精品解析：山东省烟台市莱阳市2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题

2024—2025学年度第二学期期中学业水平检测 初四数学 温馨提示： 1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 的倒数的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，倒数和相反数，先计算的值，再然后根据倒数和相反数的定义解答即可． 【详解】解：，它的倒数的相反数是， 故选：D． 2. 如图，在的正方形网格中，从标号为①②③④的白色小正方形中选取一个并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形，则应选取（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义“绕着中心点旋转能与原图形重合即为中心对称图形”进行解答即可． 【详解】解：图中中间的相邻的对黑色的正方形已是中心对称图形，需找到最上边的那个小正方形的中心对称图形，它原来在右上方，那么旋转后将在左下方，即③的位置． 故选：C． 3. 下列计算正确的是（    ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项，熟练掌握各运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法、单项式除以单项式、幂的乘方与积的乘方、合并同类项法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； 故选：C． 4. 为庆祝中国共产主义青年团成立周年，某区举办了团课知识竞赛，甲、乙两所中学各派5名学生参加，两队学生的竞赛成绩如图所示，下列关系完全正确的是（ ） A. ， B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两所中学5名学生的成绩的平均数和方差，即可求解． 【详解】解：根据题意得：甲所中学5名学生的成绩为，，，，， 乙所中学5名学生的成绩为，，，，， ∴，， ， ， ∴，． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了求平均数和方差，熟练掌握求平均数和方差的公式是解题的关键． 5. 如图，是由27个相同的小立方块搭成的几何体，它的三个视图是的正方形，若拿掉若干个小立方块（几何体不倒掉），其三个视图仍都为的正方形，则最多能拿掉小立方块的个数为（ ） A. 9 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】拿掉若干个小立方块后保证几何体不倒掉，且三个视图仍都为33正方形，所以最底下一层必须有9个小立方块，这样能保证俯视图仍为33的正方形，为保证主视图与左视图也为33的正方形，所以上面两层必须保留底面上一条对角线方向的三个立方块，即可得到最多能拿掉小立方块的个数. 【详解】根据题意，拿掉若干个小立方块后，三个视图仍都为33正方形， 则最多能拿掉小立方块的个数为6 +6 = 12个， 故选：C. 【点睛】此题考查简单组合体的三视图，空间想象能力，能依据立体图形想象出拿掉小立方块后的三视图是解题的关键. 6. 如图，已知点为矩形的对称中心，，，以为圆心，为半径作扇形，点为的中点，连接，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，分别交于点F和点G，证明，则，即可得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，分别交于点F和点G， ∵点为矩形的对称中心，，， ∴，，，三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴是等边三角形，， ∵点为的中点， ∴，， ∴ ∵， ∴是等腰三角形， ∵ ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查了扇形面积、解直角三角形、勾股定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，证明是解题的关键． 7. 我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果个，买苦果个，则下列关于的二元一次方程组中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．由甜果苦果共买千可得出，利用总价单价数量可得出，联立两方程组成方程组即可得出结论． 【详解】解：甜果苦果共买千， ； 甜果九个十一文，苦果七个四文钱，且购买两种果共花费九百九十九文钱， ． 联立两方程组成方程组． 故选：D． 8. 折纸不仅具有艺术审美价值，还蕴含着许多数学知识．如图，一张长方形纸片，点，分别是线段，上的点，先将纸片沿折叠，点，的对应点分别为点，，与线段交于点，点是线段上一点，再将纸片沿折叠，点的对应点为点，点恰好在上，若测得，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了长方形和翻折的结合，翻折的性质，平行线的性质，对顶角的性质等内容，解题的关键是掌握翻折的性质． 利用平行线的性质和翻折的性质求出，再利用对顶角相等和翻折的性质求出． 【详解】解：由长方形的性质得，， ，， 由翻折的性质得，， ∴， ∵， ∴， 由翻折后点的共线位置可得，， 由翻折的性质得，， 故选：A． 9. 如图，在直角坐标系中，点，，，…都在直线上，点，，，…都在轴上，，，，…都是等腰直角三角形，其中，，，…为其直角顶点，如果点，那么点的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律的问题，一次函数和几何图形相结合，等腰直角三角形的性质，利用待定系数法求一次函数的解析式等内容，解题的关键是熟练掌握数形结合的思想以及等腰直角三角形的性质． 过点，，分别作轴的垂线段，分别交轴于点，，，先利用待定系数法确定直线解析式，根据等腰直角三角形的性质得出斜边的长，假设出所求点的纵坐标，利用函数解析式进行求解并寻找规律即可． 【详解】解：过点，，分别作轴的垂线段，分别交轴于点，，， 将代入得， ， 解得， 所以， 根据等腰直角三角形的性质可得， 假设点的纵坐标为，则，代入得， ， 解得， ∴； 根据等腰直角三角形的性质可得， 假设点的纵坐标为，则，代入得， ， 解得， ∴； 按照此规律，点的纵坐标是， 故选：B． 10. 如图，函数的图象过点和，请思考下列判断：；；；；正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用图象信息即可判断；根据时，即可判断；根据是方程的根，结合两根之积，即可判断；根据两根之和，可得，可得，根据抛物线与轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线交轴于正半轴， ， ， ， ，故正确， 时，， ，即，故正确， 的图象过点和， ，， ， ，故正确， ， ， ， ，故错误， ， ， ，故正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于；决定抛物线与轴交点个数：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 中国古代是用算筹（条形小棒）的摆放来表示数目的，有纵横两种方式： 记数时，个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，…，这样从右到左，纵横相间．例如，算筹表示的数是6653．则用3根算筹表示的两位数可以是________．（写出一个即可，算筹不剩余且个位不为0） 【答案】12（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了规律探索，理解题意是解题的关键． 根据题意作图求解即可． 【详解】解：由题意可得：3根算筹表示的两位数图象可以是 ∴用3根算筹表示的两位数可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 随着电子技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占．这个数用科学记数法表示为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键． 13. 如图，以点为圆心作弧，使弧与直线相交于点和点，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点，直线与直线相交于点，若，则的度数______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的作法和性质，三角形内角和定理，由作图可知，直线是线段的垂直平分线，即得，，进而得到，再根据三角形内角和定理求出即可求解，掌握线段垂直平分线的作法和性质是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，，直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．在水中平行的光线，经过折射后，在空气中依然会保持平行．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，则等于________度． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数，根据平行线的性质得出，，然后通过等量代换可求出的度数． 【详解】解：由光线的平行性质可知：， 由水面与玻璃杯的底面平行可知：， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 若关于的不等式组有且只有个奇数解，则符合条件的所有整数的值的和为______． 【答案】 【解析】 【详解】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出两个不等式的解集，再根据关于的不等式组有且只有个奇数解得到，解不等式组即可得到答案，正确得到关于的不等式组是解题的关键． 【点睛】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∵关于的不等式组有且只有个奇数解， ∴， 解得：， ∴符合条件的所有整数的值为， ∴， 故答案为：． 16. 如图1，动点、在的边和对角线上运动，动点的运动轨迹为折线，动点的运动轨迹为折线，两动点同时开始运动，且运动速度均为．设动点运动时间为秒，两动点间距离为，与的函数关系如图2所示．当点在的边上运动时，两动点间的最短距离为，此时运动时间为秒，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数与平行四边形动点综合，勾股定理，合理从图象中获取相关信息是解题的关键． 过点作于，胶于，当点运动到处时，此时点在处，最短，即，结合图象得到和的值，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作于，胶于，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由函数图象可得：当点运动到处时，此时点在处，最短，即，当点在处时，在处，此时， ∴， 当点运动到处时，点在处，， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 请从小丽和小明的对话中确定，的值，先化简：，再求值． 【答案】，，， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，平方差公式，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 利用平方差公式化简运算即可． 【详解】解：原式 ， 由题意得，， ∴原式． 18. 在月日“世界读书日”来临之际，某校为了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间（单位：时），把调查结果分为四档，档：；档：；档：；档：．根据调查情况，给出了部分数据信息： 档和档的所有数据是：，，，，，，，，，，，； 图和图是两幅不完整的统计图． 根据以上信息解答问题： （1）求本次调查的学生人数，并将条形统计图补充完整； （2）已知该校共名学生，请你估计该校档的学生人数； （3）该校要从档的名学生中随机抽取名分享读书经验，已知这名学生中，名来自七年级，名来自八年级，名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的名学生来自不同年级的概率． 【答案】（1）人，见解析 （2）人 （3） 【解析】 【分析】（1）先计算出档人数，则利用档人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，接着计算出档人数，然后补全条形统计图； （2）用乘以样本中档人数所占的百分比即可； （3）先列出表格展示种等可能的结果，再找出抽到的名学生来自不同年级的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：档和档共有个数据，而档有人， 档共有（人）， 本次调查学生人数为（人）， 档的人数为（人）， 补全条形统计图如下： ； 【小问2详解】 解：（人）， 故该校档的学生人数为； 【小问3详解】 解：用表示七年级学生，用和分别表示八年级学生，用表示九年级学生，列表如下： 由上表可知，共有种等可能出现的结果，其中抽到的名学生来自不同年级的结果有种， 所以抽到的名学生来自不同年级的概率． 【点睛】本题考查了画条形统计图、样本估计总体、列表法、概率公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 19. 如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点（点在点左侧），已知点的横坐标为． （1）求反比例函数的表达式和点的坐标； （2）根据图象直接写出的解集； （3）将直线沿轴向上平移，平移后的直线与反比例函数的图象在第四象限内交于点，与轴交于点，若的面积为10，求平移后的直线的函数表达式． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，反比例函数的图象性质，一次函数与二元一次方程组的联系，熟悉掌握一次函数的图象性质是解题的关键． （1）根据点的横坐标求出的坐标后代入反比例函数求出反比例函数式子，联立两个函数运算求解即可； （2）根据图象解答即可； （3）利用等面积法求解即可． 【小问1详解】 解：把代入得， ∴， 把代入得， ∴反比例函数的表达式为， 联立可得：， 解得：或， ∴； 【小问2详解】 解：由图象可得：或； 【小问3详解】 解：设平移后的直线的函数表达式为， 连接，，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴平移后的直线的函数表达式为． 20. 开学临近，某商家抓住商机，购进了一批笔记本和套尺，商家用1600元购买笔记本，1200元购买套尺，每本笔记本和每个套尺的进价之和为10元，且购买笔记本的数量是套尺数量的2倍． （1）求商家购进的每本笔记本和每个套尺的单价； （2）商家在销售过程中发现，当笔记本的售价为每本8元，套尺的售价为每个12元时，平均每天可卖出50本笔记本，30个套尺，据统计分析，套尺的销售单价每降低0.5元平均每天可多卖出5个，且降价幅度不超过10％．商家在保证笔记本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使这批笔记本和套尺平均每天的总获利为400元，求每个套尺的售价为多少元？ 【答案】（1）商家购进每本笔记本的单价是4元，每个套尺的单价是6元； （2）每个套尺的售价为11元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、分式方程的应用等知识点，审清题意、列出方程是解题的关键． （1）设商家购进每本笔记本的单价是x元，则每个套尺的单价是元，由题意：商家用1600元购买笔记本，1200元购买套尺，且购买笔记本的数量是套尺数量的2倍列出分式方程求解即可； （2）设每个套尺的售价为m元，使笔和圆规平均每天的总获利为400元，列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设商家购进每本笔记本的单价是x元，则每个套尺的进价是元， 由题意得：，解得：， 经检验，是原方程的解，也符合题意， ∴． 答：商家购进每本笔记本的单价是4元，每个套尺的单价是6元． 【小问2详解】 解：设每个圆规的售价为m元， 由题意得：， 整理得：，解得：或， ∵降价幅度不超过， ∴，解得：， ∴． 答：每个套尺的售价为11元． 21. 一扇推拉式窗户，打开一定角度后，其俯视图如图1所示，为固定的窗框底边，为该窗户开启的下沿一边，可绕点旋转一定角度，为支撑杆，其中一端固定在窗户下沿边上的点处，另一端点在窗框底边上滑动（窗户关闭时，，叠合在边上），支撑杆的长度固定不变，．窗户的旋转角的大小控制在一定范围内． （1）现将窗户打开至旋转角时，第一次测得，如图1，求此时的长； （2）在（1）的基础上，继续打开窗户，即绕点逆时针旋转，旋转角从开始逐渐增大，直至第二次测得时停止，如图2，求点在此过程中滑动的长度．（结果均保留根号） 【答案】（1） （2）端点在此过程中滑动的长度为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）过点作于点，利用解直角三角形求出，．等腰三角形的性质求出，即可解答． （2）过点作交的延长线于点，解直角三角形得出，，勾股定理求出，从而求出，进一步相减可得出结论． 【小问1详解】 解：过点作于点， 图1 在中，，， ，， 在中，， ，， ； 【小问2详解】 解：过点作交的延长线于点， 在中，，， ，， 根据（1）可得，， 在中，， ； ， 端点在此过程中滑动的长度为． 图2 22. 如图1，在中，，已知，是边上一动点，连接，以为对称轴将翻折至． （1）当时，求的长； （2）当落在线段上时．在图2中补全图形，并求出的长； （3）当时，如图3，求出的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查几何变换综合应用，涉及勾股定理及应用，平行线的性质，相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是掌握翻折的性质． （1）根据平行线的性质和翻折的性质，求出，即可求解； （2）根据翻折的性质求出，根据相似三角形性质求解即可； （3）先根据，求出值，再求出，根据三角形性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵以为对称轴将翻折至， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴． 【小问2详解】 解：如图，以为对称轴将翻折至，当落在线段上时，有，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵是直角三角形，， ∴． 【小问3详解】 解：如图： ∵以为对称轴将翻折至， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵在和中，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴解得． 23. 【提出问题】如图1，已知圆的半径为2，点是圆上一动点，点是圆外一点，连接，取的中点，当点在圆上运动时，判断点的运动轨迹． 【解决问题】 （1）小明同学进行了探究，他连接线段，取其中点，他猜想点的运动轨迹应该是以为圆心，1为半径的圆．请你帮小明同学完成证明过程． 【简单应用】 （2）如图2，已知正方形的边长为4，取的中点记为，以为圆心，长为直径作圆，点为圆上一动点，连接取其中点，求线段的最小值． 【灵活运用】 （3）如图3，正方形的边长为4，点在以为圆心长为半径的圆上，连接，取其中点，连接并延长交线段于点，请直接写出的最小度数． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）连接，利用三角形的中位线定理解答即可； （2）连接，取的中点G，连接，利用（1）的方法得到点F的运动轨迹是以G为圆心，1为半径的圆，则当点F在上时，线段的长最小，连接，过点G作于N，交于点M，利用矩形的判定与性质和三角形的中位线定理得到，，，利用勾股定理求得，则结论可求； （3）连接，取的中点H，连接，利用（1）的方法得到点F的运动轨迹是以H为圆心，为半径的圆，则当与相切时，取得最小度数；利用圆的切线的性质定理，直角三角形的边角关系定理和正方形的性质解答即可得出结论． 【详解】解：（1）连接，如图， ∵B是的中点，C是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点B的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆； （2）连接，取的中点G，连接，如图， ∵正方形的边长为4，是的直径， ∴的半径为2， ∴， ∵G是的中点，F是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点F的运动轨迹是以G为圆心，1为半径的圆， ∵点G为定点， ∴当点F在上时，线段的长最小，最小值为． 连接，过点G作于N，交于点M， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点G为的中点， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴的最小值是． （3）的最小度数为．理由： 连接，取的中点H，连接，如图， ∵正方形的边长为4， ∴， ∵H为的中点， ∴， ∵的半径为， ∴点H在上， ∵点E在以A为圆心长为半径的圆上， ∴． ∵点F为的中点，H为的中点， ∴为的中位线， ∴ ， ∴点F的运动轨迹是以H为圆心，为半径的圆， ∴当与相切时，取得最小度数．如图， 此时， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴． ∴的最小度数为． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，三角形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，点的轨迹，添加适当的辅助线构造三角形的中位线是解题的关键． 24. 如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交抛物线于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，交直线于点，过点作于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，将原抛物线向右平移，使得新抛物线经过（2）中的面积取得最大值时对应的点，新抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），请直接写出点，的坐标． 【答案】（1） （2）3， （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求二次函数解析式，平移问题，与x轴的交点问题的知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）用待定系数法求二次函数解析式． （2）分别求出直线和解析式，设，则，如图1，过点F作交于点W，由平移可知，再证明为等腰直角三角形，由等腰直角三角形进一步得出，再根据，再根据二次函数的性质求解即可． （3）由平移的性质得出，再利用待定系数法求出新抛物线解析式，再求出抛物线与x轴的交点坐标即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与直线交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， ∵过点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴， 把代入， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则，如图1，过点F作交于点W， 由平移可知 ∵，轴交直线于点E， ∴，即， 由可知， ∴， ∴， 即为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当时，面积的最大值为3，． 此时点D的坐标为； 【小问3详解】 解：设抛物线向右平移了m个单位， 则新抛物线的表达式为：， 将点代入， 可得出：， 解得：（舍去）或1， 则新抛物线的表达式为：， 令，则， 即， 则，， 即，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期期中学业水平检测 初四数学 温馨提示： 1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 的倒数的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在的正方形网格中，从标号为①②③④的白色小正方形中选取一个并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形，则应选取（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 3. 下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 4. 为庆祝中国共产主义青年团成立周年，某区举办了团课知识竞赛，甲、乙两所中学各派5名学生参加，两队学生的竞赛成绩如图所示，下列关系完全正确的是（ ） A. ， B. C. D. 5. 如图，是由27个相同的小立方块搭成的几何体，它的三个视图是的正方形，若拿掉若干个小立方块（几何体不倒掉），其三个视图仍都为的正方形，则最多能拿掉小立方块的个数为（ ） A. 9 B. 10 C. 12 D. 15 6. 如图，已知点为矩形的对称中心，，，以为圆心，为半径作扇形，点为的中点，连接，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果个，买苦果个，则下列关于的二元一次方程组中符合题意的是（ ） A B. C. D. 8. 折纸不仅具有艺术审美价值，还蕴含着许多数学知识．如图，一张长方形纸片，点，分别是线段，上的点，先将纸片沿折叠，点，的对应点分别为点，，与线段交于点，点是线段上一点，再将纸片沿折叠，点的对应点为点，点恰好在上，若测得，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在直角坐标系中，点，，，…都在直线上，点，，，…都在轴上，，，，…都是等腰直角三角形，其中，，，…为其直角顶点，如果点，那么点纵坐标是（ ） A. B. C. D. 2025 10. 如图，函数的图象过点和，请思考下列判断：；；；；正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 中国古代是用算筹（条形小棒）的摆放来表示数目的，有纵横两种方式： 记数时，个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，…，这样从右到左，纵横相间．例如，算筹表示的数是6653．则用3根算筹表示的两位数可以是________．（写出一个即可，算筹不剩余且个位不为0） 12. 随着电子技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占．这个数用科学记数法表示为_____________． 13. 如图，以点为圆心作弧，使弧与直线相交于点和点，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点，直线与直线相交于点，若，则的度数______． 14. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．在水中平行的光线，经过折射后，在空气中依然会保持平行．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，则等于________度． 15. 若关于不等式组有且只有个奇数解，则符合条件的所有整数的值的和为______． 16. 如图1，动点、在的边和对角线上运动，动点的运动轨迹为折线，动点的运动轨迹为折线，两动点同时开始运动，且运动速度均为．设动点运动时间为秒，两动点间距离为，与的函数关系如图2所示．当点在的边上运动时，两动点间的最短距离为，此时运动时间为秒，则的值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 请从小丽和小明的对话中确定，的值，先化简：，再求值． 18. 在月日“世界读书日”来临之际，某校为了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间（单位：时），把调查结果分为四档，档：；档：；档：；档：．根据调查情况，给出了部分数据信息： 档和档的所有数据是：，，，，，，，，，，，； 图和图是两幅不完整的统计图． 根据以上信息解答问题： （1）求本次调查的学生人数，并将条形统计图补充完整； （2）已知该校共名学生，请你估计该校档的学生人数； （3）该校要从档的名学生中随机抽取名分享读书经验，已知这名学生中，名来自七年级，名来自八年级，名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的名学生来自不同年级的概率． 19. 如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点（点在点左侧），已知点的横坐标为． （1）求反比例函数的表达式和点的坐标； （2）根据图象直接写出的解集； （3）将直线沿轴向上平移，平移后的直线与反比例函数的图象在第四象限内交于点，与轴交于点，若的面积为10，求平移后的直线的函数表达式． 20. 开学临近，某商家抓住商机，购进了一批笔记本和套尺，商家用1600元购买笔记本，1200元购买套尺，每本笔记本和每个套尺的进价之和为10元，且购买笔记本的数量是套尺数量的2倍． （1）求商家购进的每本笔记本和每个套尺的单价； （2）商家在销售过程中发现，当笔记本的售价为每本8元，套尺的售价为每个12元时，平均每天可卖出50本笔记本，30个套尺，据统计分析，套尺的销售单价每降低0.5元平均每天可多卖出5个，且降价幅度不超过10％．商家在保证笔记本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使这批笔记本和套尺平均每天的总获利为400元，求每个套尺的售价为多少元？ 21. 一扇推拉式窗户，打开一定角度后，其俯视图如图1所示，为固定的窗框底边，为该窗户开启的下沿一边，可绕点旋转一定角度，为支撑杆，其中一端固定在窗户下沿边上的点处，另一端点在窗框底边上滑动（窗户关闭时，，叠合在边上），支撑杆的长度固定不变，．窗户的旋转角的大小控制在一定范围内． （1）现将窗户打开至旋转角时，第一次测得，如图1，求此时的长； （2）在（1）的基础上，继续打开窗户，即绕点逆时针旋转，旋转角从开始逐渐增大，直至第二次测得时停止，如图2，求点在此过程中滑动的长度．（结果均保留根号） 22. 如图1，在中，，已知，是边上一动点，连接，以为对称轴将翻折至． （1）当时，求的长； （2）当落在线段上时．在图2中补全图形，并求出的长； （3）当时，如图3，求出的长． 23. 【提出问题】如图1，已知圆半径为2，点是圆上一动点，点是圆外一点，连接，取的中点，当点在圆上运动时，判断点的运动轨迹． 【解决问题】 （1）小明同学进行了探究，他连接线段，取其中点，他猜想点运动轨迹应该是以为圆心，1为半径的圆．请你帮小明同学完成证明过程． 【简单应用】 （2）如图2，已知正方形的边长为4，取的中点记为，以为圆心，长为直径作圆，点为圆上一动点，连接取其中点，求线段的最小值． 【灵活运用】 （3）如图3，正方形的边长为4，点在以为圆心长为半径的圆上，连接，取其中点，连接并延长交线段于点，请直接写出的最小度数． 24. 如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交抛物线于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，交直线于点，过点作于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，将原抛物线向右平移，使得新抛物线经过（2）中的面积取得最大值时对应的点，新抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），请直接写出点，的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $