精品解析：河南南阳市南召县2025-2026学年九年级下学期5月期中数学试题

数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 广东省某市1月份连续4天的最低气温分别为，，，，其中最低气温是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数比较大小，根据有理数比较大小的方法比较即可． 【详解】∵ ∴最低气温是． 故选：D． 2. 一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的表面展开图，熟练掌握常见几何体的表面展开图是解题的关键． 根据三棱柱的表面展开图，即可得到答案． 【详解】解：的表面展开图为， 故选：C． 3. 《中国激光》杂志发表的一篇关于双光子聚合打印三维光子晶体的文章中介绍，这些光子晶体的图案分辨率高达，折射率为．数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键， 绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此来解答即可． 【详解】， 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的基本运算，需运用幂的乘方法则、合并同类项法则、平方差公式、单项式乘单项式法则逐一判断选项． 【详解】解： A、，不符合题意． B、与不是同类项，不能合并，不符合题意． C、 ，不符合题意． D、，等式成立，符合题意． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 为了解某班学生本学年视力的变化情况，应采用扇形统计图 B. 从5万名考生的成绩中抽取300名考生的成绩作为样本，样本容量是5万 C. 为了解某班学生的身高情况，应采用普查 D. 在抽样调查过程中，样本容量越小，对总体的估计就越准确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查统计图的选择、样本容量和调查方式． 根据统计图的用途、样本容量的定义和普查的适用条件判断各选项． 【详解】解：∵ 扇形统计图适用于表示各部分占总体的比例，折线统计图适用于表示变化趋势， ∴ A错误； ∵ 样本容量是样本中个体的数量，从5万中抽取300，样本容量是300， ∴ B错误； ∵ 普查适用于个体数量较少的情况，某班学生数量少， ∴ C正确； ∵ 样本容量越大，对总体的估计越准确， ∴ D错误． 故选：C． 6. 不等式组中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：解不等式组得：-1≤x<2 其解集在数轴上表示为： 故选D. 7. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线的交点，C在以为直径的半圆上．若点D在上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，算出，，根据圆内接四边形对角互补可得． 【详解】解：连接， 是半圆的直径， ， ，， ， ， A，B，C，D在以为直径的半圆上， ， ． 8. 对于实数a，b定义新运算：，例如：，若关于x的方程有一个根为1，则m的值是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【详解】解：关于x的方程有一个根为1， ∴ ∴ ∴． 9. 如图，在四边形中，分别是的中点．已知，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行线的性质与勾股定理的应用，解题的关键是通过构造辅助线，严谨证明，再利用勾股定理求解． 先利用三角形中位线定理得到、的长度与平行关系；再通过取中点并连接，结合平行线的性质严谨推导出；最后在中，用勾股定理求出的长度． 【详解】解：∵ ，分别是的中点， ∴ 是的中位线， ∴ ，． ∵ ，分别是的中点， ∴ 是的中位线． ∴ ，． 取的中点，连接． ∵ 是中点，是中点 ∴ （三角形中位线定理） ∴ （两直线平行，同位角相等） ∵ ， ∴ （两直线平行，同位角相等）． ∴ ． ∵ ， ∴ （两直线平行，同位角相等）． ∵ ， ∴ （两直线平行，内错角相等）． ∴, ∴ ． 结合已知，得 ． 在中，由勾股定理得． 故选：． 10. 为了模拟高速公路入口“超限超载”检测站升降检测设备的工作原理，某数学兴趣小组自制了一个超限站工作模型：如图1，是定值电阻，质量不计的托盘和压敏电阻绝缘并紧密接触，已知电源电压恒定且压力表量程为，压力表示数与的函数图象如图2所示，（单位：）与检测物的质量m（单位：kg）的函数关系式为，则下列说法不正确的是（ ） A. 当时，的阻值为 B. 当托盘上货物的质量为时， C. 在一定范围内，随的增大而减小 D. 因为压力表量程为，所以该模型可测量检测物的最大质量是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用． 根据所给函数图象即可判断选项A、C，再求出当时，观察图象即可判断选项B，当时，的阻值为，此时有最大值，进行计算即可判断选项D． 【详解】解：根据图2得，当时，的阻值为，故选项A说法正确； 当托盘上货物的质量为时，令，， 观察图象可知当时，在和之间， 故选项B说法错误，符合题意； 在一定范围内，随的增大而减小，故选项C说法正确； 当时，的阻值为，最小，此时有最大值，即， 解得：， 即电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是，故选项D正确； 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个比小的整数_______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】利用无理数大小的估算方法，得出，然后得出答案即可． 【详解】解：， ， 即， ， 比小的整数可以是（答案不唯一）． 12. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．正面印有“四书”字样的书签，，，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．从中随机抽取2张，随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 画树状图可得出所有等可能的结果数以及抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 总共有12种等可能的结果，其中随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的有2种， ∴随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率为． 故答案为： 13. 分别用黑、白两种颜色的正六边形地面砖按如下规律拼成若干个图案．第_______个图案中有白色地砖2026块． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化规律，根据图形的规律写出前三个图形中白色地砖的块数，再发现第n个图形白色为，由此计算即可解答． 【详解】解：第一个白色为， 第二个白色为， 第三个白色为， …… ∴第n个图形白色为， ∴， 解得， 故答案为：506 ． 14. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于、两点，与轴交于点，与轴交于点，绕点逆时针旋转线段，使点落在轴上的点处，连接．则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出反比例的解析式，联立方程，求出点的坐标，再求出一次函数与坐标轴的交点，判断出为等腰直角三角形，推出，然后根据阴影部分的面积为即可求解． 【详解】∵据题意可知，点在反比例函数上， ∴， ∴反比例函数为， ∵为一次函数的图象与反比例函数的交点， ∴， ∵，整理得：，解得：，， ∴点， ∵与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，，即，当时，，即， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵绕点逆时针旋转线段，使点落在轴上的点处， ∴， ∴阴影部分的面积为： ． 15. 如图，在中，，，，动点从点出发沿射线运动，当为等腰三角形时，其底边的长为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可求得的值，根据等腰三角形的顶点分三种情况讨论，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：由勾股定理可知：，分类讨论： ①为等腰三角形的顶点时，有， 即以点为圆心，为半径的圆，点在的延长线上，如图所示， 此时的底边； ②为等腰三角形顶点时，有， 即以点为圆心，为半径的圆，点在的延长线上，如图所示， 此时的底边为，， 在中，； ③为等腰三角形顶点时，有，如图所示， 此时点在线段的垂直平分线上，的底边为， 综上所述，当为等腰三角形时，这个三角形的底边的长为或或． 故答案为：或或． 三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10=75分） 16. 计算与化简： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 为使学生更加了解家乡，热爱家乡，某市在全市中学中以“我为家乡代言”为主题开展了唱家乡民歌、讲家乡故事、做旅游方案、设计明信片、拍摄宣传片五项比赛．各学校均选派一支代表队积极参加，共有甲、乙等50支队伍参赛，每支队伍需要参加五项比赛．为了解参赛队伍的综合水平，将50支队伍各项成绩（成绩为百分制，均不低于60分）进行了统计整理． 下面给出了部分信息： 50支队伍讲家乡故事的成绩用表示，分成如下四组：第1组，第2组，第3组，第4组，绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 甲、乙两支队伍五项比赛成绩统计分析表 唱家乡民歌成绩（分） 讲家乡故事成绩（分） 做旅游方案成绩（分） 设计明信片成绩（分） 拍摄宣传片成绩（分） 五项成绩平均数（分） 方差 甲 92 94 87 92 90 91 乙 94 92 82 99 88 32.8 根据以上信息解决下列问题： （1）补全频数分布直方图并判断这50支队伍的讲家乡故事成绩的中位数处于第_____组； （2）在扇形统计图中，第4组对应的圆心角度数是_____； （3）填空：表格中的值为__________，的值为__________； （4）请根据表格中的数据，从甲、乙两支队伍中推荐一支成绩稳定的队伍为家乡代言，说明理由． 【答案】（1）见解析，3 （2） （3）91，5.6 （4）甲队伍，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先由乘以第2组成绩的占比求出代表队数量，再由50减去其余组代表队的数量求解第4组代表队数量，即可补全频数分布直方图；再由中位数的定义求解中位数即可； （2）用乘以所对应的占比即可； （3）根据平均数、方差的计算公式求解即可； （4）根据方差的意义分析即可． 【小问1详解】 解：第2组：，第4组： 补全频数分布直方图如下： 根据频数分布直方图，这50支队伍的讲家乡故事成绩的中位数为第支队伍成绩的平均数，由频数分布直方图可得中位数处于第3组； 【小问2详解】 解：在扇形统计图中，求“”对应的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：； ， ∴m的值为91，n的值为5.6； 【小问4详解】 解：甲、乙两支队伍的各项成绩相比较，甲队伍的成绩波动较小，，因此甲队伍的各项成绩更稳定，因此甲队伍更适合为家乡代言． 18. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）直接利用根的判别式，判断△≥0即可； （2）利用求根公式求得两个，根据有一个根小于1列出不等式求解即可． 【详解】（1）证明：， ∵无论m取何值时，， ∴此方程总有两个实数根． （2）解：， ． ． ∵此方程有一个根小于1，且． ． ． 【点睛】本题考查根的判别式和用公式法解一元二次方程．解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用公式法求出一元二次方程的根． 19. 如图，是等边三角形，是边上一点，连接． （1）请用无刻度的直尺和圆规在的上方作等边（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查作等边三角形，等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质： （1）分别以点C，D为圆心，为半径画弧，两弧在的上方相交于点E，连接，则等边三角形即为所求作； （2）根据证明，可得. 【小问1详解】 解：如图，即为所求作； 【小问2详解】 证明：是等边三角形 ，即 ， 20. 九年级学生李明想测量他家楼下的一棵松树的高度．由于松树周边有花坛，无法直接到达松树底部进行测量，班级数学学习小组结合实际情况完成了如下调查报告． 调查目的 测量李明家楼下的一棵松树的高度． 调查数据 ①经查阅资料，该住宅楼的高度为； ②在住宅楼顶端，利用无人机辅助测量，观测到松树顶端的俯角为； ③某一时刻太阳光下，测得住宅楼在地面的影长为，且松树顶端在地面的影子距住宅楼的水平距离为． 建立模型 根据调查数据，画出数学图形．如图，点B，E，H，D，F在同一条直线上，， ，，． 测量工具 卷尺、测角仪器、无人机 参考数据 ，， 问题解决 求松树的高度．（结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】延长，过点G作交延长线于点M．根据矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正切函数的应用，求解即可． 【详解】解：延长，过点G作交延长线于点M． ∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 根据太阳光线是平行的， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 设， ， ∴， 根据题意，得四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 解得， 答：松树的高度约为． 21. 汉服作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史底蕴和文化内涵．在某网店中，A，B两款汉服备受消费者青睐，某月份A款汉服售出200件，B款汉服售出400件，两款汉服销售总额为108000元．已知每件A款汉服的售价比每件B款汉服售价的2倍少100元． （1）求A，B两款汉服每件的售价． （2）为满足店铺的日常运营需求，该网店决定从服装厂订购A，B两款汉服共2400件，且订购A款汉服的数量不超过B款汉服数量的，已知A款汉服进价为每件120元，B款汉服进价为每件110元，请你设计一种订购方案，使得这批汉服全部售出后获利最大，并求出最大利润． 【答案】（1）A款汉服每件的售价为220元，B款汉服每件的售价为160元 （2）订购A款汉服800件，则订购B款汉服1600件，这批汉服全部售出后获利最大，最大利润为160000元． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用以及一次函数的应用，找到等量关系是解题的关键． （1）设A款汉服每件的售价为a元，B款汉服每件的售价为b元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设订购A款汉服x件，则订购B款汉服件，根据题意，列出不等式可得，设这批汉服全部售出后获利为w元，根据题意，列出函数关系式，再根据一次函数的性质解答，即可求解． 【小问1详解】 解：设A款汉服每件的售价为a元，B款汉服每件的售价为b元，根据题意得： ， 解得：， 答：A款汉服每件的售价为220元，B款汉服每件的售价为160元； 【小问2详解】 解：A款汉服每件的利润为元，B款汉服每件的利润为元， 设订购A款汉服x件，则订购B款汉服件，根据题意得： ， 解得：， 设这批汉服全部售出后获利为w元，根据题意得： ， ∵， ∴w随x的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为160000，此时， 即订购A款汉服800件，则订购B款汉服1600件，这批汉服全部售出后获利最大，最大利润为160000元． 22. 如图，二次函数的图象经过点，点． （1）求此二次函数的解析式； （2）当时，求二次函数的最值； （3）点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，二次函数的最大值为，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据抛物线的解析式可得抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，取最大值为，进而根据，得出函数值的最值，即可求解； （3）根据题意得出的表达式，根据线段的长度随的增大而减小，结合一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：将点，点代入， 得，解得， ∴二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，取最大值为． ∵， ∴当时，． 当时，． ∴当时，二次函数的最大值为，最小值为． 【小问3详解】 解：， 当时，即，，的长度随增大而增大，不符合题意． 当时，即，，的长度随的增大而减小， ∴的取值范围为． 23. 综合与实践 【问题背景】小明同学是个善于思考、善于总结的孩子，他总能把一些相关联的数学现象放在一起进行对比分析，总结提炼，他将学过的角平分线定理、线段垂直平分线定理、垂径定理、切线长定理的基础图形进行了汇总，如表： 角平分线定理 线段垂直平分线定理 垂径定理 切线长定理 ， ， ， ， 【归纳总结】 （1）小明发现这四个图中都有一个非常类似的四边形，经过查找资料，知道了它们都可叫作筝形．我们规定：如图，四边形中，若，，则称四边形为筝形． 他类比研究特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的方法，进一步得到了筝形的相关性质，请聪明的你也总结两条筝形的性质（可从边、角、对角线、对称性、面积等方面考虑，不用说理）： ①________；②________； 【知识迁移】 （2）李老师引导小明深入思考，如图1，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，得到正方形，两个正方形的边与CD交于点E，求证：四边形是筝形； （3）将（2）中的条件“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，其他条件不变，如图2，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出关于四边形的正确结论； 【拓展延伸】 （4）在图1中，连接AE，交于点O，请在图3上画出符合条件的图形，若正方形ABCD的边长为6，求CO的最小值． 【答案】（1）筝形的面积等于对角线乘积的一半，筝形是轴对称图形等；（2）见解析；（3）成立，理由见解析；（4） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，本题是新定义型，正确理解相对应的规定并熟练应用是解题的关键． （1）利用筝形的定义解答即可； （2）连接，利用正方形的性质得到，，利用全等三角形的判定与性质得到，依据筝形的定义解答即可； （3）连接，由旋转知，，得，，进而得，故可得结论； （4）利用筝形的性质和圆的有关性质得到点O在以为直径的半圆上运动，的中点M为该半圆的圆心，连接，结合图形得到当点M，O，C三点在一条直线上时，取得最小值，最小值为，利用正方形的性质和勾股定理解答即可得出结论． 【详解】（1）解：由筝形的定义可得：本题答案不唯一，只要正确即可，如：①筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线；②筝形的面积等于对角线乘积的一半；③筝形是轴对称图形等； 故答案为：筝形的面积等于对角线乘积的一半，筝形是轴对称图形等； （2）证明：如图1，连接， 由旋转知四边形和四边形为全等的正方形， ，， ， ∴， ， ∴四边形是筝形； （3）解：四边形是筝形； 理由：如图2，连接， 由旋转知四边形和四边形为全等的菱形， ，， ， ， ， ， 四边形是筝形； （4）解：如图3， 由（2）知四边形是筝形， ，， 点A，E在线段的垂直平分线上， ， ， 点O在以为直径的半圆上运动， 取的中点M，则点M为该半圆的圆心，连接，， ， 当点M，O，C三点在一条直线上时，取得最小值，最小值为． ∵正方形的边长为6，， ，M为的中点， ，， 的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 广东省某市1月份连续4天的最低气温分别为，，，，其中最低气温是（ ） A. B. C. D. 2. 一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体为（ ） A. B. C. D. 3. 《中国激光》杂志发表的一篇关于双光子聚合打印三维光子晶体的文章中介绍，这些光子晶体的图案分辨率高达，折射率为．数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 为了解某班学生本学年视力的变化情况，应采用扇形统计图 B. 从5万名考生的成绩中抽取300名考生的成绩作为样本，样本容量是5万 C. 为了解某班学生的身高情况，应采用普查 D. 在抽样调查过程中，样本容量越小，对总体的估计就越准确 6. 不等式组中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线的交点，C在以为直径的半圆上．若点D在上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 对于实数a，b定义新运算：，例如：，若关于x的方程有一个根为1，则m的值是（ ） A. B. C. D. 0 9. 如图，在四边形中，分别是的中点．已知，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 10. 为了模拟高速公路入口“超限超载”检测站升降检测设备的工作原理，某数学兴趣小组自制了一个超限站工作模型：如图1，是定值电阻，质量不计的托盘和压敏电阻绝缘并紧密接触，已知电源电压恒定且压力表量程为，压力表示数与的函数图象如图2所示，（单位：）与检测物的质量m（单位：kg）的函数关系式为，则下列说法不正确的是（ ） A. 当时，的阻值为 B. 当托盘上货物的质量为时， C. 在一定范围内，随的增大而减小 D. 因为压力表量程为，所以该模型可测量检测物的最大质量是 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个比小的整数_______．（写出一个即可） 12. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．正面印有“四书”字样的书签，，，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．从中随机抽取2张，随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率是____________． 13. 分别用黑、白两种颜色的正六边形地面砖按如下规律拼成若干个图案．第_______个图案中有白色地砖2026块． 14. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于、两点，与轴交于点，与轴交于点，绕点逆时针旋转线段，使点落在轴上的点处，连接．则图中阴影部分的面积为_______． 15. 如图，在中，，，，动点从点出发沿射线运动，当为等腰三角形时，其底边的长为______． 三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10=75分） 16. 计算与化简： （1）； （2） 17. 为使学生更加了解家乡，热爱家乡，某市在全市中学中以“我为家乡代言”为主题开展了唱家乡民歌、讲家乡故事、做旅游方案、设计明信片、拍摄宣传片五项比赛．各学校均选派一支代表队积极参加，共有甲、乙等50支队伍参赛，每支队伍需要参加五项比赛．为了解参赛队伍的综合水平，将50支队伍各项成绩（成绩为百分制，均不低于60分）进行了统计整理． 下面给出了部分信息： 50支队伍讲家乡故事的成绩用表示，分成如下四组：第1组，第2组，第3组，第4组，绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 甲、乙两支队伍五项比赛成绩统计分析表 唱家乡民歌成绩（分） 讲家乡故事成绩（分） 做旅游方案成绩（分） 设计明信片成绩（分） 拍摄宣传片成绩（分） 五项成绩平均数（分） 方差 甲 92 94 87 92 90 91 乙 94 92 82 99 88 32.8 根据以上信息解决下列问题： （1）补全频数分布直方图并判断这50支队伍的讲家乡故事成绩的中位数处于第_____组； （2）在扇形统计图中，第4组对应的圆心角度数是_____； （3）填空：表格中的值为__________，的值为__________； （4）请根据表格中的数据，从甲、乙两支队伍中推荐一支成绩稳定的队伍为家乡代言，说明理由． 18. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围． 19. 如图，是等边三角形，是边上一点，连接． （1）请用无刻度的直尺和圆规在的上方作等边（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接，求证：． 20. 九年级学生李明想测量他家楼下的一棵松树的高度．由于松树周边有花坛，无法直接到达松树底部进行测量，班级数学学习小组结合实际情况完成了如下调查报告． 调查目的 测量李明家楼下的一棵松树的高度． 调查数据 ①经查阅资料，该住宅楼的高度为； ②在住宅楼顶端，利用无人机辅助测量，观测到松树顶端的俯角为； ③某一时刻太阳光下，测得住宅楼在地面的影长为，且松树顶端在地面的影子距住宅楼的水平距离为． 建立模型 根据调查数据，画出数学图形．如图，点B，E，H，D，F在同一条直线上，， ，，． 测量工具 卷尺、测角仪器、无人机 参考数据 ，， 问题解决 求松树的高度．（结果精确到） 21. 汉服作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史底蕴和文化内涵．在某网店中，A，B两款汉服备受消费者青睐，某月份A款汉服售出200件，B款汉服售出400件，两款汉服销售总额为108000元．已知每件A款汉服的售价比每件B款汉服售价的2倍少100元． （1）求A，B两款汉服每件的售价． （2）为满足店铺的日常运营需求，该网店决定从服装厂订购A，B两款汉服共2400件，且订购A款汉服的数量不超过B款汉服数量的，已知A款汉服进价为每件120元，B款汉服进价为每件110元，请你设计一种订购方案，使得这批汉服全部售出后获利最大，并求出最大利润． 22. 如图，二次函数的图象经过点，点． （1）求此二次函数的解析式； （2）当时，求二次函数的最值； （3）点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小，求的取值范围． 23. 综合与实践 【问题背景】小明同学是个善于思考、善于总结的孩子，他总能把一些相关联的数学现象放在一起进行对比分析，总结提炼，他将学过的角平分线定理、线段垂直平分线定理、垂径定理、切线长定理的基础图形进行了汇总，如表： 角平分线定理 线段垂直平分线定理 垂径定理 切线长定理 ， ， ， ， 【归纳总结】 （1）小明发现这四个图中都有一个非常类似的四边形，经过查找资料，知道了它们都可叫作筝形．我们规定：如图，四边形中，若，，则称四边形为筝形． 他类比研究特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的方法，进一步得到了筝形的相关性质，请聪明的你也总结两条筝形的性质（可从边、角、对角线、对称性、面积等方面考虑，不用说理）： ①________；②________； 【知识迁移】 （2）李老师引导小明深入思考，如图1，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，得到正方形，两个正方形的边与CD交于点E，求证：四边形是筝形； （3）将（2）中的条件“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，其他条件不变，如图2，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出关于四边形的正确结论； 【拓展延伸】 （4）在图1中，连接AE，交于点O，请在图3上画出符合条件的图形，若正方形ABCD的边长为6，求CO的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $