浙江省宁波市镇海中学2026届高三模拟预测数学试题

**基本信息** 聚焦数学核心素养，通过抛物形拱桥、立体几何翻折等真实情境与抽象问题结合，实现基础巩固与创新应用的梯度考查，适配高三三模综合训练需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、立体几何、抛物线应用|结合抛物形拱桥情境考查模型意识| |多选|3/18|统计、向量、数列新定义|以“绝对数列”新定义考查推理能力| |填空|3/15|复数、不等式、概率|交换球概率问题体现数学思维| |解答|5/77|解三角形、立体几何翻折、圆锥曲线、导数|立体几何翻折与圆锥曲线切线综合考查空间观念与运算能力|

数学模拟练习解析 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则下列说法正确的是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，故， ，． 故选择： 2．已知是空间中三个不同的平面，是空间中三条不同的直线，则下列说法正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】A项：取两两垂直，故A错； B项：开门模型B错； C项：即与的法向量平行，故，故正确； D项：取即可，故错． 故选择： 3．图中是抛物形拱桥，当水面在时，拱顶部离水面，水面宽，水面下降后，水面的宽约为（其中，精确到） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图建系，即抛物线过，知，故，在中，令，水面宽． 故选择：B 4．某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】考虑有2个零点，排除AC，考虑时，排除D． 故选择：B 5．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】考虑主视图，即等腰三角形的内切圆与外接圆圆心重合，故圆锥轴载面为正三角形，内切圆半径为1，则边长为，高为3，所以． 故选择： 6．在中，角为三个内角，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】考虑为到的斜率，，知在与上均递增，得大致图象，故为充要条件． 故选择： 7．已知双曲线的左右焦点分别为，直线与双曲线的右支交于点且，的中点记为，且，则双曲线的离心率为 A．3 B． C． D． 【答案】D 【解析】，故，①， ②， ， 故， 解得，所以． 故选择： 8．已知函数，在区间上恒有，求的取值范围 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，而，故． 即时，左右， 只需时， （熟知在时最小值为），取等，故． 故选择： 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是 A．独立性检验方法不适用于普查数据 B．数据1，2，2，3，3，4，4，5，8，9的上四分位数是8 C．如果散点图中所有的散点都落在一条斜率为非0的直线上，则 D．已知父亲身高为172cm，儿子身高的观测值为176cm，儿子身高预测值为173cm，则儿子身高的残差为3cm 【答案】ACD 【解析】A项：在普查中，已掌握了总体的全部信息，变量之间的关系是确定的，无需进行假设检验，A正确； B项：10个数据，取第8位即5是上四分位数，B错； C项：此时线性关系完美，预测值与观测值完全一致，，对； D项：残差=观测值预测值，D对． 故选择：ACD 10．已知平面内的三个非零向量满足，且，则下列说法正确的是 A． B． C．的最小值为1 D．的最大值为3 【答案】ABD 【解析】条件即，故A正确； 从，故， 正三角形中，轨迹为圆． 对B：即，故B正确； 对，即，由极化恒等式，，为中点，，故，故D正确． 故选择：ABD 11．已知无穷数列前项和为，若存在，当时，，则称为“绝对数列”．则下列选项正确的是 A．已知数列，则数列为“绝对数列” B．若数列和均为“绝对数列”，则为“绝对数列” C．若等比数列为“绝对数列”，则公比为 D．存在两个公差均不为0的等差数列和，使得数列和均为“绝对数列” 【答案】AD 【解析】A项：对称轴为2，于是取，故A对； B项：由A取再取满足条件，不为绝对数列，故B错； C项：考虑或， 时，满足条件，故错； D项：取，验与：前项和对称轴，满足， 验， 验，序列为41014，前项和满足． 故选择：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．复数，则_____． 【答案】 【解析】性质． 故答案为： 13．已知实数满足，且，则的最小值为_____． 【答案】7 【解析】， 解得，取等． 故答案为：7 14．甲有2个白球和1个黑球，乙有3个白球，甲乙两人每次交换1个球，经过5次交换后，黑球仍然在甲手中的概率为_____． 【答案】 【解析】记次交换后黑球仍在甲手中的概率为，则， ， ，故． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知锐角三个内角的对边分别是，若． （1）求的大小； （2）若平分交于点，求的取值范围． 【解析】（1）由射影定理：， 故， 由正弦定理， 故，， 钝角三角形，故，于是． （2）， 由角平分线定理． 16．如图，已知平行四边形是线段上的点，且，为线段中点，现将沿翻折至，使得． （1）若点在线段上，且，证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）由题意，故取，则， 又，于是四边形为平行四边形，所以， 面面，所以面， ，故面面，所以面， 又，所以面面面，所以面． （2），由余弦定理， 于是，由折叠知，所以面， 面，故面面， 又为正三角形，作， 则面，当中点，， 即， 代入，，解得，， 设所成角为，则． 17．设数列的前项和为，当时满足． （1）求； （2）令，记为的前项和，当为何值时，取最小值． 【解析】（1）， 叠加得， 令，即，故． ，检验时也成立． （2），显然递增， 而， 故时，时，，于是时，最小． 18．在平面直角坐标系中，抛物线上点处的切线与双曲线相交于不同的两点． （1）若为中点，求实数的值； （2）若，且在轴上存在点，使得为正三角形，求实数的值： （3）若，求面积的最小值． 【解析】（1）上处切线方程：，即， 与联立得，解得或， 时，与无交点，故． （2）设，在（1）中， 中点， 由，即， ， 化简得， 故，所以． （3）， 在（2）中， ，令， ， ， ，当时取等． 19．在平面直角坐标系中，曲线与交于点． （1）当时，求曲线在的切线方程； （2）若直线与相切于点，求的值； （2）若直线与交于另一点，且，求的取值范围． 【解析】（1）． （2）设， 在上，①， 在上，②， 在上，③， 由①②即，于是， 再由③． （3）设， ， ，故， 由，则， 记，则， ， 单调递减，， 所以单调递减，时， 所以， 又 在单调递增，， 故． 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学模拟练习 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则下列说法正确的是 A． B． C． D． 2．已知是空间中三个不同的平面，是空间中三条不同的直线，则下列说法正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．图中是抛物形拱桥，当水面在时，拱顶部离水面1 m，水面宽2 m，水面下降1 m后，水面的宽约为（其中，精确到0.1 m） A．1.4 m B．2.8 m C．4.2 m D．5.7 m 第3题图 第4题图 4．某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为 A． B． C． D． 5．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为 A． B． C． D． 6．在中，角为三个内角，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知双曲线的左右焦点分别为，直线与双曲线的右支交于点且，的中点记为，且，则双曲线的离心率为 A．3 B． C． D． 8．已知函数，在区间上恒有，求的取值范围 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是 A．独立性检验方法不适用于普查数据 B．数据1，2，2，3，3，4，4，5，8，9的上四分位数是8 C．如果散点图中所有的散点都落在一条斜率为非0的直线上，则 D．已知父亲身高为172cm，儿子身高的观测值为176cm，儿子身高预测值为173cm，则儿子身高的残差为3cm 10．已知平面内的三个非零向量满足，且，则下列说法正确的是 A． B． C．的最小值为1 D．的最大值为3 11．已知无穷数列前项和为，若存在，当时，，则称为“绝对数列”．则下列选项正确的是 A．已知数列，则数列为“绝对数列” B．若数列和均为“绝对数列”，则为“绝对数列” C．若等比数列为“绝对数列”，则公比为 D．存在两个公差均不为0的等差数列和，使得数列和均为“绝对数列” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．复数，则_____． 13．已知实数满足，且，则的最小值为_____． 14．甲有2个白球和1个黑球，乙有3个白球，甲乙两人每次交换1个球，经过5次交换后，黑球仍然在甲手中的概率为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知锐角三个内角的对边分别是，若． （1）求的大小； （2）若平分交于点，求的取值范围． 16．如图，已知平行四边形，是线段上的点，且，为线段中点，现将沿翻折至，使得． （1）若点在线段上，且，证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17．设数列的前项和为，当时满足． （1）求； （2）令，记为的前项和，当为何值时，取最小值． 18．在平面直角坐标系中，抛物线上点处的切线与双曲线相交于不同的两点． （1）若为中点，求实数的值； （2）若，且在轴上存在点，使得为正三角形，求实数的值： （3）若，求面积的最小值． 19．在平面直角坐标系中，曲线与交于点． （1）当时，求曲线在的切线方程； （2）若直线与相切于点，求的值； （2）若直线与交于另一点，且，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $