48行的所有数字之和被7除的余数为1 B. 第20行第7个数和第8个数的比为 C. 从第4行起到第19行，每一行的第4列数字之和为 D. 第行所有数的平方和等于第行最中间的数 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：由题意可得，再借助二项式的展开式计算即可得；对B：计算即可得；对C：借助计算即可得；对D：借助，再利用二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对A：第48行的所有数字之和为， 由， 故第48行的所有数字之和被7除的余数为1，故A正确； 对B：第20行第7个数为，第8个数为， ，故B错误； 对C：第行的第4个数字为，由， 则 ，故C正确； 对D：第行所有数的平方和为， 第行最中间的数为， 由 ， 则的展开式中的系数为， 又对，有，则其展开式中的系数为， 即有，故D正确. 故选：ACD. 第二卷 三、填空题（每题5分） 12. 将4名大学生分配到3所学校支教，每名大学生必须去一所学校，每所学校至少有一名大学生：则不同的分配方法有__________种.（用数字填写） 【答案】 【解析】 【详解】由题设，必有一个学校有两名大学生，故不同的分配方法有. 13. 袋中有除颜色外完全相同的5个球，其中3个红球和2个白球．现从袋中不放回地连续取两个．已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】依题意第一次取得红球可得袋中还有2个红球和2个白球，从而求出取得白球的概率. 【详解】第一次取得红球，此时袋中还有2个红球和2个白球，现从中随机取出一个球，则取得白球的概率， 故已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为. 14. 已知变量与的一组样本数据，，…，满足，，对各样本数据求对数，再利用线性回归分析的方法得.若变量，则当的预测值最大时，变量的取值约为________.（，结果保留1位小数） 【答案】 【解析】 【分析】先求样本中心点，再由样本中心点求回归直线的参数，最后结合二次函数即可求出最值时变量值. 【详解】由已知可得， 所以， 同理， 代入，得， 所以，所以，则， 令，则， 当时，z取最大值，此时． 故答案为：. 四、解答题 15. 已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，按要求完成以下问题： （1）求的值. （2）求展开式中的系数. 【答案】（1）6 （2）1 【解析】 【分析】（1）由二项式系数以及组合数公式可得出关于的等式，即可解得的值； （2）写出展开式通项，令的指数为，求出的值，代入通项后即可得解. 【小问1详解】 由题意，，解得. 【小问2详解】 的展开式通项为， 令，可得，因此，展开式中的系数为. 16. 在6道数学试题中有3道代数题和3道几何题，每次从中随机抽出1道题. （1）如果抽出的题不再放回，从中抽2道题，求恰好抽到一道代数题和一道几何题的概率； （2）如果抽出的题再放回，从中抽2道题，求恰好抽到一道代数题和一道几何题的概率； （3）如果抽出的题不再放回，从中抽3道题，记表示抽到代数题的道数，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）（2）根据古典概率计算公式结合组合数计算即可求解； （3）先确定的所有取值，求出各自的概率，写出分布列，利用期望的公式可得期望. 【小问1详解】 如果抽出的题不再放回， 设事件“从中抽2道题，恰好抽到一道代数题和一道几何题”， 则； 【小问2详解】 如果抽出的题再放回， 设事件“从中抽2道题，恰好抽到一道代数题和一道几何题”， 则； 【小问3详解】 根据题意，可能的取值为， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 故随机变量的数学期望 . 17. 2025年举办的江西省城市足球联赛（简称“赣超”）深受广大市民的喜爱，66个场次累计123万人次现场观看了比赛.为了解喜欢观看“赣超”联赛与性别是否有关系，随机抽取了部分市民，调查他们是否喜欢观看“赣超”联赛的情况，得到如下表格： 性别 不喜欢观看“赣超”联赛 喜欢观看“赣超”联赛 男性 25 150 女性 50 75 （1）是否有99%的把握认为喜欢观看“赣超”联赛与性别有关； （2）用频率估计概率，从喜欢观看“赣超”联赛的市民中随机抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，（结果精确到0.001）． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有99%的把握认为喜欢观看“赣超”联赛与性别有关，利用独立性检验思想判断 （2）分布列： 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）通过列联表计算出值，结合独立性检验与临界值比较即可. （2）确定随机变量的值，根据二项分布概率计算公式得到分布列，进而求出数学期望. 【小问1详解】 假设：喜欢观看“赣超”联赛与性别无关， ， 则假设不成立，即有99%的把握认为喜欢观看“赣超”联赛与性别有关. 【小问2详解】 喜欢观看“赣超”联赛的市民中女性的概率为：，则. 的可能取值为0，1，2，3. ，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 则. 18. 实现乡村振兴，开发本地资源，提高村民的收入，某村办企业研发了一种新手工产品，为确定合适的定价，统计了不同定价（元）与网上月销量（万件）的数据如下： （1）求相关系数（保留3位小数），并说明与的线性相关程度； （2）建立关于的线性回归方程； （3）若月销量不低于万件可保证盈利，根据回归方程预测定价最高可定为多少元？（取整数） （参考数据：，，，，） （参考公式：，） 【答案】（1），与完全线性负相关. （2） （3）定价最高为元. 【解析】 【小问1详解】 ，， 故 ， 故与完全负相关. 【小问2详解】 ，故， 故回归方程为. 【小问3详解】 由题设，此时，故，故定价最高为元. 19. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下： 若一方以或获胜，则胜者得3分，败者得0分； 若一方以获胜，则胜者得2分，败者得1分． （1）求甲获得3分的概率； （2）若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望； （3）已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为． ①求的表达式，并比较和的大小关系； ②求在上的最大值及取得最大值时的值． 【答案】（1）； （2）随机变量的分布列为： ； （3）①；②当时，取得最大值. 【解析】 【分析】（1）甲获得3分，有和获胜两种情况，根据事件的相互独立性和互斥事件的加法即可求解； （2）先确定随机变量的所有可能取值，再分别计算每个取值的概率，列出分布列，最后根据数学期望的公式计算； （3）①先求出的表达式，再得到的表达式，即可比较大小； ②通过换元，令，结合二次函数的图像性质及复合函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 根据题意，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立． 所以甲以获胜的概率为， 甲以获胜的概率为， 所以甲获得3分的概率为； 【小问2详解】 由题意可知，随机变量为甲的总得分，其所有可能取值为、、、， 若，即甲、乙获胜的概率都是， 所以，， ，， 所以随机变量的分布列为： 所以； 【小问3详解】 ①由题意，，， 所以 ， 则， 所以； ②由①可得，， 令，， 因为，可得恒成立，所以单调递增， 又当时，取得最大值，即， 所以， 即当时，取得最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳实验学校光明部2025-2026学年度第二学期期中考试 高二数学 时间：120分钟 满分：150分 命题人：周 良 审题人：王 鹏 第一卷 一、单选题（每题4分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知点在函数的图象上，则的最小值为（    ） A. B. 8 C. D. 3. 有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（ ） A. 81 B. 64 C. 27 D. 24 4. 一批零件共有个，其中有个不合格随机抽取个零件进行检测，恰好有件不合格的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知变量，的统计数据如下，若与的回归直线方程为，则（ ） 2.8 3.3 5.0 6.7 7.2 2.6 4.0 5.1 5.4 A. 2.5 B. 2.7 C. 2.9 D. 3.1 6. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 7. 随机变量，则等于（    ） A. 16 B. 8 C. 5 D. 4 8. 第十五届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日至17日在广东珠海举办，此次航展上，作为我国新一代中型隐身多用途战斗机的歼－35A首次公开亮相，并在进行飞行表演时飞出了“马赫环”，假设歼－35A在某次飞行过程中，飞行速度（单位：马赫）服从正态分布，且飞出“马赫环”的概率与飞行速度满足以下关系：当时，概率为0.9；当时，概率为0.5；当时，概率为0.1.若歼－35A在一次飞行过程中飞出了“马赫环”，则它飞行速度不低于1.2马赫的概率约为（若，则）（ ） A. 0.2856 B. 0.1428 C. 0.1587 D. 0.5 二、多选题（每题6分） 9. 下列结论正确的是（   ） A. 若随机变量，则 B. 某次考试中有三道题，小黄同学做对每道题的概率均为，则他做对的题数的期望为2 C. 若，，且，则C，D相互独立 D. ，，，则的值为 10. 如图是根据一组观测数据得到海拔千米的大气压强散点图，根据一元线性回归模型得到经验回归方程为，决定系数为；根据非线性回归模型得到经验回归方程为，决定系数为，则下列说法正确的是（ ） A. 由散点图可知，大气压强与海拔高度负相关 B. 由方程可知，海拔每升高1千米，大气压强必定降低kPa C. 由方程可知，当时，则预测值 D. 对比两个回归模型，结合实际情况，方程的预报效果更好 11. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表.数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.下列结论正确的是（ ） A. 第48行的所有数字之和被7除的余数为1 B. 第20行第7个数和第8个数的比为 C. 从第4行起到第19行，每一行的第4列数字之和为 D. 第行所有数的平方和等于第行最中间的数 第二卷 三、填空题（每题5分） 12. 将4名大学生分配到3所学校支教，每名大学生必须去一所学校，每所学校至少有一名大学生：则不同的分配方法有__________种.（用数字填写） 13. 袋中有除颜色外完全相同的5个球，其中3个红球和2个白球．现从袋中不放回地连续取两个．已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为________． 14. 已知变量与的一组样本数据，，…，满足，，对各样本数据求对数，再利用线性回归分析的方法得.若变量，则当的预测值最大时，变量的取值约为________.（，结果保留1位小数） 四、解答题 15. 已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，按要求完成以下问题： （1）求的值. （2）求展开式中的系数. 16. 在6道数学试题中有3道代数题和3道几何题，每次从中随机抽出1道题. （1）如果抽出的题不再放回，从中抽2道题，求恰好抽到一道代数题和一道几何题的概率； （2）如果抽出的题再放回，从中抽2道题，求恰好抽到一道代数题和一道几何题的概率； （3）如果抽出的题不再放回，从中抽3道题，记表示抽到代数题的道数，求随机变量的分布列和数学期望. 17. 2025年举办的江西省城市足球联赛（简称“赣超”）深受广大市民的喜爱，66个场次累计123万人次现场观看了比赛.为了解喜欢观看“赣超”联赛与性别是否有关系，随机抽取了部分市民，调查他们是否喜欢观看“赣超”联赛的情况，得到如下表格： 性别 不喜欢观看“赣超”联赛 喜欢观看“赣超”联赛 男性 25 150 女性 50 75 （1）是否有99%的把握认为喜欢观看“赣超”联赛与性别有关； （2）用频率估计概率，从喜欢观看“赣超”联赛的市民中随机抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，（结果精确到0.001）． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 实现乡村振兴，开发本地资源，提高村民的收入，某村办企业研发了一种新手工产品，为确定合适的定价，统计了不同定价（元）与网上月销量（万件）的数据如下： （1）求相关系数（保留3位小数），并说明与的线性相关程度； （2）建立关于的线性回归方程； （3）若月销量不低于万件可保证盈利，根据回归方程预测定价最高可定为多少元？（取整数） （参考数据：，，，，） （参考公式：，） 19. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下： 若一方以或获胜，则胜者得3分，败者得0分； 若一方以获胜，则胜者得2分，败者得1分． （1）求甲获得3分的概率； （2）若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望； （3）已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为． ①求的表达式，并比较和的大小关系； ②求在上的最大值及取得最大值时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $