精品解析：河南省新乡市第一中学2025-2026学年八年级下学期4月期中考试数学试卷（普通班）

新乡市一中2025－2026学年下期初二年级期中考试 《数学》试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算或化简正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为（ ） A. B. C. D. 4. 以下由线段a、b、c组成的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 下列选项中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. x 0 5 10 15 y 3 3.5 4 4.5 B. C. D. 6. 如图，在四边形中，对角线相交于点O，请添加一组条件，使四边形是平行四边形，以下添加条件不正确的是（　） A. B. C. D. 7. 函数与函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，，则线段的长为（ ） A. 3 B. C. D. 5 9. 如图，点为正方形的对角线的中点，在中，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，已知动点在的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒个单位．连结，记点的运动时间为秒，的面积为．如图是关于的函数图象，则下列说法中错误的是（ ） A. 的值13 B. 的周长为16 C. 秒时，线段最短 D. 的面积为12 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 使式子有意义的的取值范围是_____． 12. 若点，，均在一次函数的图象上，则，，的大小关系是_____（用“<”符号连接）． 13. 已知为正数，且，如果以的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为__________． 14. 如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解是__________． 15. 如图，四边形是一个矩形纸片，，．E是边上一点．将沿着翻折，A点的对应点为．在翻折的过程中，当是直角三角形时，的长为________． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 一架无人机在某一时间段内经过匀速爬升（每个爬升阶段的速度都相等）、悬停、匀速下降的过程中，其所在高度h（米）与飞行时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，请根据图象回答问题： （1）解释点C的实际意义； （2）若无人机匀速下降的速度是匀速爬升速度的2倍，求无人机的爬升速度及图中m，n的值； （3）在（2）的条件下，直接写出无人机在这段时间内悬停的总时长． 18. 如图，在四边形中，已知，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 19. 对于分母中含有根号的式子可以进行如下化简，例如：，从而把分母中的根号化去，我们把这样的化简称为“分母有理化”．根据以上方法，解答下列问题： （1）化简：________； （2）若，求的值； （3）计算：． 20. 一次函数与的图象如图所示． （1）点的坐标为____________，点的坐标为____________； （2）当____________时，； （3）若点在直线上，且满足，求点的坐标． 21. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作，且，连接、、，其中交于点F． （1）求证：四边形为矩形； （2）若菱形的边长为4，，求线段的长度． 22. 在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武BOT》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元． （1）甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ （2）已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和15人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 23. 综合与探究 探索发现 如图1，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．(不需要证明) 迁移应用 如图2，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点， （1）直接写出___________，___________．在第二象限构造等腰直角，使得，则点的坐标为___________． （2）如图3，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式． 拓展应用 （3）如图4，直线分别交轴和轴于两点，点在第二象限，使以为腰的为等腰直角三角形？请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新乡市一中2025－2026学年下期初二年级期中考试 《数学》试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算或化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，故不正确； B．，故不正确； C．，故不正确； D．，故正确． 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．，故不是最简二次根式； B．，故不是最简二次根式； C．，故不是最简二次根式； D．是最简二次根式．． 3. 下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与正比例函数的定义，若两个变量x和y间的关系式可以表示成（k，b为常数，）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）；一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如（k为常数，且）的函数，那么y就叫做x的正比例函数，再根据定义逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：A．是一次函数，也是正比例函数，故选项不符合题意； B．不是一次函数，故选项不符合题意； C．是一次函数，但不是正比例函数，故选项符合题意； D．是一次函数，也是正比例函数，故选项不符合题意． 故选：C． 4. 以下由线段a、b、c组成的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据判断三条线段是否能构成直角三角形需验证两较小边的平方和是否等于最长边的平方，分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D 、，故选项符合题意． 5. 下列选项中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. x 0 5 10 15 y 3 3.5 4 4.5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数的概念，掌握函数的概念是解题的关键． 根据函数的定义“如果在一个变化过程中有两个变量和，并且对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，则称是的函数，其中是自变量”逐项判断即可． 【详解】解：A、在所给的数据中，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，所以能表示是的函数，不符合题意； B、是一次函数，所以能表示是的函数，不符合题意； C、对于的每一个确定的值，不一定有唯一的值与其对应，可能有两个或三个值，所以不是的函数，符合题意； D、对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，所以能表示是的函数，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，在四边形中，对角线相交于点O，请添加一组条件，使四边形是平行四边形，以下添加条件不正确的是（　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、添加，可以运用两组对边分别相等的四边形是平行四边形的方法判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、添加，无法证明四边形是平行四边形，符合题意； C、添加，可运用对角线相互平分的四边形是平行四边形的方法判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、添加，可以运用两组对边分别平行的四边形是平行四边形的方法判定四边形是平行四边形，不符合题意； 故选：B ． 7. 函数与函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正比例函数和一次函数的图象性质，分和两种情况讨论，判断图象所在的象限及交点位置． 【详解】解：由题意，函数为正比例函数，图象必过原点；函数为一次函数，分两种情况讨论： （1）当时：的图象过第一、三象限；的，图象过第二、三、四象限，此时两直线交点在第三象限．没有选项符合题意； （2）当时：的图象过第二、四象限；的，图象过第一、二、三象限，选项D正确． 8. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，，则线段的长为（ ） A. 3 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图步骤可知是的角平分线，过点作于，利用角平分线的性质可得，再利用勾股定理求出的长，最后通过面积法建立方程求解的长，进而求出． 【详解】解：由作图步骤可知，平分 ，过点作于  ，平分，    在中，，      ， 即  ∴  ∴  ∴  9. 如图，点为正方形的对角线的中点，在中，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点于点，证明，得到计算即可． 【详解】解：过点作于点于点， ∵四边形是正方形， ∴平分， ∴， ∴四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ． 10. 如图1，已知动点在的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒个单位．连结，记点的运动时间为秒，的面积为．如图是关于的函数图象，则下列说法中错误的是（ ） A. 的值13 B. 的周长为16 C. 秒时，线段最短 D. 的面积为12 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象分析点的运动过程：时，随增大而增大，对应在上运动，得出长度及面积；时，不变，对应在上运动，得出长度；时，减小至0，对应在上运动，得出的值； 结合平行四边形性质计算周长、面积及最短时的时间，逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知：当时，点在上运动， ， 当时，，即， ，其中为边上的高， ． 当时，点在上运动，保持6不变， ， 四边形是平行四边形， ，． 当时，点在上运动， 运动时间为秒， ，故A选项正确； 的周长，故B选项正确； 的面积，故D选项正确； 当时，线段最短，此时， 在中，，， ， 秒， 即秒时，最短，故C选项错误． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 使式子有意义的的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：式子有意义， ∴ ， 解得，． 12. 若点，，均在一次函数的图象上，则，，的大小关系是_____（用“<”符号连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质；当一次函数的时，y随着x的增大而减小，即x值越大y值越小，比较各点x值大小可得y值大小关系． 【详解】解：∵点，，均在一次函数的图象上，且， ∴y随着x的增大而减小，即x值越大y值越小， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 已知为正数，且，如果以的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题可根据“两个非负数相加和为0，则这两个非负数的值均为0”解出x、y的值，然后运用勾股定理求出斜边的长，斜边长的平方即为正方形的面积． 【详解】解：， ， 解得， 根据勾股定理知，斜边长为： ， 以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为， 故答案为：7． 【点睛】本题综合考查了勾股定理与非负数的性质，解题关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系． 14. 如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将交点的纵坐标代入求出横坐标，确定交点的坐标；再根据二元一次方程组的解与两直线交点坐标的对应关系，得出方程组的解． 【详解】解：∵ 点在直线上， ∴ 把代入，得， 解得， ∴ 点的坐标为， ∵ 二元一次方程组可变形为， ∴ 该方程组的解就是直线与交点的坐标， ∵ 直线与的交点为 ∴方程组的解是． 15. 如图，四边形是一个矩形纸片，，．E是边上一点．将沿着翻折，A点的对应点为．在翻折的过程中，当是直角三角形时，的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】分三种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求的长． 【详解】解：①如图，若， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵将沿着翻折， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； ②如图，若， ∵将沿着翻折， ∴，，， ∵， ∴点，点，点三点共线， ∵， ∴． ③若， ∵， ∴点不可能落在直线上， ∴不存在， 综上所述：或． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 17. 一架无人机在某一时间段内经过匀速爬升（每个爬升阶段的速度都相等）、悬停、匀速下降的过程中，其所在高度h（米）与飞行时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，请根据图象回答问题： （1）解释点C的实际意义； （2）若无人机匀速下降的速度是匀速爬升速度的2倍，求无人机的爬升速度及图中m，n的值； （3）在（2）的条件下，直接写出无人机在这段时间内悬停的总时长． 【答案】（1）当飞行时间为9分钟时，无人机所在的高度为100米 （2）无人机的爬升速度为25米/分，m的值为2，n的值为14 （3）8分钟 【解析】 【分析】（1）根据函数图象作答即可； （2）根据点B、C求出爬升速度，可求m的值，进而求出匀速下降的速度，即可求出n的值； （3）根据函数图象作答即可． 【小问1详解】 解：点C的实际意义是当飞行时间为9分钟时，无人机所在的高度为100米 【小问2详解】 解：爬升速度（米/分钟） ∴， ∵无人机匀速下降的速度是匀速爬升速度的2倍， ∴无人机匀速下降的速度是米/分钟， ∴； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，悬停的总时长（分钟）． 18. 如图，在四边形中，已知，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）勾股定理求出的长，勾股定理逆定理求出的度数即可； （2）两个直角三角形的面积之和即为四边形的面积． 【小问1详解】 解∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：四边形的面积 ． 19. 对于分母中含有根号的式子可以进行如下化简，例如：，从而把分母中的根号化去，我们把这样的化简称为“分母有理化”．根据以上方法，解答下列问题： （1）化简：________； （2）若，求的值； （3）计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分子分母同时乘以进行分母有理化即可； （2）先化简，再变形 ，最后代入求值即可； （3）先得出 （n为正整数），再将式子变形为 ，最后进行加减，并化简即可． 【小问1详解】 解：  ； 【小问2详解】 解： ， ∵ ， 代入， 得； 【小问3详解】 解：由题意可得 （n为正整数）， ∴   ． 20. 一次函数与的图象如图所示． （1）点的坐标为____________，点的坐标为____________； （2）当____________时，； （3）若点在直线上，且满足，求点的坐标． 【答案】（1）, （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）联立两个一次函数解析式求解交点坐标，再令求解点坐标； （2）通过交点坐标确定不等式的解集； （3）设点的坐标为，根据三角形的面积，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：联立， 解得， ∴点的坐标为； 当时，， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵， 由图形可知，当时，； 【小问3详解】 解：设点的坐标为． ，且， ， 即， ， ∴点的坐标为或． 21. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作，且，连接、、，其中交于点F． （1）求证：四边形为矩形； （2）若菱形的边长为4，，求线段的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出，即可证明是矩形； （2）根据菱形的性质得出，再根据勾股定理得出的长度即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ， ∴四边形是平行四边形． ， ∴平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：在菱形中，，，， ∴是等边三角形， ， ∴， ∴在矩形中，， ∵在矩形中，， ∴在中，． 22. 在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武BOT》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元． （1）甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ （2）已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和15人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 【答案】（1）甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元 （2）购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大 【解析】 【分析】（1）设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购买甲型机器人台，6台机器人每天服务客人的人数为，根据题意列出不等式组求出的范围，列出一次函数，根据一次函数的性质，求最值即可. 【小问1详解】 解：设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元， 依题意，得 解得 答：甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元． 【小问2详解】 解：设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台． 依题意，得 解得． 设6台机器人每天服务客人的人数为， 则． ， 随的增大而增大， ∴当时，取得最大值 ∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大. 23. 综合与探究 探索发现 如图1，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．(不需要证明) 迁移应用 如图2，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点， （1）直接写出___________，___________．在第二象限构造等腰直角，使得，则点的坐标为___________． （2）如图3，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式． 拓展应用 （3）如图4，直线分别交轴和轴于两点，点在第二象限，使以为腰的为等腰直角三角形？请直接写出点的坐标． 【答案】（1）；；； （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）利用一次函数解析式求出直线与坐标轴交点，得到线段长度，再作垂线构造型全等，通过角的关系证明三角形全等，结合全等性质计算线段长，从而求出点的坐标； （2）根据直线旋转特征判定等腰直角三角形，构造全等三角形求出直线上定点坐标，再代入两点坐标，利用待定系数法计算参数，求出直线函数表达式； （3）以为等腰直角三角形的腰，分直角顶点在、直角顶点在两种情况，分别构造一线三垂直全等图形，依托全等性质推算线段长度，结合象限特征确定点的坐标． 【小问1详解】 解：直线， 令，得， ，； 令，得，解得， ，； 如图，过作轴于， ，， ，， ， 又， ， ，， 点横坐标为，纵坐标为，即． 【小问2详解】 解：如图，过点作交于点，过点作轴于点D， 由（1）知，， ∵直线绕点顺时针旋转得到， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形，， 同（1），可证， ∴，， ∴， 又∵点在第二象限， ∴点坐标为； 设直线的解析式为， 将，代入， 得，解得， ∴的函数表达式为． 【小问3详解】 解：直线，令得， ， 令得， ， 为腰，为等腰直角三角形，在第二象限，分两种情况： ①直角顶点为，，， 如图，过作轴于，同理可得， ，， 点横坐标为，纵坐标为，即； ②直角顶点为，，， 如图，过作轴于，同理可得， ，， 点横坐标为，纵坐标为，即． 综上，点坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $