精品解析：山东烟台市莱阳市2025-2026学年度第二学期期中学业水平检测初三数学

2025—2026学年度第二学期期中学业水平检测初三数学 温馨提示： 1．本试卷共6页，共120分；考试时间120分钟． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、卷面书写（满分3分） 二、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（ ）． A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 5. 方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 6. 已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（　　） A. 选①② B. 选②③ C. 选①③ D. 选②④ 7. 估计的值应在（ ） A. 和0之间 B. 0和1之间 C. 1和2之间 D. 2和3之间 8. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，则化简二次根式的结果是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F．求的值为（ ） A. B. 2.5 C. D. 三、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 若，则代数式的值为______． 12. 若关于的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为 ，则该方程中的一次项系数为______． 13. 已知最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式，则的值为______． 14. 已知关于x的一元二次方程有一根为0，则它的另一个根是_____． 15. 如图，在矩形中，和相交于点，为线段上一点，连接，取的中点，连接，若平分，，，则的长为______． 16. 如图，在中，点D是边上一点，过点D分别作交于点E，交于点F，与相交于点O，若平分，，，则的长为_____． 四、解答题（本大题共8小题，满69分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）． 18. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 19. 如图，在中，，点D、E分别是、的中点．将绕点D旋转得．求证：四边形是菱形． 20. 如图，某农家乐有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形区域作为小鱼塘（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形小鱼塘的长为，宽为． （1）长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）若市场上蔬菜8元/千克，农家乐种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？ 21. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 22. 如图，在正方形内，分别以，为斜边作和，，，若，连接．求证：． 23. 已知，求的值． 小明是这样解答的： 解：因为，所以，所以，即，所以 所以 请根据小明的解答过程，解决下列问题： （1）化简：________； （2）计算：； （3）若，求的值． 24. 如图，四边形是菱形，与相交于点，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）过点作，交于点，交于点，若，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期中学业水平检测初三数学 温馨提示： 1．本试卷共6页，共120分；考试时间120分钟． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、卷面书写（满分3分） 二、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断选项，一元二次方程需同时满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数的最高次数为． 【详解】解：、选项中是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，故不符合题意； 、选项中未说明，当时方程变为一元一次方程，故不符合题意； 、选项整理得，满足只含一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，一定是一元二次方程，符合题意； 、选项整理得，未知数最高次数为，是一元三次方程，不是一元二次方程，故不符合题意． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对选项A，∵与不是同类二次根式，不能合并，∴，A错误． 对选项B，∵，∴B错误． 对选项C，∵，∴C正确． 对选项D，∵，∴D错误． 3. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，由菱形的性质得，进而由直角三角形斜边上的中线性质得，则，再由勾股定理得，然后由菱形面积求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴是边上的中线， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4. 下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（ ）． A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】先将各二次根式化简为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数相同的即为同类二次根式． 【详解】解：A选项，，，化简后被开方数都是， ∴是同类二次根式，故A不符合题意； B选项，，，化简后被开方数都是， ∴是同类二次根式，故B不符合题意； C选项，，，化简后被开方数都是， ∴是同类二次根式，故C不符合题意； D选项，是最简二次根式，被开方数为，，被开方数为，， ∴不是同类二次根式，故D符合题意． 5. 方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，通过计算判别式判断根的情况．根据，方程没有实数根，即可求解． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴， ∵， ∴方程没有实数根． 故选：D． 6. 已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（　　） A. 选①② B. 选②③ C. 选①③ D. 选②④ 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意； B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意； C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意； D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意． 故选B． 7. 估计的值应在（ ） A. 和0之间 B. 0和1之间 C. 1和2之间 D. 2和3之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算、无理数估算等知识点，掌握常见无理数的值是解题的关键． 先用二次根式的乘法运算法则可得，然后通过计算近似值的取值范围即可解答． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∴ ，即估计的值应在1和2之间． 故选C． 8. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题重点考查配方法解一元二次方程，配方法就是通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．此题中，将常数项移到右边，并同时加上一次项系数一半的平方，即，即得到，最后配成完全平方形式即完成求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 9. 已知，则化简二次根式的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x、y的正负，再化简二次根式即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10. 如图，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F．求的值为（ ） A. B. 2.5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，勾股定理求出的长，运用等积法，即，即可求出的值． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∴， 连接， ∵过点P分别作和的垂线，垂足为E，F， ∴， ∴． 故选：C． 三、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 若，则代数式的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】先对所求代数式进行配方变形，再结合已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：， ， ． 12. 若关于的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为 ，则该方程中的一次项系数为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，先把原方程进行化简整理，从而可得，然后根据题意可得，从而可得：，再把a的值代入中，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 由题意得：， 解得：， ∴该方程中的一次项系数， 故答案为：5． 13. 已知最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意列出方程组，整理得，解得，然后代入即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式， ∴，整理得：， 解得：， ∴， ∴的值为． 14. 已知关于x的一元二次方程有一根为0，则它的另一个根是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】将代入，结合一元二次方程的定义求出m的值，进而得到原方程，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一根为0， ∴将代入得， 解得：， ∵一元二次方程 ∴，即， ∴， ∴原方程为， 解得：， 即它的另一个根是2． 15. 如图，在矩形中，和相交于点，为线段上一点，连接，取的中点，连接，若平分，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【详解】由三角形中位线的性质得，，即得，进而得到，即得到，得到，再根据勾股定理解答即可求解． 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵点是的中点 ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，在中，点D是边上一点，过点D分别作交于点E，交于点F，与相交于点O，若平分，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先证四边形是平行四边形，再通过等角对等边证，再证明平行四边形是菱形；进一步根据等边三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴． 四、解答题（本大题共8小题，满69分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： ． 18. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴或， ∴，． 19. 如图，在中，，点D、E分别是、的中点．将绕点D旋转得．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证明结合旋转可得，，证明四边形是平行四边形，再进一步证明即可． 【详解】证明：∵点E是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵将绕点D旋转得， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形． 20. 如图，某农家乐有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形区域作为小鱼塘（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形小鱼塘的长为，宽为． （1）长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）若市场上蔬菜8元/千克，农家乐种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？ 【答案】（1） （2）4680元 【解析】 【分析】（1）根据题意利用长方形周长公式列式计算即可； （2）先计算出种植蔬菜部分的面积，再求出销售收入即可． 【小问1详解】 解：由题意得，长方形空地的周长为 ∴长方形空地的周长为． 【小问2详解】 解：由题意得，蔬菜地的面积为， ∴销售收入（元）， ∴销售收入为4680元． 21. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 【答案】（1）见解析； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握，方程有两个不相等的实数根是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式，得到，再根据平方的非负性，即可证明结论； （2）将代入方程，求出，再根据因式分解法解二元一次方程即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ， 不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：将代入方程，得：． 解得：． 当时，方程为， ， ，， 方程的另一个根是． 22. 如图，在正方形内，分别以，为斜边作和，，，若，连接．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到，证明，得到，，根据正方形的性质得到，可知，过点F作交于点G，则，即，根据等角对等边得到，进而得到，可知四边形是平行四边形，即可得到． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 过点F作交于点G， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 23. 已知，求的值． 小明是这样解答的： 解：因为，所以，所以，即，所以 所以 请根据小明的解答过程，解决下列问题： （1）化简：________； （2）计算：； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值、分母有理化等知识点掌握二次根式的加法法则、乘法法则是解题的关键． （1）直接利用分母有理化即可解答； （2）先利用分母有理化得到规律，再根据规律化简，然后再计算即可； （3）先分母有理化可得，即，进而得到，再对变形，然后将整体代入计算即可． 【小问1详解】 解：． 故答案为：． 【小问2详解】 解：， ∴ ． 【小问3详解】 解：， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 24. 如图，四边形是菱形，与相交于点，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）过点作，交于点，交于点，若，，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）由四边形是菱形可得，，，所以，则，得出，从而证明四边形是平行四边形，然后通过矩形的判定方法即可求证； （）连接，由四边形是矩形，得，又四边形是菱形，所以垂直平分，，得，，通过勾股定理得，设，则，所以，即，再求出的值即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴垂直平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， ∴，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $