山东桓台县鱼龙中学2023-2024学年第二学期第二次模拟考试初四数学试题

**基本信息** 初四数学二模卷以生活情境与动态探究为载体，全面覆盖代数、几何、统计核心知识，梯度设计适配中考备考需求，突出应用意识与推理能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/60|实数运算、统计量、几何初步|第6题以母亲节购花考二元一次方程整数解，体现应用意识| |填空题|5/20|圆锥侧面展开、规律探究|第15题通过正方形弧长规律考弧长计算，培养创新意识| |解答题|7/70|函数综合、几何证明、统计概率|第24题二次函数结合面积最值与路径最短，考查运算能力与推理能力|

初 四 数 学 练 习 题 （时间：120分钟） 本试卷共 6 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1．答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将学校、姓名、考试号、座号填写在 答题卡规定位置，并核对条形码。 2．第一题每小题选出答案后，用 2B 铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3．第二、三题必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案。严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改。不允许使用计算器。 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记。 5.不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ） 1．下列等式成立的是（　　） A．±9 B．|2|2 C．（）﹣1＝﹣2 D．（tan45°﹣1）0＝1 2．下列各数中，比3大比4小的无理数是（　　） A．3.14 B． C． D． 3．如图，是A市某一天的气温随时间变化的情况，则这天的日温差（最高气温与最低气温的差）是（　　） A．4℃ B．8℃ C．12℃ D．16℃ 4．点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点，若线段AB＝12cm，则线段BD的长为（　　） A．10cm B．8cm C．10cm 或8cm D．2cm 或4cm 5．为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表： 一分钟跳绳个数（个） 141 144 145 146 学生人数（名） 5 2 1 2 则关于这组数据的结论正确的是（　 　） A．平均数是144 B．众数是141 C．中位数是144.5 D．方差是5.4 6．母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明将30元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（　 　） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 7．已知关于x的分式方程2的解为非负数，则正整数m的所有个数为（　 　） A．4 B．5 C．3 D．6 8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C．下列结论：①abc＜0，②2a+b＜0，③4a﹣2b+c＞0，④3a+c＞0，其中正确的结论个数为（　 　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ 　　） A． B． C． D． 10．如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（　　） A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90° 11．如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A＝60°，CD＝2，BD＝4．则△DBC的面积是（　　） A．4 B．2 C．2 D．4 第8题 第9题 第10题 第11题 12．如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将△ABC在直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（ 　　） B． C． D． 二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分.请直接填写最后结果. ） 13．如图所示，若用半径为8，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是　　　　　　． 第13题 第14题 14．我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点A（2，1）到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为　　　　　． 15．如图，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的．其中：的圆心为点A，半径为AD；的圆心为点B，半径为BA1；的圆心为点C，半径为CB1；的圆心为点D，半径为DC1；，…的圆心依次按点A，B，C，D循环．若正方形ABCD的边长为1，则的长是　　　　　． 第15题 第16题 16．如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点E是边AB的中点，点P是边BC上一动点，设PC＝x，PA+PE＝y．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．那么a+b的值为　　　　　　． 17．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，4），点C（3，n）在第一象限内，连接AC、BC．已知∠BCA＝2∠CAO，则n＝　　　　． 三、解答题（本大题共 7 个小题，共 70 分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. ） 18．（本小题满分8分） 先化简，再求值：•（1），其中x是不等式组的整数解． 19．（本小题满分8分） 为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题： （1）本次被抽查的学生共有　 　名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为　 　度； （2）请你将条形统计图补全； （3）若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名？ （4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率． 20.（本小题满分10分） 已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根． （1）求k的取值范围． （2）是否存在实数k，使得等式k﹣2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由． 21.（本小题满分10分） 为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行30分钟后到达B处，此时测得灯塔P在北偏东45°方向上． （1）求∠APB的度数； （2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？（参考数据：1.414，1.732） 22.（本小题满分10分） 如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，点E在直径CD的延长线上，且AE＝AC． （1）试判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AC＝6，求阴影部分的面积． 23.（本小题满分12 分） 如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC1，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝1，连接DE．现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），如图2，连接CE，BD，CD． （1）当0°＜α＜180°时，求证：CE＝BD； （2）如图3，当α＝90°时，延长CE交BD于点F，求证：CF垂直平分BD； （3）在旋转过程中，求△BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数． 24.（本小题满分12 分） 已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，且tan∠CBD，如图所示． （1）求抛物线的解析式； （2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点． ①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连结FB、FC，求△BCF的面积的最大值； ②连结PB，求PC+PB的最小值． 初四数学练习题参考答案 （仅供参考） 1、 选择题（每小题5分，共计60分.） CCCCB BABDD BA 2、 填空题（每空4分，共计20分） 13． 14．1 15．4041π 16． 17．4+2 三、解答题（共7个题，共计70分） 18.(8分) •（1） ......2分 ， ......4分 由不等式组，得﹣1≤x＜1......5分 ∵x是不等式组的整数解， ∴x＝﹣1，0， ......6分 ∵当x＝﹣1时，原分式无意义， ∴x＝0， ......7分 当x＝0时，原式． ......8分 19.（8分） （1）50，72； ......2分 （2） ......3分 （3）名， ......5分 （4）列表如下： A B C D A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D） ......7分 由表格可得：共有16种等可能的结果，其中王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果有4种， ∴王芳和小颖两名学生选择同一个项目的概率． ......8分 20.（10分） （1）△＝（﹣2）2﹣4×1×（k+2）≥0， 解得：k≤﹣1． ......2分 （2）∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝2，x1x2＝k+2． ......4分 ∵k﹣2， ∴k﹣2， ∴k2﹣6＝0， ......6分 解得：k1，k2． ......8分 又∵k≤﹣1， ∴k． ......10分 21．（10分） （1）由题意得，∠PAB＝90°﹣60°＝30°，∠APB＝90°+45°＝135°， ∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠APB＝180°﹣30°﹣135°＝15°； ......2分 （2）作PH⊥AB于H，如图： ......3分 则△PBH是等腰直角三角形， ∴BH＝PH， ......4分 设BH＝PH＝x海里， 由题意得：AB＝4020（海里）， 在Rt△APH中，tan∠PAB＝tan30°， 即， ......8分 解得：x＝1010≈27.32＞25，且符合题意， ∴海监船继续向正东方向航行安全． ......10分 22.（10分） （1）证明：连接OA、AD，如图， ∵CD为⊙O的直径， ∴∠DAC＝90°， ......1分 又∵∠ADC＝∠B＝60°， ∴∠ACD＝30°， 又∵AE＝AC，OA＝OD， ∴△ADO为等边三角形， ......3分 ∴∠E＝30°，∠ADO＝∠DAO＝60°， ∴∠PAD＝30°， ∴∠EAD+∠DAO＝90°， ∴OA⊥E， ∴AE为⊙O的切线； ......5分 （2）解：作OF⊥AC于F， 由（1）可知△AEO为直角三角形，且∠E＝30°， ∴OA＝2，AE＝6， ......8分 ∴S阴影=6×262π． ......10分 23.（12分） （1）证明：如图2中，根据题意：AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠EAD＝90°， ∵∠CAE+∠BAE＝∠BAD+∠BAE＝90°， ∴∠CAE＝∠BAD， ......2分 在△ACE和△ABD中， ， ∴△ACE≌△ABD（SAS）， ∴CE＝BD； ......4分 （2） 如图3中，根据题意：AB＝AC，AD＝AE， ∠CAB＝∠EAD＝90°， 在△ACE和△ABD中， ， ∴△ACE≌△ABD（SAS）， ∴∠ACE＝∠ABD， ......5分 ∵∠ACE+∠AEC＝90°，且∠AEC＝∠FEB， ∴∠ABD+∠FEB＝90°， ∴∠EFB＝90°， ∴CF⊥BD， ......6分 ∵AB＝AC，AD＝AE＝1，∠CAB＝∠EAD＝90°， ∴BCAB，CD＝AC+AD， ∴BC＝CD， ∵CF⊥BD， ∴CF是线段BD的垂直平分线； ......8分 （3）解：△BCD中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时△BCD的面积有最大值， ∴当直线DA⊥BC时，即点D在线段BC的垂直平分线上时，△BCD的面积取得最大值， ......10分 ∵AB＝AC，AD＝AE＝1， ∠CAB＝∠EAD＝90°，DG⊥BC ∴AGBC，∠GAB＝45°， ∴DG＝AG+AD， ∠DAB＝180°﹣45°＝135°， ∴S最大=， 旋转角α＝135°． ......12分 24.(12分) （1）可设：y＝a（x+1）（x﹣5）， ∵对称轴为直线x＝2， ∴D（2，0）， ∵， ∴CD＝BD•tan∠CBD＝4， 即C（2，4）， ......1分 代入抛物线的解析式，得4＝a（2+1）（2﹣5）， 解得 ， ∴ x2； ......3分 （2）①设P（2，t），其中0＜t＜4， 设直线BC的解析式为 y＝kx+b， ∴， 解得 ∴直线BC： ， ......4分 令y＝t，得：， ∴点E（5t，t）， 把 代入， 得 ， 即， ∴， ∴S△BCFEF×BD（t） ， ......6分 ∴当t＝2时，△BCF的面积最大，最大值为； ......7分 ②如图，连接AC，根据图形的对称性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5， ∴， 过点P作PG⊥AC于G，则在Rt△PCG中，， ∴， ......9分 过点B作BH⊥AC于点H，则PG+PH≥BH， ∴线段BH的长就是的最小值......10分 ∵， 又∵， ∴， 即， ∴的最小值为． ......12分 初四数学　第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $