精品解析：2026年河北衡水市故城县七校联考初中学业水平模拟数学（导向二）

2026年河北初中学业水平模拟 数学（导向二） 注意事项：共8页，总分120分，时间120分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 如图，数轴上的点M，N分别表示，2，则点M到点N的距离为（ ） A. 5 B. C. 1 D. 2. 如图，老师将直角三角尺的一条直角边摆放在的边上，另一条直角边经过顶点C，则是的（ ） A. 中线 B. 高线 C. 角平分线 D. 中位线 3. 解方程时，若要得到，应在方程两边同时（ ） A. 加上3 B. 减去3 C. 加上 D. 减去 4. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 计算的结果为（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 6. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，在一个对边平行的纸条上有两点A，B，连接并取的中点O． 方案Ⅰ：过点O作任意直线（不与重合，且不与纸条的边平行）交纸条两边于C，D两点（点C在点A所在的边上），连接，； 方案Ⅱ：在点A所在边上取一点D，点D在点A右侧，在点B所在边上取一点C，点C在点B左侧，且满足． 按上述两种方案操作，得到的四边形一定是平行四边形的方案（ ） A. Ⅰ，Ⅱ都是 B. Ⅰ，Ⅱ都不是 C. 只有Ⅰ是 D. 只有Ⅱ是 8. 嘉嘉用100元钱去购买笔记本和圆珠笔共30件，已知每本笔记本5元，每支圆珠笔2元，下列说法错误的是（ ） A. 设购买圆珠笔x支，依题意得 B. 设购买笔记本x本，依题意得 C. 圆珠笔的数量可以是17支 D. 笔记本的数量可以是14本 9. 如图，在平面直角坐标系中，线段端点的坐标为，，其中，反比例函数的图象交线段于点P．当时，m的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 10. 如图，正六边形内部有一个正五边形，且．现有一直线l经过、，则直线l与所夹锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 黑板上有一个不完整的题目：某同学在处理一组数据“15，24，11，30，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在 之间，两位同学思考后得到如下结论． 嘉嘉：无论“■”为何值（ 之间的），这组数据的中位数都不变； 淇淇：无论“■”为何值（ 之间的），这组数据的平均数一定小于中位数． 对于两人的说法，判断正确的是（ ） A. 两人的说法都正确 B. 两人的说法都错误 C. 嘉嘉的正确，淇淇的错误 D. 嘉嘉的错误，淇淇的正确 12. 如图，在等腰直角三角形中，，．射线从出发绕点逆时针旋转，旋转角为（，且），作点关于的对称点为，直线与交于点，连接，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 如图，直线a，b相交于点O，已知，则______________°． 14. 算式与一个实数相乘的结果为有理数，写出一个符合条件的实数m：______________． 15. 下图是一款机械零件的工程图纸，是的弦，直径于点E，点F是上一点，连接，，．已知，，则______________． 16. 如图所示，线段与x轴平行，点B在点A右侧，，点A是直线上的点，设点A的横坐标为m．若线段与抛物线有且仅有一个公共点，则m的取值范围为______________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 黑板上有一道题：计算，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解法． 嘉嘉： 原式 淇淇： 原式 _________________ _________________ _________________ （1）请将淇淇的解法补充完整； （2）计算：． 18. 已知． （1）化简M； （2）当，时，求M的值（结果用科学记数法表示）． 19. 如图为某区域的俯视图，正方形代表建筑物，空白部分表示道路．嘉嘉从P路口出发，完全随机地在“北”“南”“西”“东”四个方向中随机选择一个移动；到达其他路口后，在不折返的前提下，在其他三个方向中完全随机地选择一个并移动． （1）嘉嘉从路口出发先向北走的概率为______________； （2）用列表或画树状图的方法，求嘉嘉从路口出发后（不算路口）经过的第二个路口为路口的概率． 20. 某同学的书桌上有一个L型台灯，灯柱高，垂直于水平桌面．如图1，当灯带与水平线夹角为时，灯带的直射宽（，）为；如图2，当把灯带调整到与水平线夹角为时，直射宽度刚好合适． （1）在图2中，______________； （2）当调整到直射宽度刚好合适时，求点C到桌面的距离（结果保留小数点后一位）． （参考数据：取，取，取） 21. 在四边形中，点P是对角线上一点． （1）若四边形是菱形，且，以为边向右侧作等边，如图1．当点E在菱形内部时，连接，求证：． （2）若四边形是正方形，以为直角边向右侧作等腰，其中，如图2．当点E恰好在边上时，请判断与的数量关系，并说明理由． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，点B，直线经过点，并与y轴交于点D． （1）点A的坐标为______________，点B的坐标为______________，______________； （2）求直线与直线交点的坐标； （3）若点E是直线上一点，过点E作x轴的平行线，交直线于点F．当时，直接写出点E的坐标． 23. 综合与实践 【情境】如图1，路口处的转弯镜可以扩大视野范围降低交通事故风险．生活中常见的转弯镜多为球凸面镜，如图2中（所在圆的圆心为O）是凸面镜的平面示意图． 【储备】法线：在图2中，过入射点P，且与反射面在该点（入射点P）的切线垂直的直线； 光的反射定律：反射角=入射角． 【探究】 （1）如图2，若圆O的半径为4，劣弧所对圆心角的度数为，求劣弧的长； （2）如图2，点光源C发射出一条光线，法线为． ①直线是否经过圆心O?______________（填“是”或“否”）； ②尺规作图：利用光的反射定律，在图2中作．使，从而确定反射光线（射线）的方向；（保留作图痕迹，不写作法） 【应用】如图3，和分别是南北、东西方向两条道路（），为了降低事故风险，社区计划在此直角路口安装转弯镜，洪淇设计了两种转弯镜进行对比． 方案一：只安装平面镜； 方案二：只安装球凸面镜劣弧（圆心O），劣弧所对圆心角的度数为． 两种方案中，，，米，道路上有观测点D，点D位于E点的正东方向，借助转弯镜在观测点D处可以观察到道路的情况． （3）若平面镜能观察到道路的最远点记为M，球凸面镜能观察到道路的最远点记为N． ①求的度数； ②直接写出点M与点N的距离． 24. 如图1，“跳一跳”曾是某社交软件上风靡一时的互动游戏，该游戏要求操作者通过控制“i”形小人（看成点）起跳时的速度，使其能从一个平台跳到旁边同一水平面上且等高的另一平台上，示意图如图2所示．在平面直角坐标系中，矩形、矩形和矩形的边，，均在x轴上，，，，，“i”形小人从点B处起跳后沿抛物线运动，落在边的中点H处． （1）点B的坐标为______________，点H的坐标为______________； （2）求抛物线的解析式； （3）“i”形小人从点H处再次起跳后沿抛物线运动，且与形状相同． ①若与的最大高度相同，判断“i”形小人会落在平台上还是落在x轴上？说明理由，并求出落点的坐标； ②若“i”形小人再次起跳后沿抛物线落在平台上（包括边界），设的最大高度为，直接写出符合条件的整数的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北初中学业水平模拟 数学（导向二） 注意事项：共8页，总分120分，时间120分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 如图，数轴上的点M，N分别表示，2，则点M到点N的距离为（ ） A. 5 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵数轴上的点M，N分别表示，2， ∴点M到点N的距离为 ． 2. 如图，老师将直角三角尺的一条直角边摆放在的边上，另一条直角边经过顶点C，则是的（ ） A. 中线 B. 高线 C. 角平分线 D. 中位线 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据题意得：， ∴是的高线． 3. 解方程时，若要得到，应在方程两边同时（ ） A. 加上3 B. 减去3 C. 加上 D. 减去 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等式的基本性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 移项的依据是等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立，据此判断变形过程即可． 【详解】解：由于原方程为， 根据等式的基本性质，等式两边同时减去 则左边得，右边得， 即变形后得到， 因此应在方程两边同时减去． 4. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解∶ 如图所示的几何体的左视图是 5. 计算的结果为（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 6. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先将一元二次方程整理为一般形式，再根据根与系数的关系，得到两根之和m和两根之积n，代入得到一次函数解析式，再根据一次函数的性质判断图象不经过的象限即可． 【详解】解：整理原一元二次方程得 ， ∵两根之和为 ，两根之积为 ， ∴ ， ， ∴一次函数解析式为 ， ∵一次项系数 ，常数项 ， ∴该一次函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 7. 如图，在一个对边平行的纸条上有两点A，B，连接并取的中点O． 方案Ⅰ：过点O作任意直线（不与重合，且不与纸条的边平行）交纸条两边于C，D两点（点C在点A所在的边上），连接，； 方案Ⅱ：在点A所在边上取一点D，点D在点A右侧，在点B所在边上取一点C，点C在点B左侧，且满足． 按上述两种方案操作，得到的四边形一定是平行四边形的方案（ ） A. Ⅰ，Ⅱ都是 B. Ⅰ，Ⅱ都不是 C. 只有Ⅰ是 D. 只有Ⅱ是 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意画出图形，再根据平行四边形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：方案Ⅰ： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形一定是平行四边形； 方案Ⅱ： 如图，在点A所在边上取一点D，点D在点A右侧，在点B所在边上取一点C，点C在点B左侧，且满足， 根据，，不能判定四边形是平行四边形，即方案Ⅱ得到的四边形不一定是平行四边形． 综上，只有方案Ⅰ得到的四边形一定是平行四边形． 8. 嘉嘉用100元钱去购买笔记本和圆珠笔共30件，已知每本笔记本5元，每支圆珠笔2元，下列说法错误的是（ ） A. 设购买圆珠笔x支，依题意得 B. 设购买笔记本x本，依题意得 C. 圆珠笔的数量可以是17支 D. 笔记本的数量可以是14本 【答案】D 【解析】 【分析】根据所设未知数和总花费不超过100元列出不等式可判断A、B；解B中的不等式，求出笔记本最多购买的数量，进而求出圆珠笔最少购买的数量即可判断C、D． 【详解】解：A、设购买圆珠笔支，则购买笔记本本， ∵总花费不超过100元 ∴ ，故选项A正确，不符合题意； B、设购买笔记本本，则购买圆珠笔支， ∵总花费不超过100元 ∴，故选项B正确，不符合题意； 解不等式 去括号得 ， 移项，合并同类项得 ， 系数化为1得 ∵为非负整数， ∴的最大值为13， ∴笔记本最多购买13本， ∴圆珠笔最少购买 支，故C说法正确，不符合题意，D说法错误，符合题意． 9. 如图，在平面直角坐标系中，线段端点的坐标为，，其中，反比例函数的图象交线段于点P．当时，m的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得点P为线段的中点，从而得到点，即可求解． 【详解】解：∵， ∴点P为线段的中点， ∵线段端点的坐标为，， ∴点， 把点代入得： ， 解得：． 10. 如图，正六边形内部有一个正五边形，且．现有一直线l经过、，则直线l与所夹锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解两个正多边形的一个内角的大小，再结合平行线的性质与四边形的内角和定理求解即可. 【详解】解：如图，直线与的交点为，与的交点为， ∵六边形为正六边形，五边形为正五边形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴直线l与所夹锐角的度数为． 11. 黑板上有一个不完整的题目：某同学在处理一组数据“15，24，11，30，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在之间，两位同学思考后得到如下结论． 嘉嘉：无论“■”为何值（之间的），这组数据的中位数都不变； 淇淇：无论“■”为何值（之间的），这组数据的平均数一定小于中位数． 对于两人的说法，判断正确的是（ ） A. 两人的说法都正确 B. 两人的说法都错误 C. 嘉嘉的正确，淇淇的错误 D. 嘉嘉的错误，淇淇的正确 【答案】A 【解析】 【分析】根据被污染数据的范围，先判断中位数是否固定，再计算平均数的取值范围，即可判断两人说法是否正确． 【详解】解：设被污染的数据为， 由题意得 ， 把这组数据按照从小到大的顺序排列，第3个数据为24，即中位数为24， ∴无论“■”为何值（之间的），这组数据的中位数都不变，嘉嘉说法正确； 这组数据的平均数， ∵ ， ∴ ∴无论“■”为何值（之间的），这组数据的平均数一定小于中位数，淇淇说法正确； 综上，两人说法都正确． 12. 如图，在等腰直角三角形中，，．射线从出发绕点逆时针旋转，旋转角为（，且），作点关于的对称点为，直线与交于点，连接，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，交于，根据轴对称的性质得出点、、在以点为圆心，为半径的上，延长，交于，连接，根据圆周角定理得出，根据圆内接四边形的性质得出，进而得出是等腰直角三角形，，可得当点与重合时，取最大值，为的直径，此时的面积最大，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，交于， ∵点关于的对称点为， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴点、、在以点为圆心，为半径的上， 延长，交于，连接， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴当点与重合时，取最大值，为的直径，此时的面积最大， 当点与重合时，点与点重合， ∴． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 如图，直线a，b相交于点O，已知，则______________°． 【答案】150 【解析】 【分析】本题考查对顶角的性质，邻补角的概念，正确识别对顶角和邻补角是解题的关键． 根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 14. 算式与一个实数相乘的结果为有理数，写出一个符合条件的实数m：______________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式的减法运算法则求出的结果为，再根据，且2是有理数可得答案． 【详解】解： ， ∵，且2是有理数， ∴是有理数， ∴符合题意 ． 15. 下图是一款机械零件的工程图纸，是的弦，直径于点E，点F是上一点，连接，，．已知，，则______________． 【答案】65 【解析】 【分析】连接，由圆周角定理可得，由平角的定义可得，再求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 16. 如图所示，线段与x轴平行，点B在点A右侧，，点A是直线上的点，设点A的横坐标为m．若线段与抛物线有且仅有一个公共点，则m的取值范围为______________． 【答案】且 【解析】 【分析】先根据题意得出点B的坐标，联立方程组求出二次函数与一次函数的交点，再分为线段的端点A和端点B在二次函数的图象上这两种情况，分别分析，结合函数图象和线段的移动轨迹，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点A的坐标为， ∵线段与x轴平行，点B在点A右侧，， ∴点B的坐标为， 联立得：， 整理得： ， 解得：， 即、时， 若线段的端点A在抛物线上， 当时，点B的坐标为， 当时，， 即当时，线段的端点B在抛物线上， 此时线段与抛物线有两个公共点， ∴， 当时，点B的坐标为， 当时，， 即当时，线段的端点B不在抛物线上， 此时线段与抛物线有一个公共点， 若线段的端点B在抛物线上， ， 解得：（舍去）； 当时，线段与抛物线有一个公共点， 当时，线段的端点B在抛物线上， 当时，线段与抛物线有一个公共点， 当时，线段与抛物线有两个公共点， 当时，线段与抛物线有一个公共点， 当时， 线段的端点A在抛物线上， 综上所述，m的取值范围为且． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 黑板上有一道题：计算，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解法． 嘉嘉： 原式 淇淇： 原式 _________________ _________________ _________________ （1）请将淇淇的解法补充完整； （2）计算：． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 已知． （1）化简M； （2）当，时，求M的值（结果用科学记数法表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据分式的运算法则化简即可； （2）代入数值即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：当，时， ． 19. 如图为某区域的俯视图，正方形代表建筑物，空白部分表示道路．嘉嘉从P路口出发，完全随机地在“北”“南”“西”“东”四个方向中随机选择一个移动；到达其他路口后，在不折返的前提下，在其他三个方向中完全随机地选择一个并移动． （1）嘉嘉从路口出发先向北走的概率为______________； （2）用列表或画树状图的方法，求嘉嘉从路口出发后（不算路口）经过的第二个路口为路口的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式解答即可； （2）用画树状图的方法列举出所有等可能的结果，再根据概率的定义解答即可． 【小问1详解】 解：∵嘉嘉从路口出发有种等可能，其中向北走有种可能， ∴嘉嘉从路口出发先向北走的概率为； 【小问2详解】 解：依题意画树状图如下， 共有种等可能的结果，其中第二个路口为的结果有种（第一次选择北，第二次选择东或第一次选择东，第二次选择北）， ∴嘉嘉从路口出发后（不算路口）经过的第二个路口为路口的概率为． 20. 某同学的书桌上有一个L型台灯，灯柱高，垂直于水平桌面．如图1，当灯带与水平线夹角为时，灯带的直射宽（，）为；如图2，当把灯带调整到与水平线夹角为时，直射宽度刚好合适． （1）在图2中，______________； （2）当调整到直射宽度刚好合适时，求点C到桌面的距离（结果保留小数点后一位）． （参考数据：取，取，取） 【答案】（1）60 （2） 【解析】 【分析】（1）求出的度数，再证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角相等即可得到答案； （2）在图1中可证明四边形是平行四边形，得到，解直角三角形得到；过点C作于点G，交于点F，如图2，则四边形为矩形，可得，解直角三角形求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：在图2中，∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； 【小问2详解】 解：在图1中，∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ， 在中，， 过点C作于点G，交于点F，如图2，则四边形为矩形， ∴， 在中，， ， ， ∴点C到桌面的距离为． 21. 在四边形中，点P是对角线上一点． （1）若四边形是菱形，且，以为边向右侧作等边，如图1．当点E在菱形内部时，连接，求证：． （2）若四边形是正方形，以为直角边向右侧作等腰，其中，如图2．当点E恰好在边上时，请判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】（1）先证明是等边三角形，再证明，最后利用全等三角形的性质即可证明结论； （2）根据正方形的性质、等腰直角三角形的性质以及三角函数可得，即；同理可得，易证，最后利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ， 又∵， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵是正方形， 是等腰直角三角形， ，即， 同理：是等腰直角三角形，， ， ， 又∵， ， ， ，即． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，点B，直线经过点，并与y轴交于点D． （1）点A的坐标为______________，点B的坐标为______________，______________； （2）求直线与直线交点的坐标； （3）若点E是直线上一点，过点E作x轴的平行线，交直线于点F．当时，直接写出点E的坐标． 【答案】（1），， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）对于，分别令，，可求出点A，B的坐标，再把点代入，可求出k的值； （2）联立两函数解析式，即可求解； （3）设点E的坐标为，可得点F的坐标为，从而得到，再由，可得到关于m的方程，即可求解． 【小问1详解】 解：对于， 当时，， 当时，，解得：， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∵直线经过点， ∴，解得：； 【小问2详解】 解：由（1）得：直线， 联立得：， 解得：， ∴直线与直线交点的坐标为； 【小问3详解】 解：设点E的坐标为， ∵轴， ∴点F的坐标为， ∴， ∵点，， ∴， ∵， ∴ ， 解得∶或， ∴点E的坐标为或． 23. 综合与实践 【情境】如图1，路口处的转弯镜可以扩大视野范围降低交通事故风险．生活中常见的转弯镜多为球凸面镜，如图2中（所在圆的圆心为O）是凸面镜的平面示意图． 【储备】法线：在图2中，过入射点P，且与反射面在该点（入射点P）的切线垂直的直线； 光的反射定律：反射角=入射角． 【探究】 （1）如图2，若圆O的半径为4，劣弧所对圆心角的度数为，求劣弧的长； （2）如图2，点光源C发射出一条光线，法线为． ①直线是否经过圆心O?______________（填“是”或“否”）； ②尺规作图：利用光的反射定律，在图2中作．使，从而确定反射光线（射线）的方向；（保留作图痕迹，不写作法） 【应用】如图3，和分别是南北、东西方向两条道路（），为了降低事故风险，社区计划在此直角路口安装转弯镜，洪淇设计了两种转弯镜进行对比． 方案一：只安装平面镜； 方案二：只安装球凸面镜劣弧（圆心O），劣弧所对圆心角的度数为． 两种方案中，，，米，道路上有观测点D，点D位于E点的正东方向，借助转弯镜在观测点D处可以观察到道路的情况． （3）若平面镜能观察到道路的最远点记为M，球凸面镜能观察到道路的最远点记为N． ①求的度数； ②直接写出点M与点N的距离． 【答案】（1） （2）①是；②图见详解 （3）①60°；②米 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、轴对称变换、用勾股定理解三角形、等边三角形的性质和判定等，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据弧长公式即可求解； （2）①根据切线的定义即可判断；②按照作相等角的方法作图即可； （3）根据题意作出分别作出最远点M，N，再根据反射定律求出各个角的度数，根据含直角三角形性质和勾股定理解三角形即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：①连接， 由题可得，是的切线，则， ， 根据法线的概念知， ， ，，三点共线，即直线经过圆心O； ②以点为圆心，任意长度为半径画弧，交于点，交于点，以点为圆心，以线段为半径画弧，连接和两弧交点并延长则得到； 【小问3详解】 ①由题意得，，，， 则， 由于平面镜能观察到道路的最远点记为M， 则， ∴； ②由①得， 则，， 又由球凸面镜劣弧（圆心O）所对圆心角的度数为，得， ∵， ∴为等边三角形； ∴， ∵，且球凸面镜能观察到道路的最远点记为N， ∴ ， 则； 过作交于， 在中，，，则，， ， ∴四边形为矩形， ∴，， 设， 在中，， 解得， 即，， 又∵，， ∴为等边三角形， ∵， ∴． 24. 如图1，“跳一跳”曾是某社交软件上风靡一时的互动游戏，该游戏要求操作者通过控制“i”形小人（看成点）起跳时的速度，使其能从一个平台跳到旁边同一水平面上且等高的另一平台上，示意图如图2所示．在平面直角坐标系中，矩形、矩形和矩形的边，，均在x轴上，，，，，“i”形小人从点B处起跳后沿抛物线运动，落在边的中点H处． （1）点B的坐标为______________，点H的坐标为______________； （2）求抛物线的解析式； （3）“i”形小人从点H处再次起跳后沿抛物线运动，且与形状相同． ①若与的最大高度相同，判断“i”形小人会落在平台上还是落在x轴上？说明理由，并求出落点的坐标； ②若“i”形小人再次起跳后沿抛物线落在平台上（包括边界），设的最大高度为，直接写出符合条件的整数的个数． 【答案】（1）， （2） （3）①“i”形小人会落在轴上，见解析；② 【解析】 【分析】（1）先根据矩形的边长、，直接得出点的坐标；再依次计算、，结合矩形的高，得到、坐标，最后利用中点坐标公式求出点的坐标即可； （2）先由抛物线经过纵坐标相同的、两点，得出其对称轴为直线，即顶点式中；再将点坐标代入，解方程求出，回代即得抛物线的解析式； （3）①先由与形状相同且最大高度相同，得出是向右平移个单位得到的，进而得到的顶点坐标为，解析式为 ；再令求出等高落点的横坐标，对比平台左端点，判断出小人会落在轴上；最后令，解出符合条件的，得到落点坐标；②先设的解析式为 ，代入起跳点，得到 ；再令求出落点横坐标 ，结合平台的横坐标范围 ，解出的取值范围为 ；最后将的范围代入的关系式，求出的取值范围为 ，统计其中的整数个数即可． 【小问1详解】 解：∵矩形中，，， ∴点的坐标为； ∵，，， ∴， ， ∵矩形中，， ∴ ， ∴，， ∵是中点， ∴点的坐标为，即； 【小问2详解】 解：∵抛物线经过，两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，即， 把，代入解析式，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为 ； 【小问3详解】 解：①“i”形小人会落在轴上，理由： ∵与形状相同，且最大高度相同， ∴的二次项系数与相同，顶点纵坐标也为，即可由向右平移得到， ∵的起跳点平移后对应的起跳点， ∴平移的距离为， ∴抛物线的顶点坐标为，即， ∴抛物线的解析式为 ， ∵ ，， ， ∴，， 即的横坐标范围为 ， 令中，得 ， 解得，（起跳点，舍去）， ∵等高落点横坐标 （左端点）， ∴“i”形小人会落在轴上； 令中，得 ， 解得，（舍去，小于对称轴）， ∴“i”形小人落点的坐标为； ②∵与形状相同， ∴可设 （为最大高度）， ∵过起跳点， ∴ ，即 ， ∵小人需落在平台上（含边界），平台的横坐标范围为 ， ∴落点横坐标 需满足 ，解得 ， 当 时， ； 当 时， ， ∴的取值范围为 ，其中整数为，，，，，，共个． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $