期末专题：正比例和反比例（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

**基本信息** 以题载法构建正比例和反比例完整认知体系，通过概念辨析-关系应用-实际建模的逻辑链条培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择|5题|正反比例判定三步骤（定关系-看定量-判比值/乘积）|从概念本质（比值/乘积一定）到具象表征（平衡尺/行程问题）| |填空|9题|三量关系动态分析（固定其一判另两量关系）|渗透函数思想，建立"量-关系-图像"认知框架| |计算|2题|比例式转化技巧（交叉相乘/比值不变性质）|衔接比与比例的运算关联，强化代数推理| |解答|6题|实际问题建模四步法（找不变量-设未知量-列比例-验结果）|覆盖工程/行程/几何等场景，培养用数学语言表达现实问题的能力|

期末专题：正比例和反比例 一、选择题 1．表示x和y成正比例关系的式子是（    ）。 A． B． C． D． 2．下面几组相关联的量中，两种量成反比例关系的是（    ）。 A．用同样的方砖铺地，铺地面积与所需的块数 B．三角形的面积一定，底和高 C．从家到学校，已行路程和剩下路程 D．比例尺一定，图上距离和实际距离 3．如图，平衡尺右端第3个孔下面悬挂的砝码重30g，平衡尺左端第2个孔下面应悬挂（    ）g的砝码才能使平衡尺保持平衡。 A．15 B．30 C．45 D．60 4．如果甲、乙是两个成反比例的量，那么当甲减少50%时，乙会（    ）。 A．增加 B．减少 C．增加100% D．增加50% 5．相同时间内，甲走的路程比乙多，下列表述正确的是（    ）。 A．甲与乙速度比是 B．甲走的路程与速度成反比例 C．乙走的路程比甲少 D．乙走的路程是甲的 二、填空题 6．，当a一定时，b和c成( )比例；当b一定时，a和c成( )比例；当c一定时，a和b成( )比例。 7．一辆汽车正以匀速行驶，这辆汽车所行驶的路程与时间成( )比例，它的图象是一条经过原点的( )。 8．某天下午，科学社团的同学测量小敏的身高是1.5米，她的影长是2.5米。同一时间、同一地点，他们还测量一棵树的影子长9米，那么这棵树实际高( )米。 9．已知，和y成( )比例；已知，和y成( )比例。（、不为0） 10．幼儿园买来蓝皮球和黄皮球个数比是3∶5，给每个班发8个蓝皮球和20个黄皮球，结果黄皮球刚好发完，蓝皮球还剩36个。幼儿园买来蓝皮球( )个，黄皮球( )个。 11．成语“立竿见影”蕴含着比例的知识，即在同一时间、同一地点，竹竿的高度和影长成( )比例。明明测得一根竹竿的高度是2米，影长是0.6米，同一时间乐乐量得竹竿旁边的旗杆的影长是2.4米，那么旗杆的高度是( )米。 12．如果x和y成正比例，那么空格里x应填( )，y应填( )。如果x和y成反比例，那么空格里x应填( )，y应填( )。 x 12 36 y 4 3 13．在每公顷产量、公顷数和总产量这三个量中，当每公顷产量一定时，公顷数和总产量成( )比例；当公顷数一定时，每公顷产量和总产量成( )比例；当总产量一定时，每公顷产量和公顷数成( )比例。 14．如下图，支架两侧每两个孔之间的距离是2厘米。如果在支架右侧第4个孔挂3个珠子，那么在支架左侧第3个孔挂( )个这样的珠子才能保持支架平衡。 三、计算题 15．求比值。 ∶       2∶0.5       ∶0.9        0.14∶0.56 16．解比例 8∶15＝ x∶45                                 5：2＝ 四、解答题 17．周恩来红军小学艺术教室需要装修，用面积是0.09平方米的地砖铺地，需要600块。如果改用边长是0.6米的地砖铺地，需要多少块？ 18．在节日期间，各家各户都会在家制作美食，其中就有粽子，某粽子厂第一小组8人，原计划每小时包75个，20小时完成。实际每小时包的个数比原计划多，实际用多少小时就完成了这批包粽子任务？ 19．为营造三月三节日气氛，表演社团要在三月三前为演员们订做3000套演出服，通过电话联系得知工厂前10天能完成1200套，照这样计算，完成这些演出服需要多少天？（用比例解答） 20．爸爸准备给客厅铺地砖，用边长5分米的方砖铺，需540块，若改用边长6分米的方砖铺，需多少块？（用比例解） 21．某物流公司要将一批货物运往加工厂，如果要一次把这些货物全部运走，每辆货车的载重量与所需货车的数量如下表。 每辆货车的载重量（吨） 2 2.5 3 5 6 8 所需货车的数量（辆） 60 48 40 24 20 15 (1)写出这两种量相对应的两个数的积，说明积所表示的意义。 (2)表中两种相关联的量成什么比例？为什么？ (3)当每辆货车的载重量是24吨时，________辆货车可以一次运完；如果6辆同样的货车一次运完，每辆货车的载重量是________吨。 22．下面是“天下第一泉”趵突泉一段时间的涌水量和喷涌天数统计表，请据此回答问题。 涌水量/万立方米 16 32 48 64 80 … 喷涌天数 1 2 3 4 5 … （1）表中趵突泉的涌水量和喷涌天数成正比例吗？为什么？ （2）在图中描出涌水量和对应喷涌天数的点，然后连接起来，你发现了什么？ （3）李华说点（10，150）也在这条直线上，他说得对吗？请说明理由。 卷第4页，共5页 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】判断与是否成正比例，就看这两种量是否是对应的比值一定，比值一定成正比例；和一定、差一定都不成比例，乘积一定成反比例。据此逐一分析选项。 【详解】A．，和的和一定，比值不固定，不成比例； B．，可变形为（比值固定），符合正比例的意义，与成正比例； C．，和的乘积一定，成反比例，不成正比例； D．，和的差一定，比值不固定，不成比例。 x和y成正比例关系的式子是y＝0.8x。 2．B 【分析】判断两种相关联的量是否成反比例，关键是看这两种量是否是相关联的量，且它们的乘积是否一定。若乘积一定，则成反比例；若比值一定，则成正比例；若和或差一定，则不成比例。据此逐一分析各选项。 【详解】A．铺地面积÷所需的块数＝每块方砖的面积（一定），比值一定，成正比例关系，此选项错误； B．三角形的面积＝底×高÷2，因为面积一定，所以底×高＝面积×2（一定），乘积一定，成反比例关系，此选项正确； C．已行路程＋剩下路程＝从家到学校的总路程（一定），和一定，不成比例关系，此选项错误； D．图上距离∶实际距离＝比例尺（一定），比值一定，成正比例关系，此选项错误。 因此，两种量成反比例关系的是三角形的面积一定，底和高。 3．C 【分析】平衡尺平衡时，砝码重量与到支点的孔数成反比例关系，则有“左边重量×左边孔数＝右边重量×右边孔数”的等量关系，据此可以列出比例求解。 【详解】解：设左端应悬挂g的砝码。 4．C 【分析】甲、乙成反比例，则甲与乙的乘积一定；当甲减少50%，那么就意味着甲变为原来的50%，即缩小了；根据积不变性质：一个因数缩小为原来的几分之一，另一个因数应扩大到原来的几倍，可以设原来的乙是1，那么新的乙是2，再以原来的乙为单位“1”，求出增加的变化量。 【详解】根据分析，解答如下： 当甲减少50%时，乙就扩大到原来的2倍，设乙原来为1的话，那么现在的乙就是2， 那么乙增加的变化量为：（2-1）÷1＝1÷1＝1＝100%。 即乙会增加100%。 5．D 【分析】A．把乙走的路程看作单位“1”，则甲走的路程为乙的1×（1＋），时间相同，则甲与乙的速度比等于甲与乙的路程比，据此求出甲与乙的速度比； B．路程＝速度×时间，路程一定，速度与时间成反比，时间一定，路程与速度成正比； C．把乙走的路程看作单位“1”，则甲走的路程为乙的1×（1＋）＝，乙走的路程比甲少的部分为，据此用可求出乙走的路程比甲少几分之几； D．把乙走的路程看作单位“1”，则甲走的路程为乙的1×（1＋），据此求出甲、乙的路程，然后用乙走的路程除以甲走的路程即可； 【详解】A．假设乙走的路程为1 甲走的路程为： 1×（1＋） ＝1× ＝ ∶1 ＝（×4）∶（1×4） ＝5∶4 则甲与乙速度比是5∶4，选项说法错误； B．甲走的路程与速度的商一定，所以甲走的路程与速度成正比例，选项说法错误； C．假设乙走的路程为1 甲走的路程为： 1×（1＋） ＝1× ＝ 乙走的路程比甲少，选项说法错误。 D．假设乙走的路程为1 甲走的路程为： 1×（1＋） ＝1× ＝ 1÷＝1×＝ 则乙走的路程是甲的，选项说法正确； 故答案为：D 【点睛】本题考查正反比例的判定以及分数乘法的应用，明确正反比例的定义是解题的关键。 6． 反 正 正 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】a÷b＝c，bc＝a（一定），b和c成反比例。 a÷b＝c，a÷c＝b（一定），a和c成正比例。 a÷b＝c（一定），a和b成正比例。 7． 正 直线 【分析】根据正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系；正比例的图象是一条经过原点的直线。据此解答即可。 【详解】由分析可知： 因为路程÷时间＝速度（一定） 所以一辆汽车正以匀速行驶，这辆汽车所行驶的路程与时间成正比例，它的图象是一条经过原点的直线。 8．5.4 【分析】同一时间、同一地点，物体高度与影长成正比例即比值相等。设树的实际高度为x米，根据影长∶实际高度＝固定值，即可列方程，解方程即可。 【详解】解：设树高为x米。 1.5∶2.5＝x∶9 2.5x＝1.5×9 2.5x＝13.5 2.5x÷2.5＝13.5÷2.5 x＝5.4 那么这棵树实际高5.4米。 9． 正 反 【分析】判断两个相关联的量成什么比例，关键在于分析这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定。若比值一定，则成正比例；若乘积一定，则成反比例。解题时需将已知等式变形，转化为比值或乘积的形式进行判断。 【详解】因为，所以x∶y＝8∶7＝8÷7＝（一定），比值一定，所以x和y成正比例； 因为，所以xy＝5×8＝40（一定），乘积一定，所以x和y成反比例。 10． 108 180 【分析】由题意得比例关系，蓝皮球个数∶黄皮球个数＝3∶5，设幼儿园有个班，蓝皮球个数为8再加36个，黄皮球个数20个，据此列出比例方程，解方程。 【详解】解：设幼儿园有个班。 （8＋36）∶20＝3∶5 20×3＝5×（8＋36） 60＝40＋180 60－40＝180 20＝180 ＝180÷20 ＝9 8×9＋36 ＝72＋36 ＝108（个） 20×9＝180（个） 幼儿园买来蓝皮球108个，黄皮球180个。 11． 正 8 【分析】同一时间、同一地点，物体的长度和它影子长度的比值一定，所以同一时间、同一地点，竿高和影长成正比例关系，竹竿的高度∶竹竿的影长＝旗杆的高度∶旗杆的影长，据此列出正比例方程，并求解。 【详解】同一时间、同一地点，竿高和影长成正比例关系； 解：设旗杆的高度是x米。 x∶2.4＝2∶0.6 0.6x＝2.4×2 0.6x＝4.8 0.6x÷0.6＝4.8÷0.6 x＝8 所以旗杆的高度是8米。 12． 16 9 9 1 【分析】如果x和y成正比例，那么x和y的比值一定；如果x和y成反比例，那么x和y的乘积一定，据此列比例求出x和y的值。 【详解】x∶4＝12∶3 解：3x＝12×4 3x＝48 x＝48÷3 x＝16 36∶y＝12∶3 解：12y＝36×3 12y＝108 y＝108÷12 y＝9 4x＝12×3 解：4x＝36 x＝36÷4 x＝9 36y＝12×3 解：36y＝36 y＝36÷36 y＝1 如果x和y成正比例，那么空格里x应填16，y应填9。如果x和y成反比例，那么空格里x应填9，y应填1。 13． 正 正 反 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量的比值一定，它们就成正比例；如果这两种量的乘积一定，它们就成反比例。 每公顷产量×公顷数＝总产量，＝每公顷产量，＝公顷数，据此解答。 【详解】根据分析： ＝每公顷产量，比值一定，所以公顷数和总产量成正比例； ＝公顷数，比值一定，所以每公顷产量和总产量成正比例； 每公顷产量×公顷数＝总产量，乘积一定，所以每公顷产量和公顷数成反比例。 14．4 【分析】当格数与珠子个数的乘积一定时，支架左右两边才能保持平衡，因此格数表示的长度和珠子个数成反比例关系。据此设支架左侧第3个孔挂x个珠子，根据左侧珠子数量×左侧格数表示的长度＝右侧珠子数量×右侧格数表示的长度，可列出比例式，进而求解x的值。 【详解】解：设支架左侧第3个孔挂x个珠子。 3x＝4×3 3x＝12 x＝12÷3 x＝4 因此支架左侧第3个孔挂4个这样的珠子才能保持支架平衡。 15．；4；； 【分析】比的前项除以后项的商，就是比值，据此求解。 【详解】∶ ＝× ＝ 2∶0.5 ＝2÷0.5 ＝4 ∶0.9 ＝÷ ＝× ＝ 0.14∶0.56 ＝0.14÷0.56 ＝14÷56 ＝ 【点睛】本题考查求比值的方法，比的前项除以后项的商，就是比值，需要注意比值的结果是一个数，这个数可以是整数，也可以是小数或分数。 16．x＝24   x＝   x＝9 【详解】8∶15＝ x∶45 解：15x＝8×45 x＝360÷15 x＝24 解： x＝5× x＝     5∶2＝ 解：2x＝5×3.6 2x＝18 x＝9 17．150块 【分析】根据题意可知，铺地的总面积不变。先根据第一种地砖的面积和数量计算出教室的总面积，如果改用边长是0.6米的地砖铺地，铺地总面积不变，设所需块数为未知量，根据总面积不变列比例解答。 【详解】解：设需要x块。 0.6×0.6×x＝0.09×600 0.36x＝0.09×600 0.36x＝54 x＝54÷0.36 x＝150 答：需要150块。 18．15小时 【分析】把原计划每小时包粽子的数量看作单位“1”，实际每小时包的个数比原计划多，实际每小时包粽子的数量＝原计划每小时包粽子的数量×（1＋），包粽子的总数量不变，每小时包粽子的数量×包粽子的时间＝包粽子的总数量（一定），则每小时包粽子的数量和包粽子的时间成反比例关系，实际每小时包粽子的数量×实际需要的时间＝原计划每小时包粽子的数量×原计划需要的时间，据此列比例解答。 【详解】解：设实际用小时就完成了这批包粽子任务。 答：实际用15小时就完成了这批包粽子任务。 19．25天 【分析】由题意可知，工厂制作演出服的工作效率不变，工作总量÷工作时间＝工作效率（一定），则制作演出服的数量和需要的时间成正比例关系，制作演出服的总数量∶一共需要的天数＝前10天制作演出服的数量∶需要的天数，据此列比例解答。 【详解】解：设完成这些演出服需要天。 答：完成这些演出服需要25天。 20．375块 【分析】客厅的总面积保持不变，所以方砖的面积和所需块数成反比例关系。先设改用边长6分米的方砖需要x块，分别算出两种方砖的面积：边长5分米的方砖面积是5×5＝25平方分米，边长6分米的方砖面积是6×6＝36平方分米。根据“总面积相等”，可以列出反比例方程36x＝25×540，最后解这个方程即可得到需要方砖的数量。 【详解】解：设需要x块。 6×6×x＝5×5×540 36x＝25×540 36x＝13500 36x÷36＝13500÷36 x＝375 答：需要375块。 21．(1)120，表示这批货物的总吨数 (2)成反比例，因为每辆货车的载重量与所需货车的数量的乘积一定 (3) 5 20 【分析】（1）首先观察表格中的数据，计算每一列中“每辆货车的载重量”与“所需货车的数量”的乘积，验证积是否相等。 根据数量关系“每辆货车的载重量×所需货车的数量＝货物的总吨数”，确定积所表示的实际意义。 （2）根据反比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量。据此判断比例关系。 （3）利用第（1）问求出的货物总吨数作为不变量，根据除法意义用120÷5列式计算第一空中的未知量，用120÷6列式计算求第二空。 【详解】（1）计算表中每组相对应的两个数的积： 2.5×48＝120 所以这两种量相对应的两个数的积都是120，积表示这批货物的总吨数。 （2）每辆货车的载重量和所需货车的数量是两种相关联的量。 因为：每辆货车的载重量所需货车的数量货物的总吨数（一定），乘积一定，所以，表中两种相关联的量成反比例。 （3）由（1）可知，这批货物的总吨数是120吨。 （辆） （吨） 当每辆货车的载重量是24吨时，5辆货车可以一次运完；如果6辆同样的货车一次运完，每辆货车的载重量是20吨。 22．（1）成正比例，因为＝每天的涌水量，每天的涌水量都是16万立方米，这个值一定，所以成正比例。 （2） 发现：各点都在同一条直线上。（答案不唯一） （3）他说得不对。 150÷10＝15 16≠15 点（10，150）不在这条直线上。 【分析】（1）比值一定的两个量成正比例关系。求出涌水量和对应喷涌天数的比值，判断这两个量是否成正比例关系； （2）根据涌水量和对应喷涌天数，画出对应的图像，再谈自己的发现即可；（答案不唯一） （3）求出这个点的比值，和涌水量和对应喷涌天数的比值作比较即可。 【详解】（1）成正比例，因为＝每天的涌水量（一定），每天的涌水量都是16万立方米，这个值一定，所以成正比例。 （2） 发现：各点都在同一条直线上。（答案不唯一） （3）答：他说得不对。 150÷10＝15 16≠15 点（10，150）不在这条直线上。 答案第2页，共13页 答案第1页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $