陕西汉中市仁德学校2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试题

**基本信息** 高一（下）第一次月考数学试卷聚焦三角函数与向量核心知识，通过扇形面积计算（第2题）、城市广场栅栏设计（第18题）等情境，考查数学抽象与应用能力，适配高一学段知识进阶需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|三角函数定义、函数图像伸缩（第3题）|基础概念辨析，如向量性质判断（第5题）| |多选题|3/18|三角函数周期性（第9题）、终边对称（第11题）|多角度推理，部分选对给分| |填空题|3/15|向量线性运算（第12题）、三角恒等变换（第13题）|强调符号意识，如函数零点范围（第14题）| |解答题|5/77|三角函数解析式（第17题）、实际优化（第18题）|综合应用，如栅栏长度最小值求解，体现数学建模|

高一（下）第一次月考数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知角的终边过点，若，则（ ） A． B． C．10 D． 2. 已知一个扇形的半径与弧长相等，且扇形的面积为，则该扇形的周长为（ ） A． B． C． D． 3．为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有点（ ） A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．横坐标伸长到原来的2倍， 纵坐标不变 C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 D．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 4．将函数的图象向左平移个单位后，所得到的图象对应的函数为偶函数，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 5. 下列说法正确的是（ ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．若，，则 D．向量与向量的长度相等 6. 已知，，则，，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 7.已知函数的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为和，图象在轴上的截距为，则（ ） A．0 B． C． D．1 8. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知函数，则（    ） A． B．在上单调递增 C．为的一个对称中心 D．最小正周期为 10.已知函数，则（ ） A．为的一个周期 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递减 D．的一个零点为 11．下列条件中，能使和的终边关于轴对称的是（ ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．如图，已知为平行四边形内一点，， 则等于______________.（用表示） 13．若，且，则______. 14．设函数，若在区间上，函数有4个零点，则实数的取值范围是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边经过点，其中. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 16．（15分）已知， （1）求的值；（2）求； 17．（15分）已知函数的最小正周期为，且点是该函数图象的一个最高点. （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调增区间； （3）若，求函数的值域. 18．（17分）如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植花卉，已知米，米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为弧度.    (1)当米时，求的长； (2)记花卉周围栅栏的长度为米，试问取何值时，的值最小？并求出最小值. 19．（17分）已知函数的图象如图所示. (1)求函数的对称中心和单调递增区间； (2)先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向左平移个单位后得到函数的图象.若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 高一第（下）第一次月考数学参考答案 1. B 2．A 3．A 4.C 5．D 6．A 7．D 8. C 9. BCD 10.AD 11.BD 12． 13． 14． 15．【答案】（1）；（2）. （1）由题意知，， 因为，所以.解得，所以. （2）当时，，所以. 16．【答案】（1）2；（2）. 【详解】（1）由已知， 化简得，整理得故 （2） ． 17.【答案】（1）；（2） ；（3），. 【详解】解：（1）根据的最小正周期为，且，可得， 再根据是图象的一个最高点，可得，则，即，，，即，， 又由于，解得：，. （2）令， 由于函数的单调递增区间是：，，， 所以，则， 所以函数的单调增区间是． （3）当时，则，则， 而，故当时，函数取得最大值为：， 当时，函数取得最小值为：， 故函数的值域为，． 18. (1) (2)当时取等号，栅栏长度的最小值为40米. 【详解】（1）利用扇形的面积公式可得， 所以， 于是米. （2）依题意可得弧长，弧长， 所以栅栏的长度，将代入上式，整理可得， 当且仅当时取等号，所以栅栏长度的最小值为40米. 19. (1)对称中心为，；单调递增区间为 (2) 【详解】（1）由图可知：，所以，所以，， 又， 所以，.所以. 令，，则，.所以的对称中心为，. 令，即， 所以函数的单调递增区间为. （2）由题. 当时，.因为对任意的恒成立，则.所以. 学科网（北京）股份有限公司 $